2007年梅州市初中毕业生学业考试数学试题及参考答案

咫尺天涯

下列公式供解题时参考： （1）扇形弧长公式：． （2）一组数据的方差公式：． 一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的，把所选答案的编号填写在题目后面的括号内． 1．观察下面图案，在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ） 2．下列事件中，必然事件是（ ） A．中秋节晚上能看到月亮               B．今天考试小明能得满分 C．早晨的太阳从东方升起               D．明天气温会升高 3．如图1，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处走到处这一过程中，他在地上的影子（ ） Ａ．逐渐变短 Ｂ．逐渐变长 Ｃ．先变短后变长 Ｄ．先变长后变短 ４．比较的大小，正确的是（　　） Ａ．            Ｂ． Ｃ．                     Ｄ． 5．圆心距为6的两圆相外切，则以这两个圆的半径为根的一元二次方程是（ ） A．           B． C．            D． 二、填空题：每小题3分，共30分．答案填在横线上． 6．计算． 7．如图2，在中，分别是的中点，若，则cm． 8．函数的自变量的取值范围是 ． 9．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ． 10．不等式组的解为 ． 11．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图3所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 千米． 12．小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ． 13．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则． 14．如图4，已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 个． 15．如图5，有一木质圆柱形笔筒的高为，底面半径为，现要围绕笔筒的表面由至（在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ． 三、解答下列各题：本题有10小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 16．本题满分6分． 计算：． 17．本题满分6分． 在市区内，我市乘坐出租车的价格（元）与路程（km）的函数关系图象如图6所示． （1）请你根据图象写出两条信息； （2）小明从学校出发乘坐出租车回家用了13元，求学校离小明家的路程． 18．本题满分6分． 计算：． 19．本题满分6分． 如图7，是平行四边形的对角线． （1）请按如下步骤在图7中完成作图（保留作图痕迹）： ①分别以为圆心，以大于长为半径画弧，弧在两侧的交点分别为； ②连结分别与交于点． （2）求证：． 20．本题满分7分． 甲、乙两位同学本学年11次数学单元测验成绩（整数）的统计如图8所示： （1）分别求他们的平均分； （2）请你从中挑选一人参加数学“学用杯”竞赛，并说明你挑选的理由． 21．本题满分7分． 如图9，点在以为直径的上，于，设． （1）求弦的长； （2）如果，求的最大值，并求出此时的值． 22．本题满分8分． 已知二次函数图象的顶点是，且过点． （1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象； （2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上． 23．本题满分8分． 如图11，中，，分别在上，沿对折，使点落在上的点处，且． （1）求的长； （2）判断四边形的形状，并证明你的结论． 24．本题满分10分． 梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）． （1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性． 25．本题满分11分． 如图12，直角梯形中，，动点从点出发，沿方向移动，动点从点出发，在边上移动．设点移动的路程为，点移动的路程为，线段平分梯形的周长． （1）求与的函数关系式，并求出的取值范围； （2）当时，求的值； （3）当不在边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由． 参考答案 一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中有一个是正确的，把所选答案的编号填写在题目后面的括号内． 1．C；   2．C；   3．C；   4．A；   5．B． 二、填空题：每小题3分，共30分．答案填在横线上． 6．    7．    8．     9．  10．    11．     12． 13．       14．       15． 三、解答下列各题：本题有10小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 16．本题满分6分 解：原式············· 4分             ．····················· 6分 17．本题满分6分 解：（1）在0到2km内都是5元；2km后，每增加0.625km加1元．······· 2分 （答案不唯一） （2）设射线的表达式为．依题意，得   解得：．得．········· 5分 将代入上式，得． 所以小明家离学校7km．············· 6分 18．本题满分6分． 解：原式············ 4分             ················ 5分             ．·················· 6分 19．本题满分6分． （1）作图如右·············· 2分 （2）证明：根据作图知，是的垂直平分线，··· 3分 所以，且． 因为是平行四边形，所以．··· 4分 所以．··············· 5分 所以．··················· 6分 20．本题满分7分． 解：（1）． ．··········· 4分 （2）应选甲同学参加比赛．因为甲超过平均分的次数比乙多，比乙更容易获得高分（也可以从众数等方面去说明）．······· 7分 （选乙时，分析图形直接得出或通过计算方差等说明乙的稳定性比甲好，也给满分） 21．解：（1）连结，········ 2分 所以，······ 3分 得．（也可以根据求解）·········· 4分 （2）由于，所以，·········· 5分 得，所以的最大值为25，此时．········ 7分 22．本题满分8分． 解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，······ 2分 又点在它的图象上，可得，解得．········ 3分 所求为．············ 4分 令，得 画出其图象如右．··············· 5分 （2）证明：若点在此二次函数的图象上， 则． 得．·············· 7分 方程的判别式：，该方程无解． 所以原结论成立．············· 8分 23．本题满分8分． 解：（1）因为，所以是直角三角形，， 又，所以··· 2分 由，得，·········· 3分 又，所以，所以，··········· 4分 所以，得．············· 5分 （2）四边形是菱形．············· 6分 证明：由（1）知，，所以是平行四边形，······· 7分 又，所以四边形是菱形．·············· 8分 24．本题满分10分． 解：（1）（分钟），， 不能在限定时间内到达考场．·········· 4分 （2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．····· 5分 先将4人用车送到考场所需时间为（分钟）．     0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为（km）····· 7分 设汽车返回后先步行的4人相遇， ，解得． 汽车由相遇点再去考场所需时间也是．········· 9分 所以用这一方案送这8人到考场共需． 所以这8个个能在截止进考场的时刻前赶到．··········· 10分 方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．··········· 6分 由处步行前考场需， 汽车从出发点到处需先步行的4人走了， 设汽车返回（h）后与先步行的4人相遇，则有，解得，········· 8分 所以相遇点与考场的距离为． 由相遇点坐车到考场需． 所以先步行的4人到考场的总时间为， 先坐车的4人到考场的总时间为， 他们同时到达，则有，解得． 将代入上式，可得他们赶到考场所需时间为（分钟）． ． 他们能在截止进考场的时刻前到达考场．············· 10分 其他方案没有计算说明可行性的不给分． 25．本题满分11分． 解：（1）过作于，则，可得， 所以梯形的周长为18．··········· 1分 平分的周长，所以，········· 2分 因为，所以， 所求关系式为：．········ 3分 （2）依题意，只能在边上，． ， 因为，所以，所以，得········· 4分 ，即， 解方程组   得．············ 6分 （3）梯形的面积为18．·········· 7分 当不在边上，则， （）当时，在边上，． 如果线段能平分梯形的面积，则有····· 8分 可得：解得（舍去）．······· 9分 （）当时，点在边上，此时． 如果线段能平分梯形的面积，则有， 可得此方程组无解． 所以当时，线段能平分梯形的面积．····· 11分