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教学目标
了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法.
教学重点,难点
圆锥曲线的统一定义及准线方程.
教学过程
一、问题情境
1.情境:
我们知道,平面内到一个定点 的距离和到一条定直线 不在 上 的距离的比等于 的动点 的轨迹是抛物线.
当这个比值是一个不等于1的常数时,动点 的轨迹又是什么曲线呢?
2.问题:
试探讨这个常数分别是 和 时,动点 的轨迹?
二、学生活动
探讨过程略(可以用课件演示或直接推导);
可以得到:当常数是 时,得到的是椭圆;当常数等于2时得到的是双曲线;
三、数学运用
1.例题:
例1.已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 ,求点 的轨迹.
解:根据题意可得
化简得
令 ,上式可化为
这是椭圆的标准方程.
所以点 的轨迹是以焦点为 ,长轴、短轴分别为 的椭圆。这个椭圆的离心率 就是 到定点 的距离和它到定直线 不在 上 的距离的比.
类似地,我们可以得到:当点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 时,这个点的轨迹是双曲线,方程为 (其中 ),这个常数就是双曲线的离心率.
这样,圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点 和到一条定直线 ( 不在 上)的距离的比等于常数 的点的轨迹.
当 时,它表示椭圆;
当 时,它表示双曲线;
当 时,它表示抛物线.
其中 是圆锥曲线的离心率,定点 是圆锥曲线的焦点,定直线 是圆锥曲线的准线.
根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在 轴上的椭圆或双曲线,与焦点 对应的准线方程分别为 .
例2.椭圆 上一点到右准线的距离是 ,求该点到椭圆左焦点的距离.
解:设该椭圆的的左右焦点分别是 ,该椭圆的离心率为 ,由圆锥曲线的统一定义可知,
所以, 即该点到椭圆左焦点的距离为 .
说明:椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线.)
例3.若椭圆 内有一点 , 为右焦点,椭圆上有一点 使
最小,则点 为 ( )
略解:因为椭圆的离心率为 ,则 就等于 点到右准线的距离 ,则可以看到 ,由点到直线的最短距离是垂线段得 可以得到 .故选 .
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