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沙发
楼主 |
发表于 2011-10-13 16:29:15
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“拉姆齐二染色定理”以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名,1930年他在论文On a Problem in Formal Logic(《形式逻辑上的一个问题》)证明了R(3,3)=6。拉姆齐数的定义拉姆齐数,用图论的语言有两种描述:对于所有的N顶图,包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数,记作R(k,l);在着色理论中是这样描述的:对于完全图Kn的任意一个2边着色(e1,e2),使得Kn[e1]中含有一个k阶子完全图,Kn[e2]含有一个l阶子完全图,则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。(注意:Ki按照图论的记法表示i阶完全图)拉姆齐证明,对与给定的正整数数k及l,R(k,l)的答案是唯一和有限的。拉姆齐数亦可推广到多于两个数:对于完全图Kn的每条边都任意涂上r种颜色之一,分别记为e1,e2,e3,...,er,在Kn中,必定有个颜色为e1的l1阶子完全图,或有个颜色为e2的l2阶子完全图……或有个颜色为er的lr阶子完全图。符合条件又最少的数n则记为R(l1,l2,l3,...,lr;r)。 拉姆齐数的数值或上下界已知的拉姆齐数非常少,保罗·艾狄胥曾以一个故事来描述寻找拉姆齐数的难度:“想像有队外星人军队在地球降落,要求取得R(5,5)的值,否则便会毁灭地球。在这个情况,我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。若它们要求的是R(6,6)的值,我们要尝试毁灭这班外星人了。”显而易见的公式: R(1,s)=1, R(2,s)=s, R(l1,l2,l3,...,lr;r)=R(l2,l1,l3,...,lr;r)=R(l3,l1,l2,...,lr;r)(将li的顺序改变并不改变拉姆齐的数值)。 r,s 3 4 5 6 7 8 9 103 6 9 14 18 23 28 36 40 – 434 9 18 25 35 – 41 49 – 61 56 – 84 73 – 115 92 – 1495 14 25 43 – 49 58 – 87 80 – 143 101 – 216 125 – 316 143 – 4426 18 35 – 41 58 – 87 102 – 165 113 – 298 127 – 495 169 – 780 179 – 11717 23 49 – 61 80 – 143 113 – 298 205 – 540 216 – 1031 233 – 1713 289 – 28268 28 56 – 84 101 – 216 127 – 495 216 – 1031 282 – 1870 317 – 3583 317 – 60909 36 73 – 115 125 – 316 169 – 780 233 – 1713 317 – 3583 565 – 6588 580 – 1267710 40 – 43 92 – 149 143 – 442 179 – 1171 289 – 2826 317 – 6090 580 – 12677 798 – 23556R(3,3,3)=17 R(3,3)等于6的证明证明:在一个K6的完全图内,每边涂上红或蓝色,必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。任意选取一个端点P,它有5条边和其他端点相连。根据鸽巢原理,3条边的颜色至少有两条相同,不失一般性设这种颜色是红色。在这3条边除了P以外的3个端点,它们互相连结的边有3条。若这3条边中任何一条是红色,这条边的两个端点和P相连的2边便组成一个红色三角形。若这3条边中任何一条都不是红色,它们必然是蓝色,因此,它们组成了一个蓝色三角形。而在K5内,不一定有一个红色的三角形或蓝色的三角形。每个端点和毗邻的两个端点的线是红色,和其余两个端点的连线是蓝色即可。这个定理的通俗版本就是友谊定理。 |
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