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山东省青岛市平度市北师大九年级上期中数学试卷含答案解析

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发表于 2020-10-6 21:08:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
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山东省青岛市平度市2016-2017学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)



一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)
1.下列说法正确的有(  )个.
①菱形的对角线相等;
②对角线互相垂直的四边形是菱形;
③有两个角是直角的四边形是矩形;
④正方形既是菱形又是矩形;
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分.
A.1        B.2        C.3        D.4
2.关于方程x2﹣2=0的理解错误的是(  )
A.这个方程是一元二次方程
B.方程的解是
C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式
D.这个方程可以用公式法求解
3.一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球,这a个球中只有2个红球,每次将球搅拌均匀后,任意摸出1个球记下颜色,再放回暗箱,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定在20%,那么可以估算a的值是(  )
A.15        B.10        C.4        D.3
4.关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根,则m的值是(  )
A.不存在        B.4        C.0        D.0或4
5.如图在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD:AF:AB=1:3:6,则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=(  )

A.1:8:27        B.1:4:9        C.1:8:36        D.1:9:36
6.如图,在菱形ABCD中,AB=13,对角线AC=10,若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(  )

A.8        B.         C.         D.
7.如图,ABCD是正方形,E是边CD上(除端点外)任意一点,AM⊥BE于点M,CN⊥BE于点N,下列结论一定成立的有(  )个.
①△ABM≌△BCN;
②△BCN≌△CEN;
③AM﹣CN=MN;
④M有可能是线段BE的中点.

A.1        B.2        C.3        D.4
8.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形相似.
乙:将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是(  )

A.两人都对        B.两人都不对        C.甲对、乙不对        D.甲不对,乙对

二、填空题(本题满分18分,共有6道小题,每小题3分)
9.若 = = = ,(a+c+e≠0),则 =  .
10.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数,则这个直角三角形的斜边长是  .
11.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3,绿色卡片两张,标号分别为1,2,若从五张卡片中任取两张,则两张卡片的标号之和小于4的概率为  .
12.方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根,则a的取值范围是  .
13.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1: ,点A的坐标为(0, ),则点E的坐标是  .

14.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=6,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M,N,连接CM,则CM的长为  .


三、作图题(本题满分10分,第一小题4分,第二小题6分)
15.(10分)已知△ABC,作△DEF,使之与△ABC相似,且 =4.要求:
(1)尺规作图,保留作图痕迹,不写作法.
(2)简要叙述作图依据.


四、解答题(本题共5小题,满分68分)
16.(16分)计算
(1)用两种不同方法解方程:x2﹣3﹣2x=0
(2)解方程:x2=2x;
(3)解方程:3+2x2﹣ x=0.
17.(12分)平度市某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况,数据如表(单位:人):
        参加美术社团        未参加美术社团
参加音乐社团        6        5
未参加音乐社团        4        20
(1)从该班任选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加音乐社团,又参加美术社团的6名同学中,有4名男同学A1、A2、A3、A4,两名女同学B1、B2,现从这4名男同学和两名女同学中个随机选取1人,求A1未被选中但B1被选中的概率.
18.(12分)已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AB、DC的中点,P、Q分别是DM、BN的中点.
(1)求证:DM=BN;
(2)四边形MPNQ是怎样的特殊四边形,请说明理由;
(3)矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形,请说明理由.

19.(12分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶,每千克成本80元,据销售人员调查发现,每月的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.
(1)求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式.
(2)若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元,试求该月茶叶的销售单价x为多少元.

20.(16分)已知:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=3cm,点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s;点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为 cm/s;若设运动的时间为t(s)(0<t<3),解答下列问题:
(1)如图①,连接PC,当t为何值时△APC∽△ACB,并说明理由;
(2)如图②,当点P,Q运动时,是否存在某一时刻t,使得点P在线段QC的垂直平分线上,请说明理由;
(3)如图③,当点P,Q运动时,线段BC上是否存在一点G,使得四边形PQGB为菱形?若存在,试求出BG长;若不存在请说明理由.




2016-2017学年山东省青岛市平度市九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)
1.下列说法正确的有(  )个.
①菱形的对角线相等;
②对角线互相垂直的四边形是菱形;
③有两个角是直角的四边形是矩形;
④正方形既是菱形又是矩形;
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分.
A.1        B.2        C.3        D.4
【考点】矩形的判定与性质;菱形的判定与性质.
【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答.
【解答】解:①菱形的对角线不一定相等,故错误;
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故错误;
③有三个角是直角的四边形是矩形,故错误;
④正方形既是菱形又是矩形,故正确;
⑤矩形的对角线相等,但不一定互相垂直平分,故错误;
故选:A.
【点评】本题考查了菱形和矩形的判定与性质.注意:正方形是一特殊的矩形,也是一特殊的菱形.

2.关于方程x2﹣2=0的理解错误的是(  )
A.这个方程是一元二次方程
B.方程的解是
C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式
D.这个方程可以用公式法求解
【考点】解一元二次方程-公式法;一元二次方程的一般形式;一元二次方程的解;解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可.
【解答】解:A、这个方程是一元二次方程,正确;
B、方程的解是x=± ,错误;
C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式,正确;
D、这个方程可以用公式法求解,正确;
故选:B.
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义和解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

3.一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球,这a个球中只有2个红球,每次将球搅拌均匀后,任意摸出1个球记下颜色,再放回暗箱,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定在20%,那么可以估算a的值是(  )
A.15        B.10        C.4        D.3
【考点】利用频率估计概率.
【分析】因为除了颜色其他完全相同的球,在摸的时候出现的机会是均等的,通过大量重复摸球实验后发现,摸到红球的可能性稳定在20%,可知红球占总球数大约就是20%,问题就转化成了一个数的20%是2,求这个数,用除法计算即可.
【解答】解:根据题意得:
2÷20%=10(个),
答:可以估算a的值是10;
故选B.
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,其中解题时首先通过实验得到事件的频率,然后利用频率估计概率即可解决问题.

4.关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根,则m的值是(  )
A.不存在        B.4        C.0        D.0或4
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程有两个相等的实数根即可得出关于m的一元二次方程,解方程即可得出m的值.
【解答】解:∵方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根,
∴△=m2﹣4m=0,
解得:m=0或m=4.
故选D.
【点评】本题考查了根的判别式,由方程有两个相等的实数根找出关于m的一元二次方程是解题的关键.

5.如图在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD:AF:AB=1:3:6,则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=(  )

A.1:8:27        B.1:4:9        C.1:8:36        D.1:9:36
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】由DE∥FG∥BC,可得△ADE∽△AFG∽△ABC,又由AD:AF:AB=1:3:6,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:9:36,然后设△ADE的面积是a,则△AFG和△ABC的面积分别是9a,36a,即可求两个梯形的面积,继而求得答案.
【解答】解:∵DE∥FG∥BC,
∴△ADE∽△AFG∽△ABC,
∴AD:AF:AB=1:3:6,
∴S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:9:36,
设△ADE的面积是a,则△AFG和△ABC的面积分别是9a,36a,
则S四边形DFGE=S△AFG﹣S△ADE=8a,S四边形FBCG=S△ABC﹣S△AFG=27a,
∴S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=1:8:27.
故选A.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方.

6.如图,在菱形ABCD中,AB=13,对角线AC=10,若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(  )

A.8        B.         C.         D.
【考点】菱形的性质.
【分析】连接对角线BD,根据勾股定理求对角线BD=24,由菱形的面积列式得:S菱形ABCD=BC•AE= AC•BD,代入计算可求AE的长.
【解答】解:连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA= AC= ×10=5,
∵AB=13=BC,
由勾股定瑆得:OB= = =12,
∴BD=2OB=24,
∵AE⊥BC,
∴S菱形ABCD=BC•AE= AC•BD,
13AE= ×10×24,
AE= ,
故选C.

【点评】本题考查了菱形的性质,熟练掌握菱形以下的性质是关键:①菱形的对角线互相平分且垂直,②菱形的四边相等,③菱形的面积=两条对角线积的一半=底边×高;根据面积法可以求菱形的边或高.

7.如图,ABCD是正方形,E是边CD上(除端点外)任意一点,AM⊥BE于点M,CN⊥BE于点N,下列结论一定成立的有(  )个.
①△ABM≌△BCN;
②△BCN≌△CEN;
③AM﹣CN=MN;
④M有可能是线段BE的中点.

A.1        B.2        C.3        D.4
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】①根据AAS可以证明△ABM≌△BCN,利用了同角的余角相等;
②根据两角对应相等,可以证明△BCN∽△CEN,因为斜边CE和BE不相等,所以一定不全等;
③根据①中听全等可以得结论;
④根据正方形的对角线垂直平分可知:当M是线段BE的中点时,E在点D处,而已知中E是边CD上(除端点外)任意一点,所以得出:M不可能是线段BE的中点.
【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABM+∠NBC=90°,
∵AM⊥BE于点M,CN⊥BE于点N,
∴∠AMB=∠BNC=90°,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠NBC=∠BAM,
∴△ABM≌△BCN;
故①正确;
②∵∠BCE=∠CNE=90°,∠CEN=∠CEB,
∵CE≠BE,
∴△BCN∽△CEN,
故②不正确;
③∵△ABM≌△BCN,
∴AM=BN,BM=CN,
∴MN=BN﹣BM=AM﹣CN,
故③正确;
④当M是线段BE的中点时,E在点D处,而已知中E是边CD上(除端点外)任意一点,
所以M不可能是线段BE的中点.
故④不正确;
所以正确的有:①③2个,
故选B.
【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定,正方形的性质较多,要熟练掌握:①正方形的四边相等,②正方形的四个角都是直角,③正方形的对角线垂直平分且平分一组对角等;在正方形判定两三角形全等时,经常运用同角的余角相等证明角相等,从而证明两三角形全等.

8.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形相似.
乙:将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是(  )

A.两人都对        B.两人都不对        C.甲对、乙不对        D.甲不对,乙对
【考点】相似图形.
【分析】利用位似图形的性质以及相似多边形的判定方法得出即可.
【解答】解:由题意可得新矩形边长为:7和10,
≠ ,
故两矩形不相似,
当新三角形的对应边间距离均为1时,则两三角形的对应边平行,且对应点连线相交于一点,故两三角形位似,即相似,
故选:D.
【点评】此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定,熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键.

二、填空题(本题满分18分,共有6道小题,每小题3分)
9.若 = = = ,(a+c+e≠0),则 = 2 .
【考点】比例的性质.
【分析】根据等比性质,反比性质,可得答案.
【解答】解:由 = = = ,得
= ,
由反比性质,得
=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了比例的性质,利用等比性质,反比性质是解题关键.

10.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数,则这个直角三角形的斜边长是 5 .
【考点】一元二次方程的应用;勾股定理.
【分析】首先设中间的数为x,表示出其余2个数,利用勾股定理求解即可.
【解答】解:设较小的边长为x.则最小的边长为(x﹣1),斜边长为(x+1),
(x﹣1)2+x2=(x+1)2,
解得x1=0,(不合题意,舍去)x2=4,
故斜边长为x+1=5.
故答案为:5.
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用,利用勾股定理得到三边的关系是解决本题的关键.

11.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3,绿色卡片两张,标号分别为1,2,若从五张卡片中任取两张,则两张卡片的标号之和小于4的概率为   .
【考点】列表法与树状图法.
【分析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况,用列举法求得有10种情况,其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,从而求得所求事件的概率.
【解答】解:从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:
红1红2,红1红3,红1绿1,红1绿2,红2红3,
红2绿1,红2绿2,红3绿1,红3绿2,绿1绿2.
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,
红1绿1,红1绿2,红2绿1,
故所求的概率为P= ;
故答案为: .
【点评】本题考查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,应用列举法来解题是这一部分的最主要思想,属于基础题.

12.方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根,则a的取值范围是 a< 且a≠0 .
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0,即可得出关于a的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.
【解答】解:∵方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根,
∴ ,
解得:a< 且a≠0.
【点评】本题考查了根的判别式,根据方程有两个不相等的实数根找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键.

13.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1: ,点A的坐标为(0, ),则点E的坐标是 (3,3) .

【考点】位似变换;坐标与图形性质;正方形的性质.
【分析】由题意可得OA:OD=1: ,又由点A的坐标为(0, ),即可求得OD的长,又由正方形的性质,即可求得E点的坐标.
【解答】解:∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1: ,
∴OA:OD=1: ,
∵点A的坐标为(0, ),
即OA= ,
∴OD=3,
∵四边形ODEF是正方形,
∴DE=OD=3.
∴E点的坐标为:(3,3).
故答案为:(3,3).
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单,注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键.

14.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=6,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M,N,连接CM,则CM的长为   .

【考点】矩形的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】由线段垂直平分线的性质求出AM=CM,在Rt△DMC中,由勾股定理得出DM2+DC2=CM2,得出方程(6﹣CM)2+32=CM2,求出CM即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°,AD=BC=6,AB=DC=3,
∵MN是AC的垂直平分线,
∴AM=CM,
∴DM=AD﹣AM=AD﹣CM=4﹣CM,
在Rt△DMC中,由勾股定理得:DM2+DC2=CM2,
(6﹣CM)2+32=CM2,
CE= ,
故答案为: .
【点评】本题考查了矩形性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,关键是能得出关于CM的方程.

三、作图题(本题满分10分,第一小题4分,第二小题6分)
15.(10分)(2016秋•平度市期中)已知△ABC,作△DEF,使之与△ABC相似,且 =4.要求:
(1)尺规作图,保留作图痕迹,不写作法.
(2)简要叙述作图依据.

【考点】作图—相似变换.
【分析】(1)利用相似三角形的性质得出:△DEF的边长与△ABC边长的关系进而得出答案;
(2)利用相似三角形的性质结合作三角形的方法得出答案.
【解答】解:(1)如图所示:△DEF即为所求;

(2)∵△DEF∽△ABC,且 =4,
∴ = = = ,
∴作AB,AC的垂直平分线,进而得出AB,AC的中点,即可得出ED,EF,DF的长.

【点评】此题主要考查了相似变换以及三角形的做法,正确得出△DEF边长变化规律是解题关键.

四、解答题(本题共5小题,满分68分)
16.(16分)(2016秋•平度市期中)计算
(1)用两种不同方法解方程:x2﹣3﹣2x=0
(2)解方程:x2=2x;
(3)解方程:3+2x2﹣ x=0.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)因式分解法和配方法求解可得;
(2)因式分解法求解可得;
(3)由根的判别式小于0可得答案.
【解答】解:(1)因式分解法:(x+1)(x﹣3)=0,
∴x+1=0或x﹣3=0,
解得:x=﹣1或x=3;
配方法:x2﹣2x=3,
x2﹣2x+1=3+1,即(x﹣1)2=4,
∴x﹣1=±2,
解得:x=﹣1或x=3;

(2)x2﹣2x=0,
x(x﹣2)=0,
∴x=0或x=2;

(3)∵a=2,b=﹣ ,c=3,
∴△= ﹣4×2×3<0,
∴原方程无实数根.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键.

17.(12分)(2016秋•平度市期中)平度市某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况,数据如表(单位:人):
        参加美术社团        未参加美术社团
参加音乐社团        6        5
未参加音乐社团        4        20
(1)从该班任选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加音乐社团,又参加美术社团的6名同学中,有4名男同学A1、A2、A3、A4,两名女同学B1、B2,现从这4名男同学和两名女同学中个随机选取1人,求A1未被选中但B1被选中的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)先判断出这是一个古典概型,所以求出基本事件总数,“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数,从而根据古典概型的概率计算公式计算即可;
(2)先求基本事件总数,即从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人,有多少中选法,这个可利用分步计数原理求解,再求出“A1不被选中,而B1被选中”事件包含的基本事件个数,这个容易求解,然后根据古典概型的概率公式计算即可.
【解答】解:(1)设“至少参加一个社团”为事件A;
从45名同学中任选一名有45种选法,∴基本事件数为45;
通过列表可知事件A的基本事件数为6+4+5=15;
这是一个古典概型,∴P(A)= = ;

(2)从4名男同学中任选一个有4种选法,从2名女同学中任选一名有2种选法;
从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人的选法有4×2=8,即基本事件总数为8;
设“A1未被选中,而B1被选中”为事件B,显然事件B包含的基本事件数为3;
这是一个古典概型,则P(B)= .
【点评】主要考查了事件的分类和概率的求法.用到的知识点为:可能发生,也可能不发生的事件叫做随机事件;概率=所求情况数与总情况数之比.

18.(12分)(2016秋•平度市期中)已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AB、DC的中点,P、Q分别是DM、BN的中点.
(1)求证:DM=BN;
(2)四边形MPNQ是怎样的特殊四边形,请说明理由;
(3)矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形,请说明理由.

【考点】四边形综合题.
【分析】(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用SAS判定△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是菱形,连接AN,有(1)可得到BM=DN,再有中点得到PM=NQ,再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,从而证明四边形MPNQ是平行四边形,利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ,进而证明四边形MQNP是菱形;
(3)利用对角线相等的菱形是正方形即可.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,
∵在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,
∴AM= AD,CN= BC,
∴AM=CN,
在△MAB和△NDC中,
∴△MBA≌△NDC(SAS);

(2)四边形MPNQ是菱形.
理由如下:连接AP,MN,
则四边形ABNM是矩形,
∵AN和BM互相平分,
则A,P,N在同一条直线上,
易证:△ABN≌△BAM,
∴AN=BM,
∵△MAB≌△NDC,
∴BM=DN,
∵P、Q分别是BM、DN的中点,
∴PM=NQ,
在△MQD和△NPB中, ,
∴△MQD≌△NPB(SAS).
∴四边形MPNQ是平行四边形,
∵M是AD中点,Q是DN中点,
∴MQ= AN,
∴MQ= BM,
∵MP= BM,
∴MP=MQ,
∴平行四边形MQNP是菱形;
(3)当AD=2AB时,四边形MQNP是正方形;
如图1,连接PQ,
∵PQ⊥MN.AD⊥MN,
∴PQ∥AD,
∵点P是BM的中点,
∴AD=2PQ,
∵AD=2AB,
∴PQ=AB,
∵MN=AB,
∴MN=PQ,
由(2)知,四边形MQNP是菱形;
∴菱形MQNP是正方形.


【点评】此题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质、正方形的性质,全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法,判断出四边形MQNP是菱形是解本题的关键,属于基础题目.

19.(12分)(2016秋•平度市期中)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶,每千克成本80元,据销售人员调查发现,每月的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.
(1)求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式.
(2)若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元,试求该月茶叶的销售单价x为多少元.

【考点】一元二次方程的应用;一次函数的应用.
【分析】(1)设函数解析式为y=kx+b,将(90,100),(100,80)代入y=kx+b即可;
(2)每千克利润乘以销售量即为总利润;根据某月获得的利润等于1350元,求出x的值即可.
【解答】解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b,
把(90,100),(100,80)代入y=kx+b得,

解得, ,
y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280.

(2)根据题意得:w=(x﹣80)(﹣2x+280)=﹣2x2+440x﹣22400=1350;
解得(x﹣110)2=225,
解得x1=95,x2=125.
答:销售单价为95元或125元.
【点评】本题一元二次方程及一次函数的应用,解题的关键是从实际问题中整理出函数和方程模型,难度不大.

20.(16分)(2016秋•平度市期中)已知:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=3cm,点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s;点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为 cm/s;若设运动的时间为t(s)(0<t<3),解答下列问题:
(1)如图①,连接PC,当t为何值时△APC∽△ACB,并说明理由;
(2)如图②,当点P,Q运动时,是否存在某一时刻t,使得点P在线段QC的垂直平分线上,请说明理由;
(3)如图③,当点P,Q运动时,线段BC上是否存在一点G,使得四边形PQGB为菱形?若存在,试求出BG长;若不存在请说明理由.

【考点】相似形综合题.
【分析】(1)先根据勾股定理求出AB,再用△APC∽△ACB,得出 ,即: ,求出时间;
(2)先用垂直平分线的性质得出QM=CM= CQ= (3 ﹣ t),然后用平行线分线段成比例建立方程求出结论;
(3)先由平行四边形的性质建立方程求出时间t,即求出PQ,PB,即可得到PQ≠PB判断出四边形PQGB不可能是菱形.
【解答】解:(1)在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=3cm,
∴AB=6,
由运动知,BP=2t,AQ= t,
∴AP=6﹣2t,
∵△APC∽△ACB,
∴ ,
∴ ,
∴t= ;
(2)存在,
理由:如图②,由运动知,BP=2t,AQ= t,
∴AP=6﹣2t,CQ=3 ﹣ t,
∵点P是CQ的垂直平分线上,
∴QM=CM= CQ= (3 ﹣ t),
∴AM=AQ+QM= t﹣ (3 ﹣ t)= (t﹣1)
过点P作PM⊥AC,
∵∠ACB=90°,
∴PM∥BC,
∴ ,
∴ ,
∴t= 或t= (舍),
∴t= .
(3)不存在,
理由:由运动知,BP=2t,AQ= t,
∴AP=6﹣2t,
假设线段BC上是存在一点G,使得四边形PQGB为平行四边形,
∴PQ∥BG,PQ=BG,
∴△APQ∽△ABC,
∴ ,
∴ ,
∴t= ,PQ= ,
∴BP=2t=3,
∴PQ≠BP,
∴平行四边形PQGB不可能是菱形.
即:线段BC上不存在一点G,使得四边形PQGB为菱形.

【点评】此题是相似形综合题,主要考查了勾股定理,线段的垂直平分线的性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,菱形的判定,解本题的关键是用方程的思想解决问题.
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 楼主| 发表于 2020-10-6 21:25:18 | 显示全部楼层
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