初中数学教材培训

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课程学习目标



1．通过实物和具体模型，了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，能识别一些基本几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）．初步了解立体图形与平面图形的概念．



2．能画出从不同方向看一些基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）以及它们的简单组合得到的平面图形；了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象相应的几何体，制作立体模型，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间观念和几何直觉．



3．进一步认识直线、射线、线段的概念和它们的联系与区别，掌握它们的表示方法；掌握关于直线和线段的基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短，了解这些性质在生活和生产实际中的应用；理解两点之间距离的意义；直观地了解平面上两条直线具有相交与不相交两种位置关系；会比较线段的大小，理解线段的和、差及线段的中点概念，会画一条线段等于已知线段．



4．通过丰富的实例，进一步认识角，理解角的两种描述方法，掌握角的表示方法；会比较角的大小，认识度、分、秒，并会进行简单的换算，会计算角度的和与差；了解角的平分线的概念，了解余角和补角的概念，知道“等角的补角相等”“等角的余角相等”的性质．



5．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．



6．初步认识图形是有效描述现实世界的重要工具，初步应用图形与几何的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，激发对学习图形与几何的兴趣，通过与其他同学的交流活动，初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识．



二、本章编写的主要特点



1．充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界。



人们生活其中的现实世界给图形与几何的教学提供了丰富的素材，学习图形与几何的知识也是为了更好地认识生活其中的现实世界，用数学的眼光认识世界，应用知识改造世界，认识学习几何知识的重要意义和应用价值，并形成数学学习的浓厚兴趣。



在本章的教学中，要注意利用教室教学环境和其他物体、几何模型教具，以及适当借助于现代信息技术展示丰富多彩的、与本章知识密切相关的影像素材等，让学生通过认真观察、想象、思考，加强对图形的直观认识和感受，从中抽象出几何图形，从而更好地掌握知识。在本章教科书的许多地方，如在章引言，概念的引入，点、线、面、体关系的研究，在关于直线和线段的基本事实的引入，以及练习、习题中都呈现了许多有关的素材，在教学中还可以根据教学实际情况作一些补充。



在本章教科书的许多地方，如第一节的开头，立体图形与平面图形的概念的引入，点、线、面、体关系的研究，直线、线段性质的引出，角的概念引入，以及练习、习题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形的兴趣。



2．强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识图形，发展空间观念。



数学教学应该重视培养学生形成良好的学习习惯和方式，在新的学习阶段开始时尤其要注意这个问题。本章是初中阶段图形与几何内容学习的开始，本阶段的一个重要教学目标是发展学生的空间观念，培养空间想象力。为了达到这样的教学目标，在本章的教学中，应该重视让学生多从事一些动手操作、观察、想象等学习活动，给学生提供一些现实的、有意义的、并有一定挑战性的学习材料，开展数学交流、活动，引导他们在做数学的活动中获得建立几何图形的知识和技能，丰富学生进行形象思维的思想材料，以利于空间观念和想象力的建立和提高。



在本章的教科书中，设置了许多“思考”“探究”等栏目，如从一些图案中发现平面图形，画出由9个正方体组成的立体图形从不同方向看得到的平面图形，探索一些常见几何体的展开图，通过观察思考生活中的现象得到关于直线、线段的性质，探索画一个角等于已知角的方法，等等。通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流。其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象。开始阶段，应鼓励学生先动手、后思考，逐步过渡到先思考、后动手验证。



3．重视几何语言的培养和训练



几何图形是“空间与图形”的研究对象，对它的一般描述表示是按“几何模型→图形→文字→符号”这种程序进行的。其中，图形是将几何模型第一次抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述、解释与讨论；符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象。显然，首先建立的是图形语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，就能基本把握对象了。



在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程。教科书首先强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形。其次，教科书重视图形语言的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言。例如，关于线段的比较、线段的和与差、线段的中点、角的比较、角的平分线等，都是先以图形直观给出，再联系到数量，给出文字的描述，最后再给出符号的表示，使几种几何语言优势互补，以期能收到更好的效果。



除了重视“几何模型→图形→文字→符号”的转化过程，教科书还重视“符号→文字→图形”的转化，即理解符号或文字所表达的图形关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”。本章注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，安排了一些这样的练习、习题，教学中要重视这些方面的训练，使学生较快适应，能够把几何图形与语句表示、符号书写很好的联系起来。



三、教学时应注意的问题



1．注意与前两个学段的衔接



这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中空间与图形的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别。



从课程标准看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识一些简单几何体和平面图形，能辨认从不同方向看到的物体的形状和相对位置，认识一些简单几何体的展开图，在对它们形状、大小、位置关系的探索过程中，发展空间观念；能区分直线、射线、线段的概念并体会它们的一些性质，结合生活情景认识角并知道周角、平角等概念。在这一章，要通过丰富的实例，认识一些常见的几何图形，进一步认识点、线、面、体，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉；进一步认识直线、射线、线段和角，理解它们的概念，了解有关的一些性质，并能初步应用。



了解这些联系与区别，教学时便可以在学生知识的基础上，把前面两个学段学过的内容螺旋上升的提高一步，同时避免完全的重复。



2．注重概念间的联系，在对比中加深理解。



本章是空间与图形的起始章，涉及的概念比较多，大多数概念，前两个学段又都接触过，实际上，许多概念之间都有着密切的联系和区别，把握了这些联系和区别，就能更好的理解这些概念。



例如，直线、射线、线段三个概念联系密切，它们都是直的，正是因为此，在以后讲平行、垂直时，定义了直线与直线平行、垂直后，就不再定义直线与射线、线段的平行、垂直了；同时它们之间又有区别，端点个数不同，因而长度有有限与无限之分。



研究线段的和、差、中点与研究角的和、差、角平分线，其内容方法都很相似，教学时把它们进行对比，效果会更好。例如，“点M是线段AB的中点”，可以写成AM=MB＝，在讲角平分线时，可以让学生仿照线段中点表示方法，写出OB是∠AOC的平分线的式子∠AOB=∠BOC=∠AOC，从而使学生更容易理解和掌握。



3．把握好教学要求



在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征，这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，还是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程．例如“通过实物和具体模型，了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，能识别一些基本几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）．初步了解立体图形与平面图形的概念”就是要求学生在实际背景中认识、理解这些概念，而不是通过形式化的描述让学生接受概念．以“点”概念为例，几何中的“点”是没有大小的，这是在作数学抽象后的概念，学生很难理解，教科书是通过天上的星星、地图上的城市和电视屏幕可以看作由点组成等来说明点的概念．



在本章开头，还通过从不同方向看立体图形和展开立体图形来介绍立体图形与平面图形的相互转化，对这部分内容，也要注意把握好教学要求．课程标准中“图形的投影”部分包括“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，会判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”，“了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作实物模型”，“通过实例了解视图与展开图(球除外)在现实生活中的应用”，“通过背景丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念”的内容．在本套教材的处理中，这些要求是要逐步达到的，这一章仅仅是个开头．在本章，没有给出严格的三视图的概念，只要求能从一组图形中辨认出是从什么方向看得到的图形，能说出从不同方向看一些最基本的几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）以及它们的简单组合所能得到的图形，对于语言难以表达的，可画出示意图，其形状正确即可，不作尺寸要求，而不是像机械制图那样要求有精确的图形．对于展开图的内容，是在前面学段学过的长方体、圆柱的展开图的基础上进一步认识圆锥和一些简单直棱柱的展开图，能从一些给出的图形辨认出它们能否折叠成给定的立体图形，引导学生从展开图入手来了解一些几何体的特征，有助于进一步理解平面图形与立体图形的关系，发展空间观念．



对于推理能力的培养，整套教科书是按照“简单说理”、“说理”、“推理”、“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的，推理能力的培养不仅在图形与几何的内容中，也结合各领域中其他内容自然地进行．在本章，由于已经进入第三学段，因此已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“简单说理”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续．直线和线段性质的应用、通过代数方程解计算问题、余角和补角的性质的得出等都有简单说理的成分．教学中要注意利用这里“简单说理”的因素，为后面逐步让学生养成言之有据的习惯做准备．



3．重视现代信息技术的应用



现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一。



在这一章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在大脑中形成图形空间变化的印象，帮助认识空间图形与平面图形的关系，帮助建立空间观念；可以帮助学生在动态变化的图形中寻找不变的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。因此，有条件的地方应尽可能的使用信息技术工具，帮助学生的数学学习。

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初中数学培训手册之八

七年级下册简介（新）





  
　　《义务教育课程标准实验教科书· 数学》七年级下册包括6章，约需61课时，供七年级下学期使用。具体内容如下：



第五章        相交线与平行线 （约14课时）  



主要内容：



1.平面内两条直线的位置关系；



2.平移变换及其基本性质。



第六章  平面直角坐标系（约7课时）



主要内容：



1.平面直角坐标系的有关概念；



2.坐标方法实际和数学中的简单应用。



第七章  三角形（约8课时）



主要内容：



1.与三角形有关的线段和有关的角；



2.多边形的有关概念及其内角和。



第八章  二元一次方程组（约11课时）



主要内容：



1. 二元一次方程组的有关概念；



2. 二元一次方程组的解法；



3．用二元一次方程组解决实际问题；



第九章  不等式与不等式组（约12课时）



主要内容：



1. 不等式的有关概念，不等式的基本性质；



2. 一元一次不等式（组）的解法；



3.用一元一次不等式（组）解决实际问题。



第十章        数据的收集、整理与描述（约9课时）



主要内容：



1.利用全面调查与抽样调查收集和整理数据；



2.利用直方图描述数据；



3.展现收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计调查的基本过程。



本册书的6章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“图形与几何”“实践与综合应用”三个领域，没有“统计与概率”的内容。其中对于“实践与综合应用”领域的内容，本册书在第七章和第十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了2～3个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“实践与综合应用”的要求。这6章大体上采用相近内容相对集中的方式安排，前三章基本属于“空间与图形”领域，接下来的两章基本属于“数与代数”领域，最后一章是“统计与概率”领域，这样安排有助于加强知识间的纵向联系。



一、内容分析



“第5章  相交线与平行线”



本章包括4节内容,前三节主要讨论平面内两条直线的位置关系,是原教材中传统的内容,第4节是新增加的有关平移变换的内容.



平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，这些内容学生在前两个学段已经有所接触，本章在学生已有知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，首先研究了相交的情形，探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角概念，得出了“对顶角相等”的结论；垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础，本章对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础。在本节最后，安排了一小节“5.3.1同位角、内错角、同旁内角”，主要介绍这三种角的概念，为下一节学习平行线的性质与判定作准备。



对于平面内两条直线平行的位置关系，教科书首先引入一个基本事实（平行公理），即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质，并给出了两条平行线的距离的概念。由于学生已经接触了一些命题，如“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行”“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”“对顶角相等”，因此本节最后教科书专门安排了一小节“5.3.2命题、定理”，介绍了命题及其基本构成，以及真命题、假命题的概念，并进一步结合所学命题，给出定理的概念，使学生初步接触有关形式逻辑概念和术语，为今后几何的学习作必要的准备。  



本章在最后一节安排了有关平移变换的内容。从《课程标准》看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等，通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具。本套教材在不同阶段安排了这些图形变换的内容。平移是一种基本的图形变换，也是本套教材中引进得第一个图形变换。在“平移”一节中，教科书首先给出几个美丽图案，分析这些图案的共同特点，发现每一个图案都可以由其中的一个图形经过平行移动得到，由此引出图形的平移；接着设置一个“探究”栏目，要求在一张半透明的纸上画出一排大小形状完全相同得雪人，教科书中给出了一种方法，就是把一张半透明的纸盖在雪人上，先画出一个雪人，然后按同一方向陆续移动这张纸，画出更多的雪人，这样就可以得到一排大小形状完全相同的雪人；接下去观察两个相邻的雪人，分析它们之间对应点连线的位置和长短关系，发现平移前后的“两个图形大小形状完全相同”“新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的”“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质，给出了平移变换的概念；并对平移变换进行拓展，即由各个方向的平移。最后学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。



　　教科书将“平移”安排在本章最后一节，一方面是考虑将其作为平行线的一个应用，另一方面考虑引入平移变换，可以尽早渗透图形变换的思想，使学生尽早接触利用平移分析和解决问题的方法。

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“第6章  平面直角坐标系”



提前安排平面直角坐标系是本套教科书体系安排上的一个特点。原教科书有关平面直角坐标系的内容只有2课时，放在初中三年级“函数”一章，作为学习函数的基础知识来安排的。这套教科书将“平面直角坐标系”单独设章，8个课时，放在7年级下学期学习，目的是让学生尽早接触坐标系这种数学工具，尽早感受数形结合的思想。



第六章的主要内容包括平面直角坐标系有关的概念和点与坐标（均为整数）的对应关系，以及用坐标表示地理位置和用坐标表示平移的内容。



教科书首先从实际中需要确定物体的位置（如电影院中座位的位置以及教室中学生座位的位置等）出发，引出有序数对的概念，指出利用有序数对可以确定物体的位置，由此联想到在平面内点的位置是否可以用有序数对来表示的问题，结合利用数轴确定直线上点的位置的方法，引出平面直角坐标系，学习平面直角坐标系的有关概念，如横轴、纵轴、原点、象限，建立点与坐标（整数）的一一对应关系等，然后再来看坐标系在确定地理位置和数学中的应用。



用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用。教科书首先设置一个观察栏目，让学生观察地图上是怎样利用坐标表示一个地点的地理位置的，从中得到启发，来学习建立坐标系，确定一个地点的地理位置的方法。教科书设置了一个探究栏目，要求学生画出一幅地图，标出学校和三位同学家的位置。要用坐标系表示地理位置，就要考虑如何建立坐标系的问题，首先是确定原点和坐标轴的正方向，教科书选用了以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立坐标系，并确定一定的比例尺，根据三位同学家的位置情况，在坐标系中标出了这些地点的位置。



　　用坐标表示平移，从数的角度刻画了第五章平移的内容，包括点或图形上下左右平移引起的点或图形顶点坐标的变化，以及点或图形顶点坐标的变化引起的点或图形的平移。教科书首先设置一个探究栏目，分析在平面直角坐标系中，将一个已知点向右或向左平移某个单位长度得到一个新点，这个点的坐标与平移前的点的坐标有什么关系，同样如果将这个点分别向上或向下平移某个单位长度得到新的点，这个点与平移前点的坐标有什么关系，通过分析平移前后点的坐标的变化，发现坐标的变化规律，比如将一个点向右平移某个单位长度，平移后得到的点的坐标是纵坐标不变，横坐标加上这个单位长度；对于图形的平移引起的图形上点的坐标得便化点的坐标的变化，教课书是在练习中给出的，让学生自己完成。从这个安排上可以看出，本套教材对于练习的一种新的考虑，有些练习是正文的一部分，是正文内容的延伸和拓展。接下去讨论了一个三角形顶点坐标的某种有规律变化，引起得三角形的平移。比如，将三角形三个顶点的横坐标都减去某个正数，纵坐标不变，得到三个新的点，连接这三个点，得到一个新的三角形，这个新三角形与原来的三角形在大小、形状和位置上有什么关系等，通过探究发现这两个三角形大小形状完全相同，只是位置不同，实际上是对三角形进行了平移。



通过本章学习学生将会在方格纸中建立平面直角坐标系，会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标；能建立适当的坐标系描述物体的位置，感受平面直角坐标系在解决实际问题中的作用；通过研究图形的平移与点的坐标的变化的关系，使学生看到平面直角坐标系为解决数学问题提供了一个强有力的工具。



“第7章  三角形”



三角形的内容与原教科书相比，在内容安排上有较大变化。原教科书采用集中处理的办法，就是在“三角形”一章中，把与三角形有关的一些概念，三角形全等，等腰三角形，直角三角形等放在一章集中学习。这套教科书采用分散处理的办法，就是将有关三角形的内容分散在不同章节，结合其他的内容来学习。本章是研究有关三角形内容的第一章，主要学习与三角形有关的线段和有关的角，在后面的几册书中将陆续学习三角形的其他内容，例如三角形全等单设一章学习，等腰三角形放在“轴对称”一章中学习，直角三角形放在“勾股定理”一章中学习等，这样的一种处理，加强了知识间的横向联系，发挥了图形变换在研究几何问题中的作用，比如等腰三角形是一种轴对称图形，利用轴对称变换就可以很容易地发现等腰三角形的一些性质，如等腰三角形底边中点到两腰的距离相等，底边的中线、高和顶角的角分线重合等性质都可以利用轴对称变换得到。



本章主要研究三角形的边、高、中线、角平分线，三角形的稳定性，三角形的内角、外角，多边形的有关概念及其内角和。



教科书在学生已有的对三角形认识的基础上，首先整理了与三角形有关的线段，给出它们的符号表示；按照边的关系对三角形进行分类；通过探究三角形三边的大小关系，得出了两边之和大于第三边的结论；并从实际问题出发研究三角形的稳定性和四边形的不稳定性；对于三角形的内角，学生已经知道“三角形的内角和等于180”的结论，本章主要是对这个结论进行简单推理。教科书通过探索把一个三角形的三个内角拼成一个平角的不同方法，找出说明三角形的内角和为180的思路，并对这个结论进行了简单推理，通过对三角形内角和等于180的简单论证，使学生进一步感受推理的作用；对于三角形的外角，通过探究得出了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”等结论。三角形是最常见的几何图形，也是最简单的一种多边形，在几何研究中，常常将多边形分割成三角形，利用三角形的性质来研究多边形的问题，本章就采用这种将多边形分割成三角形的方法来研究多边形的内角和，并探究得出了多边形的外角和等于360的结论。本章在最后一节安排了一个课题学习“镶嵌”，使学生综合利用所学有关多边形的知识解决实际问题。

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“第8章  二元一次方程组”



本章主要内容包括：二元一次方程组及其相关概念，二元一次方程组的解法，利用二元一次方程组分析与解决实际问题。其中，以方程组为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。



方程组也是解决具有相等关系的数学模型。本章的编写思路类似于七年级上册的“一元一次方程”，仅仅围绕着实际问题展开内容，分析实际问题中的数量关系并用二元一次方程组表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线；而对二元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在分析解决实际问题的过程中进行的。



本章首先提出一个与篮球联赛有关的实际问题，这是一个贯穿于全章始终的一个实际问题，解决这个问题可以用一元一次方程，也可以用二元一次方程组。教课书引导学生先用一元一次方程解决这个问题，然后再一步一步引导学生设两个未知数，分析问题中必须满足的两个等量关系列出二元一次方程组，由此引出二元一次方程和二元一次方程组的概念；接着讨论方程组的解，教科书结合实际问题情境讨论了满足其中一个二元一次方程的x和y的值，由此给出二元一次方程的解和一元一次方程组的解的概念。这样就将有关二元一次方程组的有关概念在分析解决实际问题的过程中给出了，使学生感受方程组是解决实际问题的有效工具。



接下去讨论二元一次方程组的解法。接着上一节的篮球联赛问题，将列出的二元一次方程组与解决本问题的一元一次方程相比较，发现两者之间的关系，找出将二元转化为一元的方法，来学习解方程组的代入消元法，然后教科书给出两个例子，一个是利用代入消元法解方程组，另外一个是实际问题，使学生在解决实际问题的过程中进一步熟悉代入消元法，并用框图的形式概括出代入消元法解方程组的一般过程，在框图中突出消元的思想。接下去教科书采用同样的方法讨论了加减消元法解方程组的问题，还是从这个二元一次方程组出发，找出利用加减消元法解方程组的方法，并结合一个具体解方程的例子和一个实际问题，进一步熟悉这种解法，并用框图的形式概括出加减消元法解方程的一般过程，突出消元的思想，这样就将讨论二元一次方程组解法的问题与解决实际问题紧密结合起来。



　　通过前面的学习，学生对二元一次方程组的概念和解法，以及利用二元一次方程组解决实际问题有了一定的认识，在此基础上，本章安排了一节“实际问题与而元一次方程组”，以“探究”的形式给出背景较复杂，数量关系较隐蔽的三个实际问题，估计养牛场的饲料问题、种植面积与产量问题以及交通运输问题等，通过设置若干个探究点，让学生探索这些实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题，在解决实际问题的过程中，继续熟悉解二元一次方程组的方法，进一步体会数学模型的思想。



　　消元是解线性方程组的主要方法，为了进一步让学生体会这种消元的思想，教科书在本章最后安排了一节“8.4 三元一次方程组的解法举例”，介绍如何利用消元的思想解三元一次方程组。本节内容也为今后高中学习二次函数等内容打下基础。



　　本章内容主要是方程组有关概念和解法，重点方程组的解法和列出方程组解决实际问题。本章内容的编写注重从实际问题出发，在分析解决实际问题中的过程中认识方程组的有关概念，学习方程组解法。这种安排可以突出列方程组解决实际问题的这个重点、分散难点，使学生有更多的机会接触列方程组，更好地体会方程组是解决实际问题的有效的数学模型。

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“第9章  不等式与不等式组”



本章主要内容包括：不等式的有关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的相关概念及其解法，利用一元一次不等式（组）分析与解决实际问题。其中，以一元一次不等式（组）为工具分析解决实际问题是全章的重点，同时也是难点。



本章的编写思路第8章“二元一次方程组有大致相同。类似于方程是解决具有相等关系的实际问题的数学模型一样，不等式（组）是解决具有不等关系的实际问题的数学模型。本章也都是从丰富的实际问题出发，在分析解决实际问题的过程中，认识不等式（组）（主要是一元一次不等式（组）），学习解一元一次不等式（组）的方法。这样的一种编排，就将利用一元一次不等式（组）分析解决实际问题贯穿于全章始终，突出重点，强调不等式（组）是解决实际问题的一种有效的数学模型。



本章首先从一个行程问题出发，通过分析问题中的不等关系列出不等式，由此引出不等式的概念，然后通过讨论满足不等式成立的x的取值，给出不等式的解集以及一元一次不等式的概念；接下去采用与等式的性质相类比的方式讨论了不等式的3条性质，这就为求出一元一次不等式的解集提供了依据；为了更好地体现不等式是解决实际问题的有效工具，教课书安排了一节“实际问题与一元一次不等式”，探讨了商场购物、空气质量、知识竞赛等情景中的一些具有不等关系的问题，利用一元一次不等式解决这些实际问题，这里列出的不等式比以前见过的复杂，有需要去括号的，有需要去分母的等，这样就结合实际问题，在分析解决实际问题的过程中进一步学习一元一次不等式（组）的解法，最后类比一元一次方程的解法，归纳出求一元一次不等式解集的基本过程。这样就将有关一元一次不等式的概念和解法融入到分析解决实际问题的过程中。二元一次不等式组也是采用了这种方式进行编排。



本章内容主要是不等式的概念和一元一次不等式的解法，教学重点是不等式（组）的解法和用一元一次不等式解决实际问题。通过本章学习，不仅使学生学会解一元一次不等式（组）的方法，更使学生体会不等式是解决实际问题的有效的数学模型。



“第10章  数据的收集、整理与描述”



本章是“统计与概率”领域的第一章，主要学习收集、整理和描述数据的常用方法。全章分为三节。



第一节是统计调查，主要介绍收集和整理数据的常用方法。



全面调查和抽样调查是统计调查的常用方法。教科书以调查人们对几种电视节目的喜爱情况为背景，设计了三个问题，通过统计调查这三个问题，介绍了全面调查和抽样调查。教材首先设置问题1，要求学生考察全班同学喜爱五种电视节目的情况。解决这个问题需要统计调查，首先是收集数据，由此引出利用调查问卷收集数据的方法；对于收集到的数据需要进行整理才能看出数据分布的规律，这就涉及如何整理数据的问题，教材介绍了利用频数分布表（教材没有给出频数分布的概念）整理数据的方法；为了更直观地看出全班同学喜爱五种电视节目的情况，教材选用了学生在小学已经学过的条形图和扇形图展示了数据的分布规律；最后通过分析统计图表就可以看出全班同学五种电视节目的情况。对于扇形图，学生在小学只能从扇形图中读出信息，不会画出扇形图来描述数据，在本节中，教科书结合问题1介绍了如何画出扇形图，这是本学段的一个教学要求。问题1的统计调查过程实际上让学生经历了一个收集、整理、描述和分析数据得出结论，即数据处理的一般过程。



用样本估计总体是统计的基本思想，抽样调查是实际中经常采用的一种调查方式。教科书沿用问题1的情景设计问题2和问题3，介绍如何利用抽样调查收集数据。在问题2中，调查全校学生对五种电视节目的喜爱情况，由于学生人数较多，采用全面调查的方式收集数据不太实际，抽样调查是一种经济、有效、省时省力的方法，这就使学生对抽样的必要性有所感受。结合着必要性的讨论，教科书给出了与抽样调查有关的概念和术语，如样本、总体、个体、样本容量等。为了使抽取的样本具有较好的代表性，教科书介绍了一种利用学号随机抽取样本的方法，这个抽样方法简单有效，便于学生理解样本的代表性。有了样本数据，就可以整理、描述和分析样本数据，通过分析样本数据来估计总体的情况。通过问题2的学习，学生对抽样调查的必要性和代表性，以及简单随机抽样等有所了解。



问题3是利用分层抽样获取样本，通过分析样本数据，利用样本估计总体的例子。使用分层抽样来获得样本，往往需要借助对调查问题的了解，比如对于问题3，抽样时就利用了对观众喜爱电视节目情况的了解，即不同年龄段存在差异，相同年龄段存在共性，并按照总体中三个年龄段的比例确定样本容量，这些将有利于学生理解用样本代表总体的合理性，这正是教科书选用这种抽样方法来获得样本的理由。对于抽出的样本数据，教材设计表格来整理数据，并用折线图来描述数据，最后通过分析统计图表得出有关样本的结论，并利用样本数据对总体进行推断，让学生经历了一个利用抽样调查处理数据、解决问题的全过程。



第二节学习利用直方图来描述数据。对于直方图，学生在前两个学段没有接触，这是本学段需要研究的新问题。教科书从学生熟悉的问题情景入手：从63名学生中选出40名参加广播体操比赛。选择参赛队员的一个要求是队员的身高应尽可能整齐。我们可以用不同的方法选出符合这个要求的队员，教科书介绍了利用频数分布确定人选的方法。分析数据的频数分布，首先是将数据分组，根据一组数据的最大值、最小值可以确定这组数据的极差，极差反映了数据的变化范围。参照极差，可以确定组距，进而可以将数据进行分组，利用频数分布表给出了身高数据的分布情况，分析频数分布表可以看出大部分学生的身高分布在哪个范围，由此可以确定参赛选手的身高。对于连续性数据（如身高），分组后可以用频数分布直方图来描述频数分布的情况，教科书介绍了根据频数分布表做出频数分布直方图的方法，以及根据频数分布直方图和频数分布表作出频数分布折线图的方法。这样教科书就结合一个实际问题介绍了如何利用直方图描述数据的方法。



本章最后一节安排了一个课题学习。完成这个课题，需要学生综合利用学过的统计知识和方法从事统计活动，经历收集、整理、描述和分析数据的基本过程。教科书选择了一个赋有实际意义和时代气息的问题……水资源问题为主题编写课题学习。这个课题学习由两部分组成，第一部分有三个活动，这三个活动涉及三个不同的方面。第一个活动要求学生阅读背景材料，从中收集数据，通过数据处理回答问题；第二个活动要求学生收集全班同学各个家庭人均月用水量，然后对所得数据进行处理并回答问题；第三个活动是在第一、二个活动的基础上设计的，要求学生讨论合理可行的节水方法。上面的三个活动是本课题学习的第一部分，第二部分是根据第一部分的活动撰写总结报告。

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二、本书编写特点



1．加强知识之间的相互联系



本册书的6章内容，基本上采用了相近内容相对集中的编排方式，但在各章具体内容的编写时特别注意了加强知识之间的相互联系。



由于平面直角坐标系的提前引入，加强了数与形之间的联系，可以将代数问题转化为几何问题，又可以几何问题转化为代数问题。比如在第6章“平面直角坐标系”中，安排了“用坐标表示平移”的内容，从数的角度刻画图形的平移变换，用坐标的变化表示了平移变换，这样就用代数的方法研究几何问题；在第8章“二元一次方程组”的“数学活动”中安排了一个利用二元一次方程组的图象估计它的解的内容，活动要求学生在平面直角坐标系中画出一些以二元一次方程的解为坐标的点，然后观察这些点的位置关系，发现它们位于一条直线上，反过来再讨论直线上任意一个点的坐标是否这个二元一次方程的解，由此得到二元一次方程的图像，在此基础上让学生画出一个二元一次方程组的图像，发现它们是两条相交的直线，并利用这个的交点坐标估计这个二元一次方程组的解，这样就用几何的方法研究代数的问题；



再比如，在第9章“不等式与不等式组”中用不等式的性质讨论了“三角形中两边之差小于第三边”、利用三角形三边的关系引出不等式组的有关概念。将三根木棒钉成一个三角形，如果其中两条木棒的长度是一定的，那么第三根木棒的长度不能太长，也不能太短，必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，由此列出两个不等式得到一个不等式组，引出有关不等式组的概念。再比如，在第9章“不等式与不等式组”安排了一个统计有关的“数学活动”中，这个数学活动是要调查居民家庭生活水平的问题。首先介绍了恩格尔系数，包括衡量居民家庭生活水平的恩格尔系数表以及恩格尔系数的计算公式，从中可以看出恩格尔系数越小，生活水平越高这样一些结论。在此基础上让学生完成下面的三个问题，完成这些问题，需要有关统计方面的知识，比如第一个问题“了解某一家庭每月的饮食开支和总支出，计算恩格尔系数，看看这个家庭达到什么生活水平。”这个问题首先需要学生收集数据，收集某个家庭每月的饮食开支和总支出，然后对于收集到的数据进行处理，在处理数据得过程中用到不等式的知识，加强了“数与代数”和“统计与概率”领域之间的联系。这个活动有一定的综合性和实践性，体现了“实践与综合应用”这个领域的要求。



2．体现知识的形成和应用过程，遵循学生的认知规律



　　（1）由实践—理论—实践的认识过程



　　密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题，也是本册书一个突出的特点。本册书各章内容均注意从实际问题出发，抽象出隐含在实际问题中的数学问题，通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题。

　　

　　例如编写“平面直角坐标系”时，改变了原教科书从数学的角度引出坐标系的做法，而是将本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置展开，从实际生活中确定物体的位置出发引出坐标系，通过对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，然后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题，让学生经历由实际问题抽象出数学问题，通过对数学问题的研究解决实际问题的过程。再比如，第8章“二元一次方程组”和第9章“不等式与不等式组”都是从丰富的实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，抽象出方程组或不等式这些数学问题，通过对数学问题的研究，再利用方程组或不等式这些数学工具解决实际问题，也就是经历了一个由实践—理论—实践的认识过程。



　　再比如，讨论三角形的稳定性，教科书首先从实际现象出发，盖房子的时候，在窗框没有安装好之前，木工师傅为什么要在窗框上斜着钉上一根木条，由这个问题引出讨论三角形和四边形是否具有稳定性的问题，通过学生的动手活动，就是用把三根木条钉成一个三角形木架，扭动它，看看它的形状式否发生改变，然后再用四根木条丁成一个四边形木架，扭动它，看看它的形状式否发生改变，最后再在这个四边形木架上斜着钉上一根木条，扭动它，看看它的形状式否发生改变，通过这样得探究活动，发现三角形的稳定性和四边形的不稳定性，然后再介绍三角形的稳定性以及四边形的不稳定性在生活中的应用，例如钢架桥、起重机和屋顶钢架都利用三角形进行加固，活动衣架和放缩尺利用了四边形的不稳定性。



另外，本册书安排了2个课题学习，这2个课题学习有一定的综合性和实践性，都强调让学生经历由实践到理论，再到实践的认识过程。比如，第7章“三角形”的课题学习“镶嵌”，教科书首先从实际生活经常看到地砖铺成的地面和瓷砖贴成的墙面出发，提出“这些砖与砖之间为什么能够严丝合缝，把地面或墙面全部覆盖”的问题。从数学角度看就是用不重叠摆放的多边形覆盖平面的问题，这样就由实际问题引出数学问题；接着展开对数学问题进行探讨，从数学的角度分析满足什么条件的一些多边形可以覆盖平面。教科书设计了一些动手活动让学生来探究这个数学问题，比如分别剪出一些大小相同的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形，如果用其中的一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成平面图案？如果用其中的两种正多边形镶嵌，情况怎样？任意剪出一些大小形状的三角形或四边形镶嵌，情况又会怎样等。通过学生观察、试验、讨论等探究活动，得出有关多边形覆盖平面的规律，使这个数学问题得到解决；然后根据这个规律设计镶嵌地板的平面图。这个课题学习使学生经历了从实际问题出发，抽象出数学问题，通过对数学问题的研究，利用所得结论解决实际问题的过程。



（2）由特殊到一般的认知规律



对一个问题，通过分析一些具体情况归纳得出一般结论，这是人认识事物的一般规律，本册书在内容处理上注意体现这种由特殊到一般的认知规律。例如对于多边形的内角和，改变了原教科书直接求n边形内角和的做法，而是从三角形内角和出发，通过学生测量、试验等探究活动，找出四边形的内角和以及求四边形内角和的方法，进而求出五边形、六边形的内角和等，在此基础上通过分析三角形、四边形、五边形、六边形内角和的表达式以及求内角和的方法，归纳得出n边形的内角和。这样处理，一方面符合学生的年龄特征，另一方面也符合人的认识规律。



再比如，对于不等式的性质也采用这种方式，教课书让学生用“<”或“>”填空，并总结其中的规律，通过几个具体运算发现规律，再用一些不同的数试试，看看这个规律是否仍然成立，在此基础上，归纳出等式的一条性质“不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变”。

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3．留给学生探索和交流的空间，培养探究能力和创新意识



　　强调学生通过“做数学”来学习数学是本册书的一个突出特点。对于数学中的概念、法则、性质、公式、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。例如，对于“空间与图形”领域的内容，与原教科书相比，本册书在内容处理上的一个显著变化是加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫。以“对顶角相等”为例，教科书首先设置一个“讨论”栏目，让学生度量两条相交直线所成的角的大小，通过学生的充分讨论，探究发现对顶角相等这个结论，然后再对这个结论进行了说理，这样就将实验几何与论证几何项结合。再比如，平行线的性质都采用了这种处理方式。



另外，本册教课书在各章最后都设计了2～3个有一定开放性和探究性的“数学活动”，一方面落实了《课程标准》中对于“实践与综合应用”这一领域的要求，另一方面也为学生提供了探索交流的空间。对于这些“数学活动”，学生可以根据具体情况有选择地进行，对同一个“数学活动”，学生可以采用小组合作或独立完成的方式，不同水平的学生可以达到不同层次的结果。例如第5章“相交线与平行线”的数学活动1“你有多少种画平行线的方法？”，学生通过讨论书中提供的三位同学画平行线的方法，结合本章所学内容和生活经验，不同的学生会得到不同的画平行线的方法。通过这样的“数学活动”培养学生的探究能力和创新意识。





4．强调数学思想方法



　　渗透与体现数学思想方法是本册书在编写时非常关注的一个问题。本册书突出体现了数学建模的思想、数形结合的思想、转化的思想、类比的方法以及统计的基本思想。



方程和不等式都是解决实际问题的数学模型，方程是解决具有相等关系的数学模型，不等式是解决具有不等关系的数学模型。第8章“二元一次方程组”改变了原教科书先集中讲概念和解法，最后讲应用的处理办法，而是从实际问题出发，将分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等列出方程组为主线展开内容，在分析解决实际问题的过程中讨论有关方程组的概念、解法等，这样的一种编写方式就使列方程组成为全章的重点，突出了方程组是解决实际问题的一种数学模型的思想。同样，第9章“不等式与不等式组”也将列出不等式（组）作为全章的重点，也是贯穿于全章的一条主线，突出了不等式（组）是解决实际问题中具有不等关系的一种数学模型的思想。



　　由于平面直角坐标系的提前引入，加强了数与形之间的联系，突出了数形结合的思想。例如我们用坐标的表示平移，从数的角度刻画平移变换，这就用代数的方法研究几何问题；借助于平面直角坐标系，就可以用二元一次方程组的图象求得方程组的近似解，从而用几何的方法研究代数问题，使学生看到平面直角坐标系成功地架起了数与形之间的桥梁，加强了数与形之间的联系。再比如，在第9章“不等式与不等式组”中，用数轴表示不等式（组）的解集，体现了数形结合的思想及集合的思想。



　　转化是数学中一种基本的也是非常重要的思想方法。对于转化的思想方法，本册书在编写时给予了充分重视，多处体现转化的思想。例如，在学习二元一次方程组的解法时，与原教科书相比，这套教材就特别强调了将二元化为一元的消元（转化）的思想。这不仅体现在以“消元”为节名，更体现在寻找二元一次方程组的解法的过程中。为了强调消元的思想，教科书正文中专门写了一段文字，说明在解二元一次方程组的过程中，如何将未知转化为已知，将二元转化为一元的消元的思想。另外，教科书还用框图的形式展示了解二元一次方程组的基本过程。这个框图改变了原教科书强调解二元一次方程组的步骤的做法，突出了消元的思想。



类比是提出问题和作出新发现的一个重要源泉。通过类比获得对数学的认识也是学习数学的一种有效方法。教科书多处体现类比的方法，例如，类比等式的性质得出不等式的性质，类比方程（组）的解法寻找不等式（组）的解法等。“二元一次方程组”与“不等式与不等式组”都是解决实际问题的数学模型，在研究问题的方法和思路上有很多相似的地方，教科书将两章安排在一起，是希望通过类比方程（组）研究问题的方法来研究不等式（组）的问题，使学生的学习形成正迁移。



在本册书“第10章数据的收集、整理与描述”的编写中，教科书强调利用统计案例介绍统计内容，让学生经历收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计过程，在经历这个统计调查的过程中，感受统计的思想，建立统计的观念，将学习的重点放在体验和感受统计的作用，帮助学生逐步建立用数据说话的习惯。