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《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(一轮复习)教学设计

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发表于 2016-11-12 16:43:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(一轮复习)教学设计
一、考纲要求和复习建议:
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
本节主要题型有:三角函数式的化简与求值,这部分知识难度已较以前有所降低,既有选择、填空形式的题目,也有解答题,且多以解答题的形式出现,属于中等题,应适当控制其难度需同学们掌握,复习过程中应注意变用和逆用公式。
二、复习目标:
通过复习使同学们熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式,力争高考得分。
三、教学重、难点:
教学重点:熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式;
教学难点:两角和与差的正弦、余弦和正切公式的变用和逆用。
四、教学过程:
  1. 主要知识点:
(1).两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
cos(α∓β)=cosαcosβ±sinαsinβ;
tan(α±β)=tanα±tanβ/1∓tanαtanβ
(2).二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sinαcosα;
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan2α=2tanα/1-tan2α
2.主要题型:
  题型一、利用三角函数公式求值:
[例1] (1)(2015·课标卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(  )
A.-1/2  B. 2/5   C.-2/5     D.1/2
解:原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=1/2,故选D.
(2)若tan(α+β)=1/2,tanα=1/3,则tanβ=(  )
A.1/7  B.1/6   C.5/7    D.5/6
解:tanβ= tan[(α+β)- α]= tan(α+β)-tanα/1+tan(α+β). tanα=1/7
(3) 已知α∈(π/2,π),sinα=4/5.
①求sin(π/4+α)的值;②求cos(5π/6-2α)的值.
解:①∵α∈∈(π/2,π),sinα=4/5,
∴cosα=-3/5.∴sin(π/4+α)=√2/2(sinα+cosα)
=√2/2(4/5-3/5)=√2/10
②由①可知sin2α=2sinαcosα=-24/25,cos2α=-7/25
∴cos(5π/6-2α)=cos5π/6·cos2α+sin5π/6·sin2α
=-24+7√3/50.

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 楼主| 发表于 2016-11-12 16:44:02 | 显示全部楼层

小结:对于三角函数公式的直接运用,特别应注意角的取值范围对相应三角函数值符号的影响,如本例中的第(3)题,首先求出cosα的值,进而求得sin2α,cos2α的值. 
题型二、给角求值:
【例2】(1)化简sin15°cos9°-cos66°/sin15°sin9°+sin66°的结果是(  )
A.tan9°  B.-tan9°  C.tan15°    D.-tan15°
 解:sin15°cos9°-cos66°/sin15°sin9°+sin66°
=sin15°cos9°-sin24°/sin15°sin9°+cos24°
=-cos15°sin9°/cos15°cos9°
=-tan9°.
(2)sin15°+sin75°的值是________.
解:sin15°+sin75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)
=2sin45°cos30°=√6/2.
小结:对于给角求值问题,往往是非特殊角,此类问题的基本思路
(1)化为特殊角的三角函数值.
(2)化大角为小角,利用诱导公式,将代数式中的角尽可能化为锐角.
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.
(4)化代数式出现正、负相消的项求值.
题型三、给值求角
【例3】(1) 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=1/2,tanβ=-1/7,求2α-β的值.
解:∵tanα=tan[(α-β)+β]=
=tan(α-β)+tanβ/1-tan(α-β)tanβ=1/3>0,∴0<α<π/2,
又∵tan2α=2tanα/1-tan2α=3/4>0,∴0<2α<π/2.
∴tan(2α-β)=tan2α-tanβ/1+tan2αtanβ=1.
∵tanβ=-1/7<0,∴π/2<β<π,-π<2α-β<0,
∴2α-β=-3π/4.
(2)设α,β为钝角,且sinα=√5/5,cosβ=-3√10/10,则α+β的值为(  )
A.  3π/4 B.   5π/4  C.  7π/4   D.5π/4或7π/4
解:∵α,β为钝角,sinα=√5/5,cosβ=-3√10/10,
∴cosα=-2√5/5,sinβ=√10/10.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=√2/2>0.
又α+β∈(π,2π),∴α+β∈(3π/2,2π),
∴α+β=7π/4 .
小结:解决给值求角问题应遵循以下原则
(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,选正弦函数或余弦函数,且
①若角的范围是,选正、余弦皆可;
②若角的范围是(0,π),选余弦较好;
③若角的范围是,选正弦较好.
④解决给值求角时应优先求单一值
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