【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算

郝消息

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算
数学网继【小学数学趣题巧算百题百讲百练】系列后又最新推出【小学数学解题思路大全】系列！本系列包括式题的巧解妙算、巧想妙算文字题 、巧想妙算填充、判断、选择题、 巧想妙算数的基本知识题、巧解整除问题 、巧想妙算应用题、巧想妙算初步几何知识题等几部分，几乎囊括了所有类型的例题及解题思路。
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1.特殊数题(1)21－12
　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
　　210－120＝(2－1)×90＝90，
　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
　　
　　若十位数字的和满10，进1。如
　　
　　证明：(10a＋1)(10b＋1)
　　＝100ab＋10a＋10b＋1
　　＝100ab＋10(a＋b)＋1
　　(3)26×86 42×62
　　
　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
　　＝100＋10a＋10b＋ab
　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
　　＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如

证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd
　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22
　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
　　原式＝(30＋8)×(30－8)
　　＝302－82＝836。
　　(8)88×37
　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
　　
(9)36×15
　　乘数是15的两位数相乘。
　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×10＝540。
　　55×15
　　
(10)125×101
　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。
　　原式＝12625。
　　再如348×101，因为348＋3＝351，
　　原式＝35148。
(11)84×49
　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
　　原式＝8400÷2－84
　　＝4200－84＝4116。
(12)85×99
　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
　　原式＝8500－85＝8415
　　　　　
　　不难看出这类题的积：
　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
　　　
　　如果被乘数的个位数是1，例如
　　31×999
　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
　　71×9999＝709999－70＝709929。
　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为
　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
　　这是一道颇为繁复的计算题。
　　原式＝0.052631578947368421。
　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
　　(1)先用0.1÷2＝0.05。
　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止。

　

　

　

　
　
　　仔细分析这个算式：
　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
　　除数末位是9，都可用此法计算。
　　例如1÷29，用0.1÷3计算。
　　1÷399，用0.1÷40计算。

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33.变数为式
　　
　　
　　
　　
　　
　　……
　　
　　
34.分解再组合
　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
　　＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
　　＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
　　
　　有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
　　
　　判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
　　57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
　　[57，76]＝19×3×4＝228。
　　
　　
　　26＝2×13，65和91是13的倍数。
　　最小公分母为
　　13×2×5×7＝910。

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30.凑公因数
　　例如，1992×27.5＋1982×72.5
　　＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
　　＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
　　＝1992×(27.5＋72.5)-725
　　=199200-725=198475
　　或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
　　……

31.和差积法
　　
　　
32.直接写得数
　　
　　观察整数和分数部分，显然原式=3。
　　

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26.加分数凑整
　　应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。
　　
　　
　　例3 8.37-5.68
　　　=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
　　　=8.69-6=2.69

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22.以乘代除
　　例如，2.7÷4÷6×24÷27
　　　　
23.以除代除
　　
　　观察其特点，
　　
24.并数凑整
　　例如，372＋499
　　＝372＋500－1＝871
　　56.7－12.8
　　＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
　　例如，476＋302
　　＝476＋300＋2＝778
　　9.42－3.1
　　＝9.42－3－0.1＝6.32

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19.以加代乘
　　
　　一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1
20.以除代乘
　　例如，25×123678448
　　＝123678448×(100÷4)
　　＝12367844800÷4
　　＝3091961200

21.以减代除
　　
　　＝1986－662＝1324
　　3510÷15
　　
　　＝(3510－1170)÷10＝234

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17.以乘代加
　　例1 7＋4＋5＋2＋3＋6
　　　　＝9×3＝27
　　
　　如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。
　　18.以乘代减
　　
　　知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。
　　
　　
　　
　　可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积