新人教版初中数学九年级下册28.2.2应用举例同步测试及答案word下载

水水水

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应用举例

第1课时　仰角、俯角与圆弧问题

1．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(　D　)
同学        甲        乙        丙        丁
放出风筝线长        140 m        100 m        95 m        90 m
线与地面夹角        30°        45°        45°        60°
A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
【解析】 设风筝的线长、风筝高分别为l，h，线与地面的夹角为α，所以h＝lsinα，代入计算，比较大小．
2．如图28－2－9，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体AB的高度为(　A　)
A．103米  B．10米  
C．203米  D.2033米
图28－2－9
3．如图28－2－10，在两建筑物正 中间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底G点为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(　A　)
A．20米  B．103米
C．153米  D．56米
图28－2－10
4．如图28－2－11，⊙O的半径为4 cm，PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，则AP＝__43__cm__．
图28－2－11
5．如图28－2－12，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝__73＋21__米( 结果可保留根号)．
图28－2－12
6．如图28－2－13，为测量江两岸码头B，D之间的距离，从山坡上高度为50米的点A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B，D之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．
图28－2－13
解：∵AE∥BC，∴∠ADC＝∠EAD＝45°.
又∵AC⊥CD，∴CD＝AC＝50.
∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠EAB＝15°.
又∵tan∠ABC＝ACBC，∴BC＝ACtan∠ABC≈185.2，
∴BD＝BC－CD≈185.2－50≈135(米)．
答 ：码头B，D之间的距离约为135米．
图28－2－14
7. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图28－2－14，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离(结果保留根号)
解：由题意得，∠ECA＝45°，∠FCB＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠CAD＝∠ECA＝45°，∠CBD＝∠FCB＝60°，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
在Rt△CDB中，tan∠CBD＝CDBD，
∴BD＝51tan 60°＝173米，
∵AD＝CD＝51米，
∴AB＝AD＋BD＝51＋173.
答：A，B之间的距离为(51＋173)米．
8．如图28－2－15，甲楼AB的高度 为123 m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度(结果精确到0.1 m，3取1.73)．
图2 8－2－15
第8题答图
解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°.
在Rt△ADE中，DE＝AB＝123，∠DAE＝30°，
∴AE＝3DE＝1233.
在Rt△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝1233，
∴CD＝CE＋DE＝123(3＋1)≈335.8(m)．
答：乙楼CD的高度为335.8 m.
图28－2－16
9. 如图28－2－16，小明为了测量小山顶上的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高。(精确到0.1米，3≈1.732)
解：∵ 在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°。
∴ ∠DBC ＝ 60°，∠EBC＝ 30°
∴ ∠DBE ＝ ∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝ 30°
又∵ ∠BCD＝90°
∴ ∠BDC ＝ 90°－∠DB C ＝ 90°－60°＝ 30°
即 ∠BDE ＝ 30°
∴ ∠BDE ＝∠DBE，BE＝DE.
设EC＝x，则BE＝2EC＝2x，BC＝BE2－EC2＝（2x）2－x2＝3x
DE＝BE＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x
又∵ 在A处测得塔尖D的仰角为45°，AB＝73.2
∴ △ACD为等腰直角三角形，即AC＝DC＝3x，BC＝AC－AB＝3x－73.2
∴ 3x＝3x－73.2，即1.732x＝3x－73.2，2.268x＝73.2，x≈32.3(米)
故塔高约为64.6米．
10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验(如图28－2－17)：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)；
(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
图28－2－17
解：(1)由题意得：在Rt△ADC中，
AD＝CDtan30°＝2133＝213≈36.33.
在Rt△BDC中，BD＝CDtan60°＝213＝73≈12.11，
所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．
(2)校车从A到B用时2秒，
所以该车速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)．
因为12.1×3 600＝43 560，
所以该车速度约为43.56千米/时，大于40千米/时，
所以此校车在AB路段超速．
图28－2－18
11. 如图28－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.
(1)求证：BD＝BF；
(2)若CF＝1，cosB＝35，求⊙O的半径．
解：(1)证明：连接OE.∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC.∴∠OEA＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝∠ACB，∴OE∥BC.∴∠OED＝∠F.
∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠F＝∠ODE，∴BD＝BF.
(2)设BC＝3x，则AB＝5x，又CF＝1，
∴BF＝3x＋1，
由(1)知BD＝BF，∴BD＝3x＋1，∴OE＝3x＋12，AO＝5x－3x＋12＝7x－12.
∵OE∥BF.∴∠AOE＝∠B，∴OEOA＝35，
即3x＋127x－12＝35，解之，得：x＝43.
∴⊙O的半径为3x＋12＝52.

第2课时　方位角与坡度问题

1．如图28－2－19，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为(　A　)
A.hsinα　 B.htanα 　C.hcosα 　D．h•sinα
【解析】 ∵sinα＝hl，∴l＝hsinα.
图28－2－19
图28－2－20
2.河堤横断面如图28－2－20所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(　A　)．
A．12米　　　　　　  B．43米
C．53米  D．63米
图28－2－21
3.如图28－2－21是某水库大坝横断面示意图．其中AB，CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是 50  m，则水库大坝的高度h是(　A　)
A. 253 m  B．25 m
C. 252 m  D. 5033 m
4．如图28－2－22，小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为__2003__米．
【解析】 过P作PD⊥AB于D，在Rt△APD中，
PD＝AD•tan30°，在Rt△BPD中，
PD＝BD•tan60°，
∴(400＋BD)×33＝BD×3，
∴BD＝200米，
∴PD＝3BD＝2003米．
图28－2－22
5．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶3，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为__75°__．§xx§
【解析】 设两个坡角分别为α、β，坝内斜坡的坡度i＝1∶3，即tanα＝13＝33，α＝30°；坝外斜坡的坡度i＝1∶1，即tanβ＝11＝1，β＝45°，α＋β＝30°＋45°＝75°.
图28－2－23
6．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图28－2－23位置时，AB＝3 m．已知木箱高BE＝3 m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
解：连结AE，在Rt△ABE中，已知AB＝3，BE＝3，
∴AE＝AB2＋BE2＝23
又∵tan∠EAB＝BEAB＝33，
∴∠EAB＝30°
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，
∴EF＝AE• sin∠EAF＝23×sin60°＝23×32＝3
答：木箱端点E距地面AC的高度是3  m.
图28－2－24
7．某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图28－2－24)．救生员甲 在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD＝40米，B处在C处的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，那么谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)．
【解析】 在直角△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙到达B处所 需的时间，比较二者之间的大小即可．
解 ：由题意得 ∠BCD＝55°，∠BDC＝90°，
∵tan∠BCD＝BDCD，
∴BD＝CD•tan∠ BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．
∵cos∠BCD＝CDBC，
∴BC＝CDcos∠BCD＝40cos55°≈70.2(米)．
∴t甲＝57.22＋10＝38.6(秒)，t乙＝70.22＝35.1(秒)．
∴t甲>t乙．
答：乙先到达B处．
8．如图28－2－25，学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比改为1∶3(即CD与BC的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
图28－2－25
【解析】 在Rt△ABC中，利用三角函数即可 求得BC，AC的长，然后在Rt△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝12AB＝6，BC＝AB•cos∠ABC＝12×32＝63.
∵斜坡BD的坡比是1∶3，
∴CD＝13BC＝23，∴AD＝AC－CD＝6－23.
答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－23)米．
9．如图28－2－26，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE∶ED，单位：m)
图28－2－26
【解析】 作BF⊥AD于点F，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在Rt△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长，进而即可求得AD的长．
解：如图所示，过点B作BF⊥AD于点F，可得矩形BCEF，
∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4.
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4，
由勾股定理可得AF＝AB2－BF2＝52－42＝3.
又∵在Rt△CED中，i＝CEED＝12，
∴ED＝2CE＝2×4＝8.
∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．
图28－2－27
10．如图28－2－27，C岛位于我国南海A港口北偏东60°方向，距A港口602海里处．我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°的方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？
解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝ 45°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝602×12＝302，∴BC＝CDsin 45°＝60，∴t＝60÷60＝1(h)
答：从B处到达C岛需要1小时．
图28－2－28
11．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理。如图28－2－28，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．(结果保留根号)
解：作BD⊥AC于点D，
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝ 30°，
在Rt△ABD中，
BD＝AB•sin∠BA D＝20×22＝102(海里)，
在Rt△BCD中，BC＝BDsin ∠BCD＝10212＝
202(海里)．
答：此时船C与船B的距离是202海里．
12．如图28－2－29，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加 固后背水坡EF的坡比i＝1∶3.
①求加固后坝底增加的宽度AF；(结果保留根号)
②求完成这项工程需要土石多少立方米？(3≈1.732)
图28－2－29
解：①过E作EM⊥BF于M，过D作DN⊥BF于N，则MN＝ DE＝2米，EM＝DN＝10米，
在Rt△AND中AN＝DNtan45°＝10米
∵i＝EMFM＝13，∴FM＝103米
∴AF＝FM＋MN—AN＝(103—8)米
②∵S梯形ADEF＝（DE＋AF）DN2＝(503—30)米2
∴完成这项工程需要土石为(503—30)×600≈
33 960米3.

水水水

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2020-3-28 20:34 上传

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