绿色圃中小学教育网
标题:
二次函数的图象分析
[打印本页]
作者:
网站工作室
时间:
2008-2-6 09:46
标题:
二次函数的图象分析
武汉市“图象分析”类中考试题,新颖活泼,光艳照人,魅力非凡,它集逻辑推理、逆向思维、综合运用等式、不等式于一体,它立意考查学生数形结合的思想、理解分析能力、数据处理能力,要求考生从图象中攫取信息,并用这些信息来揭示问题的本质属性,由于本题的难度较大,对学生的个性思维品质也是一个考验,为了让同学们快速搞定此类问题,现将本题近两年的两种类型及其解决办法分析如下,供参考.
一、基本概念
:
对于二次函数
y
=
ax
2+
bx
+
c
(a
≠
0)
1
.函数图象开口方向决定
a
的符号,开口向上,
a
>0
,开口向下,
a
<0
.
2
.对称轴的位置决定
a
,
b
符号的异同,对称轴为
,对称轴在
x
轴的负半轴时
a
,
b
同号,
对称轴在
x
轴的正半轴时
a
,
b
异号.
3
.函数图象与
y
轴的交点位置决定
c
的符号,当图象与
y
轴的交点在正半轴时
c
>0
,交点在负半轴时
c
<0
.
4
.函数图象与
x
轴交点的横坐标为
x
1
,
x
2
,由根与系数的关系知:
,
.
5
.函数图象一般来说与
x
轴有交点,则
.
二、基本类型
(一)对称轴不明确型
【例1】(2005年非课改区中考试题)
已知二次函数
y
=
ax
2+
bx
+
c
的图象与
x
轴交于(
x
1
,
0
),(
x
2
,
0
),且
0<
x
1<1
,
1<
x
2<2
,与
y
轴交于点(
0
,-
2
),下列结论:
①2
a
+
b
>1
②3
a
+
b
>0
③
a
+
b
<2
④
a
<-1
,其中正确的个数有(
)
(A)1
个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
(二)基本方法
方法
1
:数形结合法
1
.先确定
a
,
b
,
c
的符号,
2
.根与系数的关系.
3
.由特殊点列出等式与不等式.
4
.灵活运用上述
3
个步骤中的条件逐步验证各个待定结论.
【解析】画出草图,如图,由图象可知:
a
<0
,
b
>0
,
c
=-2,
∵0<
x
1
<1
,1<
x
2
<2
, ∴1<
x
1
+
x
2
<3
,0<
x
1
x
2
<2
, ∴
,
两边同时乘以-
a
,得,-
a
<
b
<
-
3
a
,
∴3
a
+
b
>0
,结论
③
错误,由
,得
,两边同时乘以
a
,得
0>
-
2>2
a
,
∴
a
<
-1,结论
④
正确,当
x
=1时,
y
=
a
+
b
-2>0,故
a
+
b
>2
, 结论
③
错误,当
x
=2时,
y
=4
a
+2
b
-2<0, ∴2
a
+
b
<1
, 结论
①
也不对,故选A.
方法2:赋值法
∵
0<
x
1<1
,
1<
x
2<2
,不妨设
x
1
=
0.5
,
x
2
=
1.5
,设二次函数的解析式为
y
=
a
(
x
-
0.5
)(
x
-
1.5
),因抛物线过点(
0
,-
2
),
∴0.75
a
=-2,得
,则该二次函数解析式为
=
=
∴
a
=
,
b
=
,
c
=-2,∴2
a
+
b
=
+
<1,3
a
+
b
=
+
<0,
a
+
b
=
+
>2,
a
=
<-1,容易验证只有一个结论是正确的,故选A.
点评
:由于本题中
x
1
,
x
2
的范围限定得很窄,加上过一个定点,我们就可以从特殊值的角度来确定二次函数的
y
=
ax
2+
bx
+
c
(a
≠
0)
的解析式,将解析式中
a
,
b
,
c
的值求出,分别代入各待定结论中,加以验证,存真去伪,本法解题快捷,易于操作
.
(三)对称轴明确型
在新课改“减轻学生课业负担”宗旨下,加上课标人教版新教材弱化了一元二次方程中“根与系数的关系”的教学内容,故在
2006
年武汉市课改区同类考题中,明确了二次函数的对称轴,增强了对称观念、削弱了“根与系数的关系”,同时减少了待定结论、降低了试题难度、提升了得分机会,值得关注
.
【例2】(2006年中考试题)
已知抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0
)的对称轴为
x
=-
1
,交
x
轴的一个交点为(
x
1
,
0
),且
0<
x
1<1
,
下列结论:
①9
a
-
3
+
c
>0
②
b
<
a
③3
a
+
c
>0
,其中正确的个数有(
)
(A)1
个
(B)2个(C)3个
(D)4个
【解析】画出大致草图如右,由图象可知:
a
>0
,
b
>0
,
c
<0
,
由图象的对称性知,
x
=-3时,
y
=9
a
-3
b
+
c
>0
,
则结论
①
正确,∵对称轴是
x
=-1,即
,
∴
b
=2
a
,
b
-
a
=2
a
-
a
=
a
>0
,则
b
>
a
,结论
②
错误,当
x
=1
, ∴
a
+
b
+
c
>0
, ∵
b
=2
a
,
∴3
a
+
c
>0
,结论
③
正确.
∴
①
③
正确.故选
C
.
欢迎光临 绿色圃中小学教育网 (http://www.lspjy.com/)
Powered by Discuz! X3.2