关注数学现实 提升思维能力

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荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学的根源在于普通常识。对学生来说，数学知识并不都是“新知识”，他们在生活中已经有许多数学知识的体验。学校的数学学习正是他们生活中积累的有关数学现象、经验的总结与升华。每一个学生都从他们的现实世界出发，与教材内容发生交互作用，建构他们自己的数学知识。因此，在课堂教学中，我们要从学生的“数学现实”出发，提升学生的思维能力。

比如教学“搭配的规律”一课，教师通常会作如下教学设计：

1. 明确问题。小红有2件上衣和3条裤子，要配成一套衣服，共有多少种不同的搭配方法？

2. 独立探索。引导学生拿出衣服纸片动手摆一摆。教师巡视，了解学生解决问题的基本情况。

3. 展开交流。先在小组里交流搭配的方法。全班交流时，先展示无序搭配的方法，引导学生感受这样搭配容易重复和遗漏，再展示有序搭配的方法。

4. 抽象提升。假如没有实物图，你打算用什么方法解决问题？引导学生想出用抽象的图形表示上衣、裤子，并感受方法的简洁性。

5. 深度探究。引导学生思考如下问题：（1） 怎样选择才能做到既不重复又不遗漏？（2） 上衣的件数和裤子的条数，与搭配种数有什么关系？（3） 你能列式计算出有多少种搭配方法吗？（4）你能结合具体情境说一说算式表示的意思吗？在问题的讨论过程中完成对搭配方法的建构。

事实上，在日常生活中，学生已有一些搭配的经验，如穿什么上衣，配什么裤子。学生在操作过程中存在的不按顺序搭配，或按顺序搭配，都是学生已有的“数学现实”。正因为存在这些“数学现实”，教学中才需要安排学生小组合作学习。教师在留心观察学生操作情况的基础上，有意识地先让不按顺序搭配的学生操作演示，再让按顺序搭配的学生演示，并都认真地组织评议，其目的就在于让学生通过两种操作方法的比较，体会、感悟有顺序、有条理搭配的好处，从而改善自己思想深处的“数学现实”。

“数学现实”提供了寻找搭配规律的基础，却没有提供规律本身。要构造自己理解的规律，实现学习目标，关键是一种思想上的飞跃，即皮亚杰提出的“反省抽象”。自己做了实践性活动，然后脱身出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了些什么事情，把自己所做的过程置于被自己思考的地位上加以考虑，并从中归纳出结论。在本课例中，先让学生拿出衣服纸片动手摆一摆，根据实物图得出结论，思维具有很强的形象性，且更多依赖原有的“数学现实”。再让学生画简单的图形来代替实物图，撇开了具体的实物，思维属于初步的抽象水平，超越了原有的“数学现实”。最后从图形的连线中，发现“2个3、3个2”的数量关系，用数量关系式“上衣的件数×裤子的条数＝搭配方法的种数”刻画搭配的规律，思维处于抽象水平，是对原有“数学现实”的二度超越。在这个过程中，教师始终遵循学生的思维特点，以学生原有的“数学现实”为认知起点，引导学生在形象思维的基础上适度抽象，有效地培养了学生的思维能力。

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