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《平面向量的实际背景及基本概念》 课堂实录

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发表于 2021-8-17 12:16:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
教学过程
(一)创设情境,归纳共性
结合PPT,展示三个情景:
1、与世界男子100米冠军博尔特“赛跑”;
2、老鼠由A向东北方向以每秒1米的速度逃窜,猫由B向正东方向以每秒5米的速度追赶.猫能抓到老鼠吗?为什么?
3、甲、乙两车分别以40千米/时、60千米/时的速度从同一地点出发:
(1)甲、乙两车都向东行驶,1小时后,它们相距多少千米?
(2)甲车向东、乙车向西,1小时后,它们相距多少千米?
两车同样的速度(大小)和时间,为什么前后两种情景,两车距离悬殊这么大?
教师追问:“你能再举出类似既有大小又有方向的量吗?”
接着再追问:“那你能举出只有大小没有方向的量吗?”
设计意图:
    1.通过以上三个实例,让学生充分感受“既有大小又有方向的量”是客观存在的,进而让学生发现并讲出现实生活中具有既有大小又有方向的量.
2.同时通过三个例子,主要侧重于学生对方向的感知,三个例子都是因为“方向”而影响结果.
3.教师的第一次追问在于激活学生已有的相关经验,进一步加深对既有大小又有方向的量的理解.
4.教师的再次追问在于形成区别、对比不同的量的必要性,反面渗透对向量的本质属性之一——“方向”的关注.

(二)抓住本质,抽象定义
    像刚才同学们提到的如:位移、速度、力等既有大小又有方向的量在生活中大量存在,类似于以前我们从一支笔、一本书、一张桌子、一个板凳……抽象出了只有大小的数量1,数学中对以上既有大小又有方向的量进行抽象,就形成了一种新的量——向量【板书:1.概念:  大小      方向】
教师随即强调:从向量的概念可以看出,它不同于我们之前学习研究的“数”.数只有大小,没有方向.而向量既有大小又有方向.
设计意图:反复强调方向的重要性,虽然不难被理解,但容易被忽略.

(三)合作探究,形象表示
我们研究数学知识,认识数学概念之后,为进一步研究的方便,通常要先表示它,向量也如此.结合已有的经验,你打算怎样形象的表示向量呢?(给予充分的时间思考)
设计意图:
1.当我们认识一个新事物后,自然会想到如何来表示它.在过渡语言中,渗透研究新事物的基本套路.
2.表示向量时,既要考虑大小,又要兼顾方向,这是一个难点,给予学生充分的时间,旨在期望学生自行突破.
预案:
  1.若学生通过充分的独立思考后,仍然没有解决之道,便鼓励同桌之间相互讨论.
2.若充分讨论之后,仍然没有办法,此时教师给予适时引导:物理学中,我们是如何形象的表示力(位移)的大小和方向的?……
3.在任何一个环节中,只要存在部分学生有了思路,便鼓励其到黑板上展示.
4.展示的结果时,学生如果不能一步到位,此时教师要适时引导.表示向量时,在合乎情理(既要考虑大小,又要兼顾方向)的前提下,如何让其表达更为简洁?发动全班同学的力量解决问题.此处坚持让学生亲自得出向量的表示方法以及表示的合理性.(借助于有向线段来表示向量)

    教师用准确的语言对向量的表示做准确的描述并加以强调:【板书:2.表示】刚才部分同学的想法和英国大科学家牛顿的想法不谋而合,牛顿是第一个用有向线段表示向量的人.这是向量的“形”的表示方式,为了更简洁的表达,我们也可用符号语言表示,有向线段有起点【板书:A】、终点【板书:B】、有箭头表示方向.就用 (在AB上面加上一个箭头,以区别于线段AB)来表示这个向量.【板书: 】注意,起点在前,终点在后.更简洁的,也可用 表示(同样在a的上面加上箭头),写成 .【板书: 】.其中,大小用 或者 表示【板书: 或 】,向量的大小也称为向量的长度或者模【板书:长度(模)】.
设计意图:
    1.作为对一个新事物的形象表示,教师有必要做准确的陈述,并加以强调.
2.结合学生的描述,在合乎情理之下,教师引导学生适时拓展,得到向量的多种合情合理的表示.
3.在教师引导下,理应有学生可以想到借助于有向线段来表示向量,教师借此机会进行表扬,称赞其想法与大数学家牛顿的想法不谋而合,赏识学生的同时,渗透数学史的知识.
教师追问:向量AB与向量BA是一回事儿吗?
设计意图:启发学生时刻注意向量的方向性,得到了向量的常见表示方法之后,通过类比线段的表示方法,结合向量的特殊性,从而加深对向量概念的进一步理解.
(四)认识特殊、辨析升华
现在我们会表示向量了,我们可以更直观的研究它,我们自然的可以想到先从(特殊)入手,那么,在向量这个大家庭中,你认为哪些向量特殊呢?
设计意图:能够表示向量之后,自然会想到对向量展开研究;研究新对象时,自然能想到先研究其中的特殊成员,教师的过渡语旨在进一步渗透研究数学新对象的基本套路.
预案:
   1.若学生不能回答出特殊的向量,教师激发学生思考研究实数的基本套路,启发学生用类比的思想、联系的观点来突破对向量的研究.
   2.若学生能够发现特殊的向量,不管是回答的零向量、单位向量或是平行向量……首先引导其归类,然后将学生的思维往“关注大小”的特殊去引导,最后追问:你为什么认为它比较特殊?
   得到零向量之后,教师追问:我们已经知道了长度为0的向量是零向量,那它的方向呢?
设计意图:旨在进一步引导学生抓住向量的重要且容易忽略的要素——方向,并在此再次渗透规定任意方向的合理性.且在此用类比的方法,自然可以突破单位向量的方向问题.
【板书:3.特殊向量   零向量 :   0(写在大小的下方);任意方向(写在方向的下方)】
                  【单位向量: 1(写在大小的下方).】
设计意图:起始课中必要的板书和规范的表达至关重要!
有了单位长度的刻画,我们才有度量向量大小的标准.请看图形——
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