真诚天下 - 2008-4-6 20:46:00
引发冲突 凸显本质
[案例描述]
常听到老师这样问学生：“要求梯形的面积必须知道什么？”学生回答：“上底、下底和高。”于是遇到这样的问题：一个直角梯形较短的一条腰长6厘米，上、下底的和等于这条腰的长。这个梯形的面积是多少平方厘米？很多学生感到茫然：不知道上底和下底，怎么求面积呢？究其原因，是我们老师在最初教学梯形面积的计算时犯下了诸如本文开头设问的错误。并且，书上的例题和习题往往都是已知上、下底和高求面积，怎样在教学的起始阶段避免学生形成上述错误认识呢？笔者一直在思考并寻求良策。这次教学该内容时，我设计了以下的问题：
两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形（如图），但被一块布挡住了，你能求出梯形的面积吗？（图中每格代表边长1厘米的正方形）
课上，学生们展开了颇有趣味的讨论。
“调皮鬼”天伟抢先说：“把这块布拿掉不就知道梯形的上底和下底长多少了吗？”
我不动声色：“这是一个办法。可惜这块布不小心粘上去撕不下来，这梯形的面积还能求吗？”
教室里沉寂下来。在每个人都有一定的想法后，我安排学生小组讨论。讨论后，我请第四小组汇报了他们思考的过程。赵宇杰说：“我们假设了梯形的上底是1厘米，下底就是6厘米，这样能求出梯形的面积是14平方厘米。”潘悦继续说：“我们还假设了上底是2厘米，下底就是5厘米，算出的结果也是这样。”张爽总结陈词：“我们举了几个例子都是这样，所以我们认为梯形的面积一定是14平方厘米。”
我先鼓励他们善于思考，然后追问：“举例是个好方法，但我们不能找出所有的情况。你们从举例中除了发现梯形的面积不变以外，有没有其他的发现？”
纪丞补充道：“我们还发现，梯形的上、下底之和总是7厘米。”
赵宇杰突然大叫：“哎呀！我们‘上当’了，用不着举那么多的例子，因为无论怎样，梯形的上、下底之和都等于平行四边形的底，所以一定是7厘米。这面积也就一定是14平方厘米了。”
第七小组也发表了他们的见解。陈石跑到黑板前，边指边像评论员似的说：“其实，我认为赵宇杰他们小组有点‘只见树木，不见森林’。从整体上看来，这个平行四边形是两个完全一样的梯形拼成的。无论这两个梯形是什么形状，每个梯形的面积都是拼成的平行四边形面积的一半。我们从图中很容易求出平行四边形的面积，7 × 4 = 28（平方厘米），所以梯形的面积是28 ÷ 2 = 14（平方厘米）。”对他的精彩发言，大家报以热烈的掌声。
该小组陈凯佳继续补充：“有的同学可能认为，要求梯形面积就要去找上、下底和高。其实并不是这样。我是受到书上‘练一练’里一道题的启发想到的。这道题有一幅图并告诉我们一个面积是36平方厘米的平行四边形是由两个完全一样的梯形拼成的，求其中一个梯形的面积。知道了拼成的平行四边形的面积，也就知道了其中每个梯形的面积。”
张钰接着说：“我们并不需要知道梯形的上、下底分别是多少，如果能知道梯形上、下底的和与高，照样可以求梯形的面积。”
对学生滔滔不绝的回答，我兴奋不已，水到渠成地总结：“是啊！我们在计算梯形面积时，不要死抱着公式不放，应该灵活根据题中的信息选择合适的方法。可以根据拼成的平行四边形的面积求梯形面积；不知道上底、下底的长，但能找到梯形上、下底的和与高，也能求梯形面积。同学们还想接受挑战吗？”
我留给同学们一道思考题：
下图是一个直角梯形，较短的一条腰长8厘米。两条线段把梯形分成的三个三角形中，有两个是等腰三角形。这个梯形的面积是多少平方厘米？
[反思]
1. 从学生的茫然中反思教学的失误是我们进步的源泉。新知学习一段时间以后甚至到了总复习阶段，我们还是发现不少学生对某些数学知识和方法感到茫然。与其责备学生掌握知识不牢固、不灵活，不如反思初次教学时学生到底经历了怎样的学习过程，先入为主地建构了怎样的数学概念和方法。如果我们静下心来寻思一下不经意间常问的“要求梯形的面积必须知道什么”这样的问题，就会感到汗颜。因为，这实在是一个不能原谅的误导学生的错误提问，这是教师自身被公式牵着鼻子走，从而导致了学生思维的固化和僵化。在我看来，这正是目前的课程改革淡化公式的记忆和机械运用，强调公式的探究经历和实际应用的重要原因。廓清教学失误的原因，会让我们从失误的苦涩中更加理性地思考如何在教学的起始阶段帮助学生建构正确、完善、开放的认知图式。如何更为深刻地理解梯形面积公式的形成过程，如何合理地去用公式而不是套公式，便成为我回到教学起始阶段时重点考虑的问题。我们不是防微杜渐，而是以梯形面积如何计算为载体，发展更为重要的整体意识，形成一些解决问题的策略。
2. 对公式的应用克服机械操练，凸显本质把握是教学的真义。寻思学生面对新问题情境发出的疑问，我们不难发现，对梯形面积公式的机械反复操练也是学生思维定势的重要原因。在形成技能的初始阶段，实在不宜过早地对同一类型的习题进行大量练习。形成对知识和方法的灵活认识更为重要。对梯形面积公式的应用，我们需要从“除以2”的角度引导学生去理解拼成的平行四边形面积与每个梯形面积之间的关系，如已知梯形面积如何求拼成的平行四边形面积和已知拼成的平行四边形面积如何求梯形面积；我们需要通过高相等，上、下底之和一定的一组梯形面积的比较让学生明晰梯形的面积与上、下底之和及高有关，与上、下底分别是多少并没有直接的关系；我们还需要通过如上所述的问题情境让学生形象直观地体会和理解不确定（梯形的上底和下底）之中的确定（上、下底之和），更为深刻地认识拼成的平行四边形在求解梯形面积中的桥梁作用，达到对公式本质的深度把握。我们也需要在应用中沟通求一堆木头（堆成梯形）的根数的方法与梯形面积计算之间的关系，渗透等差数列的求和方法……
3. 引发认知冲突是发展数学思考、优化认知结构的重要策略。学生在学习中，特别是起始阶段犯错误是正常的，对教师来说是一种宝贵的资源。正如特级教师华应龙所说：“课堂因差错而精彩！”有时候，我们甚至需要“导误”。亦即我们需要通过问题情境引发学生的认知冲突，而不是直白的“告诉”，从而让学生在认知失衡后去实现顺应，达到新的平衡。对学生天真而现实的想法“把布拿掉！”我并没有持否定甚至批评的态度，而是巧妙地通过“粘上去了”的情境，既保护学生的自尊心，又将学生的认知冲突激化。学生的思维经历一定的曲折而产生顿悟“上当了”——走弯路了，进而实现思维上质的跨越：只要知道上、下底之和与高就能求梯形的面积。这样的思维过程不仅是正常的，更是有价值的。学生逐步能从整体上把握问题的本质：无论这两个梯形是什么形状，每个梯形的面积都是拼成的平行四边形面积的一半，因而只要求出平行四边形的面积。在教学中，学生从书本习题中受到启发的思维过程暴露以及自主的反思小结，不仅体现出认知冲突后数学思考的发展，而且显现了学生关于梯形面积的认知已经打破壁垒，走向开放，实现优化与完善
真诚天下 - 2008-4-6 20:47:00
有效数学课堂的情境创设策略
“让学生在生动具体的情境中学习数学”是新课标的一个重要理念。新教材最大的特点和优点之一就是许多知识的引入和问题的提出、解决都是在一定的情境中展开的。因此，精心创设情境是提高教学有效性的一项重要教学策略。新课程下数学教学必须以学生发展为本，对数学教学提出的要求是：着眼于学生潜能的唤醒，促进学生的自由发展；着眼于学生的全面成长，促进学生认知、情感、态度与技能等方面的和谐发展；关注学生的终身学习的愿望和能力的形成，促进学生的可持续发展。因此在课堂教学中，能使学生积极参与到学习过程中来，对正在学的内容感到好奇，感兴趣，并觉得富有挑战性，产生学的欲望，积极思考，无疑是非常重要的。这是确保教学有效性的重要因素，也是教学成功的重要标志，又是培养学生良好的学习习惯“乐学——会学——勤学”的必然途径。心理学家认为：当一个制定的实验情景已经得到完全的适应，一个人已经全部了解了这个事件时，他就不再有兴趣。或当一个完全新的经验，由于它和一个人的知识结构毫无关联而毫无意义时也同样没有兴趣，而当感性输入和现有认识结构之间具有中等程度不符合时，人的兴趣最高。即“思维活跃在疑路的交*点”。然而，有的教师仅仅追求时尚，为了设计“引人入胜”的“问题情境”，往往会将数学课上成口语交际课，失去了数学课的“味道”。这种现象若任其自然发展，不仅影响数学教学质量，还会导致教师形成新的错误的数学教学观念。那么有效的数学教学究竟需要怎样的情境，又该怎样去创设呢？
（1）情境创设应目的明确。一节课总有一定的教学任务，包括认知技能、数学思考、情感态度、价值观等。这就要求教师提出的问题要紧紧围绕教学目标，而且要做到具体、明确，不能一味笼统地追求热闹。一方面，要及时从生活情境地中运用数学语言提炼数学问题，另一方面，要充分发挥情境的作用，不能把情境创设作为课堂教学的“摆设”。
[案例]有位教师在教完9的乘法算理后，设计了一个应用巩固的游戏情境——“开小火车”。游戏是由老师自己当“火车头”，老师手里拿着许多口算卡片，嘴里说着“呜……”，火车开到哪儿，就指定身边的一位同学回答，回答对了，这位学生就可以拉着老师的衣服跟在后面做“车厢”，下一个同学则接着拉着前一个同学的衣服。“火车”一直在教室里开着，不一会儿，“火车”变得越来越长了，场面也越来越热闹，只见小朋友有的站着，有的笑着，有的在欢呼着……
[分析]：在这节课中，教师创设了符合二年级小朋友年龄结构、心理特征的游戏情境——“开小火车”，以激发学生的学习兴趣和探究欲望。表面上看，学生是动起来了，其主体作用也得到了发挥，同时，师生的距离近了，似乎实施了零距离的对话。但仔细观察便会发现，这堂课只停留在形式上的热热闹闹，并没有激发起学生深层次的思维，一节课下来，学生收益很少。分析问题所在，我认为，这位教师在创设教学情境时，虽然注重了情趣，却忽视了教学内容。因而，尽管学生很投入地参与了，但他们感兴趣的是“开火车”这一活动本身（这一活动本身与教学内容无关）。直到活动结束，学生仍沉浸于对活动本身的兴趣中，而并未进入数学情境。并且，在这样的活动中，教师其实是关注了个别，忽视了全体。
[思考]：我们在设计课堂教学情境时，不仅要注重童趣，更关键的是要紧扣教学知识或技能。“情境”不是让学生为了故事而故事，为游戏而游戏，学生是在各种有趣的活动中体验“数学化”的过程，情境创设要对学生学习有意义。情境是对学生熟悉的或可以理解的，但包含的数学问题对学生又要有富有挑战性的、能引发学生的思考的。同样是这节课我们不妨设计一些练一练、做一做、辨一辨、争一争等情境，来调动全体学生参与，使情境创设更好地为数学教学服务。
（2）情境内容应从学生的生活和现实背景中提出。把问题情境与学生的生活紧密联系起来，不仅有利于学生理解问题情境中的数学问题，而且有利于学生体验到生活中的数学是无处不在的，培养学生的观察能力和初步解决实际问题的能力。
[案例]这是一位年轻老师执教的一堂随堂课。上完平均数的意义后，老师对学生宣布了一条好消息：下星期学校将要组织学生去春游。顿时，教室里爆发出一阵欢呼声。师：考虑到目前是旅游旺季，游人较多，为使同学们玩得舒心，又确保安全，学校交给老师一个任务——了解观音山等风景区最近的日游客量，选择其中游客最少的一处作为我们春游的目的地。我想请同学们帮忙完成这项工作。接着，老师出示了三个风景区的景点图片及各景区最近一周的游客人数统计表，让学生计算各景区最近一周平均每天的游客量……整堂课，学生们都非常活跃，学习积极性很高，教学进展也很顺利。下课铃响了，正当该老师满意地走出教室的刹那间，许多学生围上来，七嘴八舌地问：“老师，我们下周几去春游？”“老师，我们真的要去游玩吗？”当时老师一片茫然，随便应付说“等以后再说吧！”刹时，学生“啊？！”脸上流露出因感到上当受骗而不满的神情。事后，虽然这堂课受到了许多老师的好评，但学生那失望、不满的神情着实让听课的我心神不定……
[分析]：虽然老师设计此情境时，非常注重数学与生活实际的联系，想让学生明白现实生活中蕴含着大量的数学信息，让学生从周围熟悉的事物中去学习数学和理解数学，进而明确学习数学的价值所在。于是，她挖空心思编造了学生最感兴趣的话题——春游。教学时，此情境设计也确实将学生的学习兴趣推向了高潮，较好地激发了学生追求、探索的欲望。学生是带着期盼、满怀着憧憬上完这节课的。但美丽的谎言终究要被揭穿，也终究要破灭的。当学生明白老师只不过是“说说而已”时，就产生了一种被愚弄的感觉。可以想像，他们以后面对老师创设的教学情景，解决问题的积极性和主动性再也不会像今天一样充满激情。这种明显的“欺骗式”的虚假情境将降低学生对老师的信赖感，也是教师不尊重学生的一种体现，是与“以人为本”的教学理念相违背的。
[思考]：最优化教学是教学活动的理想目标，良好的情境创设是提高教学效果的重要手段，但教学过程受到教师、学生、媒体等许多因素的影响，创设情境毕竟只是进行教学的一种手段，所以在情境创设中要综合考虑各种因素，尤其是客观现实，要考虑其是否为创设情境准备了条件。我们设计的情境要有一定的真实性和现实意义，更要以学生的发展为本，而不能“捡了芝麻，丢了西瓜”。
（3）教学情境应具有时代性、新颖性。我们应该用动态、发展的眼光来看待学生。在当今的信息社会里，学生可以通过多种渠道获得大量信息，教师创设的情境也应具有一种时代气息，上课导入如果总是“猜年龄”“动物王国”，学生就会感觉“厌”了。
[案例]这是一堂校级数学公开课（课前由老师独立备课，教导处未参与）。执教老师伴随着多媒体课件那鲜亮的画面和悦耳的音乐，与学生开展了对话——师：（绘声绘色地）同学们，你们听说过《龟兔赛跑》的故事吗？生：（一个无精打采的声音）听过。师：动物王国又要举行一次龟兔赛跑，可这一次它们是绕着一个圆形的池塘跑……（引出圆的周长）。教师在滔滔不绝地讲着故事，学生中却有人在嘀咕：“又是动物王国……”“这种故事我们都听了几十遍了，还把我们当小朋友看。”一节课下来，学生都昏昏欲睡，参与度不高，效果也就可想而知了。
[分析]：这不禁让人疑惑：儿童不是最愿意到童话中寻找自己的幻想吗？同样都是为学生创设了生动有趣的童话情境，为何[案例]中的童话故事就不能打动学生的心灵、没能调起他们的兴趣呢？其实学生的抱怨“老师把我们当小朋友看”就道破了“天机”——处于不同学段、不同心理阶段的小学生，对情境的兴趣指向存在差异性。低年级学生对美丽生动的童话、活泼有趣的游戏、直观形象的模拟表演特感兴趣，并热衷于充当其中的角色。这符合这一学段儿童天真、爱幻想的天性和心理情境。中高年级学生则更乐于接受自主合作、交流的情境。因此，对中高年级的学生，教师应尽量用数学自身的魅力去吸引学生，让他们感到有趣、有挑战性，激起他们好奇、好胜的心理，使他们产生进一步学习的热情。
[思考]：小学生由于认知、心理年龄等原因，的确需要情境生动、有趣、新颖。但“生动、有趣、新颖”并不是有效情境的标准。关键是这些情境是否有效促进学生“快乐、有效”的学习。只要是基于学生实际、有助于学生实现生活经验数学化的情境就是有效的情境。
（4）情境的形式要有所变化。情境的表现形式应该是多种多样的，如问题情境、活动情境、故事情境、竞争情境等。情境的创设要符合不同年龄段儿童的心理特征和认知规律，要根据不同的教学内容而变化。对低、中年级的儿童，可以通过讲故事、做游戏、模拟表演、直观演示等形式创设情境，而对于高年级学生，则要侧重创设有助于学生自主学习，合作交流的问题情境，用数学本身的魅力去吸引学生。当然我们要防止课堂教学的“唯情境论”倾向，正确认识和科学适度地运用情境教学策略。在公开课、比赛课中，有的教师创设了太多太杂的教学情境，多媒体课件使人眼花缭乱、目不暇接，人为地降低思维要求，变成以机器灌人。有专家建议：并不是每节课都一定用情境引入，对于一些不好创设情境的教学内容，可以采取开门见山的方式，直接导入新课更有效。
总之，情景创设要让情景创设服从教学内容，既要有“数学味”，又要有“应用味”，服务于教学目标，服务于教学重点，情景创设只是一个手段。因此努力提高各种情景创设的效度，让学生在情景中获得体验，唤起情感，激活思维，更好地学习。
真诚天下 - 2008-4-6 20:48:00
有效数学课堂的情境创设策略
“让学生在生动具体的情境中学习数学”是新课标的一个重要理念。新教材最大的特点和优点之一就是许多知识的引入和问题的提出、解决都是在一定的情境中展开的。因此，精心创设情境是提高教学有效性的一项重要教学策略。新课程下数学教学必须以学生发展为本，对数学教学提出的要求是：着眼于学生潜能的唤醒，促进学生的自由发展；着眼于学生的全面成长，促进学生认知、情感、态度与技能等方面的和谐发展；关注学生的终身学习的愿望和能力的形成，促进学生的可持续发展。因此在课堂教学中，能使学生积极参与到学习过程中来，对正在学的内容感到好奇，感兴趣，并觉得富有挑战性，产生学的欲望，积极思考，无疑是非常重要的。这是确保教学有效性的重要因素，也是教学成功的重要标志，又是培养学生良好的学习习惯“乐学——会学——勤学”的必然途径。心理学家认为：当一个制定的实验情景已经得到完全的适应，一个人已经全部了解了这个事件时，他就不再有兴趣。或当一个完全新的经验，由于它和一个人的知识结构毫无关联而毫无意义时也同样没有兴趣，而当感性输入和现有认识结构之间具有中等程度不符合时，人的兴趣最高。即“思维活跃在疑路的交*点”。然而，有的教师仅仅追求时尚，为了设计“引人入胜”的“问题情境”，往往会将数学课上成口语交际课，失去了数学课的“味道”。这种现象若任其自然发展，不仅影响数学教学质量，还会导致教师形成新的错误的数学教学观念。那么有效的数学教学究竟需要怎样的情境，又该怎样去创设呢？
（1）情境创设应目的明确。一节课总有一定的教学任务，包括认知技能、数学思考、情感态度、价值观等。这就要求教师提出的问题要紧紧围绕教学目标，而且要做到具体、明确，不能一味笼统地追求热闹。一方面，要及时从生活情境地中运用数学语言提炼数学问题，另一方面，要充分发挥情境的作用，不能把情境创设作为课堂教学的“摆设”。
[案例]有位教师在教完9的乘法算理后，设计了一个应用巩固的游戏情境——“开小火车”。游戏是由老师自己当“火车头”，老师手里拿着许多口算卡片，嘴里说着“呜……”，火车开到哪儿，就指定身边的一位同学回答，回答对了，这位学生就可以拉着老师的衣服跟在后面做“车厢”，下一个同学则接着拉着前一个同学的衣服。“火车”一直在教室里开着，不一会儿，“火车”变得越来越长了，场面也越来越热闹，只见小朋友有的站着，有的笑着，有的在欢呼着……
[分析]：在这节课中，教师创设了符合二年级小朋友年龄结构、心理特征的游戏情境——“开小火车”，以激发学生的学习兴趣和探究欲望。表面上看，学生是动起来了，其主体作用也得到了发挥，同时，师生的距离近了，似乎实施了零距离的对话。但仔细观察便会发现，这堂课只停留在形式上的热热闹闹，并没有激发起学生深层次的思维，一节课下来，学生收益很少。分析问题所在，我认为，这位教师在创设教学情境时，虽然注重了情趣，却忽视了教学内容。因而，尽管学生很投入地参与了，但他们感兴趣的是“开火车”这一活动本身（这一活动本身与教学内容无关）。直到活动结束，学生仍沉浸于对活动本身的兴趣中，而并未进入数学情境。并且，在这样的活动中，教师其实是关注了个别，忽视了全体。
[思考]：我们在设计课堂教学情境时，不仅要注重童趣，更关键的是要紧扣教学知识或技能。“情境”不是让学生为了故事而故事，为游戏而游戏，学生是在各种有趣的活动中体验“数学化”的过程，情境创设要对学生学习有意义。情境是对学生熟悉的或可以理解的，但包含的数学问题对学生又要有富有挑战性的、能引发学生的思考的。同样是这节课我们不妨设计一些练一练、做一做、辨一辨、争一争等情境，来调动全体学生参与，使情境创设更好地为数学教学服务。
（2）情境内容应从学生的生活和现实背景中提出。把问题情境与学生的生活紧密联系起来，不仅有利于学生理解问题情境中的数学问题，而且有利于学生体验到生活中的数学是无处不在的，培养学生的观察能力和初步解决实际问题的能力。
[案例]这是一位年轻老师执教的一堂随堂课。上完平均数的意义后，老师对学生宣布了一条好消息：下星期学校将要组织学生去春游。顿时，教室里爆发出一阵欢呼声。师：考虑到目前是旅游旺季，游人较多，为使同学们玩得舒心，又确保安全，学校交给老师一个任务——了解观音山等风景区最近的日游客量，选择其中游客最少的一处作为我们春游的目的地。我想请同学们帮忙完成这项工作。接着，老师出示了三个风景区的景点图片及各景区最近一周的游客人数统计表，让学生计算各景区最近一周平均每天的游客量……整堂课，学生们都非常活跃，学习积极性很高，教学进展也很顺利。下课铃响了，正当该老师满意地走出教室的刹那间，许多学生围上来，七嘴八舌地问：“老师，我们下周几去春游？”“老师，我们真的要去游玩吗？”当时老师一片茫然，随便应付说“等以后再说吧！”刹时，学生“啊？！”脸上流露出因感到上当受骗而不满的神情。事后，虽然这堂课受到了许多老师的好评，但学生那失望、不满的神情着实让听课的我心神不定……
[分析]：虽然老师设计此情境时，非常注重数学与生活实际的联系，想让学生明白现实生活中蕴含着大量的数学信息，让学生从周围熟悉的事物中去学习数学和理解数学，进而明确学习数学的价值所在。于是，她挖空心思编造了学生最感兴趣的话题——春游。教学时，此情境设计也确实将学生的学习兴趣推向了高潮，较好地激发了学生追求、探索的欲望。学生是带着期盼、满怀着憧憬上完这节课的。但美丽的谎言终究要被揭穿，也终究要破灭的。当学生明白老师只不过是“说说而已”时，就产生了一种被愚弄的感觉。可以想像，他们以后面对老师创设的教学情景，解决问题的积极性和主动性再也不会像今天一样充满激情。这种明显的“欺骗式”的虚假情境将降低学生对老师的信赖感，也是教师不尊重学生的一种体现，是与“以人为本”的教学理念相违背的。
[思考]：最优化教学是教学活动的理想目标，良好的情境创设是提高教学效果的重要手段，但教学过程受到教师、学生、媒体等许多因素的影响，创设情境毕竟只是进行教学的一种手段，所以在情境创设中要综合考虑各种因素，尤其是客观现实，要考虑其是否为创设情境准备了条件。我们设计的情境要有一定的真实性和现实意义，更要以学生的发展为本，而不能“捡了芝麻，丢了西瓜”。
（3）教学情境应具有时代性、新颖性。我们应该用动态、发展的眼光来看待学生。在当今的信息社会里，学生可以通过多种渠道获得大量信息，教师创设的情境也应具有一种时代气息，上课导入如果总是“猜年龄”“动物王国”，学生就会感觉“厌”了。
[案例]这是一堂校级数学公开课（课前由老师独立备课，教导处未参与）。执教老师伴随着多媒体课件那鲜亮的画面和悦耳的音乐，与学生开展了对话——师：（绘声绘色地）同学们，你们听说过《龟兔赛跑》的故事吗？生：（一个无精打采的声音）听过。师：动物王国又要举行一次龟兔赛跑，可这一次它们是绕着一个圆形的池塘跑……（引出圆的周长）。教师在滔滔不绝地讲着故事，学生中却有人在嘀咕：“又是动物王国……”“这种故事我们都听了几十遍了，还把我们当小朋友看。”一节课下来，学生都昏昏欲睡，参与度不高，效果也就可想而知了。
[分析]：这不禁让人疑惑：儿童不是最愿意到童话中寻找自己的幻想吗？同样都是为学生创设了生动有趣的童话情境，为何[案例]中的童话故事就不能打动学生的心灵、没能调起他们的兴趣呢？其实学生的抱怨“老师把我们当小朋友看”就道破了“天机”——处于不同学段、不同心理阶段的小学生，对情境的兴趣指向存在差异性。低年级学生对美丽生动的童话、活泼有趣的游戏、直观形象的模拟表演特感兴趣，并热衷于充当其中的角色。这符合这一学段儿童天真、爱幻想的天性和心理情境。中高年级学生则更乐于接受自主合作、交流的情境。因此，对中高年级的学生，教师应尽量用数学自身的魅力去吸引学生，让他们感到有趣、有挑战性，激起他们好奇、好胜的心理，使他们产生进一步学习的热情。
[思考]：小学生由于认知、心理年龄等原因，的确需要情境生动、有趣、新颖。但“生动、有趣、新颖”并不是有效情境的标准。关键是这些情境是否有效促进学生“快乐、有效”的学习。只要是基于学生实际、有助于学生实现生活经验数学化的情境就是有效的情境。
（4）情境的形式要有所变化。情境的表现形式应该是多种多样的，如问题情境、活动情境、故事情境、竞争情境等。情境的创设要符合不同年龄段儿童的心理特征和认知规律，要根据不同的教学内容而变化。对低、中年级的儿童，可以通过讲故事、做游戏、模拟表演、直观演示等形式创设情境，而对于高年级学生，则要侧重创设有助于学生自主学习，合作交流的问题情境，用数学本身的魅力去吸引学生。当然我们要防止课堂教学的“唯情境论”倾向，正确认识和科学适度地运用情境教学策略。在公开课、比赛课中，有的教师创设了太多太杂的教学情境，多媒体课件使人眼花缭乱、目不暇接，人为地降低思维要求，变成以机器灌人。有专家建议：并不是每节课都一定用情境引入，对于一些不好创设情境的教学内容，可以采取开门见山的方式，直接导入新课更有效。
总之，情景创设要让情景创设服从教学内容，既要有“数学味”，又要有“应用味”，服务于教学目标，服务于教学重点，情景创设只是一个手段。因此努力提高各种情景创设的效度，让学生在情景中获得体验，唤起情感，激活思维，更好地学习。
真诚天下 - 2008-4-6 20:48:00
新授课:不能忽视学生的经验知识
[教学案例]
这是一堂一年级”6加几”的数学教学公开课。
课堂上，教师先通过“熊妈妈分苹果”的故事引入课题，然后提问：“6个苹果加5个苹果究竟等于几个苹果呢?”话音刚落，就有几位学生脱口而出:“11个。”教师瞪了他们一眼，显然有点不高兴。见他们不作声了，教师又继续微笑着对大家说 6加5为什么会等于11呢?好，下面我们一起来学习讨论。”随即转身在黑板上板书”6+5= “。
接下来，这位教师先让大家分小组合作讨论如何计算6+5。只见学生有的拿出小棒，非常熟练地操作着；有的交头接耳，热烈地讨论着；还有的在纸上不停地写着画着。几分钟后，教师让大家交流结果，并且说出有什么体验和发现。全班同学纷纷举手发言，课堂气氛空前高涨。一位学生回答．“可以用摆小棒的方法得到6+5=11。’教师非常满意地让他坐下。还有学生兴奋地发现可以用“凄十法”得到11，教师不禁竖起大拇指：“你真聪明，”当另一位学生出乎意料地回菩：“我一看６加5就知道是L1。”教师顿时有点不高兴，“怎么这样回答问题，难道你不需要动脑子思考？”在全班同学的一阵哄笑中，这位学生低下了头。
[教学反思]
在这个案例中，执教教师一味注重教师教的作用，而没有意识到学生学习的潜力，无视学生学习的内心感受。有两个细节性问题特别值得关注，当教师提问”6+5＝？时，立刻就有几位学生脱口而出“11个”；集体交流结果时，一位学生出乎意料地回答，我一看6加5就知道是１1。”这两个现象虽然发生的时间不同，但却反映了同一个问题已经有学生能算出题目的正确结果。这不免让人质疑，“6+5＝？’”是这堂课的新授内容，怎么教师没有进行教学，学生就能正确回答出结果?难道是学生预先看了课本上的答案，还是执教教师为了获得听课者的好评，预先上过，带着这些疑问，课后我专门对上课学生做了调查。原来，有些学生已经在幼儿园接触过这种题目，有部分学生是在父母的帮助下学会的。
这给我们的课堂教学带来了一些启发。
首先，应该重视学生已有的经验知识，正确认识新授课。事实上，每位学生都在不同程度上具有一定的经验知识。这也就意味着：新授课知识对学生来说，并不是百分之百的陌生，其中相当一部分知识，学生已经不同程度地有所了解。这种现象在我们的教学中并非个别，类似于在教学“三角形的认识”时，学生或多或少已经对三角形有一定的了解；教学“倍数”知识时，学生对倍数已经非常熟悉；在学习“分数的初步认识”时，学生已经在生活中有了初步感知。正因为平时有了这些知识的积累，学生才能在课堂上配合教师，积极表现，在一定程度上也让教师得以“顺利”教学。
那么，学生的经验知识为什么会对课堂上的新授知识有很大的影响？主要在于我们的数学，也包括其他学科知识，都是来源于生活，又高于生活的。而学生就是生活的主人，他们无时无刻不在了解生活、感受生活，对世界有自己独特的理解和发现。学生的这种生活经验一旦和课堂新授知识发生联系，会直接对学生的学习起到很大的影响和促进作用。
既然学生具有一定的经验知识，教师在教学新知识时，就要考虑到这个因素，把握好学情，灵活选择教法。既要让这些经验知识促进新知的习得，又不能过多、重复、累赘。而目前我们的新授课中普遍存在着一个不良现象，无视学生的经验知识，权当学生对新授知识一无所知。于是，每节课“复习、导入、新授、巩固、提高”一个环节也不能少，尤其在新授知识的环节，更是上得细致入微、面面俱到，唯恐学生不知道、不明白。这样往往适得其反，导致的不良自果是１.学生厌倦，不能进一步激发积极思维的热情；2.课堂知识不能突出重点3，增加了教和学的负担。
因此，教师在教学过程中应尽量了解学生的实际情况阅贴近学生生活的知识、对学生已经耳熟能详的东西，在课堂上并不一定要细致入微、面面俱到。不要担心有的新知识没有教而完不成教学任务，而要做到教学精练，善于把握课堂知识的重点、难点。这就要求教师在教学方法上不能僵化单调，而要灵活机动，不拘一格。比如，“先学后教、当堂训练”就能针对当前“撒网式”教学的弊端，达到精讲精练的效果。
真诚天下 - 2008-4-6 20:49:00
多方验证，旨在殊途同归
波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应该让合情推理占有适当的位置。”《数学课程标准》也提出要求：“发展初步的合情推理能力，能用实例对一些数学猜想作出检验。”课程改革以来，合情推理受到了教师们前所未有的关注，数学教材中也大量地采用了数学猜想、枚举归纳等合情推理的方法。不可否认，许多重大的数学发现都是在猜想中诞生的，但与此同时，我还看到了一些令人担忧的现象：当学生的猜想与教师不谋而合时，教师喜形于色；在猜想只是得到个别实例的印证而不是普遍印证时，结论匆匆而定……我感到了验证意识的淡化和漠视，验证方法的盲目和缺失。在课堂观察中，我曾见识了两次这样的“验证”。
案例与剖析
案例A [长方形和正方形的特征]
生猜想：长方形上边和下边相等，左边和右边相等。
师：你能利用学具袋里的长方形纸片来验证这个猜想吗？（学生都拿出指定的纸片进行操作，而后开始交流。）
生1：我量出上边是9厘米，下边也是9厘米，左边是6厘米，右边也是6厘米。
师：其他同学量的结果和他一样吗？
生（异口同声）：一样。
师：通过验证，你能得出什么结论？
生2：长方形上边和下边相等，左边和右边相等。
……
（这样的处理表面上看是水到渠成，实际上无形中犯了验证的大忌：仅凭很少的实例就作出一般的结论。学具袋里的长方形是生产线上统一制作的，难道仅凭手中一模一样的长方形，量出一模一样的数据，就可以说所有的长方形都有这样的特征吗？虽然说在小学阶段，严密论证是不可能也是不必要的，但如此“轻率概括”式的验证是万万不可取的，甚至会滋长学生不求严谨、不负责任的学习态度。）
案例B [加法交换律和加法结合律]
教学加法交换律时，教师出示了以下几组算式让学生计算。
12+25 25+12
35+47 47+35
……
师：你发现了什么？大胆地猜猜看！（生自由发表意见，师随之用等于号将每组算式的左右两边连接起来。）
师：是不是像这样的算式都有同样的规律呢？你能仿照黑板上的样子，再写几个吗？
……
（学生写出了很多，也交流了不少。表面上看论据可谓充分，但只消轻轻的一句追问：“学生算了吗？”学生所举的大量实例的价值就遭到了怀疑。原来，他们只是在机械地模仿，举的例子也是漫无目的，甚至不知道教师的本意是让他们通过计算来验证，而不是简单地依葫芦画瓢！如此“验证”，徒具其形，未具其神。如此“验证”，渗透数学思想方法，提升学生的思维水平的目标何以实现？）
反思与实践
以上案例是我校教研活动的真实记录，试上的失败促使组内的每一位教师陷入了深刻的思考。两个案例都致力于让学生经历“猜想—验证”的过程，都意识到“枚举归纳”是小学阶段重要的验证方法，但是对于“枚举归纳法”都缺乏深层次的认识。于是我们对相关理论进行了恶补，明白了所谓枚举归纳是“根据一类事物中部分对象具有某种属性并且没有遇到反例，从而推出该类所有对象都具有这种属性的归纳推理。”运用简单枚举归纳推理时应注意：被考察的对象数量越多、范围越广，结论就越可靠。试上之所以失败，症结就在这里。
可以说，解剖课例的过程是痛苦的。但惟其痛苦，才有“凤凰涅磐”般的重生。于是有了第二次实践。
案例A [长方形和正方形的特征]
师：生活中许多物体的面都是长方形的，你能找一找吗？（学生通过观察，直观判断出黑板的面、数学书的面、国旗的面等都是长方形。）
师：这些长方形，有的胖，有的瘦，有的高，有的矮，看起来各不相同，但是它们有没有什么共同的特征呢？请你猜一猜。
……
师：每个同学面前都有一张与众不同的长方形纸片，小组里还准备了各种各样的工具，你们小组能想出不同的办法来验证吗？
学生小组合作，然后全班交流。
生1：我是用量的方法，发现上边和下边都是9厘米，左边和右边都是6厘米。
生2：我也是用量的方法，不过我的长方形比他的小，上边和下边都是5厘米，左边和右边都是2厘米。
生3（一边说一边演示）：我不用量就知道长方形上边和下边相等，左边和右边相等。只要把它上下对折，这两条边就对到一起了，再左右对折，这两条边也对到一起了。
……
师小结：刚才我们对形态各异的长方形，运用不同的方法进行了研究，最终都发现长方形上下两条边相等，左右两条边相等。……
（三年级学生的思维水平处于具体运算向形式运算过渡的阶段，只有依赖具体事物的支持，充分地经历数学活动，才能作出有价值的猜想和验证。教师首先引导学生寻找生活中形态各异的长方形，通过观察、比较、联想等数学活动作出符合一定经验与事实的猜想。进而为学生提供了不同的长方形纸片，通过操作、分析、归纳等数学活动完满地演绎了长方形特征的探究过程。在这个过程中，学生不仅感受到探究对象的丰富性、探究方式的多样化，更体验到了数学推理的合情性。）
案例B [加法交换律和加法结合律]
为了防止学生机械模仿，教师先示范着现场编出两个算式。
师：这两个算式是否相等？怎样才能知道？（强调计算）然后郑重其事地在中间划上了等于号。
师：请你再写几组这样的算式，并且算一算，看看刚才的猜想是否正确？
学生举例、计算，教师有选择、有顺序地组织交流。
……
师：上面的例子都是两位数加两位数，还有不同的例子吗？
在教师的启发下，学生又举出了两位数加一位数、一位数加一位数、三位数加三位数等不同的类型。
师：刚才的例子计算起来都不困难，谁能举个难一点的数？
在教师的“鼓动”下，同学们跃跃欲试，举出了更大的数。最后借助计算器，猜想同样得到了验证。这时学生的兴致调到了极高点。
师：别急！我们不举更大的数了。还有一个非常特殊的数在暗自伤心呢！怎么把它给忘了呢？包含0的算式是否也符合这个规律呢？你能举个例子吗？
师：有没有不符合这个规律的例子？你能举出来吗？
……
学生的视角在教师的引领下，不断地得以延展。
接下来，加法结合律的猜想及验证过程顺畅自然，一气呵成。
（虽然教师对“验证”只字未提，但我们可以感受到学生时时刻刻、真真切切地在经历验证的过程。随着教师组织的逐步深入，学生的思维也随之逐步优化。从理论上讲，再多的例子也只是不完全归纳，但我们仿佛看到广阔的数学王国展现在学生的视野中，一位数加一位数、两位数加一位数、两位数加两位数，甚至更大的数和特殊的0，都满足这样的规律而且没有人能举出反例，我们有理由相信枚举归纳的结论是正确的。在这个过程中，学生不仅获得了数学结论，更重要的是学会了获得数学结论的思想方法。）
体会与启示
1．丰富的数学活动素材为多方验证提供物质基础。
验证结论是否可靠，在一定程度上取决于所枚举事例的数量和范围。所以，在运用枚举法进行教学时，教师要十分重视对学习材料的选择和设计，尽量增加枚举的数量，防止千人一面；同时要十分重视对学习活动的优化和组织，尽量扩展考察的范围，防止以偏概全。在生动活泼、精彩纷呈的数学活动材料的刺激下，学生的个性才能得到张扬，潜能才能得到挖掘。只有这样，才能作出有价值的猜想和多方法、多方位的验证，从而尽可能地增加结论的可信度。
2．丰厚的数学活动经验为多方验证积淀思想方法。
如果枚举时只注重“量”而忽略了“质”，只注重了广泛的“发散”而忽略了典型的“提炼”，那么学生的思维水平就永远无法提升。教师适当的引导和点拨，犹如醍醐灌顶般促进学生的思维从合情推理水平向逻辑推理水平过渡，帮助学生积累从感性认识跃向理性认识的经验。在这样的数学活动过程中，学生获取的不仅仅是数学基本知识和基本技能，更重要的是数学基本思想和基本活动经验，尤其是，难能可贵的探究的品质将在学生的心灵生根、萌芽。
真诚天下 - 2008-4-6 20:50:00
端点可以擦掉吗
［教学片段］
1. 回忆线段。
师：（出示一条线段）这是什么？
生：线段。
师：线段有什么特点呢？
生：有两个端点，有限长。
师：还有吗？
生：线段是直的。
（教师引导学生填写表格中线段的特点：两个端点、有限长）
2. 认识射线。
师：（将一条线段一端擦掉）我将线段的一个端点擦掉，变成了什么线？
生：变成了射线。
师：射线有什么特点呢？
生：只有一个端点，也是直的。
师：射线只有一个端点，还能度量吗？那它还有什么特点？
生：射线不能度量，无限长。
（教师根据学生回答填写表格：一个端点、无限长）
师：你能用手比画一下射线是怎样的吗？
（学生从一点向一端比画）
师：你能举出生活中像射线这样的例子吗？
（学生举例后，教师举出例题场景图，让学生感受射线的特征）
师：你能画一条射线吗？
（学生画射线，教师指导画法）
3. 认识直线。
师：（将一条线段左端擦掉）我又将另一个端点擦掉，这又变成了什么？
生：变成了直线。
师：直线又有何特点呢？
生：没有端点，无限长，也是直的。
（教师根据学生回答，在表格里填写直线特点：没有端点、无限长）
4. 组织比较。
师：观察表格，在哪里添上“相同点”和“不同点”？
（学生到黑板前添写）
师：直线、射线和线段之间有什么联系呢？小组讨论一下。
生：线段向一端延长可以得到射线，向两端延长可以得到直线。
师：回答的很好。还有吗？（学生面面相觑）
教师在直线上画出一点，引导找射线；又画出一点，引导找线段，教师提示学生发现： 线段和射线都是直线的一部分，同时完成表格中“联系”一栏。
[思考]
越来越多的教师都开始重视在教学中对教材进行加工和重组，追求对教材的突破和超越。然而，创造性地使用教材必须建立在充分把握教材编写意图的基础上，不能随意改变教材本来的意图，违背学科特点及教学规律。
1. 线段的端点能擦掉吗？
线段的端点擦掉就能变成射线或直线？点无大小，线无粗细，线是由点组成的。线段是有限长的，它的两头就是端点，我们可以画出其图形：直线、射线是无限长的，我们无法画出真正的射线及直线图形，只能画出它的一部分来代替。为了区别三种线的画法，许多教师（包括教材）都在强调端点，将其画得又大又深，甚至用两道“竖杠”来表示：一条线段。这样表示，在刚学线段时的确有助于学生直观地把握线段的特点，即线段有两个端点。但是学生根据直观感知获得的表象，必须通过抽象和概括，剔除次要的、非本质的属性，把握本质属性，才能形成概念。学生对线段的表象如果始终停留在两端两个“大黑点”或两道“竖杠”上，重视了端点的“形”，而忽视了“有限长、无限长”这一本质。这样，学生对线段的认识则仍然浮于表面。事实上，线段的端点能擦掉吗？即便你能擦掉一段，也会出现新的端点，永远都是线段，岂能擦掉端点就变成射线或直线？
2. 新知识的生长点在哪里？
有效的学习往往是建立在学生已有经验基础上的。教学过程就是要成为不断激活学生已有经验的过程。要促进学生自主学习，首先要找准新知识的生长点。
从数学上讲，线段、射线和直线这三个概念中，直线是不定义概念，射线是直线上的一点和它旁边的部分，线段是直线上两点间的一部分。由于直线、射线的概念比线段更抽象，且小学生形成“无限”的观念有一定的难度，从“有限长”向“无限长”过渡更符合小学生的认知规律，因此，小学是按线段→射线和直线的顺序分段教学的。第一学段引导学生从生活经验出发认识线段，第二学段再通过将线段延长感知“无限长”，引出射线和直线。由此可见，线段的“有限长”才是射线、直线教学的最佳切入点。教材按“直观—表象—概念”的线索，由生活场景中的彩灯射出的光线引入，引领学生认识射线的过程是合理而恰当的。教师通过擦掉线段的端点，直接引出射线及直线，忽略了射线及直线“无限长”这一本质属性，之后再回到例题的场景图中观察生活现象，感知“无限长”，既有知识性的错误，也有悖于学生的认知规律。
3. 内容完整就完美吗？
数学教学既要考虑数学本身的特点，更应遵循学生学习的心理规律。学生学习数学有一定的阶段性。为了引导学生认识线段、射线和直线的特征，尽快帮助学生形成知识系统，教师采用了列表对比的方式，清晰地呈现线段、射线和直线的相同点与不同点，这当然无可厚非。但对于线段、射线和直线之间的联系本节课是否需要深究呢？其实，学生通过线段向一个方向延长就会变成射线，向两个方向延长就会变成直线已经体会它们之间的联系了。难道非要让学生得出“线段、射线都是直线的一部分”的结论？学生通过线段认识射线、直线，刚刚建立射线、直线的表象，再逆向地由直线回到射线、线段是困难的，也有违教材编排的初衷。这种提高教学要求，一味追求完整知识系统的做法，实在是得不偿失、事倍功半。为了深化学生的认识，教材在本单元复习中专门设计了相关习题，揭示线段、射线和直线之间的关系，以形成知识系统。这种分层安排、逐步渗透的方式，更利于学生建构数学模型，形成概念。
由此可见，有效的教学设计首先建立在教师对教学内容的正确认识和理解的基础上。这种认识和理解，既基于教师对教材编写意图的研究和体会，也与教师自身的数学素养息息相关。其次，有效的教学设计还需要研究学生的学习心理，把握学生的认知规律。这样，才能使教学活动符合学生的认知需求，从而切实促进学生的主动建构。笔者尝试对这一教学内容进行了改进设计。
［改进建议］
（在第一学段教学线段概念时，不要将端点刻意用“大黑点”或“竖杠”来表示）
1. 出示画好的一条直线，量出它是20厘米，问学生画的是什么？有何特点？重点强调“有限长”。
2. 出示例题场景图，观察彩灯射出的光线，揭示“射线”。
3. 闭眼想象射线“从一点出发，直直的，无限长”。
4. 教师强调把线段的一端无限延长可以得到一条射线。引导学生通过想象、对比说出射线的特点。
5. 学生画3厘米的线段，再延长成射线。感受到不能画出射线的全部，只能画出一部分来代替射线图形。
6. 提问：要区别画出的哪条是线段哪条是射线，怎么办？引导在端点处加着重点（最好用色笔点端点，点与线要同粗）。
7. 学生再次尝试画线段和射线，并试举出生活中可以看作射线的例子。
8. 由线段向两端无限延长引出直线，展开想象后，说说直线的特点。
9. 引导画直线的一部分代替直线，强调画法。
10. 引导比较，完成表格，主要强调线段、射线、直线的相同点和不同点。至于它们之间的关系，学生能说出线段通过延长可以变成射线或直线即可。
（单元复习时，根据进一步揭示线段、射线和直线的联系，形成知识结构）
真诚天下 - 2008-4-6 20:50:00
预习与否，效果迥异
教学“长方体、正方体的表面积”一课，有一个班课前进行了预习，一个班没有预习。在预习的班级中，学生由于事先看书的缘故，将长方体纸盒展开后，只得出教材给出的一种展开图。在交流长方体表面积计算方法的时候，也只提出了教材给出的两种方法。而在没有预习的班级，学生则表现出了很强的主动性和创造性。现将教学片段记录如下。
［教学片段］
师：同学们，请你将准备的长方体纸盒（学生事先利用教材附页中的图样做成的）沿着某些棱剪开，看看纸盒展开后的形状，先做好的可以直接贴到黑板上来，后完成的同学如果形状与黑板上的不一样，也可以贴上来。
学生动手操作，展示了以下几种情况：
师：每个展开后的图形的面积，包含原来几个面的面积？
生：展开后图形的面积包含原来6个面的面积。
师：长方体6个面的总面积，叫做它的表面积。（板书）
师：在展开图形中，看一看六个长方形分别是长方体的哪个面？长、宽分别是长方体的什么？ （学生标出： 上、下、左、右、前、后和长、宽、高）
师：你能算出被剪开的长方体的表面积吗？（长方体的长为6厘米，宽为4厘米，高为2厘米）试一试。
学生尝试，提出了如下几种方法。
生1：根据展开图1，可以分别计算这6个面的面积，算式是6 × 4 ＋ 4 × 2 ＋ 6 × 4 ＋ 6 × 2 ＋ 4 × 2 ＋ 6 × 2。
生2：这6个面有两个相对面的面积相等，我们的算式是6 × 4 × ２ ＋ ６ × ２ × ２ ＋ ４ × ２ × ２。
生3：我们也是先算相对面中的一个，再计算总面积的。算式是（６ × ４ ＋ ６ × ２＋ ４ × ２） × ２。
生4：我根据展示图2，把中间四个长方形看作一个大长方形，再加上上、下两个相同的长方形，就是长方体的表面积。算式是（６＋ ４ ＋ ６ ＋ ４） × ２ ＋ ６ × ４ × ２。
生5：我根据展示图3，中间四个长方形可以看作一个大长方形，再加上上、下两个长方形的面积，所以长方体的表面积是（６＋ ２ ＋ ６ ＋ ２） × ４ ＋ ６ × ２ × ２。
师：可以，和生4的想法差不多。
生6：我是看展示图4，中间竖着的四个长方形可以看作一个大长方形……
师：说得很好。生4、生5和生6都是将中间的四个长方形看作一个大长方形，再加另外两个相同的长方形。你用的是哪种方法，请把你的想法说给你的同桌听一听。
（学生交流）
师：长方体的表面积与什么有关？
生：长方体的表面积与长方体的长、宽、高有关系。
师：如何求长方体的表面积呢？
生1：长方体的表面积 ＝ 长 × 宽 ＋ 长 × 高 ＋ 长 × 宽 ＋ 长 × 高＋ 宽 × 高 ＋ 宽 × 高。
生2：可以说简洁点，长方体的表面积 ＝ 长 × 宽 × 2 ＋ 长 × 高 × 2 ＋高 × 宽 × 2。
生3：我认为可以根据乘法分配律将生2说的改成长方体的表面积＝ （长 × 宽 ＋ 长 × 高 ＋ 宽 ×高） × 2。
……
师：在这么多的方法中，你认为哪些方法比较简便？
……
[反思]
在事先预习过的班级进行教学，过程显得特别流畅，学生的学习没有什么磕磕绊绊。但学生的思维却比较封闭和单一，由于受到教材的限制，他们只是墨守成规地在接受教材上介绍的学习内容。而在事先没有预习过的班级进行教学，虽然教学过程并非一帆风顺，不时出现节外生枝，但学生的思维是开放的、鲜活的。最可贵的是，学生能够积极主动地进行探索性的学习活动，根据自己对问题的认识和理解，提出了有别于课本或其他同学的想法，虽然有的认识和方法并不是最优的，但正因为更多地呈现了这些方法，才为学生体验最优的方法提供了更丰富的素材和资源，相信经历这样的过程后，学生对长方体表面积的认识和体验会更深刻。
同样的教学内容，几乎相同的教学预案，同一位教师执教，为何有这么大的差别呢？思前想后，恐怕是预习惹的“祸”。学生因为预习，根本没有耐心根据自己的认识，逐步经历操作、比较、分析、综合等过程，而是直奔思维的结果。不经历探索结论过程中的种种思维磨砺，亦不能品尝到探索成功的满足和愉悦。这次教学经历，也引发了我对预习问题的一些思考。
预习就是在上课前，把新学的内容预先自学。在这一过程中，学生对要学的内容能有基本的了解，上课时能心中有数，有的放矢，掌握学习的主动权。正确、合理的预习有助于提高学生的听课质量，培养学生的自学能力和独立思考的能力。但预习若处理不当，也可能会带来一些负面的影响。学生预习后，可能以为要学习的内容自己已经懂了，听课时会心不在焉，而且由于事先知道“结果”，因此有时会自以为是，从而丧失了独立思考和自主探索的机会。
我认为，就小学数学而言，有些内容不需要预习，特别是教材上的一些概念、性质、定律、法则、公式等，这些内容更适合让学生自主探索和发现。学生预习后，容易助长重结果、轻过程，甚至只看结果的倾向。即使教师创设精彩的发现情境，对学生而言，也毫无新鲜感和吸引力。在许多情况下，倒像是师生在进行一次表演，经过一些象征性的活动，学生将事先已经知道的结论在适当的时候表述出来罢了。若不预习，对学生而言，则更易引起其好奇心，从而全身心投入课堂学习，思维当然也就活跃了。当然，有些教学内容预习后，教学效果会更好。比如，一些新课需要用到旧知，而学生对这些旧知可能已经淡忘，这时可以布置学生有针对性地进行预习，回忆旧知；一些课的教学内容多，而且理解较难，学生可以通过预习，事先思考，便于教学时突破教学难点。一些课，学生已经具有相当丰富的知识基础和经验，也可以让学生在预习中进行自学。
那么，如何预习才会有好的效果呢？教师可以引导学生采用下面几种方法：
（1） 看。仔细看书，边看边勾划，可自定统一符号，如重点加“·”（着重号），难点加“△”，疑点加“？”等。
（2） 想。预习后，想一想教材内容的要点，新知识要运用哪些旧知识。
（3） 查。温习有关旧知识，借助工具书或参考资料，解决自己能够解决的疑点，有关旧知识和参考材料可写在预习笔记的相关处。
（4） 思。在预习过程中，要学会思考，学会发现问题。要多问几个为什么，提出有价值的问题。
（5） 定。确定听课的重点，以便有目的地听课。
（6） 验。预习以后可以做一些基本练习题，及时检验预习效果。
真诚天下 - 2008-4-6 20:50:00
巧用玩具 演绎精彩教学——贲友林执教的《圆的认识》教学片段与评析
［片断一］
师：我想了解一下，同学们现在都有哪些玩具?
生1：足球。
生2：洋娃娃。
生3：电动小汽车。
生4：电动飞机。
……
师：想不想看看老师小时候的玩具?
生：想。
教师出示
并在实物投影仪上演示玩具的玩法。
师：你们知道它是怎么做的吗?
生5：它是由一根火柴。
师：还有——
生6：一张圆片组成的。
教师板书课题：圆的认识
［赏析：课伊始，趣已生。从学生异口同声的“想”字中，我们真切地体验到他们学习的积极性已被教师充分地调动起来。是什么激起学生强烈的学习欲望?显然，是玩具，是学生非常熟悉且颇感兴趣的教学资源。在步入新知学习之前，贲老师先以玩具为教学媒介和新知教学的突破口，一下子就抓住了学生的学习注意力，然后借助几秒钟玩具的玩法演示，紧紧地吸引学生的眼球，使学生个个兴致勃勃，学习情绪高涨。最后，通过探讨玩具的组成，自然而贴切地进入了新知的教学。毋庸置疑，这样的教学情境是高效的、有价值的，也是每位教师倾心追求的!］
［片断二］
师：如果想做这个小玩具，首先该做什么呢?
生1：剪个圆。
师：剪圆先得画圆，用什么画?
生2：用圆规画。
师：自己画画看。
(学生用圆规在白纸上画圆)
师：用圆规画圆要注意什么?
生3：注意中间不能动。
师：哪儿不能动?
生4：针尖。
生5(补充)：这两只脚之间的宽度也不能变。
生6：只能拿着这个地方(演示)，如果拿其他地方位置可能会移动，画得就不圆了!
师：说得真好!谁再来说说圆的画法?
生7：我们的手应抓住圆规的把柄，然后把它旋转一周，圆就画成了。
师：想不想再画几个圆?
生：想!
师：用刚才的方法，在纸上再画两个圆。
(学生操作)
师：如果要画和我这个玩具一样大的圆，你们能不能画出来?
生：能。
师：你们准备怎么画?说说看。
生8：首先要知道圆的半径。
师(板书：半径)：什么是半径?
生9(指示)：一半的距离，量这里。
师：他的意思是量这么长的距离。大家估计一下，这个圆的半径有多长?
生10：3厘米。
师：厉害!是3厘米。那现在你们能画出来吗?
生：能。
师：先把这个圆画下来，然后再用剪刀把它剪下来。
(学生动手操作)
师：做好的同学思考一下：做这个玩具，火柴棒要从哪儿穿过去?
生11：中心。
生12：圆心。
师(板书：圆心)：对!这叫圆心。圆心在哪里？你们能找到吗?
生：能。
师：谁能说说你是怎么找到圆心的?
生13：就是圆规针尖经过的那个点。
师(板书：O)：请同学们找出圆心，用铅笔把圆心点出来，并且标注字母“O”。
(学生标出圆心)
师：谁再来说说这是一个多大的圆呀?
生14：这是一个半径为3厘米的圆。
师：你们能不能在圆上画出一条半径?试试看!
(学生画半径)
师：谁来展示一下你画的半径?
(一名学生在实物投影仪上展示)
师：看看，半径是一条——
生15：直线。
生16：线段。
师：有人说是直线，有人说是线段，到底是什么呢?
生17：是线段。因为直线是可以无限延长的，而半径可以测量，是有限的。
师：它的一端在——
生18：圆心，还有一端在圆的边上。
师：他画得对吗?
生：对。
师(板书：r)：半径一般用字母r来表示。
师：除了可以说这是一个半径为3厘米的圆外，还有不同的说法吗?
生19：这是一个直径为6厘米的圆。
师：他又说了一个词。
生20：直径。
师：请你在圆中画一条直径。
(学生操作后，师生讨论直径和半径的关系)
师：你们看，我们认识了圆心、半径、直径，还会画半径和直径。下面搞个小比赛，比赛什么呢?画半径和直径。同桌中，左边同学画半径，右边同学画直径，在规定时间内，看谁画得多。现在请同学们拿好铅笔，开始。
(学生迅速在圆中画半径或直径)
师：时间到，谁来汇报一下，你画了多少条半径?
生20：我画了9条半径。
生21：我画了15条半径。
生22：我画了18条半径。
师：那直径呢?
生23：我画了15条直径。
生24：我画了17条直径。
……
师：如果你有足够的时间，你能画出多少条半径和直径?
生25：可以画无数条半径。
生26：可以画无数条直径。
师：对!我们可以画无数条半径和直径，只要时间许可，这是一场没有输赢的比赛!
［赏析：新知的教学，贲老师仍然围绕玩具这一教学资源展开教学。在探讨玩具制作方法的过程中，让学生边操作边学习圆的相关概念，以实现预定的教学目标。通过剪圆片，让学生多次尝试画圆，教会学生画圆的方法；在画圆的过程中，经过师生交流，明确了半径、直径的意义；在确定火柴棒的位置时引出圆心的概念，赋予原本抽象的数学概念(圆心)以直观的外壳(火柴棒的位置)，整个教学过程显得自然而流畅。一个小小的玩具，将圆的所有概念知识集于一身，如此妙招，让人不得不为贲老师独具匠心的精妙设计而称道。其间，我们也能直观地感受到贲老师捕捉课堂教学契机的意识和把握生成性资源的教学理念。把解决问题的权利留给学生，从学生的已有知识和经验出发实施教学，让学生在实践操作中感悟数学知识，培养学生操作、分析以及估计的能力，这些都使学生的主体地位得到了充分的彰显!］
［片断三］
师：下面，我们把这个玩具组装起来。火柴棒怎么穿过去呢?
生1：用圆规戳个洞。
师：可以。做好后，在桌子上转转看!
(学生借助课前准备的学具做小玩具)
师：看样子，这个玩具虽简单，但做起来却不是那么简单，而且转起来也不是那么好看。如果要让玩具转得更漂亮的话，可以在上面画上图案。
教师出示5种玩具图案，让学生观察。(图略)
师：谁来说说第一个是什么图案?
生2：一个大圆里画了两个小圆。
师：如果这个大圆和我们的一样，小圆怎么画?
生2：用大圆的半径作直径画的。大圆的半径除以2就是小圆的半径，即3÷2=1.5(厘米)。
师：再看其他几幅图，你觉得哪几幅图的画法和图1差不多?
生3：图3的画法和图1差不多。
师：图3的画法和图1相似。那么，这两幅图案，同学们在哪儿看到过?
生4：像电视上的大风车。
师：第4幅图呢?
生5：像三片叶子。
……
师：再看看图5，生活中哪些物体是这个样子的?
生6：口服液的一种商标。
生7：像车轮。
生8：像方向盘。
生9：像奔驰车的标志。
生10：像运动器材上转的东西。
师：同学们的想像力真丰富!
［赏析：大家都知道，“做中学”是一种切实可行的有效的教学方法。让学生在操作实践中学习、感悟、理解知识，一方面有利于学生主动建构新知，另一方面也能让学生获得轻松、愉悦的学习体验。在这个教学环节中，贲老师再次以玩具为课堂教学的“主线”，将圆的知识与玩具上的图案巧妙、有机地衔接起来，不仅达成了教学目的，而且丰富、拓展了学习内容。在比较玩具图案的过程中，贲老师让学生展开联想和想像，并且与生活接轨，让学生真切地感受到圆在生活中的广泛应用，体验到生活处处都有“数学”。另外，此教学环节也与前面两个教学环节合为一体，共同构建了一堂完整、精彩的课堂教学
真诚天下 - 2008-4-6 20:51:00
在活动中认识等腰三角形
[片段]
师：拿出一张长方形纸,先将它对折。猜想一下,（比画）这样剪出的图形肯定是一个什么图形？
生：轴对称图形。
师：好，现在请你一刀剪下去，剪出一个三角形。
学生剪三角形。
师：仔细观察剪下来的这个三角形，它有什么特别的地方？
生1：它是一个轴对称图形。
生2：它有两条边的长度是一样的。
师：你们观察得非常仔细。你是怎么看出它的两条边的长度是一样的？
生1：因为将它对折以后，它的两条边是完全重合的。
生2：我还发现这个三角形有两个角也能完全重合。
师：我们一起对折一下，看看是不是这样。（学生活动）像这样，两条边长度相等的三角形，我们称它们为等腰三角形。（板书）这样说来，如果让你现在画一个等腰三角形，你会怎么画？自己试试看。
生：我是先画一条线段，再画一条与它长度一样的线段，最后再画上一条线段，这样围起来的就是一个等腰三角形。（板演）
师：为什么说这样画的三角形就是一个等腰三角形？
生：因为它有两条边的长度是一样的。
师：看来要判断一个三角形是否是等腰三角形，依据是什么？
生1：只要看是不是有两条边的长度是一样的。
生2：老师，我还有一种画等腰三角形的方法。（上黑板边画边说）先画一条线段，然后找到它中间的一点，过这个点，画出刚才线段的垂线，再在这条垂线上任取一个点，将它与线段的两个端点连起来，这样画出的也是一个等腰三角形。
师：这样画出来的是等腰三角形吗？
（思索片刻，有几个学生迫不及待地举手。）
生：肯定是。因为一开始是从线段的中间点出发，画了一条垂线，其实这条垂线就相当于这个三角形的对称轴。对称轴两侧的线段长度是相同的，所以，这个三角形就应该是一个等腰三角形。
（学生们情不自禁地鼓掌）
师：刚才我们都尝试着画出了一个等腰三角形，看看你画的这个等腰三角形，它还是一个什么三角形？
生1：我所画的三角形还是一个锐角三角形。
生2：我这个是直角三角形。
生3：我这个是钝角三角形。
生4：老师，我发现等腰三角形可能是锐角三角形，可能是直角三角形，也可能是钝角三角形。
师：咦，一个三角形怎么会既是等腰三角形，又是锐角三角形，或是直角三角形，或是钝角三角形呢？
生：因为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是按照角的大小去分的，而等腰三角形是看边的长度是否相等。
师：你挺会分析问题的。看来因为分类标准的不同，同一个三角形会有不同的名称。
……
[反思]
认识等腰三角形，教材的编排是先出示几个两条边相等的三角形，让学生量一量每个三角形各条边的长，揭示等腰三角形的概念；接着，引导学生照样子用纸对折后剪出一个等腰三角形，使学生进一步体会等腰三角形的特点；最后，介绍等腰三角形各部分的名称。读完教材，我想了很久，教材为学生的学习设计了观察、测量、折纸、剪纸等丰富的活动，让学生充分感知等腰三角形的特点。但是这样的教学似乎过于程式化，不能够很好地激发学生的学习热情，也不能充分激发学生的数学思考。于是，我尝试将后面用纸折一折，并剪出一个等腰三角形这一活动，作为认识等腰三角形的起始活动。因为我想，这样一个活动中隐藏着许多内容：首先，将长方形纸对折能剪出一个等腰三角形，学生根据已有的知识经验知道这是一个轴对称图形，有两条边相等，两个角相等，中间这条对称轴其实就是这个三角形的一条高，学生利用对轴对称图形的认识可以悟出等腰三角形的许多特征，新的知识和已有的知识经验密切联系了起来。其次，操作本身有一定的悬念和开放性，非常吸引学生，学生自己剪出了锐角、直角和钝角等不同类型的等腰三角形，丰富了对于等腰三角形外延的认识。在尝试画出一个等腰三角形时，学生不仅能掌握一般的画法，还能积极利用折出等腰三角形的经验，发现有创意的方法。这一次教学实践，使我体会到，教师应该充分考虑知识之间的联系，设计符合学生年龄特点和认知规律的教学活动，引导学生积极主动地投入学习活动，这样才有可能取得意想不到的教学效果。
真诚天下 - 2008-4-6 20:51:00
智慧如风 灵动如云《万以内数的大小比较》所引发的思考
“转变学习方式就是要把学习过程中的发现、探究、研究等认识活动突显出来。在数学教学实践中，要善于教给学生思维的主动权，让学生在教师精心设计的问题情景中积极地观察、思考、探究、创造，真正参与到一个生动活泼的、主动的、富有个性的数学学习活动中。”深圳市福田区教育研究中心黄爱华老师是这样说的，也是这样做的。我有幸聆听他执教的《万以内数的大小比较》一课，不时被黄老师精湛的课堂教学艺术所感染。现把自己的几点思考与大家分享。
“生活照”背后的故事
心理学研究表明，当学习材料与学生的生活经验相联系时，学生对学习最感兴趣，会觉得内容亲切，易于接受与理解。在走进教室听课的时候，我仔细地阅读了“万以内数的大小比较”的教材，暗自猜想着黄老师会采用什么样的课堂导入：是引用教材上的例题，还是通过讲故事，或是从生活中选择一组数据，引出课题。谁知，黄老师先用多媒体课件出示一张登山的生活照片。我们来欣赏他的开场白：
师：知道照片上的人是谁吗？
生：黄老师。
师：他在做什么？
生：登山。
师：是的，暑假里我和同事一起去旅游。你能看出我在什么地方吗？
生：在一座山上，还是座不一般的山。
师：是的，这座山海拔两千多米，是一座非常有名的山。你知道是什么山吗？
学生纷纷猜测，教室里顿时热闹起来。
师：黄老师给出一个提示，它是我国有名的“五岳”之一，请你们猜猜可能是什么山？学生意见纷纷。随即大屏幕上依次出示：
东岳泰山1532米；南岳衡山1290米；西岳华山2160米；北岳恒山2017米；中岳嵩山1440米。
当学生猜可能是华山，也有可能是恒山时，第三个学生却说不可能是泰山、衡山、嵩山。师急忙问为什么？一生机灵地说：因为老师告诉我们这座山有两千多米，而这几座山还没有满二千呢！
师：好，我再给你们一个提示，它是“五岳”中最高的山。
（大屏幕上同时出示一张站在由金庸题词的“华山论剑”石碑旁的照片）
学生开心地齐说华山。老师随即说，刚才我们比了五座山的海拔高度，生活中还有许多数也可以拿来作比较。今天，我们就来学习“数的大小比较”。随即板书课题。
听到这里，我如梦初醒！一开始出示照片时，我心里猜想：数学课上用照片有何用？等他让学生猜测山的高度时，我一下子明白黄老师醉翁之意不在酒，照片的背后还有精彩的数学问题呢。他一方面根据教材内容，适时渗透数学文化，考考学生对于“五岳”是否了解；另一方面，为了揭示本课的主题，由山的高度，引发学生对于数的大小比较的现实需要，激发学生积极的思维动机。看来，小小的一张照片，展示了教师的教育智慧，可谓一箭双雕！
思维在成功的欢乐中跳跃
我们知道，《数的大小比较》一课，其关键是让学生掌握数的大小比较的方法。一般教师都会采取出示例题，让学生尝试解答，练习后揭示规律，再安排练习进行巩固，从而让学生达到熟练运用的目的。而黄老师的数学课，却采用与学生玩游戏的方法，寓教于乐。一起来看看课堂上精彩的场面：
教师在黑板上预先写有“个、十、百、千”的数位，每个数位下面相应地各有一个可以装卡片的口袋，左右各一份。如下图：
千 百 十 个 千 百 十 个
□ □ □ □ □ □ □ □
大屏幕依次出示游戏规则。师生一起把人数分成两组，并分别取名：长江队和黄河队。每组各选一位男生上前抽签，两位选手信心实足。
第一次抽签：长江队抽到5，黄河队抽到3。（长江队集体欢呼）
师：（随机采访一位长江队队员）你为什么高兴？
生：因为我们抽到的5比他们队的3大。
师：（再转身采访一位黄河队队员）你现在是什么心情？
生：没关系，最后还要看千位上的数呢。
继续抽签，最后结果：长江队2935，黄河队7463。
黄河队欢呼雀跃。
师：（采访黄河队队员）现在你们为什么高兴？
生：我们有7个千，他们只有2个千。我们赢了！
教师在黑板上，全体学生同时在本子上记录比赛结果：2935＜7463
师：如果长江队千位上也抽到了7，7935和7463怎么比？
生：千位上的数如果一样，只要比百位上的9和4，9比4大，所以7935比7463大。
师：老师如果把9颠倒一下，就成了6，7635和7463比，哪个数大呢？
生：当然7635大。
师：如果长江队最后抽到0，怎么办？
生：那就成935了。
师：这下935和7463比，哪个数大？为什么？
在老师不断追问下，学生领悟到：四位数比三位数大。位数一样多，只要看首位上的数谁大。
这是第一轮的比赛。在这个游戏中，黄老师没有刻意要求学生说出数的大小比较方法，但在抽签过程中，我们看到老师巧妙地安排了位数相同（首位相同和首位不同）、位数不同的数的大小比较，不断激活学生的思维，不断拓展他们的思维空间。既让学生在游戏过程产生互动，体验到学习的快乐，同时，促使他们不断深究，去获取更多的新知，让思维在成功的欢乐中跳跃。
谁是最后的赢家？
美国教育学者加里·鲍里奇认为：利用学生的观点可以激发学生的兴趣，教师的调节对话又可以促进学生对学习过程的投入，帮助学生用自己的想法、经历和思维模式建构学习内容。第一轮的比赛，黄老师像一位魔术师，吊足了学生胃口，并利用学生的观点，提炼数的大小比较的策略，学生的思想得到认可，形成了积极的情感体验。这时的学生兴趣盎然，跃跃欲试，急切地投入到下一轮的比赛。
接下去的游戏规则黄老师让学生来确定。每一次抽到的数字由他们自己决定放在哪一位上。开始抽签了：长江队先抽到9，抽签者把9放在了千位；黄河队抽到4，他把4放到了百位。
师问黄河队抽签者：4放哪一位比较好呢？黄河队的学生纷纷出主意，认为放在个位比较好，抽签者把4改放在个位。
师又问长江队抽签者：感觉轻松吗？
长江队抽签者：（笑得很得意）轻松。
师：为什么？
长江队抽签者：因为9放在千位上是最大的。
这时的黄河队抽签者扬扬手臂，做出不甘示弱的姿势。（听课者众笑）
第二次抽签：长江队抽到1，并把1放在个位；黄河队抽到6，把6放到百位。
师：（问长江队抽签者）你现在有没有压力？
长江队抽签者：有，如果接下去被他抽到两个9，那我就完蛋了。
（全班学生和听课老师都哈哈大笑，为孩子的那份纯真）
师：那你说百位上最起码要抽到几，就一定会赢了？
长江队抽签者：最起码比6大。
第三次：长江队抽到3，把3放在十位；黄河队抽到5，把5放到十位。
最后的抽签开始了，两名抽签者都把放数字卡片的口袋摇了又摇，郑重其事地从里面抽出关键的一个数字。长江队抽到0，他把0放在百位，组成9031；黄河队抽到2，他先把2放在千位，一看不妥，赶快把2和百位上的6交换位置，组成：6254，再调整为6542。长江队一看，也立即把9031调整位置，组成9310。
黄老师也不由自主地笑了：“好，抽签者有权决定把数字放在哪个数位上，这不算犯规！”此时，长江队队员欢呼声又起，全体听课老师也为学生的机灵、聪颖发出由衷的掌声。师生一起记录：9310＞6542。
或许数学课告一段落了，你说最后的赢家是谁？是两名抽签的学生代表，还是下面记录的学生？我想应该是老师！你看学生那意犹未尽的神情，再看看黄老师镇定自若的样子，倘若你置身这里，一定被气氛热烈的课堂场面所感染，一定被课堂上自发响起的掌声所感动。短短40分钟，我们能真切地感悟到黄老师轻松幽默的点拨话语、恰到好处的采访提问后面蕴藏的教育智慧。本节数学课看似安排了简单的一场数学游戏，实则把抽象的数字与具体的操作有效链接起来，把动脑与动手结合起来，也把数的大小比较的策略暗藏其中，以教师的智慧激活学生灵动的思考。游戏的背后是学生有效的数学学习和进行的一系列有效的数学思考过程。这样的数学课凸现了“学生在课堂上不仅仅是为了获取一份知识的行囊，而是为了变得更加聪明”，真正体现了黄爱华教师所追求的“引导学生进入真正的思考的创造境界”。这种创新的课堂正是我们需要学习和传承的！
真诚天下 - 2008-4-6 20:52:00
课堂提问不仅仅是简单的“问”
近来在小学听课与参加小学的教研活动时，笔者发现小学数学课堂“提问”很有审视的必要。善于提问，可以反映一位教师的基本素质与功力。关于如何提问，笔者仅以一孔之见，希望与大家共同探讨，以求进一步提高课堂教学的效益。
提问的指向要明确
如果教师所问的问题指向不明确，往往使学生不知该如何作答。
［案例1］
(小学五年级，“找规律”一课）
师：长加宽是什么？……长加宽是周长吗？
这位数学教师在回忆了长方形的特点后，突然提出一个问题，问“长加宽是什么”。面对这样的问题，学生无所适从，是回答长加宽是“一个长度数”呢？还是回答“长加宽是9米”呢？抑或是其他回答？
这时，教师又追问一句：长加宽是周长吗？学生当然可以回答：不是。
老师的本意是想让学生回答“长加宽是长方形的半周长”，因为后续的问题中要用到“半周长”这一条件。同时，老师看到学生对于回答自己的问题不知如何回答后，想通过追问，把前一问题“长加宽是什么”的答案往“半周长”上引。尽管这位老师把问题答案的发散性控制了一些，但却一下收敛得太多，学生会觉得奇怪：老师怎么会问这个问题？
如果老师能通过对原问题的分析，问学生：知道周长是18米，如何确定长与宽？这样就会很自然地推导出，已知周长，要定长与宽，那长与宽和周长是什么关系？这种自然而然的方法，可能更能顺应学生的思维特点。
问题的开放性要适宜
［案例2］
（小学二年级，“平均分”一课）
师：你会怎样把6个苹果分给家人？
每个家庭的成员个数并不相同，这就意味着，除数是不确定的，这体现了一种开放性。此外，还有一个教师忽视了的不确定的开放性，那就是分苹果的时候，每个家庭成员分得的苹果数可以一样，也可以不一样。这种开放性程度对小学二年级的学生来说，容易造成模糊感。给学生开放性的探索，当然很好，是新课程强调的“让学生探究规律与发现结论”的重要途径。但如果太开放，却又难于掌控时间与回归主题。
反过来，我们可以通过调整降低问题的“开放性”程度，变“全开放”为“半开放”。教师可以先问学生，家里有几口人？然后老师确定一个家庭成员数为6的公约数的学生，向全班学生提问：现在有6个苹果，请你帮这位同学分给他的家人，你会怎么分？这样，问题就变为半开放性了。然后老师可将每份分得一样多的分法与每份分得不一样多的分法进行对比，引出主题，“平均分”一课的学习也就水到渠成了。
提问要反映先进的教学理念
［案例3］
师：能不能想一个办法，非常快地把它记在脑海中？
从这个提问中，我们可以看出教师的主要教学意图是让学生存储与记忆所学的知识点。记忆当然是重要的，但引导学生领悟与建构知识、发现规律应该比单纯地记忆知识更重要。所以如果老师能多问一句：请大家回忆一下，我们刚才得到的这个结论是如何得到的？这样，就可以更好地引导学生关注知识的形成过程。
在课的结尾部分，我们常常听到教师提问学生：今天我们学习了什么？提出类似问题的教师，其最主要的关注点还是学生所学的知识。如果教师在课的结尾部分，对知识的形成过程和学生的情感、态度与价值观也都能有所关注，就能把课更提升上一个层次。
注意避免高龄低问
［案例4］
（小学四年级，“加法的交换律与结合律”一课）
师：你们喜欢做游戏吗？……我们来做一个“词语反说”的游戏，好吗？
这些极简单的提问，往往只是为了引起学生的注意，因而在幼儿园及小学低年级的课堂里用得较多。这里，教师不妨改用陈述句，“据说，我们班上不少同学喜欢做游戏，下面我们就来做一个‘词语反说’的游戏”，这样更能适应学生的年龄特点，不至于适得其反。
［案例5］
（小学四年级）
师：你们知道2008年有什么盛事？
生：北京奥运会！
师：你们激动吗？
生：激动！
师：你会为刘翔喝彩加油吗？
生：会！
课后，我通过与小学生交流，有些学生说老师很“幼稚”。这些学生对“幼稚”老师的态度也可能会有两种看法：一种是不喜欢不认同，觉得“老师你太小瞧我们了”；另一种是喜欢与认同，这些学生觉得“原来老师还这么好玩”。但是，对小学中高年级及以上的学生，采取跟低龄学生一样的提问方式，是不符合学生心理发展特点的，教师应该注意尽量不要“高龄低问
真诚天下 - 2008-4-6 20:53:00
也要让学生亲历知识的完善过程
［教学内容及编写意图］
用竖式计算并验算。
542＋306 74＋424 403＋95 271＋518
与教材配套的《教师教学用书》指出：“中间两题列竖式时要注意学生是否将数位对齐。”显然，学生在列竖式时，容易出现的错误是没有把相同数位对齐。
［教学片段］
学生独立解答，集体核对答案之后。
师：同学们，请仔细看看你们刚才列的竖式，如实地告诉老师，第一题涂改过的请举手。（5人）第二题涂改过的请举行。（24人）第三题涂改过的请举手。（17人）第四题涂改过的请举手。（4人）我随手把这四个数板书在黑板上。
师：看到这4个数，你们有什么想法？在小组内互相说一说。
两分钟后，学生汇报。
生1：我发现第二题涂改的人数最多，第三题涂改的也不少，第一题、第四题涂改的最少。
生2：老师，我知道为什么。因为第二题是两位数加三位数，做题时容易把百位上的4和十位上的7对齐。
生3：第三题也是三位数加两位数，为什么错的就比较少呢？
生2：通过做第二题，他们已经有了一定的经验，所以，在第三题列竖式时，有些同学就已经注意了。
生4：我觉得以后再遇到这样的计算就应该先看清楚数位，再列竖式。
生5：我发现从第二题的24人到第三题的17人，有7个同学从错误中获得经验，取得进步，我以后也要向他们学习。
师：同学们分析得非常深刻，三位数和两位数相加，因为位数不同，就容易出现数位不对齐的情况。因此当我们以后再遇到这样的计算，一定要注意——
生：（齐）个位和个位对齐，十位和十位对齐。
师：另外，正如生5所说，我们要向那7个同学学习，在错误中反思，在反思后进步!
[反思]
知识的形成过程包括知识的建构过程和知识的完善过程。在实际操作中，很多教师能够想方设法让学生亲身经历知识的建构过程，而对于知识的完善过程却没有给予充分的重视，从而造成了一些本来可以及时避免的错误。例如，上例中的“数位不对齐”的问题，尽管许多教师在教学中对这个易错点反复强调，然而事实却是学生并没有因为教师反复强调而使错误率降低。笔者认为，主要原因就是教师没有帮助学生亲身经历知识的完善过程。从知识获得的方向上分析，“反复强调”是教师强加给学生的，它的作用只能像“胶水”一样把注意点多次粘在学生原有的认知结构上，刚粘时会暂时生效，但是却不知道哪一天就会自然脱落。因此，我们不妨让学生进一步亲身经历知识的完善过程，这样形成的认识对于他们来说才是根深蒂固的。所以，我在教学时，没有事先指出计算时需要注意的问题，也没有指望事后反复强调，而是借助一个并非“多此一举”的统计过程，让学生比较四个似乎“纯属偶然”的数据，让学生在数据面前，真正体会到“数位不对齐”会造成计算错误。发生错误的原因不仅仅是不细心，更深层的原因可能是书写习惯与三位数和两位数相加的算式特点两者的冲突。这样教学，学生会感受到“数位不对齐”的错误是一不小心就容易出现的，那么在主观上就更应该引起足够的重视。有了这样真切的体验，在以后的练习中，学生就会自我提醒，从而提高自觉检查的意识和能力，并逐步获得“从错误中反思”的习惯和能力。
真诚天下 - 2008-4-6 20:53:00
小改动 大收获——“正比例的意义”教学与反思
［第一次教学］
一、 准备
复习有关路程与时间、总价与数量、工作时间与工作总量之间的数量关系。
二、 新授
1. 学习例1。（一辆汽车行驶的时间和路程如下表，让学生先填表）
时间(小时)
1
2
3
4
5
6
7
8
……
路程(千米)
50
100
150
……
投影出示题目：（1） 表格中有哪两种相关联的量？
（2） 路程是怎样随着时间的变化而变化的？
（3） 对应的路程和时间的比的比值是多少？
学生逐题回答，教师启发引导。板书：路程/时间＝速度（一定）。
2. 学习例2。（一种圆珠笔的数量和总价情况）
教学过程与例1完全相同。
3. 揭示概念。
（1） 例1和例2中的数量有什么相同的地方？
（2） 教师说明“正比例”的概念及字母公式。
4. 尝试练习。
一台织布机的生产效率一定，织布的米数和时间是不是成正比例关系？为什么？
三、 巩固练习（略）
[反思]
整节课下来，教师的讲解清晰而简练，学生的听讲认真而专注。在课堂练习中，大部分学生能做出正确判断，但总觉得这样的教学过于顺畅了，在没有波澜的活动中，学生少了些深刻的思考和体验。带着这些疑惑，我又进行了第二次教学。
［第二次教学］
一、 自主探究
1. 教师出示例1、例2和上述尝试练习（补充表格）三则材料。提出探究建议：
（1） 每组选择喜欢的一则材料作为本组的研究对象。
（2） 每人围绕选定材料的上述三个问题，进行独立思考。
（3） 四人在小组内轮流完整地回答三个问题，相互评价。
（4） 选好一个同学作为本组所选材料的发言人。
2. 学生在小组里活动，教师巡视并指导。
二、 全班交流
1. 选若干小组作全班发言，相机请选择同一材料的小组进行补充发言。
2. 讨论：通过观察表格和回答问题，是否发现这三组材料有什么共同的特点？
板书： （1） 都是两种相关联的量；
（2） 都是一种量随着另一种量的扩大而扩大；
（3） 两种量的比值始终一定。
3. 揭示正比例的含义，并结合具体实例再次说明。
三、 巩固练习（略）
[反思]
第二次教学中，教师讲解的比重很少，讲解的内容体现了引领探究、适度点拨和激励评价，教师真正成为学生学习活动的参与者、合作者和指导者。相反，学生发言的比重明显增加，发言的内容不仅包括对具体数学问题的独立回答，更重要的是增加了对他人意见的合理补充和概念内涵的整体表达。师生行为比重的理性调整，为教学目标的有效达成提供了更大的可能性。
两次不同的教学，初看起来，即时效果没有多大差别。但在期末调研中却发现，第一次教学，学生判断正比例概念的正确率为56%，而第二次教学学生判断的正确率却达92%。为何会有这样的结果，围绕这一问题我进行了深入的思考。
1. 课堂流程的设计，延展了探究空间。
第一次教学，按照“复习铺垫、教学例1—教学例2—提示概念—尝试练习”的直线型流程展开。学生在学习中缺乏自主探究的机会，缺乏必需的个性体验，因而也无法真正自主建构正比例的意义。第二次教学，教师为学生设计了两大板块，第一板块是选择材料、主体解读的“初步体验”板块。在这一板块中，借助三则具体材料的依托，让学生经历自主选择、独立思考、小组交流和评价等数学活动，使学生充分积累了与正比例知识密切相关的原始信息和感性认识。第二板块是交流思维、形成认识的“概念生成”板块。在这一板块中，学生立足小组间的观点交流和思维共享，借助教师适时适度的点拨，自然生成了正比例的概念，并通过回馈具体材料的概念解释促进了理解的深入。这样的设计，流程板块少了，但探究空间却更为宽广了。
2. 数学材料的呈现，丰富了体验途径。
第一次教学，以时间与路程为变量的例1和以数量与总价为变量的例2，是支撑学生感悟正比例意义的两则数学材料。这两则材料从数量上分析偏少，呈现形式都是一模一样的静态出现，材料的使用方式也是雷同的，无法激发学生的参与热情。为了给学生的数学学习提供更为充足的材料，笔者改变了例1、例2和尝试练习的原有功能，把它们作为可供学生自主选择的三则数学材料进行整体呈现。这样教学的结果是：对于自己选定的数学材料，学生可以凭借个体独立解读、小组交流互评的渐进过程，充分深入地自主探究，在亲历和体验中达成学习目标。而对于其他两则未选的数学材料，学生则可以借助全班交流这一互动环节分享其他小组的学习成果，在倾听和欣赏中达成学习目标。这样的教学设计，使得学生的数学学习不再是面面俱到和点到为止，而是重点突破且走向深入的。
3. 学习方式的选择，促进了深度感悟。
“引导发现”的启发式教学是第一次教学的主要方式，“教师问、学生答”是课堂行为的显性表现。在这样的数学学习中，学生的全部信息来自教师的讲解，很少有机会去体会教师给予的信息，很少有机会去交流现场生成的想法，也很少有机会呈现真实的学习状态。第二次教学，教师让学生采取选择材料、自主探究、合作共享的学习方式，并注意对学生的学习进行适度的点拨，有利于促进学生的深度感悟。由于学习材料是自己选择的，因而学习过程便更多地体现自觉、自主、自我的主体意味。在自主探究的过程中，学生初步积累了丰富真切的原始体验。在与同伴交流时，学生在表达中巩固了自己的探究成果，同时又在倾听中分享了别人的学习收获、体会。可以说，虽然每个学生只重点研究了一则材料蕴含的规律，但却全面收获了三则材料所彰显的数学事实，这正是数学交流的魅力所在。在此基础上，借助教师恰当及时的教学点拨，自然实现了“数学事实”向“数学概念”的提升。
真诚天下 - 2008-4-6 20:53:00
引导与组织——有效课堂不可丢失的“法宝”
前不久，我参与了一节教学观摩课的研讨全过程。教学内容是苏教版课程标准数学实验教材五年级（下册）“公倍数”。教材安排了两道例题。例1首先安排了用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米和8厘米的正方形的操作活动，并通过讨论“可以正好铺满哪个正方形”，引导学生具体感知公倍数的含义。再通过在小组里交流“这样的长方形纸片还能铺满边长是多少厘米的正方形”，逐步拓展已有的认识，丰富对公倍数的感知。在此基础上，结合具体实例描述公倍数的含义。例2首先提出：“6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数是几？”让学生独立思考，自主探索解决问题的方法。教材提供了两种方法，突出用列举的方法寻找公倍数：一种是先分别列举6和9的倍数，再找出公倍数；另一种是先找出9的倍数，再从9的倍数中找6的倍数。最后介绍用集合图表示6和9的倍数和公倍数。
备课时，教师们对于例1的争论最多，有两种意见：一种认为五年级的学生已经具备相当的理解能力，对于公倍数的理解应该没有什么困难，是不是有必要通过铺一铺的操作活动引出公倍数？这样做，是不是太浪费时间？另一种认为这是苏教版课程标准数学实验教材的一个特点，通过具体直观的情境，能够让学生充分感知公倍数的含义，而且也更能突出数学的应用价值。争论一番后大家决定：先尊重教材，如果在实际教学中没有取得预期的效果就另行设计。对于例2，大家担心是否能出现如教材出示的两种情况，如果不出现，如何处理？
[第一次试教]
1. 教学例1。
教师出示长3厘米、宽2厘米的长方形以及边长分别为6厘米和8厘米的两个正方形。
师：用这个长方形去铺这两个正方形，猜一猜，能够正好铺满哪个正方形？
生：边长是6厘米的正方形。
师：能说说你的理由吗？
生1：因为6 × 6 = 36（平方厘米），2 × 3 = 6（平方厘米），36 ÷ 6 = 6（个）。
（教师指定多个学生回答，却没有一个学生能够从正方形的边长6厘米与长方形的长3厘米、宽2厘米之间存在倍数关系的角度去阐述能正好铺满的理由。）
于是教师请学生两人合作铺，而后组织交流。
师：为什么铺边长6厘米的正好铺满？铺边长8厘米的不正好铺满？
生1：8 × 8 = 64平方厘米，64 ÷ 6有余数。
生2：64不是6的倍数。
（由于教师没有及时引导，学生还是从“大面积除以小面积”的角度去思考，显然，这不利于学生理解公倍数的意义。最后，教师好不容易把学生的思维拉到从“倍数”的角度去思考，可是花费了很多时间。）
……
2. 教学例2。
教师出示：6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数是几？
学生各自练习。
生1：6和9的公倍数有18、36、72、144……
师：你是用什么方法找的？
生1：先找到18，然后翻倍。
教师予以肯定，然后继续请学生回答。
生2：先找9的倍数：9、18、27、36、45、54……在这里再找6的倍数。它们的公倍数就是18、36、54……
生3：先找6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54……再从中找出9的倍数。它们的公倍数就是18、36、54……
（例题教学进行顺利，学生对于找6和9的公倍数好像没有什么困难。可是，当进入练习时，我发现坐在我周围的学生存在很大的问题。有的学生能够找到，但找不全，如找50以内4和6的公倍数，他们只找到12、24、48。这是什么原因？课堂上一一列举的方法也呈现了，学生到底是怎么啦？后经询问，原来受了生1那种方法的影响。因此，其他学生后来交流的列举方法就没有受到应有的重视。）
下课铃响了，学生对公倍数含义的理解以及找公倍数方法的掌握并不到位。再看教学各环节的时间分布，公倍数含义的理解花了近20分钟，找公倍数以及最小公倍数的理解花了10分钟，练习用了10分钟。似乎公倍数含义的理解用的时间过多，而找公倍数以及最小公倍数用的时间不足。
尽管教学的效果不理想，但是大家都注意到，这并非是教材的原因，而是教师引导不力，组织不当造成的。如，例1让学生猜一猜后不必马上让他们说理由，否则出现试教中的那种情况就比较难“收场”。另外，当学生自行探索寻找公倍数后，不能随意地让学生回答，而应组织有层次的反馈，等等。经过“失败”的尝试，大家又一起研究如何引导学生思考以及如何组织教学这两大问题上。
[第二次试教]
1. 教学例1。
屏幕出示长3厘米、宽2厘米的长方形以及边长分别为6厘米、8厘米的两个正方形。
师：请大家猜一猜，用这个长方形去铺，哪个正方形能够正好铺满？
生：边长是6厘米的那个。
师：没有其他意见吗？（学生摇头）那我们一起来铺一铺，看大家的猜想是否正确？
学生动手操作了起来，纷纷表示和猜想的结果一致。
屏幕出示：
师：每行正好铺了几个？（2个）为什么？（因为6是3的2倍）正好铺了这样的几行？（3行）又是什么原因呢？（6是2的3倍）
师：当6正好既是3的倍数，又是2的倍数的时候，就可以正好铺满。
屏幕出示：
师：边长是8厘米的正方形为什么不能正好铺满呢？
生：因为8虽然是2的倍数，但不是3的倍数，所以不能正好铺满。
师：请你们找一找，这样的长方形纸片还能正好铺满边长是多少厘米的正方形？
学生小组讨论，而后逐一报出：12厘米、18厘米、24厘米……教师分别板书，并分别让学生说出理由。
师：这些数有什么相同的特点？
生：这些数既是3的倍数，又是2的倍数。
师：像6、12、18、24……既是2的倍数，又是3的倍数，它们就是2和3的公倍数。
……
（例1的教学自然流畅，用老师们的话说：教师教得轻松，学生学得轻松。这轻松自然的背后，不难发现是教师精心引导、恰当点拨的缘故。如学生动手铺后，教师提问：每行正好铺了几个？为什么？这个问题，将学生的思维直接引向倍数的角度去思考，就避免了出现与本课后续学习内容无关的回答。看似不经意的一个问题，起到了直奔主题、开门见山的作用。）
2. 教学例2。
学生自行寻找6和9的公倍数。
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