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新人教版九年级数学上册第22章二次函数教学设计

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发表于 2019-1-30 17:38:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
新人教版九年级数学上册第22章二次函数教学设计
22.1.1 二次函数
01  教学目标
1.结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

02  预习反馈
阅读教材P28~29,理解二次函数的意义及有关概念,完成下列内容.
1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a,b,c.
(1)下列函数中,不是二次函数的是(D)
A.y=1-2x2  B.y=(x-1)2-1
C.y=12(x+1)(x-1)  D.y=(x-2)2-x2
(2)二次函数y=x2+4x中,二次项系数是1,一次项系数是4,常数项是0.
【点拨】 判断二次函数要紧扣定义.
2.现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数,它们的表达式分别是y=ax+b(a,b是常数,a≠0)、y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).
如:一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解:S表=4πr2.

03  新课讲授
例1 (教材P28问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.
【解答】 每个球队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数是m=12n(n-1)=12n2-12n.

【跟踪训练1】 (22.1.1习题)某校九(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,试写出y与x之间的函数关系式y=12x2-12x,它是(填“是”或“不是”)二次函数.

例2 (教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
【解答】 这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2.

【跟踪训练2】 (22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品原价为18元,降价后的价格为y元,则y与x的函数关系式为(C)
A.y=36(1-x)               B.y=36(1+x)
C.y=18(1-x)2              D.y=18(1+x2)

例3 (教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12 cm,若从中挖去一个长为2x cm,宽为(x+1)cm的小矩形,剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式,并指出y是x的什么函数?
(2)当小矩形中x的值分别为2和4时,相应的剩余部分的面积是多少?
【解答】 (1)y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144.
∴y是x的二次函数.
(2)当x=2和4时,相应的y的值分别为132和104.
【点拨】 几何图形的面积一般需画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.
【跟踪训练3】 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,写出场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式.
解:S=a•(60-2a)2=-a2+30a.

04  巩固训练
1.下列方程是一元二次方程的是(A)
A.(5-a)2=2                    B.3x2+x-y2=0
C.y2=5-(2y-y3)               D.x-1x2+1=0
2.若y=(b-1)x2+3是二次函数,则b≠1.
3.有一个人患流感,经过两轮传染后共有y人患了流感,每轮传染中,平均一个人传染了x人,则y与x之间的函数关系式为y=x2+2x+1.
4.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x m,则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为y=-12x2+15x(不要求写出自变量x的取值范围).

5.已知函数y=(m+1)xm2-3m-2+(m-1)x(m是常数).m为何值时,它是二次函数?
解:m=4.
【点拨】 不要忽视m+1≠0.


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 楼主| 发表于 2019-1-30 17:38:37 | 显示全部楼层

05  课堂小结
1.二次函数的定义.
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中,a≠0,a,b,c为常数.
3.如何表示简单变量之间的二次函数关系?

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
01  教学目标
1.能够用描点法画函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解其性质.
2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数与形的结合与转化.

02  预习反馈
阅读教材P30~32,自学“例1”“思考”“探究”“归纳”,掌握用描点法画函数y=ax2图象的方法,理解其性质,完成下列内容.
1.一般地,当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小.
2.一般地,当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小.
3.从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
4.(1)抛物线y=2x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点;
(2)抛物线y=-3x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点;
(3)在抛物线y=2x2对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;
(4)在抛物线y=-3x2对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.

03  新课导入
回顾:一次函数的图象是一条直线.
思考:二次函数的图象是什么形状呢?还记得如何用描点法画一个函数的图象吗?
画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.
导入:你能画出二次函数y=x2的图象吗?
第一步:列表:

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
  第二步:描点,在平面直角坐标系中描出表中各点,如图1.
图1
   图2


第三步:连线,用平滑的曲线顺次连接各点,就得到二次函数y=x2的图象,如图2.
思考:观察函数y=x2的图象,它有什么特点?
总结:(1)二次函数的图象是一条曲线,它的开口向上,这条曲线叫做抛物线;
(2)抛物线y=x2的对称轴是y轴,抛物线与它的对称轴的交点是(0,0),它是图象的最低点,叫做抛物线的顶点;
(3)在对称轴的左侧,抛物线y=x2从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线y=x2从左到右上升.也就是说,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.

04  新课讲授
例1 (教材P30例1)在同一直角坐标系中,画出函数y=12x2,y=2x2的图象.
【解答】 分别列表,画出它们的图象,如图.

x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=12x2
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …

x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …

思考:函数y=12x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点?
总结:共同点是开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点;不同点是开口大小不同,x2的系数越大,抛物线的开口越小.

例2 (教材P30例1的变式)在同一直角坐标系中,画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点?
【解答】 画出图象如图.

思考:当a<0时,二次函数y=ax2的图象有什么特点?
【点拨】 可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律.

【跟踪训练1】 (1)函数y=-2x2的图象是抛物线,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口方向是向下;
(2)函数y=x2,y=12x2和y=-2x2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式.

解:根据抛物线y=ax2中a的值来判断,上面最外面的抛物线为y=12x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.
【点拨】 抛物线y=ax2,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下,|a|越大,开口越小.
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 楼主| 发表于 2019-1-30 17:38:40 | 显示全部楼层

例3 (补充例题)已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)当m为何值时,抛物线有最低点?求这个最低点;
(3)当x为何值时,y随x的增大而增大?当x为何值时,y随x的增大而减小?
【解答】 (1)由题意,得
m2+m-4=2,m+2≠0.解得m=2或m=-3,m≠-2.
∴当m=2或m=-3时,函数为二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,
∴m+2>0,即m>-2.∴m=2.
这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),
(3)当x>0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
【点拨】 也可结合图象来分析完成此题.

【跟踪训练2】 已知函数y=(m-1)xm2-2m+2+(m-2)x是二次函数,且开口向上.求m的值及二次函数的解析式,并回答y随x的变化规律.
解:由题意有m-1>0,m2-2m+2=2.
解得m=0(舍去),m=2.
所以二次函数的解析式为y=x2.
所以当x<0时,y随x的增大而减小,
当x>0时,y随x的增大而增大.

05  巩固训练
1.抛物线y=-13x2的开口向下,顶点坐标是(0,0),顶点是抛物线的最高(填“低”或“高”)点.

2.在同一直角坐标系中,抛物线y=13x2与抛物线y=-13x2的形状相同,开口方向相反,两条抛物线关于x轴对称.
3.当m=-2时,抛物线y=(m-1)xm2+m开口向下,对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
4.二次函数y=-6x2,当x1>x2>0时,y1与y2的大小关系是y1<y2.
5.一个二次函数,它的图象的顶点是原点,对称轴是y轴,且经过点(-1,14).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)画出这个二次函数的图象;
(3)根据图象指出,当x>0时,若x增大,y怎样变化?当x<0时,若x增大,y怎样变化?

解:(1)由题意,设二次函数解析式为y=ax2,
将(-1,14)代入,得y=14x2。
(2)画出这个二次函数的图象如图.
(3)当x>0时,y随x增大而增大;当x<0时,y随x增大而减小.

06  课堂小结
1.画二次函数y=ax2的图象时,应注意些什么?
2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的?

抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
顶点坐标 (0,0) (0,0)
对称轴 y轴 y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴的左侧,y随x的增大而减小
在对称轴的右侧,y随x的增大而增大 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大
在对称轴的右侧,y随x的增大而减小
开口大小 a越大,开口越小
a越大,开口越小
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