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最新北师大版九年级数学下册3.9 弧长及扇形的面积教学设计及反思word下载

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发表于 2020-4-28 21:17:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
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文件预览:
3.9  弧长及扇形的面积


1.了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用;(重点)
2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长l=nπR180和扇形面积S扇=nπR2360的计算公式,并应用这些公式解决一些问题.(难点)
一、情境导入
如图是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径为100米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π 取3.14)?
我们容易看出这段铁轨是圆周长的14,所以铁轨的长度l≈2×3.14×1004=157(米). 如果圆心角是任意的角度,如何计算它所对的弧长呢?
二、合作探究
探究点一:弧长公式
【类型一】 求弧长
  如图,某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果,字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°,则“蘑菇罐头”字样的长度为(  )

A.π4cm  B.7π4cm   C.7π2cm   D.7πcm
解析:∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R=72cm,则“蘑菇罐头”字样的长=90π×72180 =7π4(cm).故选B.
方法总结:解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径,代入弧长公式进行计算.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 利用弧长公式求半径或圆心角
  (1)已知扇形的圆心角为45°,弧长等于π2,则该扇形的半径是________;
(2)如果一个扇形的半径是1,弧长是π3,那么此扇形的圆心角的大小为________.
解析:(1)若设扇形的半径为R,则根据题意,得45×π×R180=π2,解得R=2;(2)根据弧长公式得n×π×1180=π3,解得n=60,故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2;60°.
方法总结:逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题
【类型三】 圆的切线与弧长公式的综合
  如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)当BC=4,AB=8时,求劣弧AC的长.
解析:(1)连接BC,由AB是⊙O的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,可得∠ACB=90°,又由∠EAC=∠D,则可得AE是⊙O的切线;(2)首先连接OC,易得∠ABC=60°,则可得∠AOC=120°,由弧长公式,即可求得劣弧AC的长.
(1)证明:如图,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠BAC+∠ABC=90°.又∵∠EAC=∠D,∠B=∠D,∴∠BAC+∠CAE=90°,即BA⊥AE,∴AE是⊙O的切线;
(2)解:如图,连接OC,∵△ABC是直角三角形,∴sin∠BAC=BCAB=48=12,∴∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,∴∠AOC=120°.∴劣弧AC的长=120•π×4180=8π3.
方法总结:此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识.注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
探究点二:扇形的面积公式
【类型一】 求扇形面积
  一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为________(结果保留π).
解析:把圆心角和半径代入扇形面积公式S=nπr2360=120×32π360=3π.故答案为3π.
方法总结:公式中涉及三个字母,只要知道其中两个,就可以求出第三个.扇形面积还有另外一种求法S=12lr,其中l是弧长,r是半径.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 求阴影部分的面积
  如图,扇形AOB中,半径OA=2,∠AOB=120°,C是AB︵的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分的面积是(  )
A.4π3-23
B.2π-23  
C.4π3-3
D.2π3-3
解析:连接OC,过O作OM⊥AC于M,∵∠AOB=120°,C为AB︵中点,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB=2,∴△AOC、△BOC是等边三角形,∴AC=BC=OA=2,AM=1,∴△AOC的边AC上的高OM=22-12=3,△BOC边BC上的高为3,∴阴影部分的面积是(60π×22360-12×2×3)×2=4π3-23.故选A.
方法总结:本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质,解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】 求不规则图形的面积
  如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为(  )
A.4π-2
B.2π-2
C.4π-4
D.2π-4
解析:连接AB,由题意得阴影部分面积=2(S扇形AOB-S△AOB)=2(90π×22360-12×2×2)=2π-4.故选D.
方法总结:关键是需要同学们仔细观察图形,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
三、板书设计
弧长及扇形的面积
1.弧长公式:l=nπR180
2.扇形的面积公式:S扇形=nπR2360=  lR

本节课的授课思路是:复习圆周长公式,推出弧长公式,由圆面积公式类比导出扇形面积公式.使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中,获取广泛的数学活动经验,进而促进自身的主动发展.
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 楼主| 发表于 2020-4-28 21:18:48 | 显示全部楼层
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