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北师大版初中数学九年级下册3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系1教案及反思word下载

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发表于 2020-4-28 20:44:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
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3.4  圆周角和圆心角的关系

第1课时 圆周角和圆心角的关系


1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用;(重点)
2.能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算.(难点)

一、情境导入
在下图中,当球员在B, D, E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,  ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?

二、合作探究
探究点:圆周角定理及其推论
【类型一】 利用圆周角定理求角的度数
  如图,已知CD是⊙O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA,若∠D的度数是50°,则∠C的度数是(  )
A.25°  B.30°  C.40°  D.50°

解析:∵OA∥DE,∠D=50°,∴∠AOD=50°.∵∠C=12∠AOD,∴∠C=12×50°=25°.故选A.
方法总结:解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数

  如图,在⊙O中,AB︵=AC︵,∠A=30°,则∠B=(  )
A.150°  B.75°
C.60°  D.15°
解析:因为AB︵=AC︵,根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B=∠C,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+2∠B=180°,又因为∠A=30°,所以30°+2∠B=180°,解得∠B=75°.故选B.
方法总结:解题的关键是掌握在同圆或等圆中,相等的两条弧所对的圆周角也相等.注意方程思想的应用.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合
  如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为点C,交⊙O于点D,E在⊙O上.
(1)∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若AC=7,CD=1,求⊙O的半径.

解析:(1)由OD⊥AB,根据垂径定理的推论可求得AD︵=BD︵,再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数;(2)首先设⊙O的半径为x,然后由勾股定理得到方程解答.
解:(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,∴AD︵=BD︵,∴∠DEB=12∠AOD=12×52°=26°;
(2)设⊙O的半径为x,则OC=OD-CD=x-1.∵OC2+AC2=OA2,∴(x-1)2+(7)2=x2,解得x=4,∴⊙O的半径为4.
方法总结:本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理.注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合
  如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D在弧AB上,连接CD交AB于点E,点B是CD︵的中点,求证:∠B=∠BEC.

解析:由点B是CD︵的中点,得∠BCE=∠BAC,即可得∠BEC=∠ACB,然后由等腰三角形的性质,证得结论.
证明:∵B是CD︵的中点,∴BC︵=BD︵,∴∠BCE=∠BAC.∵∠BEC=180°-∠B-∠BCE,∠ACB=180°-∠BAC-∠B,∴∠BEC=∠ACB.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.
方法总结:此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质.解答时一定要结合图形.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合
  如图,A、P、B、C是⊙O上四点,且∠APC=∠CPB=60°.连接AB、BC、AC.

(1)试判断△ABC的形状,并给予证明;
(2)求证:CP=BP+AP.
解析:(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状;(2)在PC上截取PD=AP,则△APD是等边三角形,然后证明△APB≌△ADC,证明BP=CD,即可证得.
(1)解:△ABC是等边三角形.证明如下:在⊙O中,∵∠BAC与∠CPB是BC︵所对的圆周角,∠ABC与∠APC是AC︵所对的圆周角,∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC.又∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形;
(2)证明:在PC上截取PD=AP,连接AD.又∵∠APC=60°,∴△APD是等边三角形,∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,∴∠ADC=∠APB.在△APB和△ADC中,∠APB=∠ADC,∠ABP=∠ACD,AP=AD,∴△APB≌△ADC(AAS),∴BP=CD.又∵PD=AP,∴CP=BP+AP.
方法总结:本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质,正确作出辅助线是解决问题的关键.
【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合
  如图,点E是BC︵的中点,点A在⊙O上,AE交BC于D.求证:BE2=AE•DE.

解析:点E是BC︵的中点,根据圆周角定理的推论可得∠BAE=∠CBE,可证得△BDE∽△ABE,然后由相似三角形的对应边成比例得结论.
证明:∵点E是BC︵的中点,即BE︵=CE︵,∴∠BAE=∠CBE.∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE•DE.
方法总结:圆周角定理的推论是和角有关系的定理,所以在圆中,解决相似三角形的问题常常考虑此定理.
三、板书设计
圆周角和圆心角的关系
1.圆周角的概念
2.圆周角定理
3.圆周角定理的推论

本节课的重点是圆周角与圆心角的关系,难点是应用所学知识灵活解题.在本节课的教学中,学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握,理解起来问题也不大,而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难,因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解.还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题,在教学过程中要对此予以足够的强调,借助多媒体加以突出.
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 楼主| 发表于 2020-4-28 20:51:14 | 显示全部楼层
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