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标题: 特级教师和学生谈数学思考 [打印本页]

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:26
标题: 特级教师和学生谈数学思考

用比例法巧求面积

广东省佛冈县第一小学六（4）班邹熳如

指导老师：黄秀银

学习中常遇到一些求面积的几何题，但条件比较隐蔽，用常规思路解答，常常无从入手。如果从两种相关联的量之间的比例关系入手去分析问题，往往能帮助我们巧妙地解答。

例1：在三角形ABC中，AD垂直于BC，BE垂直于AC，如图1。AD=7厘米，BE=8厘米，AC＋BC=21厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？
[分析与解] 因为三角形的面积等于底乘高除以2，当三角形的面积一定时，底和高成反比例，从三角形ABC的面积＝BC×AD÷2＝AC×BE÷2可得到：BC×AD＝AC×BE，AC:BC＝AD:BE＝8:7；又从AC＋BC＝21（厘米）可得，AC＝21×

＝9.8（厘米），所以三角形ABC的面积是9.8×8÷2＝39.2（平方厘米）或BC＝21×

＝11.2（厘米），所以三角形ABC的面积是11.2×7÷2＝39.2（平方厘米）。

例2：在三角形ABC中，三角形CDE的面积是15平方分米，三角形BCE的面积是30平方分米，三角形ADF的面积是35平方分米，三角形ABF的面积是20平方分米，三角形AEF的面积是多少平方分米？
[分析与解] 因为三角形的面积除以底等于高的一半，所以当高一定时，面积与底成正比例；又因为三角形CDE底边DE上的高与三角形BCE底边BE上的高相同，所以，DE:BE＝S△CDE:S△BCE＝15:30＝1:2；同样道理可知，从DE:BE＝1:2得：S△AED:S△ABE＝1:2；S△AED:S△ABD＝1

1＋2)＝1:3。
设三角形AED的面积是x平方分米，则x

35＋20)＝1:3 解之得：x＝

，所以三角形AEF的面积是35－

＝

（平方分米）。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:26
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分析、归纳试商的方法

王家鹏

笔算除法中，如何试商，且商得又准又快是师生共同追求的目标。如何使学生巧商，是教师在教学中值得重视和钻研的地方。对学生学习了除数是多位数之后，我们有必要对试商的方法和类型加以总结，使学生在这方面形成一定的知识体系，从而在除法中达到巧商目的。下面就是我对除数是三位数试商的分析与总结。 （一）除数靠近整百数的除法 此类题我们要把除数看着整百数来除。

例如，1902÷197＝	1456÷202＝
想：197≈200	想：202≈200
200×9=1800	200×7=1400
确定试商9	确定试商7
做：	做：
因为：129＜197	因为：42＜202
所以：试商正确	所以：试商正确

（二）除数靠近□50除法
做此类题首先要加强学生对150、250、350……的倍数的口算训练，这是试商快而准的必要条件。其次在计算时要灵活的加以运用。

例如，765÷247＝	567÷152＝
想：247≈250	想：152≈150
250×3=750	150×3=450
确定试商3	确定试商3
做：	做：
因为：24＜247	因为：111＜152
所以：试商正确	所以：试商正确

（三）除数在□50与整百之间 由于除数是□16到□64的数有自身特点，如果我们仍然采取以上的方法，所的得的商有时会不够准确。我们可以取除数的最大值和最小值（整百），然后分别求出商，再求两商之和的平均值。这个平均值便是我们要求的商或非常接近所求的商。

例如，781÷136	1316÷261
想：　因为：781÷100商7	因为：1316÷200商6
781÷200商3	1316÷300商4
（7+3）÷2=5	（6+4）÷2=5
所以：试商5	所以：试商5

注：此种方法也应用与以上（二）的情况。 （四）在试商时如何减少试商的次数，是巧商的目的所在。 由于我们是采用求近似数方法，所以试商可能或大或小。这时教师要向学生讲解商为何会发生变化，并对变化加以分析、归纳。（1）

除数	四舍五入	变小了	商可能	变大了

（2）

除数	四舍五入	变大了	商可能	变小大了

以上分析目的让学生在做多位数除法时，能很快的把它进行归类，并找到与之相应方法。从而达到巧商，提高正确率和速度。当然要使学生能够商得又准又快，达到巧商的效果。除了掌握正确的方法之外，还要多练。俗话说“熟能生巧”，所以适当的练习是提高计算正确率和计算速度的必要条件。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:26
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水流速度与航行时间

王家鹏

一只海轮在静水中每小时可以航行50千米，现在相距4000千米的甲、乙两港间行驶，如果水流每小时5千米，往返一次（水流速不变）需要几小时？如果水流速度是每小时10千米、20千米呢？海轮顺水行驶的速度＝船速＋水速，逆水行驶的速度＝船速－水速。根据题意可知海轮往返的路程一样。 4000÷（50＋5）＋4000÷（50－5）＝

＝

（时）答：如果水流每小时5千米，往返一次需要

时。 4000÷（50＋10）＋4000÷（50－10）＝

＝

（时） 4000÷（50＋20）＋4000÷（50－20）＝

＝

（时）答：如果水流每小时5千米、10千米，往返一次分别需要

小时和

小时。证明结论：有以上条件时，水流速度越快，往返航行一次所需时间越多。假设船速每小时是A千米，水速是每小时是B（B＜A）千米，两地间的距离是S千米，往返一次航行的时间是t小时，对照上面的解答思路，可以得到如下的等式： t＝S÷(a＋b)＋S÷(a－b) ＝

＝

注意：

在

中，S（路程）和A（船速）都是定值，B（水速）越大，分母A2－B2的值就会越小，

的值（值返一次的航行时间）就会越大。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:27
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麻雀问题

苏联科学院教育动理研究所所长克鲁捷茨基，是一位著名的数学家，他在1963年出版的《中小学生数学能力心理学》中写有这样一道题。
“16只麻雀停在两棵树上。不久，2只麻雀飞离第二棵树，5只麻雀又从第一棵树上飞到第二棵树上，这时两棵树上的麻雀的只数相等。求两棵树上原来各有多少只麻雀？”
根据题意，可画线段图如下。

由于飞走了2只麻雀，所以现在两棵树上的麻雀一共有（16－2）只。而此时两棵树上的麻雀的只数相等，所以现在两棵树上各有（16－2）÷2只麻雀。于是可以得到：
第一棵树上原有麻雀：（16－2）÷2＋5＝12（只）。
第二棵树上原有麻雀：16－12＝4（只）。
答：第一棵树上原来有12只麻雀；第二棵树上原来有4只麻雀。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:27
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三只船运货

西方传入我国学校里的第一本算术教科书是美国人狄考文编的《笔算数学》，这本书中有这样一道题。

甲、乙、丙三艘船共运货9400箱，甲船比乙船多运300箱，丙船比乙船少运200箱。求三艘船各运多少箱货？

这道题如果思路不对的话，就很难抓住解题的关键。事实上，它代表着一类广泛的问题，其共同特点就是有两个或两个以上的未知量。

思考时，一般先假设几个未知量相等，或假定要求的一未知量是题里的某一已知量；然后按照题里的已知条件推算。所得结果常与题里对应的已知量不符，再加以调整，即可得到正确的答案。

因此，这道题就可以这样来思考：根据已知甲船比乙船多运30O箱，假设甲船同乙船运的一样多，那么甲船就要比原来少运300箱，结果三船运的总箱数就要减少300箱，变成（9400－300）箱。

又根据丙船比乙船少运200箱，假设丙船也同乙船运的一样多，那么丙船就要比原来多运200箱，结果三船总箱数就要增加200箱，变成（9400－300＋200）箱。

经过这样调整，三船运的总箱数为（9400－300＋200）。根据假设可知，这正好是乙船所运箱数的3倍，从而可求出动船运的箱数。

乙船运的箱数知道了，甲、丙两船运的箱数马上就可得到。

你能列式解出这道题吗？请你试一试。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:27
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计算方法与运算定律的联系

盛大启

同学们掌握了整数四则的计算方法，又学习了加法和乘法的几个运算定律后，你想过没有，已掌握的计算方法和这些运算定律之间有什么联系？
加法和乘法的运算定律是很重要的基础知识，它们不仅是加法、乘法的简便运算的重要依据，也是加法、乘法的口算和笔算的重要依据。理解运算定律和计算方法之间的联系，能帮助我们牢固地掌握这些基础知识。
我们知道，多位数乘法的计算方法是：先用乘数每一位上的数去乘被乘数，用乘数哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就要和那一位对齐，然后把几次乘得的数加起来。这个计算方法是根据乘法分配律得出的。
例如，342×23
      ＝342×（20＋3）
      ＝ 342×20＋342×3
      ＝684O＋1026
      ＝7866
写成竖式，就是：

两种算法的算理相同。
我们还知道，因数末尾有0和乘法的简便算法是：先把0前面的数相乘，最后看因数末尾一共有几个0，就在乘得数的末尾添写几个0。这个简便算法是根据乘法交换律和乘法结合律得出的。
例如，5800×60，应用乘法交换律和乘法结合律计算是：
5800×60
＝（58×100）×（6×10）
＝（58×6）×（100×10）
＝348×1000
＝348000
写成竖式，就是：

得数348000＝348×1000，其中348＝58×6，1000＝100×10。
两种算法的算理相同。
想一想：多位数加法的计算方法与加法交换律、结合律有什么联系？你能举例说明吗？
（本文作者盛大启为南京晓庄国际实验学校特级教师，苏教版小学数学教材主编）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:28
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谈谈乘、除法的简单估算

盛大启

估算是数学的一个重要内容。虽然目前它还只作为选学的内容，但它在日常生活中的应用已越来越广泛。学一点简单的估算知识，不仅可以提高我们的计算能力，还可以培养我们思维的灵活性。
目前在我们数学课本中安排的简单估算，主要是乘、除法的简单估算。内容包括：乘数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算；乘数是两位数的乘法估算与除数是两位数的除法估算。
乘数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算，既有相同的地方，也有不同的地方。
相同的地方是：都要用四舍五入法求出被乘数或被除数的近似数，再用这个近似数去乘以或除以一位数。
不同的地方是：求近似数时，乘数是一位数的乘法估算，只要把被乘数的最高位后面的尾数省略。除数是一位数的除法估算，则要分两种情况来处理：如果被除数的最高位上的数够除，就把最高位后面的尾数省略；如果被除数的最高位上的数比除数小，就把前两位后面的尾数省略。
这就是说，当被除数最高位上的数够除时，求被除数的近似数的方法与求被乘数的近似数的方法相同；当被除数最高位上的数比除数小时，求被除数的近似数的方法与求被乘数的近似数的方法不同。我们可以把它们的共同点和不同点整理成下表。

		求被乘数或被除数的近似数的方法	举例
用一位数乘		把最高位后面的尾数省略	3186×3≈9000 　↓ 3000
用一位数除	被除数最高位上的数够除		3186÷3≈1000 　↓ 3000
	被除数最高位上的数比除数小	把前两位后面的尾数省略	3186÷4≈800 　↓ 3200

乘数是两位数的乘法估算的方法与乘数是一位数的估算基本相同，所不同的是被乘数和乘数都要先取近似数，然后再用两个近似数相乘。例如，
3186×38≈120000
   ↓ ↓
3000  40
除数是两位数的除法估算的方法也与除数是一位数的估算基本相同，所不同的是被除数和除数都要先取近似数，然后再求两个近似数的商。除数都省略十位后面的尾数。被除数最高位上的数如果比除数十位上的数大，就把最高位后面的尾数省略；如果比除数十位上的数小，就把前两位后面的尾数省略。
例如，3186÷28≈100                   3186÷42≈80
         ↓ ↓                         ↓ ↓
      3000  40                         3200  40
（本文作者盛大启为南京晓庄国际实验学校特级教师，苏教版小学数学教材主编。）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:28
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

水流速度与航行时间

任雪三

我们知道，船艇顺水行驶的速度＝船速＋水速，逆水行驶的速度＝船速－水速。如果船艇在两地间往返一次，行驶的总时间是不是与水流的速度没有关系呢？先看下面的例子。
一只轮船在静水中每小时可以航行20千米，现在在相距200千米的甲、乙两港间行驶，如果水流每小时2千米，往返一次需要几小时？如果水流速度是每小时5千米、10千米呢？
200÷（20＋2）＋200÷（20－2）
＝

＋

＝20

（时）
答：如果水流每小时2千米，往返一次需要20

时。
200÷（20＋5）＋200÷（20－5）
＝

＋

＝21

（时）
200÷（20＋10）＋200÷（20－10）
＝

＋

＝26

（时）
答：如果水流每小时5千米、10千米，往返一次分别需要21

小时和26

小时。
这就是说，水流速度越快，往返航行一次所需时间越多。这是为什么呢？
假设船速每小时是a千米，水速是每小时是b（b＜a）千米，两地间的距离是S千米，往返一次航行的时间是t小时，对照上面的解答思路，可以得到如下的等式：
t＝S÷(a＋b)+S÷(a－b)
＝

＋

＝

容易看出，在

中，s（路程）和a（船速）都是定值，b（水速）越大，分母a2－b2的值就会越小，

的值（值返一次的航行时间）就会越大。这样，上面的结论得到证明。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:28
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应用题的解题方法

孙韵梅

解应用题是许多喜爱数学的同学的爱好，因为通过解答应用题可以提高自己的分析问题和解决问题的能力，同时能够从解题的过程中体验到一种自信和快乐。但是，也有的同学感到应用题很难学，有一种无从下手的感觉。其实，只要我们掌握了分析问题和解决问题的基本方法，你就会发现应用题不难学。下面介绍一些解答应用题的基本方法，你们可以在解题时试一试，看看灵不灵。
1．抓住“关键句”，将题目缩短，把数量间的关系从题中突出出来。
应用题是把条件（已知数量）、问题（未知数量）隐含在对一件事情的叙述中的，所以当我们看到题目时，往往不能很清晰地了解题中的数量间的关系，如果我们在理解题意的基础上，抓住关键句，对应用题进行“缩句”，把条件和问题从事情的情节中分离出来，就可以清楚地看出数量间的关系了。
例如，工程队修一条长24OO米的公路，前3天平均每天修200米，余下的要用5天修完，平均每天应修多少米？关健句是“余下的用5天修完，平均每天修多少米？”对应用题进行缩句，可以用文字叙述的形式，也可以用线段图的形式表示，上面的题我们用线段图表示。

从图上可以清楚地看出我们把2400米分成两段，即前3天修的为一段，余下为另一段，有了清晰的线段图，下一步就可以分析题目中的数量关系了。
2．从问题入手，分析数量关系，寻找解题途径。
应用题的问题就是我们解题的目标，以上题为例，问题是“余下的5天修完，平均每天修多少米？”要求余下的米数，就得从其他条件中找出“总长度（2400米）和已经修了的米数（200×3）”，还要找出“余下的用几天（5天）修完”。想到这里，你也就找到了解题的途径了。上面介绍的思路可以用下图表示。

3．列式解答。
有了上面的分析，同学们就可以顺藤摸瓜列式解答了。
①已修好的米数：200×3＝600（米）
②余下的米数： 2400－600＝1800（米）
③余下的平均每天修的米数：1800÷5＝360（米）
你们发现没有，我们分析数量关系时思考的方向正好与列式解题的方向是相反的。
4．验算。（略）
（本文作者孙韵梅是山东省青岛市南区实验小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:29
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怎样解选择题

曹培英

一般来说，选择题可供选择的答案比判断题更多，而且各种内容几乎都能以选择题的形式出现。所以选择题在练习或测验中出现得比较多，也比较灵活。常有同学面对选择题，感到无从下手，不知道该怎样去选择正确的答案。这里介绍几种比较常用的方法。
1．直接解答。
就是根据题目，先自己作出解答，再把你得到的答案与供选择的几个答案对照，从中确定哪个是正确的。
例1．选择正确的答案，在括号里填入字母。
（l）一个长方体长a米，宽b米，高h米。如果长、宽不变，高增加3米，那么体积比原来增加（）立方米。
A．3ab B．3abh C．（3＋h）ab D．48
（2）一根木料锯成4段要12分，照这样计算，锯成8段一共需要（）分。
A．12 B．24 C．28 D．48
想：（l）由题意，长方体的长、宽不变，则底面积仍是ab平方米，高增加3米，增加部分的体积是3ab立方米（如下图，单位：米）。所以应选A。

（2）一根木料锯成4段只要锯3次，锯成8段只要锯7次，由此可列出算式算出正确答案。

12÷（4－l）×（8－1）＝28（分）

所以应选C。
2．筛选排除。
就是逐一分析每个备选答案，排除不符合题意的答案，这样剩下的就是正确答案。
例2．选择正确答案，在括号里填上字母。
（l）下列分数中，不能化成有限小数的是（）。
A．

B．

C．

D．

（2）两个数互质，这两个数一定（）。
A．都是质数 B．一个是质数，一个是合数
C．无公约数 D．只有公约数1
想：（1）判断一个分数能否化成有限小数，当这个分数不是最简分数时，必须先约分成最简分数，再来检查分母的质因数，是否只含有2或5。由此逐一分析四个答案，

、

和

＝

都能化成有限小数，剩下

＝

不能化成有限小数，所以应选D。
（2）分析四个答案，C肯定是错的，因为任何两个自然数都有公约数。A和B是两个数互质可能出现的两种情况，除此之外还有两个数都是合数，或一个是1，另一个是其他自然数等情况。筛选结果排除了三个答案，只有D才是正确的。事实上互质数的意义就是公约数只有1的两个数。
3．代入检验。
就是把供选择的几个答案分别代入题目检验，符合题意的就是正确答案。
例3．选择正确答案，在括号里填上字母。
（l）在一个比例中，两个外项分别是4和5，一个内项是25，另一个内项是（）。
A．12.5 B．10 C．8 D．2
（2）把18:24的前项减少6，要使比值不变，后项应当（）。
A．减少6 B．增加6 C．减少 8D．不变
想：(1)本题可以用解比例的知识直接求出答案，也可以根据比例的基本性质把每个答案逐一代入。

4×5＝2.5×（）

经检验，8能使等式成立，所以应选C。
（2）本题直接推算出答案，思考难度较大。可以把各答案分别代入已知比中，通过化简检验哪个答案能使比值不变。如：（18－6）:（24－6）＝12:18＝

，而18:24＝

，答案A不合题意，请你自己把其他三个答案逐一代入检验，筛选出正确答案。
不难看出，这种方法也可以说是筛选排除，只不过是用上了代入检验的方法来筛选排除。
在实际解选择题时，不论采用哪种方法，都应当既注意分析题目，又注意看清答案。
练一练：
选择正确的答案，在括号里填上字母。
（l）对一批种子做发芽试验，第一次取200粒，有150粒发芽；第二次取50粒，全部发芽。这批种子的发芽率是（）。
A．50％ B．75％ C．80％ D．100％
（2）下面算式中得数大于

的是（）。
A．

B．

÷1

C．

÷1

D．

（3）一个分数的分子和分母都加上2，所得分数与原分数比较，（）。
A．原分数小 B．原分数大 C．大小相等 D．三种情况都有可能
答案：
（1）C；（2）D；（3）D。
（本文作者曹培英为上海市浦东新区教育学院特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-27 07:29
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怎样解判断题

曹培英

为了帮助同学们真正理解所学的数学知识，锻炼思维能力，老师常常会出一些判断题，让大家练习。测验时，也常有判断题。
判断题只有两种答案，对或者错，似乎很容易。但很多判断题看上去似是而非，常使一些同学感到捉摸不定。
例如，“正方体的底面积和表面积成正比例，对吗？”有的同学看到“底面积”和“表面积”，联想到积一定，两个量成反比例，于是认为这句话是错的。也有的同学联想到正方形的边长和面积，正方体的棱长和体积都不成比例，因此也认为这句话错了。其实，这两种猜测都误解了。
我们知道，判断两个量是否成正比例，要看这两个量的比值是否一定，而正方体是由6个面积相等的正方形围成的，因此
正方体的表面积：底面积＝6（一定）
这就可以判定上面那句话是对的。
可见，要正确解答判断题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。这里，举例说明几种比较常用的解答判断题的方法。
1．分析推理。
即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。
例1．判断正误，在（）里填上“√”或“×”。
（1）

（）
（2）一个长方体和一个圆锥体的底面积相等，高也相等，这个长方体的体积是圆锥体积的3倍。（　）
想：（1）根据循环小数循环节的简便记法可知

……

它们是不相等的。所以本题在括号里填“×”。
（2）由长方体、圆锥体的体积公式V＝sh与V＝

sh，可以看出，当长方体和圆锥体等底等高时，长方体的体积是圆锥体的3倍。所以本题在括号里填“√”。
2．计算求解。
即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。
例2．判断正误，在（）里填上“√”或“×”。
（1）2000年的上半年有181天。（）
（2）在没有余数的除法里，被除教÷除数÷商＝l。（）
想：（l）2000年是闰年，二月份有29天，上半年共　3l×3＋3O×2＋29＝182（天）
说明本题应在括号里填“×”。
（2）被除数÷除数＝商，商÷商＝1。说明本题应在括号里填“√”。
3．寻找反例。
即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。
例3．判断正误，在（）里填上“√”或“×”。
（1）a是整数，a的倒数是

。（）
（2）任何两个自然数相乘的积都是合数。（）
（3）等腰三角形的底角只能是锐角。（）
想：（1）因为整数包括O，而O是没有倒数的，所以本题括号内应填“×”。
（2）因为1也是自然数，l和任何质数相乘的积是质数，所以本题括号内应慎“×”。
（3）如果等腰三角形的底角不是锐角，那么不是直角就是钝角。但等腰三角形的两个底角相等，而一个三角形是不可能有两个直角或两个钝角的。（想一想，这是为什么？）所以本题括号内应填“√”。
4．假设验证。
有些判断题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。
例4．判断正误，在（）里填上“√”或“×”。
（1）如果甲数的20％与乙数的

相等，那么甲数小于乙数。（）
（2）a、b、c三个自然数，a÷b＝0.1，b是c的约数，那么a、b、c的最小公倍数是c。（）
想：（l）假设甲数是10，根据题意就能求出乙数是　
10×20％÷

＝8
10＞8，说明本题括号内应填“×”。
（2）假设a是1，由a÷b＝0.1，则b是10，再根据b是c的约数，假设c是20，那么20，10，l的最小公倍数是20。所以本题括号内应填“√”。
上面两题也可以不用假设法，直接根据题意分析推理，当然思考的难度更大。
在实际解答判断题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。
练一练：
判断正误，在（）里填上“√”或“×”。
（1）三个角都是6O°的三角形是等腰三角形。（）
（2）方程6x＋7＝67和4x＝40的解相同。（）
（3）在一个整数的末尾添上0，它的值都会扩大10倍。（）
（4）如果甲数比乙数多10％，那么动数比甲数少。（）
（5）一项工程，单独完成甲队要10天，乙队要15天。现在两队合做，x天完成，则

＋

＝1。（）
答案：
（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；（5）√。
（本文作者曹培英为上海市浦东新区教育学院特级教师）

作者: 行云流水 时间: 2008-5-27 21:39
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
方法巧妙，题目不容易中呀！

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:26
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

细致观察巧用特例

王飞

有些难题，看似高不可攀，但只要我们勇于探索，细致观察，假以特例，就能出奇制胜，顺利解决问题。
例1．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
这就是著名的百鸡问题。这道题的意思是：五个钱可买一只大公鸡，三个钱可买一只大母鸡，一个钱可买三只小鸡，今用1OO个钱，正好买了1OO只鸡。问其中大公鸡、大母鸡、小鸡各几只？
[分析与解］怎样用小学知识解答呢？我们细心观察题目发现：4只大公鸡和3只小鸡共值21个钱，而7只大母鸡也值21个钱。这就是说，每增加4只大公鸡和3只小鸡，同时减少7只大母鸡，不仅总只数保持不变，钱数也不变。
现在假定大公鸡买O只。此时原题就变成了我们容易解答的类似于“百僧分馍”的问题，即100个钱买100只鸡，母鸡一只3个钱，小鸡3只一个钱。问母鸡、小鸡各几只？
对这个特例的解答，可以这样思考：因为1只大母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱。把1只大母鸡和3个小鸡看作“一组”，那么这一组的4只鸡共值4个钱，1OO个钱正好可以买这样的100÷4＝25（组），也就是，用100个钱可以买25只大母鸡，3×25＝75（只）小鸡。
有了上面的观察结论和特例结果，我们可用增减法求得百钱买百鸡的各种情况如下：

公鸡 0 只	母鸡 25只	小鸡 75只
增4 4 只	减7 18只	增3 78只
增4 8 只	减7 11只	增3 81只
增4 12只	减7 4 只	增3 84只

即符合原题的解共有4组。
例2．甲、乙二人在周长为400米的正方形池塘的相邻的两个角上，甲在乙之前，乙按甲走的线路同时出发，甲每分钟走42米，乙每分钟走34米。甲、乙出发后经过多少时间才能走到池塘的同一条边上？
［分析与解］先作示意图如下：

甲在B点，乙在A点，这就是两人初始状态。现在甲、乙二人按箭头所示方向同时运动，经过多长时间才能走到池塘的同一条边上。这是一道追击距离不明确的追击问题。我们不妨从特例出发：甲、乙能走到池塘的同一条边上，正好是一条边的两个端点。这样就有了确定的追击目标。即甲追乙2OO米。根据追击公式得：
2OO÷（42－34）＝25（分）。
经过25分甲乙两人是否真走到了池塘的同一条边上呢？只有把甲乙两人放在图中观察，方可知晓。事实上，经过25分甲走的距离是：42×25＝1050（米），乙走的距离是：34×25＝85O（米）。此刻甲的位置是1050÷400＝2（周）……25O（米），甲在AD边的中点；
乙的位置是85O÷400＝2（周）……5O（米），乙在AB的中点。如示意图，我们不难观察发现：
甲只要再走5O米即可使两人在同一条边上。从而要求的问题迎刃而解。即25＋5O÷42＝26

（分）。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:26
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

解答分数乘除法应用题的小窍门

钱守旺

分数应用题是小学数学第十一册的重要内容，刚开始学习时，有些同学觉得有困难，特别是将分数乘除法应用题混合练习时，往往分不清到底该选用哪种方法。为了帮助同学们学好这部分知识，下面钱老师教你们两个“小窃门”。
1．如果你喜欢用算术和方程两种方法，那就请你记住下面的歌诀：
先抓分率句，
再定单位“1”，
写出关系式，
解法自分明。
请同学们看下面的例子。
（1）水彩画有50幅，蜡笔画比水彩画多

，蜡笔画有多少幅？
（2）蜡笔画有80幅，蜡笔画比水彩画多

，水彩画有多少幅？
先抓分率句“蜡笔画比水彩画多

”，根据这句话可知，两题都是把水彩画的数量看作单位“1”。由此我们可以写出下面的关系式：
水彩画的数量×（1＋

）＝蜡笔画的数量
再将两题中的已知量标在关系式下：
水彩画的数量×（1＋

）＝蜡笔画的数量
50
水彩画的数量×（1＋

）＝蜡笔画的数量
80
很明显，第（1）题单位“1”已知，也就是求50的（1＋

）是多少。列式为50×（1＋

）。
第（2）题单位“1”未知，可设为x，再根据关系式列方程解答。即x×（l＋

）＝80。
2．如果你都想用算术方法解，那就请你记住下面的歌诀。
先抓分率句，
再定单位“1”
分清乘或除，
量率要对应。
说的更具体一点就是下面的规律。
（1）单位“1”已知，用乘法计算。
方法：单位“1×所求量的对应分率＝所求量
（2）单位“l”未知，用除法计算。
方法：已知量÷已知量的对应分率＝单位“l”
运用上面的规律时，同学们要记住：做乘法，要抓住问句，求什么，就用单位“l”乘以它所对应的分率。做除法，要抓住已知量，已知哪部分量，就除以这部分对应的分率。
例如，育才小学全校共有学生1500人，五年级人数占全校人数的

，六年级人数占全校人数的

，求五、六年级共有学生多少人？
这道题我们把1500人（全校学生人数）看作单位“l”。单位“l”已知，用乘法计算。必须抓住问句，求出所求量的对应分率，即求五、六年级学生人数占全校人数的几分之几。这个分率题中没有直接告诉我们，可以用

＋

求出来。所以这道题应列式为1500×（

＋

）。
又如，仓库里有若干吨化肥，第一天运出总数的

，第二天运出总数的

，还剩49吨，仓库里原有化肥多少吨？
这道题我们把仓库里的化肥总数看作单位“1”，单位“1”未知，用除法计算。做除法要抓住已知量，求出已知量的对应分率。题目里唯一的已知量是49吨，必须求出49吨的对应分率，也就是1－

－

。所以这道题应列式为49÷（l－

－

）。
小朋友，上面这些解题“小窍门”你都掌握了吗？
（本文作者钱守旺为河北玉田师范学校附属小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:27
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

激活思维，注意创新

汪超

从素质教育的要求和能力培养的需要出发，小学生在学好数学基础知识的同时，应当加强思维训练，不断提高自己的创新意识、积极培养创新能力。不过，这是一个漫长而艰巨的过程。其中最为重要的是在学习与思考过程中不因循守旧，不受条条框框的束缚，会根据面临的问题，有目的分层次地在大脑中展开检索，并获取相关信息，形成从问题到知识的关联点，在此基础上，整体入手、灵活思考、讲究变通与转化，鼓励标新立异、丰富想象，以谋求问题解决中的突破和创新。试以两例进行浅析。
例1．甲乙两人分别骑自行车在相距60千米的两地相对而行，甲乙骑车每小时速度分别为11千米、9千米。假若有一只蜜蜂在甲的前轮与甲同时出发以每小时15千米的速度飞向乙车前轮、触及前轮后又转身飞向甲车前轮，如此来回飞行、直到两车相遇时，蜜蜂停止飞行，问小蜜蜂总共飞行多少千米？
[分析与解］本题要是把蜜蜂看成前后若干次地与乙、与甲的相遇问题考虑那么解答复杂甚至不易解出来。因此该题应以整体思考转化思路。因为甲乙两人相对而行，他们从开始到相遇所花的时间是一定的、不变的，而甲乙从开始到相遇的时间也正是小蜜蜂来来回回飞行在两车前轮之间的时间，抓住不变量，又知小蜜蜂速度，即可求蜜蜂飞行总路程即15×[6÷（16＋9）］＝45千米。本题求解的关键即是思维的新意集中体现在抓住了甲乙相遇时间这个“不变量”。
例2．一辆客车从甲地开往乙地，第一小时行驶60千米，比第两个小时多行行驶

，这两小时正好行完全程的

，如果以后照前两个小时的平均速度，还要多少时间才能到达乙地？
[分析与解］这道题多数同学是用常规方法求解。

（l）根据已知条件先求出开始的两个小时客车所行程。
6O＋6O÷（1＋

）＝108（千米）
（2）再求出全程长。
1O8÷

＝54O（千米）
（3）进一步求出客车行驶两小时后剩下路程
54O－108＝432（千米）或540×（1－

）＝432（千米）
（4）客车按前两小时平均速度行驶到乙地还需要的时间。
432÷（lO8÷2）＝8（时）
上述解法虽然无误，但费时较多，步骤不少，弄不好还易出错。该题要联系工程问题换个思路考虑，把要行驶的全程看作单位“l”那么，根据已知条件，前两个小时客车行驶全程的

，这时还剩全程的1－

＝

，又因为两个小时行驶全程的

，所以平均每小时行驶全程的

÷2＝

，要求照前两个小时的平均速度行驶，还需要多少小时到达乙地则有：
（l－

）÷（

÷2）＝

＝8（时）
整个解答富有特色、新颖、别致，而且简洁明快、算理清楚，体现了一种创新意识。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:27
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

各有各的理由

任雪三

孙老师给多多、来来和敏敏出了一道应用题，看谁算得对，算得快。题目是：
两瓶同样重的色拉油，甲瓶吃去

，乙吃去

千克，哪一瓶吃去的多？
小机灵鬼多多一见题目就抢先说：甲瓶吃去的多。假设两瓶油都是2千克，那么，甲瓶吃去了2×

＝1

（千克），而乙瓶才吃去

千克，显然是甲瓶吃去的多嘛！
从来不甘心落后的来来接着说：我认为是乙瓶吃去的多。假设两瓶油都是

千克，那么，甲瓶吃去

＝（千克），不是小于

吗？所以，应该是乙瓶吃去的多。
一向沉稳的敏敏最后说：依我看是两瓶吃去的同样多。假设两瓶油都是1千克，那么甲瓶就吃去1×

＝

（千克），乙瓶也吃去

千克，这不是吃去同样多吗？
孙老师说：你们三人所得都有道理，各有各的理，各有各的理由。现在，我将你们三个人的意见综合起来，可以得出这样的结论：
如果油重大于1千克，就是吃去

的较多；如果油重小于1千克，就是吃去

千克的较多；如果油重等于1千克，就是吃去同样多。
三人听了孙老师的话，都高兴地笑了。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:27
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
根据具体情况选用不同算法

陶爱珍

在一次数学练习课上，王老师出了三道题目，要求同学们先认真思考，然后再计算。

①14÷8÷0.14          ②5.36×8÷4          ③2O÷O.3×l.5

同学们很快在自己的本子上算出了①、②两题的答案：

  14÷8÷0.14             5.36×8÷4             2O÷O.3×l.5
＝1.75÷0.14          ＝42.88÷4             ＝
＝12.5                ＝10.72                ＝

当算到第③题时，大家停住了笔，对老师说，这道题不能做，因为第一步的计算结果除不尽。王老师笑笑对大家说，看到题目后，要学会先思考分析，再根据具体情况，选用不同的解题方法，其实这道题是可以简便运算的。说着，王老师在黑板上写了两道题：

  270÷45÷3             27O÷（45×3）
＝6÷3                ＝270÷135
＝2                   ＝2

比较这两道题的计算，它们的结果相等，同学们得到了启发，很快地算出了第③题的结果，还学会了前二题的简便运算。小朋友，你知道这三道题目是如何简便运算的吗？

用递等式计算乘除两步运算式题时，通常要按从左到右的顺序依次运算。仔细推敲“通常”一词，它有两层含义：一般情况下都按从左到右顺序计算；有些特殊情况，可灵活地改变顺序，使运算简便。

现在我们来看刚才解答的三道题。

14÷8÷0.14，如果先算14÷0.14＝100，再算100÷8＝12.5，就比较简便。5.36×8÷4，从左往右依次计算比较烦琐，但根据题中8和4有倍数关系，把原式转化成5.36×（8÷4）＝5.36×2，就要容易一些。再看20÷0.3×1.5，更有多种解答方法。先算20×1.5，再算3O÷0.3＝100；或先把原式转化成20×1.5÷0.3，再把它转化成20×（1.5÷0.3）＝20×5＝100。

接着，王老师说，在数学王国中，没有一成不变的东西，只要我们勤学习，善思考，学会根据实际问题，作具体分析，灵活地选用不同的解题方法，才能自由自在地到数学王国中去遨游。

练一练：

计算下面各题。

①6400÷125÷8

②72OO÷24÷3

③1800÷（25×l8）

（本文作者陶爱珍为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事，上海市教研室教研员。）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:28
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
试商、调商有规律

钱守旺

许多同学刚开始学习除数是两位数的除法时，计算速度往往比较慢。原因就是试商、调商的规律还没有掌握。下面简单给同学们介绍一些规律。

1．当除数个位上的数是1、2、3、4时，在一般情况下，可以把除数的尾数舍去，把它看作和除数接近的整十数来试商。但“四舍”初商容易大，如43O÷62，把除数“四舍”看作60，试商7，7与62相乘，得434，积比被除数大，说明商7大了，应该改商6，6与62相乘，积是372，43O减去372，余数是58，比除数62小，说明商6合适。由此可知，除数若往小看，初商容易大。计算时同学们可记住“四舍商易大，初商可减1”的规律。

2．当除数个位上的数是5、6、7．8、9时，在一般情况下，可以把除数个位上的数“五入”为整十数来试商。但“五入”初商易小，如278÷38，把除数“五入”看作40，试商6，6与38相乘得228，278减去228得50，余数比除数大，说明商小了。应该改商7，7与38相乘得266，278减去266得12，余数比除数小，说明商7合适。从这道题看出，把除数往大看，初商容易小。因此要记住“五入商易小，初商可加1”的规律。

3．当除数个位上的数是4、5、6时，也可以看成几十五直接口算。

4．几种特殊情况。

（1）当被除数的前两位数正好是除数的一半时，可以直接商5，如328÷64、195÷38、457÷90等。可简记作“够半商5”。

（2）当被除数和除数的最高位相同，而第二位的差数不超过首位时，通常可以商“9”，如440÷46、802÷8、900÷98等。

当被除数和除数的最高位相同，而第二位的差数超过首位时，通常可以商“8”，如410÷46、152÷18、325÷38等。

同学们知道了试商调商的规律，还要在计算中慢慢体会如何正确应用，不断积累经验，增强试商的准确性，提高试商的速度。

（本文作者钱守旺为河北玉田师范附小特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:28
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考

怎样列方程解含两个未知数的应用题

上海市浦东新区教育学院特级教师曹培英

人教版教材“简易方程”单元中有这样一道例题：

“果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？”

题目让我们求两个未知数，要列方程解，可是同学们只学了解一个未知数的方程，怎么办呢？课本介绍了一种解法，很多同学感到不满足，他们问：为什么两个未知数，要选择桃树棵数设为x，设杏树有x棵可以吗？根据“杏树的棵数是桃树的3倍”列方程行吗？

回答是肯定的。请看下面四种解法（解方程略）：

解法 1：设桃树有x棵，则杏树有3x棵。

      3x＋x＝180

解法 2：设杏树有x棵，则桃树有x＋3棵。

      x÷3＋x＝180

解法 3：设桃树有x棵，则杏树有（18O－x）棵。

      （180－x）÷x＝3

解法 4：设杏树有x棵，则桃树有（180－x）棵。

      x÷（18O-x）＝3

我们看到，解法1与解法2都是用倍数关系表示两个未知数中的一个，然后根据两数和的关系列方程，区别只是未知数的选择不同；解法3与解法4都是用两数和的关系表示另一个未知数，然后根据两数的倍数关系列方程，区别也是未知数的选择不同。

比较四种解法，解法1最简便。它的特点是根据倍数关系，选择看作一倍的未知数设为x，则另一个未知数是x的a倍，就可以表示为ax。然后根据两数和的关系列方程。原来，课本上介绍的是最简便的一种解法。

再来看下面两种解法，对吗？为什么？

解：设桃树有x棵，则杏树有（ 180－x）棵。

　　180－x＋x＝180

解：设杏树有x棵，则桃树有x÷3棵。

　　x÷3×3＝x

奇怪，两种解法看看都有道理，一种是根据两数和的关系列方程，一种是根据倍数关系列方程，可是化简后得到的却是“180＝180”，“x＝x”，这到底是怎么回事呢？有位同学说得好：“这两种解法，表示未知数和列方程都用同一个条件，结果当然是自己等于自己了”。那么怎样避免出现“自己等于自己”这样的等式呢？很简单，只要像上面四种解法那样，两个条件各派各的用处，即一个用来表示未知数，一个用来列方程就行了。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-28 06:28
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

“画图”是帮助解题的好方法

北京市第一实验小学王继珍

解题时，根据题的内容画图，把题的条件、问题在图上标明，这样有助于我们正确审题，理解题意，从而正确解题，提高我们分析和解决问题的能力。
结合不同的内容画不同的图。通常通过平面图、立体图、分析图、线段图、表格图和思路图等，对题目的条件、问题进行展示。下面分别举例说明。
一、平面图
对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。
如，有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加12O，求原来两数的积。
根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。如图（l）所示。

根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B增加12，则宽延长12，如图（3）。从图中不难找出：
原长方形的长（A）是120÷12＝10
原长方形的宽（B）是72÷12＝6
则两数的积为1O×6＝6O
借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。
再如，一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形。求原来梯形面积是多少平方厘米？
根据题意画平面图：

从图中可以看出：上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5－l＝O.5倍。所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底
是8×1.5＝12（厘米），高是6O÷12＝5（厘米），则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）。
二、立体图
一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目的内容直观、形象，有利于思考解题。
如，把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米？
如果只凭想象，做起来比较困难。按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。按题意画立体图：

从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加 2个正方形的面，每个面的面积是8÷2＝4（平方米）。原正方体是6个面，即表面积为4×6＝24（平方米）。
再如，用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积是多少？
按题意画立体图来表示，三个长方体拼成的大长方体有以下三种情况：

（l）拼成长方体的长是2×3＝6（厘米），宽3厘米，高1厘米。表面积为（6×3＋6×l＋3×l）×2＝54（平方厘米）。
（2）拼成长方体的长是3×3＝9（厘米），宽2厘米，高1厘米。表面积为（9×2＋9×1＋2×1）×2＝58（平方厘米）。
（3）拼成长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1×3＝3（厘米）。表面积为（3×2＋3×3＋2×3）×2＝42（平方厘米）。
这道题有以上三种答案，通过画图起到审题和理解题意的作用。
三、分析图
一些应用题，为了能正确审题和分析题目中的数量关系，可以把题目中的条件、问题的相互关系用分析图表示出来。
如，新华中学买来 8张桌子和几把椅子，共花了 817.6元。每张桌子价 78.5元，比每把椅子贵 62.7元，买来椅子多少把？
分析图：

（l）买椅子共花多少钱？ 817.6－78.5×8＝189.6元）
（2）每把椅子多少钱？ 78.5－62.7＝15.8（元）
（3）买来椅子多少把？189.6÷15.8＝12（把）
综合算式为：（817.6－78.5×8）÷（78.5－62.7）
＝189.6÷15.8
＝12（把）
答：买来椅子12把。
四、线段图
一些题目条件多，条件之间关系复杂，一时难以解答。可画线段图表示，寻求解题的突破口。
如，光明小学六年级毕业生比全校总人数的

还多3O人。新学期一年级新生人学36O人，这样现在比原全校总人数增加了

。求原来全校学生有多少人？

从图中可以清楚看出，（360－30）人与全校人数的（

＋

）相对应，求全校人数用除法计算。列式为：
（360－30）÷（

＋

）＝330÷＝900（人）。
再如，甲乙两人同时从相距88千米的两地相向而行，8小时后在距中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲、乙每小时各行多少千米？
按照题意画线段图：

从图中可以清楚看出，甲、乙8小时各行的距离，甲行全程的一半又多出 4千米，乙行全程的一半少 4千米，这样就可以求出甲、乙的速度了。
甲速：（88÷2＋4）÷8＝6（千米）
乙速：（88÷2－4）÷8＝5（千米）
五、表格图
有些问题，通过列表不仅能分清题目的条件和问题，而且便于区分比较，起到良好的审题作用。
如，小明3次搬运15块砖，照这样计算，小明又搬了4次，共搬多少块砖？
根据条件、问题，列出易懂的表格，能清楚看出已知条件和所求问题。

3次	15块
又搬4次	共搬？块

从表中不难看出，又搬4次和共搬多少块，这两个数量不相对应，要先求一共搬多少次，才能求出共搬多少块，列式为：
15÷3×（3＋4）＝35（块）
另一种思路为，先求又搬4次搬的块数，再加上原有的块数，就是共搬的块数。列式为：
15÷3×4＋15＝35（块）
六、思路图
有些问题因为分析的角度不同，因此解题的思路也不同。通过画图能清楚看出解题思路，便于分析比较。
如，有一个伍分币、4个贰分币、8个壹分币，要拿出8分钱，一共有多少种拿法？
这道题从表面港一点也不难，但是要不重复。不遗漏地把全部拿法一一说出来也不容易，可以用枚举法把各种情况一一列举出来，把思路写出来。

五分币（1个）	1	1
贰分币（4个）	1		1	2	3	4
壹分币（8个）	1	3	6	4	2		8
拿的方法	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦

从图表中可以清楚着出不同的拿法。此题一共有不重复的7种拿法。
从以上各例题中可看出：解题时通过画图来帮助理解题意，起到了化繁为简、化难为易的作用。我们不妨在解题中广泛使用。

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:02
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
找“等量关系”的几种方法

钱守旺

列方程解应用题的关键是确定等量关系。那么，解题时应如何寻找等量关系呢？下面告诉同学们几种常用的方法。

1．从题中反映的基本数量关系确定等量关系。

任何一道应用题，都可以根据条件和问题写出一个基本数量关系式，这个基本数量关系式就是题中的等量关系。

如“商店原来有一些饺子粉，又运来12袋，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克。这个商店原来有多少千克饺子粉？”根据题目叙述顺序我们很容易写出：原有的重量＋运来的重量－卖出的重量＝剩下的重量。

2．紧扣几何形体周长、面积和体积公式确定等量关系。

同学们在学习几何知识时，已经掌握了平面图形的周长和面积的计算公式以及立体图形的表面积和体积的计算公式。这些公式，是等量关系的具体化。

如“一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？”我们可以根据三角形面积计算公式直接列出方程。

3．根据常见的数量关系确定等量关系。

在三年级的时候，同学们已经学习了乘、除法应用题中常见的数量关系。如，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。这些常见的基本数量关系，就是等量关系。

4．抓住关键句子确定等量关系。

好多应用题都有体现数量关系的句子。解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。

如，根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可知：舞蹈队的人数×3＋15＝合唱队的人数。根据“果园里桃树和杏树一共有180棵”可知：桃树的棵数＋杏树的棵树＝180棵。

5．借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。

如“有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍。如果再往乙袋里装5千克大米，两袋就一样重了。原来两袋大米各有多少千克？”

根据题意，可以画出下面的线段图。

从图中很容易得出：甲袋重量－乙袋重量＝5千克。

6．抓住“不变量”确定等量关系。

适合用正、反比例解答的应用题，我们可以根据题中的“比值一定”和“积一定”找等量关系。

当然，确定等量关系的方法不只以上几种，同学们在学习时要注意总结，力争找到更多更好的方法。

（本文作者钱守旺为河北省玉田师范附属小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:02
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考

运用假设的方法进行思考

孙丽谷

人教版九年义务教育六年制小学数学第八册教材上有这样一道应用题：

“新镇小学三年级有4个班，每班40人；四年级有3个班，每班38人。三年级和四年级一共有多少人？”

解答这道题我们是这样思考的：要求三年级和四年级一共有多少人，先要根据已知条件求出三年级和四年级各有多少人。列算式是：

　4O×4＋38×3

＝160＋114

＝274（人）

如果把这道题的第一个条件改成“三年级有3个班”，用上述的思考方法来解答这道题，列式为4O×3＋38×3。除了这种方法，解答这道题还可以这样来思考：即先求出三年级1个班和四年级1个班人数的和，再求出三年级和四年级一共有多少人。列成算式是：

　（4O＋38）×3

＝78×3

＝234（人）

前一道题和后一道题都是求三年级和四年级一共有多少人，因为在前一道题的己知条件中，三年级班级的个数与四年级的个数不相同，因此在通常情况下。只能用一种方法来解答；而在后一道题的已知条件中，因为三年级和四年级班级的个数相同，因此可以用两种方法来解答。

但如果我们采用假设的方法来进行思考，前一道题的解答方法就不止一种了。我们可以根据后一道题第二种解法的解题思路来解答前一道题，也就是假设三年级也是3个班，那么三年级和四年级一共有的人数就是（4O＋38）×3，因为实际三年级有4个班，所以三年级和四年级一共有的人数应该是（4O＋38）×3＋4O。

同样，我们也可以假设四年级有4个班，那就可以先求出三年级4个班和四年级4个班共有的人数，再减去四年级互个班的人数，就得到三年级和四年级一共有的人数了。列式为

（40＋38）×3＋4O。

如果我们假设三年级每个班是38人，那么这道题还可以这样列式计算：38×（4＋3）＋（4O－38）×4。请同学们想一想：

38×（4＋3）求出的是什么？为什么还要再加上（40－38）× 4呢？

把上面的问题想通后，再想一想，如果假设四年级每个班是4O人，这道题还可以怎样解答呢？请你试一试。

当然，对这道题来说，用假设的方法来进行思考，计算并不简便，但如果我们经常能运用假设法思考问题，就可以拓宽我们的思路，有利于解题能力的提高。

（本文作者孙丽谷为苏教版小学数学教材主编；江苏省南京市拉萨路小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:03
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

用比例关系巧解应用题

孙丽谷

在我们己经学过的常见的数量关系中，有的两种量成正比例，有的两种量成反比例。正确理解两种相关联量的比例关系，可以帮助我们巧解应用题。
我们来看这样的几道题：
1．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务，乙还差96个没有做完。己知乙的工效是甲的

，这批零件共有多少个？
我们可以这样想：根据题目中“乙的工效是甲的

”，可以知道甲与乙工效的比是5:4。因为当工作时间一定时，工效与工作总量成正比例，由此可知，甲与乙工作总量的比也是5:4。甲、乙工作总量的比是5:4，那就可以把甲完成的工作量看成5份，乙完成工作量着成4份，甲比乙多完成的工作量看成1份。己知甲完成了任务，乙还差96个没有完成，那么96个就是1份。因为这批零件是平均分给甲、乙两人去做的，所以甲的任务是5份，乙的任务也是5份，求零件的总个数只要求出10份共有多少就可以了。即：
96×5×2＝960（个）
2．甲、乙两人从两地相向而行，甲行完全程需2小时，乙行完全程需3小时。两人相遇时，甲比乙多走了2.4千米。求甲、乙之间的路程。
我们可以这样想：根据题目中“甲行完全程需2小时，乙行完全程需3小时”可以知道甲、乙行完全程所用的时间比是2:3。因为当路程一定时，行驶的时间和速度成反比例。由此可知，甲、乙行驶的速度比是3:2，甲、乙行驶的路程比也是3:2。
这样就可以把甲行驶的路程看作3份，乙行驶的路程看作2份，甲、乙之间的路程一共是2＋3＝5（份），甲比乙多行驶的路程是3－2＝l（份）。因此这道题求甲、乙之间的路程，只要用1份的路程去乘以5就可以了。即：
2.4×（3＋2）＝12（千米）
3．两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地。乙车每小时行24千米，两地相距多少千米？
这题可以这样思考：把“两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地”转化成“甲、乙两车行驶相向的路程所用的时间比是3:4”，再将它转化成“甲、乙两车行驶的速度比是4:3”。这样就可以先求出甲车的速度，再求出两地相距的路程。即：
　24×

×（4＋3）
＝24×

×7＝224（千米）
以上三个例子，就是巧用比例关系来解答的应用题。用比例关系解答应用题，可以使解题的思路更加简捷，解题方法更加灵活。
（本文作者为苏教版小学数学教材主编，南京市拉萨路小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:03
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

用不同的方法解答应用题

孙丽谷

整数、分数比和比例等知识都是有联系的，用算术方法解答应用题和用方程解答应用题也是有联系的。我们弄清了它们之间的联系，对一些应用题就可以用不同的方法来解答。而当我们学会用不同的方法解题后，对知识之间的内在联系就会搞得更清楚。因此同学们一定要善于动脑筋，学会用不同的方法解答应用题，并切实搞清各种方法间的内在联系。如解答这样的一道题：
学校田径组女生和男生人数的比是5:6。田径组女生有20人，田径组一共有多少人？
如果从不同的角度来思考，就能找出多种解法。
解法一：根据“田径组女生和男生人数的比是5:6”，可以知道，在田径组的总人数中，女生人数占5份，男生人数占6份。已知女生有2O人，也就是已知5份的人数，求田径组一共有多少人，就是求11份一共有多少人。因此可以先求出1份有多少人，再求出 11份有多少人。即：20÷5×（5＋6）＝44（人）。
解法二：根据“田径组女生和男生人数的比是5:6”，可以知道，男生人数是女生的

，也就是“女生人数×

＝男生人数”。因此可以根据一个数乘以分数的意义来解答，先求出男生人数，再求出田径组的总人数。即：20×

＋2O＝44（人）
解法三：把“田径组女生人数和男生人数的比是5:6”转化成“田径组的总人数相当于女生人数的

”，根据一个数乘以分数的意义得到这样的数量关系式：“田径组女生的人数×

＝田径组的总人数”，列成算式是：2O×

＝44（人）。而这一个算式与解法一的算式在实际意义上是完全一样的，都是求20的五分之十一是多少。
解法四：因为“田径组的总人数相当于女生人数的

”也就是“田径组的女生人数占田径组总人数的

”，因此如果这样来转化已知条件，就可以得到这样的数量关系式：
“田径组的总人数×

＝田径组女生的人数”。根据这个数量关系式，可以设田径组一共有X人，列出方程解答。即：
解：设田径组一共有X人。
X×

＝20
求出 X＝44
解法五：根据“田径组女人数和男生人数的比是5:6”可以知道，

＝

。因为田径组女生人数和田径组总人数的比的值是一定的，所以田径组女生人数和田径组总人数成正比例。因此还可以列出比例来解答。即：
解：设田径组一共有X人。

＝

求出 X＝44。
（本文作者为苏教版小学数学教材主编，南京市拉萨路小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:04
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

分数应用题解题思想介绍

金仁虎

一、分配思想
分配思想就是根据题中的数量关系，从已知条件入手，通过列式，先求出单位“1”，再由单位“1”的量进行分配。其具体思路我们还是从第十一册教材第63页的思考题谈起。
1．基本题：同学们参加野营活动。一个同学到负责后勤工作的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问：“多少人吃饭?” 他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算这个同学给多少人领碗。
〔分析与解〕这是一道六年级的思考题，解答此题可以用多种方法。
（1）方程法。
设：共有X人
　　X＋

X＋

X＝55
　　解得X＝3O。
（2）算术法。
55÷（l＋

＋

）＝55÷1

＝3O（人）
（3）此题还可以直接求最小公倍数来解。
根据“一人一个饭碗，二人一个菜碗，三人一个汤碗”的条件可得：[1、2、3]＝6（6是1、2、3的最小公倍数）。即：每6人为一桌，每桌所需的碗数为：饭碗：6÷l＝6（个）；菜碗：6÷2＝3（个）；汤碗：6÷3＝2（个）。共计：6＋3＋2＝11（个）→每桌的总碗数。这样野营的同学正好可以安排：55÷11＝5（桌），而每桌都是6人，即共有6×5＝3O人参加野营。
此题运用最小公倍数来解，不但可以拓宽六年级同学的解题思路，更重要的是为四、五年级同学开辟了一条解题途径。
2．变形题。节日期间给某班同学发水果，每人3个桔子，每2人3个苹果，每4人3根香蕉，最后又给每人发1个梨，结果共发水果2OO个，求该班有多少个同学？每种水果各多少个？
［分析与解] 每人所发水果情况：桔子3（个）；苹果1

（个）；香蕉

（个）；梨1（个）。
（l）方程法。
设：共有X人
　　X＋3X＋1

X＋

X＝200
　　解得X＝32（人）
（2）算术法。
200÷（1＋3＋l

＋

）＝2OO÷6

＝32（人）
（3）最小公倍数法（同学们自己思考列式）。
在求出单位“1”为32人以后，根据分配思想分别算出每种水果的个数，即：桔子3×32＝96（个）　　苹果32×l

＝48（个）
　　香蕉32×

＝24（个）　　梨子1×32＝32（个）
3．综合题：星期日某车间去郊外植树，休息时每人发2瓶汽水，每3人发2瓶果汁，每6人发2瓶雪碧，结果共发饮料180瓶，在这些人中，每人植一棵松树，每2人植5棵杨树，每3人植4棵柳树，每5人植3棵杏树，求该车间共植树多少棵？
〔分析与解〕此题综合性很强，实际上是把前两个分配思想的小题合在一起。每人所发饮料情况如下，
汽水：2（瓶）果汁：2÷3＝

（瓶）雪碧：2÷6＝

（瓶）
列式： 180÷（2＋

＋

）＝6O（人）
（其它方法同学们自己列式解答）
植树情况：松树 1×6O＝6O（棵）　　杨树 6O×2＝150（棵）
　　　　　柳树 16O×1＝8O（棵）　　杏树 6O×

＝36（棵）
　　　　　总数＝6O＋150＋80＋36＝326（棵）
综合算式：180÷（2＋

＋

）×（1＋2

＋1

＋

）＝326（棵）
综上所述，我们把这种解题思路称之为“分配思想”。同学们，你掌握了没有？
二、守恒思想
所谓守恒思想，就是抓住不变的量解题，在这一类问题中其中至少有一个条件是守恒的。守恒的类型有以下几种，即：明守恒、暗守恒、总量守恒。
1．明守恒：明守恒就是通过已知条件，可以直接求出守恒不变的量，再根据这个量解决所要求的问题。以下举例说明.
例：某班共有45人，其中女生占总数的

，后来又转来了几名女生，这时女生就占现在人数的

，求转来几名女生？
〔分析与解〕根据题意，女生人数增加了，而男生不变，抓住这个守恒量列式解答。
男生：45×（1－

）＝25（人）
现在总人数：25÷（l－

）＝5O（人）
增加的女生数：5O－45＝5（人）
综合算式：45×（1－

）÷（l－

）－45＝5O－45＝5（人）
2．暗守恒：暗守恒其守恒量不易直接求出，只有通过已知条件的分率转化，才能算出守恒的分率与数量，从而达到解题目的。
例：口袋中共有小球若干个，其中红球占总数的

，后来拿走6个其它颜色的小球，这时红球占现在总数的

，求原来有球多少个？
〔分析与解〕根据题意，红球数量守恒。由此建立关系式：

现在＝

原来→现在＝（

＝

）原来
列式得：6÷（1－

）＝54（个）→原来总球数
另解：6÷（1－

－

）＝54（个）→为什么？同学们自己思考。
3．总量守恒：不管题中有几个条件，也不管它们之间发生什么样的变化，但总数是永远不变的，这就是总量守恒。
例：有一本故事书，已看的页数是未看的，如果再看96页，那么原来未看的与现在已看的页数正好交换，求这本书共有多少页？
〔分析与解〕无论看的与未看的页数怎样发生变化，但这本书的总页数是守恒的。根据总量守恒分析列式，
解法1：第一次看的页数占总数的

÷（l＋

）＝

　　　第二次已看的页数占总数的l－

＝

列综合算式：96÷（

－

）＝96÷

＝416（页）→总页数
解法2：第一次已看的页数与未看的页数比为5:8，即：已看的占5份，未看的占8份，总页数为5＋8＝13份。由此列式得：
96÷（8÷13－5÷13）＝416（页）
三、假设思想
所谓假设思想，它往往是先假定某种现象的存在，然后将先前的假定与题中的已知条件进行比较，产生矛盾与差异，再通过分析与思考，找出形成差异的原因，从而达到解题的目的。
例1．A、B两堆水果共重36O千克，如果从A堆中运走它的

，从B堆中运走它的

，这时从两堆中共运走了120千克水果，求每堆原来各有水果多少千克？
〔分析与解〕假设从A、B两堆中都运走了

，那么总数就运走了

。
由题意得：

A＋

B＝120（千克）
由假设得：36O×

＝9O（千克）
因此A堆水果有：（120－90）÷（

－

）＝3O÷

＝200（千克）
B堆水果有：36O－2OO＝160（千克）
此题还可以假设从A、B两堆水果中都运走

的水果。（由同学们自己列式解答）
说明：这是一道较复杂的分数应用题，为什么要运用假设思想求解？由于此题A、B两堆水果的单位“l”不同，每堆所取的分率又不一样，因此解题时必须要运用假设思想。在上例中为什么假设的数值与实际数值有误差呢？是因为从A堆运走

的水果，在假设时是按

来算的，因此相差了

－

＝

，其值相差了120－90＝30（千克）
例2．某项工程，A独做要6O小时完成，B独做要15小时时完成，如果此项工程由A先做若干小时再由B单独接着做，这样共用了45小时完成，求完成任务时每人各做了几小时？
[分析与解] 这是一道较复杂的工程问题，解答时也同样运用假设思想。
假设A做了45小时，那么B做的时间为：
（1－

×45）÷（

－

）＝

＝5（小时）
A做的时间为：45－5＝40（小时）
（还有一种假设由同学们自己解答）
例3．某校本学期男生人数比原来增加了

，而女生人数比原来减少了

，结果全校总人数比原来增加了

，求原来女生占总人数的几分之几？
〔分析与解〕这是一道纯分率应用题，同样借用假设思想求解。此题与前两题不同：其一，本题没有一个具体的数字（全是分率）；其二，在女生人数减少

的情况下，而总人数却增加了

，由此说明男生增加的人数比女生减少的人数多。
假设男女生人数都增加了

，那么总人数就增加

，而实际上总人数只增加了

，这样假设的与实际的产生了误差。于是得出：女生人数占总人数的（

－

）÷（

＋

）＝

，男生人数占总人数的：1－

＝

。
例4.用一只载重量为61O吨、容积为65O立方米的船来运木材和石头，已知每立方米木材重

吨，每立方米石头重1

吨，这只船要一次运木材和石头各多少吨，才能充分利用它的载重量和体积？
〔分析与解〕这题比较复杂，咋看起来像是统筹问题，解答此题最好的思路还是运用假设思想。
假设这只船全部装运木材，那么它的载重量就不能充分利用了。如果全部装运木材，木材重：

×65O＝260（吨），石头体积：（61O－260）÷（l

－

）＝25O（立方米），石头重量：1

×250＝450（吨），木材重量：

×（65O－25O）＝160（吨）。
四、还原思想
这里介绍的还原思想不是一般书上说的那种逆推还原，而是通过扩大或缩小倍数，将其中某个分率还原成单位“1”，以便从中消去一个量，从而达到解题的目的。
例1．两块麦地共有100公亩，第一块地的

和第二块地的

正好是5O公亩，求每块地各有多少公亩？
〔分析与解〕根据题意，只要将题中的

扩大倍数，还原成单位“l”，从中消去一个量，这样就可以直接列式解答了。
第一块＋第二块＝100公亩

第一块＋

第二块＝5O公亩

50×8＝400公亩		×8=“1”→第二块
		×8＝4→第一块

第一块：（400－100）÷（

×8－l）＝84（公亩）
第二块： 100－84＝16（公亩）
例2．A、B两个仓库共有化肥2500吨，从A库中运出了

，从B库中运出

又50吨，这时两库共余下化肥700吨，求原来两库各有化肥多少吨？
〔分析与解〕如果将本题中的

或

某一个分率还原成单位“l”，这样计算比较麻烦。不妨我们换个角度考虑，从余下的数量来分析，
A＋B＝2500（吨）

A＋

B＝（700＋50）＝75O（吨）

750×3＝225O（吨）		×3＝“1”→A
		×3＝→B

由此列式B：（2500－2250）÷（1－

×3）＝1000（吨）
A：2500－1000＝15OO（吨）
（此题也可以将

扩大4倍还原成“l”来列式，请同学们自己试一试。）
例8. A、B两人共有钱100元，如果A取出自己的

，B取出自己的

，两人共取出4O元，求A、B两人原来各有多少元？
〔分析与解〕这题也是从余下的数量来考虑，即，

A＋

B
＝（100－4O）＝6O（元）→＝

A＋

B＝（6O÷5）＝12（元）

12×7＝84（元）		×7＝“1”→B
		×7＝→A

A：(100－84)÷(1－

×7)＝72（元）
B：100－72＝28（元）
五、合并思想
合并思想就是把题中的两个或两个以上的已知条件合并起来，通过合并，将知识重新组合、分析、比较、归纳，从而找到解题捷径。合并思想包括“量”合并和“率”合并。
1．量合并：量合并就是先把题中的两个或两个以上的已知数量，根据一定的需要直接加起来，然后再思考列式求得答案。
例1．买甲、乙两种商品共6O件，付人民币1260元，如果交换两种商品的件数共付人民币1140元，已知甲商品的价格是乙商品价格的1

倍，求两种商品的单价？
[分析与解]由题意得：甲每件商品比乙贵。由交换得：甲商品在交换前比交换后的件数要多，即：甲的件数＞乙的件数。不妨我们设甲原来有X件，乙原来有y件。

（1）甲（x）		甲60件	乙（y）		乙60件	1260元
（2）甲（y）			乙（x）			1140元

1260＋1140＝24OO（元）
将上面的条件（1）和（2）合并起来列式得：
（1260＋1140）÷6O＝（4O元）→甲乙单价和
以及乙：4O÷（l＋1）＝15（元）
甲：15×1

＝25（元）
2．率合并：率合并就是先将题目中的两个或两个以上的分率合并起来，从中得出总数量与总分率之间的关系，然后再借助假设或还原思想求得答案。
例2．甲、乙两件商品，甲的

和乙的

共值56元，而甲的

和乙的

共值49元，求甲、乙两件商品的价格？
[分析与解］因为甲乙前后分率正好进行了交换，通过合并可以得到相同的总分率，由此获得解题途径。

甲＋

乙＝55（元）→甲＋乙＝（49＋55）÷（

＋

）

甲＋

乙＝49（元）　　　　＝160元
根据条件1假设：甲乙两种商品都取出

，那么总数就取出

。列式得：
乙商品的价格为：（16O×

－55）÷（

－

）＝9÷

＝6O（元）
甲商品的价格为：160－6O＝100（元）（也可以根据条件2假设列式，同学们自己试试。）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:04
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六、化归思想
这里所介绍的化归思想，就是将题中一个或几个条件先通过转化，然后再归结到某一个数量中。其具体思路是：确立其中某一个数量为单位“1”，其它被转化的量则是这个单位“1”的几分之几或几倍。
例1．甲、乙两班同学共13O人，如果从甲班抽出

和乙班10人去参加活动，这时乙班余下人数是甲班余下人数的

，求甲乙两班人数？
［分析与解］乙班抽走10人后，余下的人数是甲班原来总人数的（l－

）＝

的

，即：

＝

，这时乙班余下的是甲班原来总人数的

。由此列式得甲班原来人数：
（130－10）÷（l＋

）＝120÷1

＝7O（人）
乙班人数为130－70＝60（人）或7O×（l－

）×

＋10＝70×

＋10＝60（人）。
例2．某厂男女工共有200人，如果从男工中抽走

的人，女工又招来20人，这时男工余下的人数是现在女工人数的

，求原来男女工各有多少人？
[分析与解］由于男工抽走

不知道有多少人，在此只有确立女工现在人数为单位“1”，将男工人数化归为女工。根据题意：

男＝

女现在→

男＝

女现在→男＝1

女现在
因此列式得：
（200＋20）÷（1＋1

）＝100（人）→女现在
女原来＝100－20＝80（人）男原来＝200－8＝120（人）
例3．某工程队下属三个小组，总人数为190人，如果从甲组中抽走

人，从乙丙两组各抽走5人，这时丙组余下的人数是甲组余下人数的

，乙组余下的人数和甲组余下的人数相等，求每小组原来各多少人？
[分析与解］本题与前两小题有所不同，从已知条件不难看出乙与丙都和甲有直接关系，在此不妨以甲原来人数为单位“1”，乙丙余下的人数可直接化归为甲。因此得：丙组余下的人数是甲组余下人数（l－

＝

）的

，即：
丙现在＝（

＝

）甲原来
乙现在＝（l－

）＝

甲原来
由此列式得
甲组原来有：（190－5×2）÷（1＋

＋

）＝80（人）
乙组原来有：80×

＋65（人）
丙组原来有：80×

＋5＝45（人）
七、一分为二思想
本文所谈的一分为二思想，是在解题时将题中的已知条件一分为二，即：根据需要将已知的数量和分率暂时分开，分别进行“量”转化和“率”转化，从而达到列式解答的目的。
例1．某车间男工人数比女工人数多28人，参加元旦联欢活动，女工全部参加，男工则有

的人没有参加，已知参加活动的共有105人，求原来男女工各有多少人？
[分析与解]由题意得：由于女工全部参加活动，则将女工人数看作单位“1”，将男工人数一分为二，即：把男工分成同女工人数相等的单位“1”和多出的28人。（单位“1”叫分率，简称“率”，28人叫数量，简称“量”。）而男工只有1－

＝

的人参加活动。由此，根据一分为二思想分别进行“率”转化和“量”转化。
（1）男工参加的人数相当于女工人数即单位“1”的，即：“率”的→1×

＝

。
（2）28人的

，即：“量”的28×

＝21（人）。
于是列综合算式得女工人数为：
（105－28×

）÷（1＋1×

）＝84÷1

＝48（人）
男工人数为：48＋28＝76（人）
（此题也可以用方程解，请同学们自己试试。）
例2．甲乙两组工人共计划加工一批零件，已知甲组完成了总数的

还少500个，乙组完成了比甲组的

还多200个，求这批零件共有多少个？
［分析与解］将条件摘录如下：
甲＝

总－500
乙＝

甲＋200
乙＝（

总－500）的

＋200
根据一分为二思想分别进行“量”、“率”转化：
（l）“率”转化：乙组加工的是甲组的

→零件总数

的

→

总。
（2）“量”转化：少500个的

→500×

＝300（个），而乙最后还多200个零件，这样两抵还少300－200＝100（个）。
综合（1）、（2）得：乙＝

总－100
零件总数为：

（500＋100）÷（

＋

－l）＝600÷

＝9000（个）
例3．果园里收下苹果的

正好装满了若干筐，余下的苹果装满15筐还多45千克，求每筐苹果多少千克？共收下苹果多少千克？
[分析与解］依照题意，每筐苹果的重量一定大于45千克，而余下的苹果（1－

）＝

装满15筐还多45千克，由此推算出收下的苹果

装的筐数与余下的苹果装的筐数的比值为：

:（1－

）＝1

。根据一分为二思想：

（1）“率”转化：15×1＝17（筐）		收下苹果的所装的筐数和多的千克数
（1）“量”转化：45×1＝51（千克）

由于收下的苹果的

装的是整筐数，由此这里取大于17

筐最小整数为18筐。
51

÷（18－l7

）＝

＝60（千克）→每筐重量
（60×l5＋45）÷（l－

）＝945÷

＝2025（千克）→总重量
八、极端思想
所谓极端思想就是在分析和研究对象时，往往从问题的最末端出发，它主要借用逆向思维对题中的已知条件和问题进行辨析、比较、归纳，寻找解决问题的契机，从而达到解题的目的。
例1．有一辆马车每时行驶8

千米，为了保持马的体力，每行驶50分钟就休息10分钟，已知从A地去B地全长共7O千米，求这辆马车行完全程共要几时？
［分析与解］首先把分钟化成时：5O÷6O＝

（时），10÷60＝

（时）。依题意：在每时内马车行驶

时，就休息

时。这样在l时之内，马车实际行驶了8

＝7千米，那么列式为：7O÷7＝10（时）。再根据极端思想，马车到达B地时最后一个

时不作考虑。因此所用的时间是：10－

＝9

（时）。
例2．蓄水池有A、C两个进水管和B、D两个排水管。要注满一池水，单开A管要3时，单开C管要5时。要排完一池水单开B管要4时，单开D管要6时。现在池内有

的水，如果按A、B、C、D、A、B……的顺序轮流打开1时，多少时间后水开始溢出水池？
[分析与解]A、B、C、D各管各开1时后，水池中的水就增加

－

＋

－

＝

。我们知道：

＞

，由此最后使水开始溢出水池的一定是A管。
根据极端思想，池中的水超过

以后，甲管打开一段时间后，水池中的水会溢出。因为（l－

）÷

＝4

，所以A、B、C、D这样循环4次以后，水池中的水为

＋

×4＝

，还不到

。循环5次后，池中的水为

×5＋

＝

，这样再打开甲管（l－

）÷

＝

（时）以后，水就开始溢出水池。
总时间：4×5＋

＝20

（时）
例3．某项工程由乙独做13天完成，如果此项工程第一天由甲做，第二天由乙接着做……这样轮流恰好在某日晚完成；若这项工程第一天由乙做，第二天由甲接着做……这样轮流比前次多半天时间完成任务。求这项工程由甲独做要几天完成？
[分析与解]依照题意，完成任务时第二轮比第一轮多半天时间，从图1不难看出：在两轮中AB之间的工作量是甲乙（或乙甲）经过了若干次轮流以后（轮流次数相等，所做的工作也相等），余下的两轮工作量也相等，这样就不可能多出半天的时间。这与题中条件相矛盾，因此本解法行不通。

从上解中不难发现：在第一轮里不可能是甲开始乙收尾，很可能是甲开始甲收尾。这样作图2所示，通过分析、比较、归纳出：这两轮中甲乙最后余下的关系是：甲＝乙＋O.5甲→甲＝2乙。即甲的工作效率是乙的2倍，甲独做这项工程的天数：13×

＝6.5（天）。

（本文作者为安徽省马鞍山市实验小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:04
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

环形面积怎样计算较简便

盛大启

日常生活中见到的各种螺丝的垫片以及钢管的横截面等，都是环形。计算环形的面积，一般是用外圆的面积减去内圆的面积。这是计算环形面积的基本方法。课本中的例题就是用这种方法计算环形面积的，即：先求外圆的面积，再求内圆的面积，然后用外圆面积减去内圆面积，得到环形面积。如果用字母R表示外圆的半径，用字母r表示内圆的半径，那么环形的面积计算公式可以表示为：
S环＝πR2－πr2
这样计算步骤较多，而且要两次和π的近似值3.14相乘，容易出现错误。
我们知道，乘法分配律可以从加法推广到减法。那么，上面的公式就可以简化成：
S环＝π（R2－r2）
用这一公式计算环形面积，要比第一种解法简便些。
我们还可以仿照课本中推导圆面积计算公式的方法，把环形面积也分成若干等份，剪开后，可以拼成一个近似的长方形（如下图）。如果把环形等分的份数越多，拼成的图形就会越接近于长方形。

这个长方形的长相当于外圆周长与内圆周长的和的一半，即：

（2πR＋2πr）＝

（R＋r）＝π（R＋r）；长方形的宽就是环形外圆半径与内圆半径的差，即：R－r。所以，根据“长方形面积＝长×宽”这一公式，可以得到：
S环＝π（R＋r）（R－r）
用这一公式计算环形面积，要比第二种解法更简便，因为它还避开了乘方的运算。
例如，课本中的例5（环形的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，求环形面积）用上面的三种方法来解，分别列式为：
解法一：3.14×l52－3.14×l02；
解法二：3.14×（152－102）；
解法三：3.14×（l5＋10）×（15－10）。
很明显，用第三种方法来求环形面积，便于通过口算很快求出计算结果。
（本文作者盛大启为中国教育学会小学数学教学专业委员会学术委员，苏教版小学数学教材主编，南京晓庄国际实验学校特级教师。）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:05
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

怎样解答行程问题

斯苗儿

有这样一道应用题：“一辆汽车从A地开往B地，每小时行48千米，行了5小时到达B地。A、B两地相距多少千米？”我相信，同学们都能很快地列式解答，即48×5＝24O（千米），从而求得A、B两地相距24O千米。但遇到较复杂的行程问题，往往会觉得无从下手。其实，只要是行程问题，不管怎么复杂，都可以根据“路程＝速度×时间”这一基本数量关系来解答。下面我们一起来解答几道题目。
例：两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇。求A、B两地间的距离。
分析：求两地间的路程，就是两车原来相隔路程，也就是求两车在5小时里所走路程的和。根据“路程＝速度×时间”，可以先算出每小时两车一共行多少千米，再与相遇时间相乘，就可求得两地相距多少千米。
（48＋5O）×5＝490（千米）
答：A、B两地间相距是490千米。
现在我们就以这道题为基础来进行改编练习。
1．把原题的“5小时相遇”这一条件改为“5小时后还相距15千米”，问题不变。
我们可以按原题进行分析，所不同的是：这里两车没有相遇，还相距15千米。这样，两地间的路程就不仅仅是两车5小时里所走的路程和了，还必须加上没有走的15千米。可这样列式解答。
（ 48＋5O）×5＋15
＝49O＋15
＝5O5（千米）
答：A、B两地间相距5O5千米。
2．把原题的“两辆汽车同时从A、B两地相向开出”改为“甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1小时”，其它条件和问题不变。
分析：这一题与原题的解题思路还是一样的，不同的是原题两车是同时从两地出发，而这题是不“同时”了。要求A、B两地间的路程，就是求甲、乙两车所行的路程和。这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来。等式是，
48×（1＋5）＝288（千米）
5O×5＝25O（千米）
288＋25O＝538（千米）
也可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程。算式是，
（48＋5O）×5＝49O（千米）
49O＋48＝538（千米）
答：A、B两地间相距538千米。
到这里，我们已经对原题作了两次改编，原题是同时从两地出发，最后相遇的。经过第一次改编使它成为一道同时从两地出发，最后不相遇的应用题，经过第二次改编它又成了一道不同时从两地出发，最后相遇的应用题。但不管怎样变，我们都没有离开最基本的数量关系“路程＝速度×时间”来思考和解答，真可谓“万变不离其宗”。
3．把原题进行第三次改编，使它成为一道既不“同时”又不相遇的相向运动应用题。
两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后动车从B地出发，5小时后两车还相距15千米。甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米。求A、B两地间相距多少千米？
根据前几题的分析，可列式解答如下：
（48＋5O）×5＝49O（千米）
49O＋48＋15＝553（千米）
答：A、B两地间相距553千米。
此题已经解答完毕，我相信聪明的你一定能把它的解题思路讲给同学听。
（本文作者为浙江省教育厅教研室小学数学教研员）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:05
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

体积与表面积的计算问题

金仁虎

在正方体、长方体或圆柱体的某个面上或几个面上打一个小孔或打通一个洞，其体积和表面积均发生变化。但变化的实质截然不同，只有物体的体积比原来减少了，而物体表面积的变化则要根据具体情况因题而论，下面特举例说明。

例1．如图1所示，在一个大的正方体某个面上打一个小的正方体洞，已知小正方体的棱长是大正方体棱长的，那么余下图形的体积比原来减少了几分之几？表面积比原来增加了几分之几？
〔分析与解〕此题没有给出具体的数字，解答时可以将大正方体的棱长看作单位“1”，小正方体的棱长就是，因此，直接利用分率来列式。
（1）体积比原来减少：（

）÷（1×1×1）＝

（2）表面积比原来增加：（

×4）÷(1×1×6)＝

÷6＝

　此题还可以设数来解。设大正方体的棱长为6分米，那么小正方体的棱长就是2分米。列式得，
（l）体积比原来减少：
（2×2×2）÷（6×6×6）＝

＝

（2）表面积比原来增加：（2×2×2）÷（6×6×6）＝

＝

例2．如图2所示，在一个底面边长为lOcm的长方体上下底面上打通一个小的正方体孔洞，表面积比原来增加了18cm2，求余下图形的体积。
〔分析与解〕要想求出余下图形的体积，必须知道长方体的高，求高又要从增加的表面积入手。从图中不难想象出18cm2就是中间小正方体两个正方形的
面积，于是得：18÷（4－2）＝9cm2，9＝3×3，即：中间的小正方体的棱长（大长方体的高）是3cm。因此列式为：10×10×3－3×3×3＝273（cm3）。

例3．如图3所示，在一个底面半径为6cm的大圆柱体的上下底面的中心处打通一个半径为4cm的小圆柱体的洞，其表面积没有发生变化，求原来圆柱的体积。
〔分析与解〕这题显然还是先求高，由于表面积没有变化，说明中间小圆柱体的侧面积一定等于它两底面积，因此圆柱体的高为：3.14×42×2÷（3.14×4×2）＝4cm。
原来圆柱的体积为： 3.14×62×4＝452.16（cm3）
（本文作者为安徽省马鞍山市实验小学特级教师）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:06
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

从整体分析数量关系

施魏

［题目］甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇时离A地12O米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地15O米处再次相遇。求A、B两地的距离。
［分析与解］这道题如果从速度、时间和路程的关系来分析，会感到缺少条件。我们可从整体来分析题目的数量关系：甲乙两人同时出发，相向而行，他们第一次相遇时，共行了A、B两地的1个全程；两人从出发到再次相遇，共行了3个A、B两地的全程（如下图）。

两人共行1个全程，其中甲行的路程是12O米，那么两人从出发到再次相遇共行了3个全程，则甲共行了12O×3＝36O（米），这时甲距A地还有15O米，如果甲再行15O米，则甲共行了2个全程，所以A、B两地的距离是：
（120×3＋15O）÷2＝255（米）。
（作者单位：安徽省铜陵市实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-29 07:06
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
多余的已知数

课堂上，同学们一起做练习题：气象小组在天的2时、8时、14时、20时，测得的温度分别是13摄氏度、 16摄氏度、 25摄氏度、18摄氏度。算出这一天的平均温度。

小毛看了一遍题，不假思索，马上就写成：

（l3＋16＋25＋18）÷（2十8＋14＋20）

他的同桌小明列的算式是：

（13＋16＋25＋18）÷4

陈老师将他们两人的算法写在黑板上，让同学们讨论，哪个对，哪个不对，为什么。

同学们热烈地争论着，渐渐地平静了。讨论结束后，老师请同学们发表意见。

小青站起来说：“小毛列的不对，小明列的对。因为要求的是一天的平均温度，已知一天内4个时刻的温度，应该用测得的温度和除以4。小毛是把时刻当成了除数。”

小明补充说：“其实题中的2时、8时、12时、20时这些已知数只是表明可以通过这四个时刻的温度来衡量一天的平均温度，与问题没有直接的数量关系，是多余的已知数。”

同学们都赞成他俩的意见。

小毛也明白自己错在什么地方了，表示以后要改掉毛毛草草的坏毛病。

作者: 星空 时间: 2008-5-29 11:07
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
不愧为特级

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:38
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

“割、补、拼、凑”有奥妙

郭彦钦

小朋友，如果问你长方形的面积该怎样计算时，恐怕你会很干脆地说出“用‘长方形面积＝长×宽’求出来呀。”没错，你回答得很好。
好，下面请看这道题：某学校有一个长方形操场，它的长和宽相加的和是2OO米，现在学校要扩建这个操场，使得它的长和宽都增加2O米。那么，这个操场的面积将会增加多少平方米？
初看这道题，你会觉得这道题不太难。可是，当你提笔解答时，就会感觉有点不对劲：“要求长方形的面积，必须知道它的长和宽是多少，而现在知道的是长与宽的和，这该怎么做呢？”
别急，遇到困难时，好好动脑筋想一想，准能想出好办法的。你学过组合图形面积计算的方法吗？常用的“割、补、拼、凑”的方法你用过吗？那好，请看图1，图中长方形S表示原操场的面积，S1、S2、S3分别表示增加的三个长方形面积，由图可知增加的面积为S1＋S2＋S3，如果我们用割补的方法把图1变为图2，这时，你会发现什么呢？原来，增加的面积就是这个新长方形的面积，它的长是200＋2O＝22O（米），宽是2O米，则增加的面积是22O×2O＝44OO（平方米）。（还有多种解法，请你试试。）

原来，增加的面积的大小与长和宽各是多少无关，而只与长加宽的和有关，这是为什么呢？请爱动脑筋的同学继续往下看。

假设原操场的长为a，宽为b，则扩大后操场的长为a＋20，宽为b＋2O
原面积：S原＝ab
现面积：S现＝（a＋20）（b＋20）
增加的面积：
S增＝S现－S原
＝（a＋20）（b＋2O）－ab
＝ab＋20a＋20b＋400－ab
＝2O（a＋b）＋400
＝2Oｘ200＋4OO
＝440O（平方米）
可见，遇到难题或问题时，多动动脑筋，准会找到好办法的。并且，每做一道题都应想想是否能找到什么规律，这样，你就会变得越来越聪明。
（作者单位：山西省忻州地区长征路小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:39
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

画一画，数一数

1．画一画，数一数。
大家都知道，在同一平面内，不平行的两条直线一定相交，两条直线相交，最多会有几个交点呢？画一画，数数看

最多只有一个交点。

三条直线相交，最多能有多少个交点呢？

最多可有3个交点。

四条直线相交，最多能有多少个交点呢？

最多可有6个交点。

五条直线相交，最多能有多少个交点呢？

最多可有1O个交点。

从中，我们可以发现交点的个数随着直线条数的增加在不断地增加，到底直线的条数与最多交点的个数有怎样的关系呢？
2．深入探究，总结规律
我们不妨把上面直线的条数与相交的最多交点的个数用列表的方法整理出来。

直线条数	1	2	3	4	5	…
最多交点数	0	1	3	6	10	…

仔细观察不难发现，每增加一条直线，交点个数就增加（直线数-1）个，那就是：
l条直线最多有O个交点
2条直线最多有O+(2-1)=1交点
3条直线最多有O＋l＋（3-l）＝3个交点
4条直线最多有O+1+2＋（4－1）＝6个交点
5条直线最多有O＋l＋2＋3＋（5－l）＝10个交点
像这样，在同一个平面内有n条直线相交，交点的最多个数是：
l＋2＋3＋4＋…＋（n－1）
＝［l＋（n－l）］×（n－l）÷2
＝n×（n－1）÷2
3．练一练
（l）在同一平面内有25条直线相交。问这些直线最多能有多少个交点？
（2）如果在同一平面内有若干条直线相交，最多能有66个交点。问在这个平面内最多有多少条直线？
（作者单位：辽宁省兴城市南一小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:39
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

交叉线验算法

在计算乘数位数较多的乘法时，用以前学过的方法验算起来比较麻烦。要是用一种既迅速又准确的方法做验算该多好啊！确实有一种交叉线验算法会使你感到满意。
交叉线验算法，就是先在草稿纸上画出两条交叉的直线，再分别把被乘数、乘数和积的每一位上的数横着加起来，看是不是一位数，如果不是就再加一次，直到成为一位数为止。这样可得到三个一位数，分别是a、b、c。把它们分别写在交叉线上（如下图。）

这里d＝a×b。（如果a×b得两位数，就像上面那样相加，取最后得到的一位数作为d。）最后，如果c＝d，那么你的计算就是正确的。例如,281×282＝79242

验算时，先在草稿纸上画一个交叉线。把被乘数281横着加变成11，再横着加变成2，把2写在交叉线左方。把282横着加变成12，再横着加变成3，把3写在交叉线右方。把积横着加变成24，再横着加变成6，把6写在交叉线上方。然后把交叉线左右两数相乘2×3＝6，把6写在交叉线下方。这时交叉线的上方和下方的数相同，说明这道题算对了。
你会用交叉线验算法来进行乘法的验算了，你可能会想除法能不能也用这个方法来验算呢？和乘法一样，除法也是可以的。
除法的交叉线验算法和乘法略有不同，主要是每个数横着加变成一位数之后，写在交叉线中的位置和乘法不一样。写法如下。

这里a是被除数横着加得到的一位数；b是除数横着加得到的一位数；c是商横着加得到的一位数；d是b×c后再相加得到的一位数。如果a＝d那么你的计算就对了。例如，207264÷816＝254

验算时，先画一个交叉线，把被除数横着加变成21，再横着加变成3，写在交叉线上方；除数横着加变成15，再横着加变成6，写在交叉线左方；商横着加变成11，再横着加变成2，写在交叉线的右方；再把交叉线左右两数相乘6×2＝12，把12横着加得3，写在交叉线的下方。这样，交叉线上下方数字相同，你的题又算对了。
请用交叉线验算法验算下面各题。
368×251＝92268 　　　　　820476÷863＝842
487×364＝177268 　　　　 305732÷358＝844

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:40
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
加强知识联系巧解应用题

夏云旭

许多数学应用题，如果按照常规思路，往往比较繁琐，且费时费力，容易出错。但如果能将所学知识系统化，注意知识间的联系，开拓思路，往往会事半功倍，给人以惊喜，使人充分体验到数学带来的乐趣。

例1．一列火车从甲站开往乙站，6时行驶5OO千米，行了全程的，照这样速度，再行驶多少时到达乙站？

一般解法：照常规思路，要求再行多少时到达乙站，必须知道剩下的路程和火车的速度。

剩下路程：5OO÷－500＝500×－500＝300 （千米）

火车速度：500÷6＝500×＝80（千米）

再行时间：300÷8O＝3.75（时）

答：3.75时到达乙站。

巧妙解法：

联系分数与比的关系，行了全程的，即行的路程与全程的比是5:8，则行的路程与剩下的路程的比为5:3，该题可这样解：

6÷5×3＝3.75（时）

答：3.75时到达乙站。

例2．某水泥厂去年生产水泥32400吨，今年头5个月的产量就等于去年全年的产量，照这样计算，这个水泥厂今年将比去年增产百分之几？

一般解法：

由题意知，求今年比去年增产百分之几，需求出今年的产量。

今年的产量：32400÷5×12＝7776O（吨）

增产百分之几：（7776O－32400）÷324O0＝1.4＝14O％

答：今年将比去年增产14O％。

巧妙解法：

由“今年头5个月的产量等于去年全年的产量”知，可将今年一个月的产量看作“1”，则去年的产量为“5”，今年的产量为“12”。

（12－5）÷5＝1.4＝140％

答：今年将比去年增产14O％。

（作者单位：山东省莱西市实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:40
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考

两次相遇行程问题的解法

郑桂元

在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。

例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：

240－60＝180（千米）

例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解］根据题意可画出线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：

（24O＋6O）÷2＝150（千米）

可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。

（作者单位：安徽省蚌埠市第三实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:40
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
灵活思考一题多解

张胜

[题目]在右图里有几个正方形？计算出涂色部分的面积。（单位：厘米）（人教版九年义务教育六年制小学数第六册第126页）

[分析与解］

本题图里共有3个正方形。

计算出涂色部分的面积方法如下：

解法一：一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积的差的2倍或两个大正方形的面积减去两个小正方形的面积。

（4×4－2×2）×3＝24（平方厘米）或4×4×2－2×2×2＝24（平方厘米）

解法二：一个最大正方形的面积减去3个小正方形的面积。

6×6－2×2×3＝24（平方厘米）

解法三：一个长方形的面积加上一个小正方形的面积的和的2倍或一个长方形面积的3倍。

（4×2＋2×2）×2＝24（平方厘米）或4×2×3＝24 （平方厘米）

解法四：一个小正方形的面积的6倍。

2×2×6＝24（平方厘米）

解法五：平移后成一个较大长方形的面积。

6×4＝24（平方厘米）

（作者单位：四川省剑阁县实验学校）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:40
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考

利用推理解题

陈天鸿

数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性。解答数学习题，除了演算之外，有些题需要进行周密的推理。在推理过程中，我们要善于挖掘题中所隐含的条件，把它作为推理的依据，有次序地进行，使前面得出的结论，作为后面推理的依据，直到最终解决问题。

如五年制第十册课本第49页有这样的一道题：甲、乙、丙三人进行一场田径比赛，比赛项目有：100米、4OO米、800米、跳高、跳远五项。已知每项第一、第二、第三名各得5分、2分、l分；乙800米赛跑得第一名。比赛结束后，每人的总分是：甲22分，乙、丙各得9分。想想，这三人在五项比赛中各得到什么名次？

由题中条件可知：乙800米赛跑得第一名，乙得5分；而甲总分是22，只有当他取得五项中的四项第一名、另一项为第二名时，才会得22分，很显然，甲只能是800米得第二名，其余四项均为第一名；由于参加比赛的只有三人，每人每项至少能得第三名，拿1分；乙只有除8OO米外四项都得第三名，才会获得9分（5＋l＋1＋1＋1）；那么剩下的名次皆为丙的，即丙除800米得第三名外，其余四项都得第二名。如下表所示：

总分 100米 400米 800米跳高跳远
甲 22 5 5 2 5 5
乙 9 1 1 5 1 1
丙 9 2 2 1 2 2

再如同册课本第143页的思考题：两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？

因为被除数、除数、商和余数的和是225，所以被除数、除数的和应为：225－21－3＝201；如果要使被除数和除数相除的商是21，且没有余数，则它们的和应是：201－3＝198，那么由和倍问题的特点可得：

除数：198÷（21＋l）＝9

被除数：9×21＋3＝192

所以被除数是192，除数是9。

（作者单位：安徽省怀宁县实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:41
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
忙碌的机场

孙铁

［例题］机场上停着10架飞机，第一架飞机起飞后，每隔4分有一架飞机接着起飞。在第一架起飞后2分，有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分，有一架飞机在机场上降落，降落在机场上的飞机依次相隔4分在原有的10架飞机之后起飞。问：从第一架飞机起飞以后，经过多少时间，机场上才没有飞机停留？

［分析与解］机场上原来停着的10架飞机全部起飞共需时间：

4×（10－1）＝36（分）

在这36分时间内，机场上降落的飞机数为：

1＋＝6＋

上式中的余数4表示4分，也就是在32分时，第6架飞机降落，在余下的4分里还没有飞机降落。

降落的6架飞机接连起飞需用时间4×6＝24（分）

在前面余下的4分和现在的24分内，机场上降落的飞机数为：

＝4＋

降落的4架飞机继续起飞需4×4＝16（分）

这段时间里，降落的飞机数为：

＝3＋

3架飞机起飞需3×4＝12（分）

这时又降落飞机：

＝2＋（两架）

以下依次有：

2×4＝8（分）    ＝1＋（一架）

1×4＝4（分）    ＝1＋（一架）

1×4＝4（分）    ＝1（一架）

到这里除尽，表示同时有一架飞机起飞，一架飞机降落，因此，机场上还是有一架飞机。

1×4＝4（分）    ＝（0架）

在这时只有1架飞机起飞，而没有飞机降落，因此机场上已没有飞机了，所以共经过的时间为：

36＋24＋16＋12＋8＋4＋4＋4＝108（分）

或者为：

4×［（10－l）＋6＋4＋3＋2＋l＋l＋l］＝108（分）

[思考］上面的方法虽然易懂，但不够简便。如果我们设从第一架飞机起飞直到机场上降落最后一架飞机为止的那一段时间为x分，可得方程为：

（＋1）－（＋1）＝9

解得x＝104是整数，表示在104分时，各有一架飞机起飞和降落。此时机场上的飞机数为1架。4分后这架飞机起飞。所以1O4＋4＝108（分）后，机场上就没有飞机了。

（作者单位：辽宁省葫芦岛市教师进修学院）

作者: 与你同行 时间: 2008-5-31 06:41
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考

逆向思维的妙用

看完这个标题，你可能会问：“什么是逆向思维呀？”逆向思维，是指将人们通常思考问题的思路反过来，用对立的、看上去似乎不可能的办法解决问题的思维方法。利用这种思维方法，可以巧妙地解决一些我们正常思维所不能解决的问题。

比如，我们在解下面的题目时，就可以应用这种思维方法。

小远买1角钱的邮票和2角钱的邮票共100张，一共花了17元钱。他买了1角和2角邮票各多少张？

解这一题目，假设买来的100张都是2角邮票，那么总钱数应为：2×100＝200（角）＝20（元）。

可实际上小远只花了17元钱，比假设少3元钱，这是因为其中有1角钱的邮票。若有一张1角邮票，总钱数就相差1角。

由此可求出1角邮票张数为：3元＝30角，30÷1＝30（张）。

2角邮票张数为：100－30＝70（张）。

请你用这种方法算出下面的题目：

三年级的46名同学去划船，准备了可乘6人的船和可乘4人的船共10只，如果所有的学生恰好分配在这10只船上而没有剩余，那么大船和小船各几只？

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:44
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

三个好朋友的故事

一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明、小刚和小强，他们常在一起合伙打鱼。一次，他们忙碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把鱼分成三份，自己拿走一份。最后还剩下8条鱼。
第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的8条鱼给小刚3条，小强5条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？
这个问题直接从文字上分析有一定难度，为了帮助我们理解题意，启发解题思路，可以根据题意，画出下面的线段图。

由于最后剩的8条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是8÷2条。那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是8÷2×3条，这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是（8÷2×3）÷2；同样可得知小明拿走的鱼是［（8÷2×3）÷2×3］÷2条。所以打的鱼一共是［（8÷2×3）÷2×3］÷2×3＝27（条）。
当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是8一条和第二天又拿了5条知道，每人平均拿了8÷2＋5条，所以打的鱼一共是（8÷2＋5）×3＝27（条）。
小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。
一次，小明从山里来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。
你来算算，小明这一筐山梨共有多少个呢？
可以按照上次的方法，先画出下面的图。

然后列出算式：
［（ 5＋l）×2＋1]×2
＝[6×2＋1］×2
＝26（个）
答：筐里一共有26个山梨。
你知道为什么可以用画图的方法来解题吗？原来，对于复杂的题目，可以根据题意画一个直观示意图来帮助我们弄清题中的数量关系，也就比较容易列出算式、求出结果。

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:45
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

双向思考一题多解

颜建敏、邹小娟

[题目］修一条公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路有多少米？（人教版九年义务教育六年制教材第十二册第57页思考题）

[分析与解]
根据题意画出线段图，仔细观察，发现用分数知识解答比较简单。
解法1：可以发现已修的分别占全长的

和

，两次正好相差3OO米。因此全长为：3OO÷（

－

）＝36OO（米）。
解法2：如果从未修的分别占全长的

入手，可以发现再修前正好比再修后多3OO米。因此全长为：300÷（

－

）＝3600（米）。
解法3：仔细观察线段图，300米正好是全长

和

的差，1个

和1个

有1个这样的差，3个

和

就有3个这样的差，3个这样的差正好是1个

，因此全长为：3OO×3÷

＝3600（米）。
同学们，你能从第三种解题思路的反向去思考，列出第四种解法吗？
（作者单位：江苏丹阳前艾中心小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:45
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
谁跑的路程长？

陆梅

早晨小明和爸爸、妈妈一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2倍少2O米，比妈妈的2倍多10米。小明和他妈妈谁跑的路程长些？（人教版九年义务教育五年制小学数学第八册第86页思考题）

此题可以用三种方法来解。

解法一：画线段图来解。

由图可见，小明比妈妈跑的路程长。

解法二：用方程解。

设小明跑了100米，爸爸跑的路程就是100×2－20＝180（米），再设妈妈跑了x米，

列出方程：2x＋10＝180 x＝85（米）

即妈妈跑了80米，可见小明比妈妈跑的路程长。

解法三：设小明、爸爸、妈妈跑的路程分别为x米、y米、z米，根据题意可以列出下面两式，再做适当的变形就能得解。即：

y＝2x－20→y＝2x＋20

y＝2x＋10→y＝2x－10（x＞z）

即小明比妈妈跑的路程长。

（作者单位：安徽省灵壁县实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:45
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
思路不同解法不同

邵君

同学们在解答较复杂的应用题时，往往不知从何下手。如果根据条件找出相应的等量关系或能将其中的条件转化一下，那么问题就会迎刃而解了。

[题目]修一多公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路长多少米？（九年义务教育六年制小学数学第十二册思考题）

[分析与解］

解法一：这道题的条件是：再修300米后，已修和未修长度的比是1: 2，这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。设已修的长度为x米，那么未修的长度为3x米。

（x＋300）:（3x－300）＝l:2

x＝900

x＋3x＝900＋9OO×3＝3600（米）

答：这条路长36OO米。

解法二：如果把条件“已修和未修长度的比是1:3，再修3OO米后，已修和未修长度的比是1:2”转化为：已修米数是未修米数的，再修300米，已修米数是未修米数的，又因为公路的总米数是“不变量”，我们把它看作单位“1”，所以，已修的米数就是总米数的＝，再修300米后，已修的米数就是总米数的＝，由此可知，300米就相当于总米数的－，所以可列式为300÷（－）＝300÷＝3600（米）

答：这条路有3600米。

（作者单位：江苏省沛县实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:45
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
挖掘条件背后的条件

仝淑贤、王梅

解应用题是小学数学学习的难点，同学们往往是仿例题的样子去解题，若综合性强的题目就感到无从下手，其中一个重要原因就是不会挖掘题目中数量及它们间的关系。

一道应用题是多条信息的统一体。分析应用题的实质是寻找、挖掘和重新组合题中所体现出的种种数量关系。那么应该怎样分析、组合条件背后的条件呢？

例如：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的27千米，经过5小时两车相遇，求A、B两地相距多少千米？

〔分析与解〕利用原有的条件我们可以进行推想、挖掘条件背后的条件，再进行组合：

解法1：由甲车每小时行全程的，想到甲车行完全程用1÷＝8小时，而两车经5小时相遇，乙车所行路程是甲车（8－5）小时行的。所以可列式为：

或根据甲车每小时行全程的，可列式为：

27×5÷（8－5）÷＝360（千米）

解法2：由相遇时间为5小时，想到甲乙两车每小时行全程的，乙车速度为每小时27千米，与全程的（－）相对应。所以可列式：

27÷（－）＝360（千米）

解法3：由解法2可想到乙车每小时行全程的（－），同时又推想出乙车行完全程用的时间是1÷（－），所以可列式为：

27×〔1÷（8－5）〕＝360（千米）

解法4：由两车5小时相遇可知两车的速度和是全程的，可列式为：

以上这一例子说明，在解答应用题时，挖掘题目中的各种数量关系是多么重要。这就需要同学们从题目的条件入手，进行分析、推理，它可以更好地帮助你解答应用题。

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:46
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
一道思考题的三种解法

课本上有一些锻炼我们思维的思考题，你都做过吗？下面的一道你是怎样做的？

题目是这样的：选择＋、－、×、÷中的运算符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（1） 2  2  2  2  2＝0

（2） 2  2  2  2  2＝1

（3） 2  2  2  2  2＝2

（4） 2  2  2  2  2＝3

（5） 2  2  2  2  2＝4

（6） 2  2  2  2  2＝5

（7） 2  2  2  2  2＝6

（8） 2  2  2  2  2＝7

（9） 2  2  2  2  2＝8

（10）2  2  2  2  2＝9

下面向你介绍三种解这道题的方法，希望你能受到启发，从而举一反三，学会解更多的思考题。

猜测法，也叫试验法。它完全是靠边猜测、边试验的方式求解。如（1）题，先试2×2÷2＋2－2≠0，后试2÷2＋2－2＋2≠0……最后试得2÷2＋2÷2－2＝0，成功了。猜到了一种答案，还可以继续下去，以寻找第二、第三种答案。

逆推法，就是从问题的要求或结果出发，一步一步地进行逆向推理，逐步靠拢已知条件，把已知条件逐个用进去，直至求出问题的答案。如（2）题，因为等号右边的1比等号左边的2小，所以只能在等号左边第一个2前面添上减号或者除号。如添上减号，使原题变成2 2 2 2＝3。同理又因3＞2，故可在等号左边第二个2的前面添上加号，使原题变成2 2 2＝1。这时就很容易看出2－2÷2＝1了。综合前两步逆推，就得到2－2÷2＋2－2＝1的一种解法。如继续作其它逆推，还可得到第二、第三……种解法。

前面介绍的两种方法你看懂了吗？请不要着急，慢慢地消化理解，逐步加以接受。

下面请看第三种解法。

凑数法，这是一种综合运用知识的方法，它同样要结合试验才能顺利进行。如（3）题，可以让等式左边的5个2两两相减得0，剩下的一个2当然就和等式右边的2相等了，即2－2＋2－2＋2＝2。

从某种意义上说，它和猜测法有相同的地方，那就是都要试验，但试验的方法是不同的，你能总结出它们的不同点吗？

怎么样？这三种解法和你以前用过的方法一样吗？你还有更好的方法吗？如果有，那真是太好了，因为你现在的思路宽了，解题的速度和正确率都会大大提高的。

好吧，看看你学习的效果怎样，是不是真正能举一反三。请做下面的题。

选择适当的运算符号和括号，使下式成立。

（1）2  3  5  7  1＝2          （2）2  3  5  7  1＝4

（3）2  3  5  7  1＝6          （4）2  3  5  7  1＝8

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:46
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
异分母分数相加减为什么要先通分

张开勇

同学们在做异分母分数加减法时，要先把它们转化成分母分数才能相加减。这是为什么呢？我们知道，自然数以“1”为标准，逐次加1而组成自然数序列。也就是说，“1”是自然数的单位。“2”是由两个“1”组成的，“7”是由七个“1”组成的，“25”是由二十五个“1”组成的，等等。由于这样，所以任何两个自然数都可以直接相加减。例如：“2＋5”就是两个“1”加五个“1”等于七个“1”即等于7。

但是，分数就不同了。分数有没有单位？答案是肯定的。但是，不同的分数有着不同的分数单位。譬如，实际上是2个组成的，所以的分数单位是；又如，实际上是3个组成的，所以的分数单位是；同样，的分数单位是，的分数单位是。一般地说，一个最简分数的分数单位是。

同分母分数，因为它们的分数单位不同，所以不能直接相加减。如－，就是3个减去2个，还剩下1个，所以－＝。

异分母分数，因为它们的分数单位不同，所以不能直接相加减。如＋，当然不能直接相加。为了使它们能够相加，就要把它们化成相同的单位，这就需要通分：＝＝，＝＝。转化成，转化成后，因为与的分数单位都是，所以就可以相加了。用图形来示意，整个过程就是：

最后，我们再打个比喻：整数或同分母分数好比同名数，可以直接相加减。如5米＋3米，就是直接把5与3相加等于8米。异分母分数好比异名数，不能直接相加减。如5米－3分米，就不能直接用5减去3，而是要把它们化成5米－0.3米（或50分米－3分米），然后才能用5减去0.3得4.7米（或50分米减去3得47分米）。

同学们，你们明白了吗？

（作者单位：江苏省沛县实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:47
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

一题多解

有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法。这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。下面的题目就可以用三种方法来解。
例某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽车12辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？
解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求12辆汽车一天运沙子的吨数，减去第一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。
6÷6×12－96＝96（吨）
解法二：先求出12辆是6辆的多少倍，再求12辆汽车每天运的吨数，最后减去6辆汽车每天运的吨数。
96×（12÷6）－96＝96（吨）
解法三：先求一辆汽车一天运的吨数，再求第二天比第一天多几辆车，这多的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。
96÷6×（12－6）＝96（吨）
答：第二天比第一天多运48吨。
你认为哪种算法最好？
我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解法？
例某饭店买回一桶豆油，连桶称共有210千克，用去一半后，连桶称还有120千克，油桶重多少千克？
解法一：把120千克扩大2倍，得到一桶豆油的重量和两只桶重，从中去掉210千克（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。
120×2－210＝30（千克）
解法二：先求出半桶豆油的重量，再从120千克中去掉这半桶豆油的重量，也可得桶重。
120－（210－120）＝30（千克）
解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量，这样可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。
210－（210×2－120×2）＝30（千克）
解法四：基本上与解法三相同，也可以说是它的简便算法，但算理稍有不同。
210－（210—120）×2＝30（千克）
解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。
（120－210÷2）×2＝30（千克）
答：油桶重30千克。
我们再来看一道题：李师傅要加工3080个零件，他用4天加工了280个零件。照这样计算，加工剩下的零件还需要多少天？
解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少天。
（3080－280）÷（280÷4）＝40（天）
解法二：先求每天加工多少个零件，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。
3080÷（280÷4）－4＝40（天）
解法三：先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。
4×（3080÷280）－4＝40（天）
解法四：先求还要加工多少个零件，然后求还加工的零件数是4天加工零件数的多少倍，最后求还需要加工多少天。
4×［（3080－280）÷28] ＝40（天）
答：加工剩下的零件还需要40天。
希望你也常动脑筋用多种方法解一道题，以提高解题能力。

作者: 与你同行 时间: 2008-6-1 06:47
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

用不同的方法解答应用题

胡彦会

应用题是小学数学的重点和难点，是学习上的“碉堡”。应用题看似难学，但是只要灵活运用知识的内在联系、迁移规律也是不难解决的。如用比的知识解答应用题，与根据分数的意义解答应用题，以及根据数量间的倍数关系解应用题，虽然方法不同，但是它们之间是可以互相转化的。因为当把两个数量中的一个作为标准量时，如果另一个数量是它的几倍，那么当把另一个数量作为标准量时，它就是另一个数量的几分之一。同时这两个数量也存在着比的关系。由此根据这些数量的转化、迁移就可以用不同方法来解答同一道应用题了。
例．学校试验田共种小麦和油菜6O公亩，小麦的面积是油菜的4倍，小麦、油菜各多少公亩？
解法1：用倍数解答。
根据“小麦公亩数+油菜公亩数＝6O”及“小麦的面积是油菜的4倍”列方程。
解：设油菜x公亩，那么小麦为4x公亩。
x＋4x＝60
5x＝6O
x＝12
4x＝12×4＝48
答：小麦48公亩，油菜12公亩。
解法2：用按比例分配来解答。
已知小麦的面积是油菜的4倍，则小麦的面积和油菜面积的比为4:1。
总面积平均分的份数为：1＋4＝5
小麦的面积：6O×

＝48（公亩）
油菜的面积：6O×

＝12（公亩）
解法3：用比例解答。
小麦的面积与总面积的比为4:5。
设：小麦的面积为公亩，则有x:60＝4:5。
解之x＝12
或：油菜面积与总面积的比为1:5。
设：油菜的面积为公亩，则有
x:60＝1: 5 解之x＝12
解法4：用分数解答。
小麦的面积与总面积的比为4:5，则说明小麦的面积占总面积的

(比和分数相互转化），那么，就是求6O的

是多少。
60×

＝48（公亩）
或油菜面积与总面积的比为1:5，则说明油菜的面积占总面积的

，那么就是求6O的

是多少。
6O×

＝12（公亩）
以上列出了四种解答方法，还有一些其它方法，但是不论用哪一种方法（倍数、按比例分配、比例、分数），它们之间都是有内在联系的，只要把握好了内在的联系，就可以用不同的方法解答应用题了。通过不同的方法，更加深人地理解题中的数量关系，以达到对应用题的理解和掌握的目的。
（作者单位：江苏省赣榆县青口镇中心小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-2 06:55
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

用假设法解题

李佳和刘路在一起研究这样一道题：
一个国王得到三块金锭，共重4千克，已知第二块比第一块轻400克，第三块的重量是第二块的2倍。求每块各重多少克？
根据题意，刘路很快画出了线段图。

怎样计算呢？刘路和李佳讨论起来。李佳说：“假如第一块减少400克，会怎样呢？”
刘路高兴地说：“对了，假如第一块减少400克，就与第二块同样重了，这时，总重量一定要减少400克，就变成3600克了。”
李佳也明白了，兴奋地说：“是呀！ 3600克里包含着4个第二块的重量。”
于是，两人动笔进行了下面的计算：
第二块：3600÷4＝900（克）
第二块：900×2＝1800（克）
第一块：900＋400＝1300（克）
验算：1300＋900＋1800＝4000（克）。
你知道他们用的是什么方法吗？他们用的就是假设法。假设法是数学中的一个重要思想，通过假设可以使复杂的问题简单化，使所求的问题明朗化，这样我们就可以更快地找到解决问题的突破口了。但要注意的是，最后一定要去掉假设的成分，得到正确答案。

作者: 与你同行 时间: 2008-6-2 06:56
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
用逆推法解应用题

有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从这最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法叫做逆推法。如7大于5，也可以说成5小于7。这种思维方法我们称作逆向思维，在处理一些问题时经常要用到。有些应用题按顺向处理比较困难，或者会出现繁杂的运算，如果根据题目的条件，运用逆推法去解则方便得多。

例小明问爷爷多大年龄，爷爷说：“把我的年龄加17，然后用4除，减15，再用10乘，恰巧是100岁。”小明的爷爷多大年龄？

我们用逆推法解。题中最后乘以10得100岁，那么乘10前就是100÷10＝10（岁），不减15就是10＋15＝25（岁），不用4除就是25×4＝100（岁），不加17就是100－17＝83（岁）。这样，就得到了小明的爷爷的年龄是83岁。

这是比较简单的用逆推法解的应用题，下面是一道比较难的题目，请你试着用逆推法解出来。

有三堆火柴，共48根。第一次从第一堆里拿出与第二堆根数相同的火柴并入第二堆；第二次再从第二堆里拿出与第三堆根数相同的火柴并入第三堆；第三次再从第三堆里拿出与这时第一堆根数相同的火柴并入第一堆里。经过这样的变动以后，三堆火柴的根数恰好完全相同。问原来每堆火柴各有多少根？

这里是一道有名的难题，用其他方法解难度都很大，让我们用逆推法试一试。

例有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使各增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入丙、甲两桶，使它们现在有的油各增加一倍，最后同样将两桶油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16千克。问各桶原来盛油多少千克？

由于最后的结果各桶都是16千克，那么当丙桶油未倒入甲、乙两桶之前应该是：

甲：16÷2＝8（千克）

乙：16÷2＝8（千克）

丙：16＋8＋8＝32（千克）

那么乙桶油未倒入甲、丙两桶之前即为：

甲：8÷2＝4（千克）

丙：32÷2＝16（千克）

乙： 8＋4＋16＝28（千克）

同样的道理，甲桶油未倒入乙、丙两桶之前的油量即为各桶原有油的数量：

乙：28÷2＝14（千克）

丙： 16÷2＝8（千克）

甲： 4＋14＋8＝26（千克）

你明白了吗？用这种方法再想一下上次留的题目，你做得对吗？

作者: 与你同行 时间: 2008-6-2 06:56
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

余数是几？

王素芹

活动课上王老师给同学们出了这样一个题目：一个数有1000位，每位上的数字都是7，将它除以13，余数是几？
小刚读了一遍题，马上举手解答：7777÷13＝598……3，这道题余数是3。
李月反驳：“你做的不对，被除数不是7777。因为被除数有　1000位，说明被除数占1000个数位；而每位上的数字都是7，说明被除数由1000个7组成，也就是

。”王老师问谁理解得对时，同学们一致同意李月的意见。王老师问小刚错在哪？小刚红着脸说：“我把1000位理解成了被除数的最高位在千位上，而每位上的数字都是7，我才得到了错误的被除数7777。”王老师接着说：“要正确解题首先要审好题，这是解题的关键环节，这道题正确的被除数是

。第二步该做什么呢？”有的同学说直接用被除数除以13，最后找到余数，有的反对，说这样做太麻烦，大家一时找不到简便方法，都向王老师投来“求援”的目光。王老师接着讲到：“第二步要找商的出现规律：用

除以13，当得到第六位商时，就能发现商的出现规律是商598290后，仍然循环出现商598290。”王老师边讲边让同学们试除，入下式：

“第三步要确定商的位数：当用

除以13时，应该用13试除被除数的前两位，而在被除数坐起第二位上写商，可得到999位商。第四步是将商进行分组，确定个位商：根据第二步中商的出现规律可将999位商按从左往右按每六位商划分为一组（598290为一组），列式为999÷6＝166……3，可得到166组还剩三位商不够一组，剩下的这三位商一定是一组中的前三位，也就是598，这三位商，其中5对百位，9对十位，8对个位，可见商8是此题中个位上的商。第五步是明确商与余数的关系，确定此题的余数：从计算可看出，每位商都对应一个余数，从第二步中可看出商8对应余数为3，因为这道题个位商是8，可见此题的余数是3。”讲完后王老师又把除数改成了12，同学们立刻计算起来，当板演的一个同学计算出下面步骤时：

王老师问这道题商有什么规律？小刚回答说：“除左起第一位商6外，其它商都按481一组一组地循环。”遇到这种情况怎样把999位商进行分组呢？李月灵机一动说：“从999位商中把左起第一位商6去掉，把剩下的998为商从左往右按每三位一组分组。”同学们马上列出算式：998÷3＝332……2，最后剩两位商不够一组，即剩下的商是48，其中商4对应十位，商8对应个位，商8对应余数1。同学们很快得出结论，这道题的余数为1。这种求余数的方法你学会了吗？
（作者单位：河北省乐亭县第一实验小学）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-2 06:56
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应用题常见错误分析

应用题是大家比较熟悉的，从一年级就开始学习了。到目前为止，我们除了学习一步计算的应用题之外，还学习了两步计算的应用题，并会列综合算式解答应用题。可是在解应用题的时候，同学们常常要出现一些错误，甚至出了错误也不知什么原因和如何解决。下面就帮助大家分析一下应用题中常见的几种错误，以引起同学们的注意，避免犯类似的错误。

1．多余条件的干扰。

例  东风小学有2栋房子，其中一栋有4间教室，另一栋有5间教室，共有多少间教室？

错误解法是：4×2＋5＝13（间）

出现这一错误的原因是：受多余条件的干扰。题中的2栋是不用参加运算的条件。实际上只要将一栋教室数加上另一栋教室数，就等于这2栋共有的教室数。

2．表面现象的干扰。

例  两个边长都是10厘米的正方形，拼成一个长方形，长方形的周长是多少？

错误解法是：10×4×2＝80（厘米）

这一错误主要是受长方形是由两个正方形拼成这一表面现象的干扰，误认为长方形的周长应是两个正方形周长的和，其实两个正方形中间重合的边已不是长方形的边了。

前面分析了应用题的两种常见错误，今天继续分析另外的三种。

3．数学术语的干扰。

例  学校图书室借出72本图书，还剩28本。学校图书室原来有多少本图书？

错误解法是：72－28＝44（本）

这一错误主要受“还剩”这个数学术语的干扰。有的同学往往见“一共”就加，见“还剩”就减，却忘了具体问题具体分析。这题实际是：借出图书的本数加还剩图书的本数等于原有图书的本数，即72＋28＝100（本）。

4．概念不清。

例  一辆汽车每小时行40千米，上午8时从甲地开出，下午4时到达乙地。甲乙两地相距多少千米？

错误解法是： 40×（8＋4）＝480（千米）

产生错误的原因是“时刻”与“时间”的概念不清。路程应该等于速度乘以时间，而题中的8时和4时是时刻不是时间。这辆汽车从甲地到乙地所需的时间是8小时。

5．隐藏条件的干扰。

例  甲乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地开往乙地需4小时，返回时用了6小时。问这辆汽车往返的平均速度是多少？

错误解法是：240÷（4＋6）＝24（千米）

你知道产生这一错误的原因是什么吗？

作者: 与你同行 时间: 2008-6-2 06:56
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

着眼于“大的面积里有几个小的面积”

冒金彬

有这样一类题，要求把某个大的图形剪成若干个小图形最多能剪的个数。
在辅导的时候，发现有好多同学只是在盲目地画图，但常因画图不准，费力干少却难以得到正确的答案。
其实，这类题目是有规律可寻的，我们可以着眼于大小图形的面积。
比如，像这样一道题：一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能剪出（）个长4厘米、宽1厘米的小长方形纸片。
可以这样想：大正方形的面积是7×7＝49（平方厘米），小长方形的面积是4×1＝4（平方厘米），而49÷4＝12（个）……l（平方厘米），很显然，大正方形里最多有12（个）小长方形，那么能剪成的小长方形纸片最多是不是就是12个呢？我们可以由剪后只余1平方厘米，想到每个大正方形的边都要尽可能成为剪成的小长方形的长或宽，而7可以表示成4＋1＋1＋1，这时我们再尝试着画图，发现正好能画出12个满足题目要求的长方形（如图1），所以这道题的答案是12个。
再如：把一个长9分米、宽6分米的长方形剪成长4分米、宽3分米的小长方形，最多能剪（）个。
可以同样思考：因为大长方形的面积是9×6＝54（平方分米），小长方形的面积是4×3＝12（平方分米），而54÷12＝4（个）……6（平方分米），所以大长方形里最多有4个小长方形，画图很容易证明，这个答案是正确的。（见图2）
当然，并不是说，大图形面积里面有几个小图形的面积，最多就能剪几个。
比如说：把一个长12厘米、宽5厘米的长方形剪成长4厘米、宽3厘米的长方形，最多能剪（）个。
在这道题中，大长方形的面积是12×5＝6O（平方厘米），小长方形的面积是4×3＝12（平方厘米），6O÷12＝5（个），但能剪成的符合题目要求的长方形最多却不是5个。因为，大长方形的宽5厘米没办法表示成几个4或几个3的和的形式，也就是说，剪成的小长方形的个数可能为4个（还余12平方厘米），画图很容易推得这道题的答案是4个。（如图3）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-2 06:57
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找准联系推理计算

陈松坡

［题目］△、○、□代表3个数，并且
△＋△＝□＋□＋□             （1）
□＋□＋□＝○＋○＋○＋○       （2）
△＋□＋○＋○＝400             （3）
△＝？□＝？（人教版九年义务教育六年制教材第八册第72页）
（注：算式的序号为笔者所加。）
［分析与解］这道题初看起来，很难得出△、□和○各表示多少。如果仔细观察一下，各个算式之间存在着一定的联系，再根据联系进行推理计算，就能较快地得出结果。具体过程是：
一、从（l）与（2）的联系，可以得出△＝○＋○
因为△＋△＝□＋□＋□；又□＋□＋□＝○＋○＋○＋○ ，也就是△＋△＝○＋○＋○＋○。所以△＝（○＋○＋○＋○）÷2＝○＋○。
二、将△＝○＋○代入（3），变为△＋□＋△＝400 （4）
三、从（4）与（l）的联系，可得□＝1OO
因为可以将（4）中的△＋△用□＋□＋□代入，得：□＋□＋□＋□＝400，所以□＝1OO。
四、将□＝100代入（1），△＝150代入（2），○＝75。
五、检验
将□＝100、△＝150、○＝75代入（3），△＋□＋○＋○＝150＋100＋75＋75＝400。说明所求的结果是正确的。
（作者单位：江苏省海门市教育局教研室）

作者: 与你同行 时间: 2008-6-2 06:57
标题: 回复: 特级教师和学生谈数学思考

向高斯学习讲究计算技巧

郑俊选

卡尔·弗里德里奇·高斯（1777－1855）是德国数学家、物理学家和天文学家，他对人类科学发展的影响，可以与阿基米德、牛顿并列。高斯出生在一个贫苦的家庭里，父亲原本不打算让他上学，但高斯很小就表现出在数学方面的才能。他10岁那年，数学教师布特纳要求学生求出1到100这一百个自然数的和。不一会儿，高斯就把算出了准确答案的石板交给了老师。在这之前，老师从未教过学生计算等差数列方面的知识，这就是著名的“高斯问题”。高斯年轻时就在数学方面作出了不少贡献，11岁发现二项式定理，15岁读完牛顿等数学家的著作，掌握了牛顿的微积分理论，18岁进入大学，19岁发现了用圆规和直尺进行正十七边形的作图方法，解决了悬而未决的几何难题，22岁证明了代数学基本定理，即每一代数方程必具有一个复数形式的根。24岁时，他继续证明了算术基本定理，即每个自然数均可表示为素数乘积的形式，而且这种表示方式是唯一的。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有重大贡献。面对这一系列成就，他却谦虚地说：“如果其他人也像我那样持续不断地深入钻研真理，他们也会作出我所作的那种发现。”
如果我们今天也来解答那个著名的“高斯问题”：1＋2＋3……＋98＋99＋100＝？我想同学们大概不会采取把一百个自然数连续相加求和的办法吧，因为这个办法既不聪明又容易出错，更谈不上有什么计算技巧了。
求1至100这一百个自然数的和，可以采取头尾两数相加的办法：1＋100、2＋99、3＋98、4＋97……这样能得到50个101，用101×50便能迅速地求出它们的和是5050。当然还有其它的解法，如果我们用凑整百数的办法：1＋99、2＋98、3＋97、4＋96……便能得到49个100，再用100×49的积加上中间的数50与最后的数100，也能求出这一百个自然数的和。
如果我们展开想象的翅膀，可以把这一百个连续的自然数视为一个梯形，它的上底是1，下底是100，高是100。根据求梯形面积的公式：S＝（a＋b）×h÷2，这一百个自然数的和＝（1＋100）×100÷2＝5050。如果我们能找到这个梯形的中位线，即这一百个自然数的中间的一个数，便可以根据梯形的另一个求面积的公式：S＝m×h，这样一步就能求出得数。1至100的中间数应该在50与51之间，它是50.5，这一百个自然数的和＝50.5×100＝5050。啊！这个算法太妙了！假若德国数学家高斯还活在世上的话，他一定会坚起大拇指说：“中国的小学生真棒！”
计算的时候要认真审题，讲究计算技巧，使计算方法既正确又迅速，既合理又灵活。72×35÷36、42×54÷18，这两道题如果按照运算顺序，应该先算乘后算除，而乘或除都需要用竖式来进行计算。通过审题发现，这两道题改变其运算顺序，是不会影响计算结果的。将72×35÷36改为72÷36×35，将42×54÷18改为42×（54÷18），只需两次口算就能迅速地计算出它们的结果：72÷36×35＝2×35＝70，42×（54÷18）＝42×3＝126。再如125×12÷20，我们可以将原式改写为125×

＝125×

＝75。这样的例子有很多，只要我们平时重视计算的技能与技巧的培养与训练，我们也会变得越来越聪明的。
（本文作者郑俊选为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事，北京景山学校特级教师。）

作者: 行云流水 时间: 2008-6-3 20:41
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
辛苦了，题目不容易呀！

作者: 咫尺天涯 时间: 2008-6-6 15:53
标题: 回复：特级教师和学生谈数学思考
思路精巧，值得学习

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