特级教师和学生谈数学思考

与你同行

用比例法巧求面积

广东省佛冈县第一小学六（4）班 邹熳如

指导老师：黄秀银 学习中常遇到一些求面积的几何题，但条件比较隐蔽，用常规思路解答，常常无从入手。如果从两种相关联的量之间的比例关系入手去分析问题，往往能帮助我们巧妙地解答。 例1：在三角形ABC中，AD垂直于BC，BE垂直于AC，如图1。AD=7厘米，BE=8厘米，AC＋BC=21厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？ [分析与解] 因为三角形的面积等于底乘高除以2，当三角形的面积一定时，底和高成反比例，从三角形ABC的面积＝BC×AD÷2＝AC×BE÷2可得到：BC×AD＝AC×BE，AC:BC＝AD:BE＝8:7；又从AC＋BC＝21（厘米）可得，AC＝21×＝9.8（厘米），所以三角形ABC的面积是9.8×8÷2＝39.2（平方厘米）或BC＝21×＝11.2（厘米），所以三角形ABC的面积是11.2×7÷2＝39.2（平方厘米）。 例2：在三角形ABC中，三角形CDE的面积是15平方分米，三角形BCE的面积是30平方分米，三角形ADF的面积是35平方分米，三角形ABF的面积是20平方分米，三角形AEF的面积是多少平方分米？ [分析与解] 因为三角形的面积除以底等于高的一半，所以当高一定时，面积与底成正比例；又因为三角形CDE底边DE上的高与三角形BCE底边BE上的高相同，所以，DE:BE＝S△CDE:S△BCE＝15:30＝1:2；同样道理可知，从DE:BE＝1:2得：S△AED:S△ABE＝1:2；S△AED:S△ABD＝11＋2)＝1:3。 设三角形AED的面积是x平方分米，则x35＋20)＝1:3 解之得：x＝，所以三角形AEF的面积是35－＝（平方分米）。

咫尺天涯

思路精巧，值得学习

行云流水

辛苦了，题目不容易呀！

与你同行

向高斯学习讲究计算技巧

郑俊选

卡尔·弗里德里奇·高斯（1777－1855）是德国数学家、物理学家和天文学家，他对人类科学发展的影响，可以与阿基米德、牛顿并列。高斯出生在一个贫苦的家庭里，父亲原本不打算让他上学，但高斯很小就表现出在数学方面的才能。他10岁那年，数学教师布特纳要求学生求出1到100这一百个自然数的和。不一会儿，高斯就把算出了准确答案的石板交给了老师。在这之前，老师从未教过学生计算等差数列方面的知识，这就是著名的“高斯问题”。高斯年轻时就在数学方面作出了不少贡献，11岁发现二项式定理，15岁读完牛顿等数学家的著作，掌握了牛顿的微积分理论，18岁进入大学，19岁发现了用圆规和直尺进行正十七边形的作图方法，解决了悬而未决的几何难题，22岁证明了代数学基本定理，即每一代数方程必具有一个复数形式的根。24岁时，他继续证明了算术基本定理，即每个自然数均可表示为素数乘积的形式，而且这种表示方式是唯一的。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有重大贡献。面对这一系列成就，他却谦虚地说：“如果其他人也像我那样持续不断地深入钻研真理，他们也会作出我所作的那种发现。” 如果我们今天也来解答那个著名的“高斯问题”：1＋2＋3……＋98＋99＋100＝？我想同学们大概不会采取把一百个自然数连续相加求和的办法吧，因为这个办法既不聪明又容易出错，更谈不上有什么计算技巧了。 求1至100这一百个自然数的和，可以采取头尾两数相加的办法：1＋100、2＋99、3＋98、4＋97……这样能得到50个101，用101×50便能迅速地求出它们的和是5050。当然还有其它的解法，如果我们用凑整百数的办法：1＋99、2＋98、3＋97、4＋96……便能得到49个100，再用100×49的积加上中间的数50与最后的数100，也能求出这一百个自然数的和。 如果我们展开想象的翅膀，可以把这一百个连续的自然数视为一个梯形，它的上底是1，下底是100，高是100。根据求梯形面积的公式：S＝（a＋b）×h÷2，这一百个自然数的和＝（1＋100）×100÷2＝5050。如果我们能找到这个梯形的中位线，即这一百个自然数的中间的一个数，便可以根据梯形的另一个求面积的公式：S＝m×h，这样一步就能求出得数。1至100的中间数应该在50与51之间，它是50.5，这一百个自然数的和＝50.5×100＝5050。啊！这个算法太妙了！假若德国数学家高斯还活在世上的话，他一定会坚起大拇指说：“中国的小学生真棒！” 计算的时候要认真审题，讲究计算技巧，使计算方法既正确又迅速，既合理又灵活。72×35÷36、42×54÷18，这两道题如果按照运算顺序，应该先算乘后算除，而乘或除都需要用竖式来进行计算。通过审题发现，这两道题改变其运算顺序，是不会影响计算结果的。将72×35÷36改为72÷36×35，将42×54÷18改为42×（54÷18），只需两次口算就能迅速地计算出它们的结果：72÷36×35＝2×35＝70，42×（54÷18）＝42×3＝126。再如125×12÷20，我们可以将原式改写为125×＝125×＝75。这样的例子有很多，只要我们平时重视计算的技能与技巧的培养与训练，我们也会变得越来越聪明的。 （本文作者郑俊选为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事，北京景山学校特级教师。）

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找准联系推理计算

陈松坡

［题目］△、○、□代表3个数，并且 △＋△＝□＋□＋□                （1） □＋□＋□＝○＋○＋○＋○        （2） △＋□＋○＋○＝400               （3） △＝？□＝？（人教版九年义务教育六年制教材第八册第72页） （注：算式的序号为笔者所加。） ［分析与解］这道题初看起来，很难得出△、□和○各表示多少。如果仔细观察一下，各个算式之间存在着一定的联系，再根据联系进行推理计算，就能较快地得出结果。具体过程是： 一、从（l）与（2）的联系，可以得出△＝○＋○ 因为△＋△＝□＋□＋□；又□＋□＋□＝○＋○＋○＋○ ，也就是△＋△＝○＋○＋○＋○。所以△＝（○＋○＋○＋○）÷2＝○＋○。 二、将△＝○＋○代入（3），变为△＋□＋△＝400 （4） 三、从（4）与（l）的联系，可得□＝1OO 因为可以将（4）中的△＋△用□＋□＋□代入，得：□＋□＋□＋□＝400，所以□＝1OO。 四、将□＝100代入（1），△＝150代入（2），○＝75。 五、检验 将□＝100、△＝150、○＝75代入（3），△＋□＋○＋○＝150＋100＋75＋75＝400。说明所求的结果是正确的。 （作者单位：江苏省海门市教育局教研室）

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着眼于“大的面积里有几个小的面积”

冒金彬

有这样一类题，要求把某个大的图形剪成若干个小图形最多能剪的个数。 在辅导的时候，发现有好多同学只是在盲目地画图，但常因画图不准，费力干少却难以得到正确的答案。 其实，这类题目是有规律可寻的，我们可以着眼于大小图形的面积。 比如，像这样一道题：一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能剪出（   ）个长4厘米、宽1厘米的小长方形纸片。 可以这样想：大正方形的面积是7×7＝49（平方厘米），小长方形的面积是4×1＝4（平方厘米），而49÷4＝12（个）……l（平方厘米），很显然，大正方形里最多有12（个）小长方形，那么能剪成的小长方形纸片最多是不是就是12个呢？我们可以由剪后只余1平方厘米，想到每个大正方形的边都要尽可能成为剪成的小长方形的长或宽，而7可以表示成4＋1＋1＋1，这时我们再尝试着画图，发现正好能画出12个满足题目要求的长方形（如图1），所以这道题的答案是12个。 再如：把一个长9分米、宽6分米的长方形剪成长4分米、宽3分米的小长方形，最多能剪（   ）个。 可以同样思考：因为大长方形的面积是9×6＝54（平方分米），小长方形的面积是4×3＝12（平方分米），而54÷12＝4（个）……6（平方分米），所以大长方形里最多有4个小长方形，画图很容易证明，这个答案是正确的。（见图2） 当然，并不是说，大图形面积里面有几个小图形的面积，最多就能剪几个。 比如说：把一个长12厘米、宽5厘米的长方形剪成长4厘米、宽3厘米的长方形，最多能剪（   ）个。 在这道题中，大长方形的面积是12×5＝6O（平方厘米），小长方形的面积是4×3＝12（平方厘米），6O÷12＝5（个），但能剪成的符合题目要求的长方形最多却不是5个。因为，大长方形的宽5厘米没办法表示成几个4或几个3的和的形式，也就是说，剪成的小长方形的个数可能为4个（还余12平方厘米），画图很容易推得这道题的答案是4个。（如图3）

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应用题常见错误分析







应用题是大家比较熟悉的，从一年级就开始学习了。到目前为止，我们除了学习一步计算的应用题之外，还学习了两步计算的应用题，并会列综合算式解答应用题。可是在解应用题的时候，同学们常常要出现一些错误，甚至出了错误也不知什么原因和如何解决。下面就帮助大家分析一下应用题中常见的几种错误，以引起同学们的注意，避免犯类似的错误。

1．多余条件的干扰。

例  东风小学有2栋房子，其中一栋有4间教室，另一栋有5间教室，共有多少间教室？

错误解法是：4×2＋5＝13（间）

出现这一错误的原因是：受多余条件的干扰。题中的2栋是不用参加运算的条件。实际上只要将一栋教室数加上另一栋教室数，就等于这2栋共有的教室数。

2．表面现象的干扰。

例  两个边长都是10厘米的正方形，拼成一个长方形，长方形的周长是多少？

错误解法是：10×4×2＝80（厘米）

这一错误主要是受长方形是由两个正方形拼成这一表面现象的干扰，误认为长方形的周长应是两个正方形周长的和，其实两个正方形中间重合的边已不是长方形的边了。

前面分析了应用题的两种常见错误，今天继续分析另外的三种。

3．数学术语的干扰。

例  学校图书室借出72本图书，还剩28本。学校图书室原来有多少本图书？

错误解法是：72－28＝44（本）

这一错误主要受“还剩”这个数学术语的干扰。有的同学往往见“一共”就加，见“还剩”就减，却忘了具体问题具体分析。这题实际是：借出图书的本数加还剩图书的本数等于原有图书的本数，即72＋28＝100（本）。

4．概念不清。

例  一辆汽车每小时行40千米，上午8时从甲地开出，下午4时到达乙地。甲乙两地相距多少千米？

错误解法是： 40×（8＋4）＝480（千米）

产生错误的原因是“时刻”与“时间”的概念不清。路程应该等于速度乘以时间，而题中的8时和4时是时刻不是时间。这辆汽车从甲地到乙地所需的时间是8小时。

5．隐藏条件的干扰。

例  甲乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地开往乙地需4小时，返回时用了6小时。问这辆汽车往返的平均速度是多少？

错误解法是：240÷（4＋6）＝24（千米）

你知道产生这一错误的原因是什么吗？