发展：数学操作技能教学的应有之义

郝消息

发展：数学操作技能教学的应有之义

让学生获得持续发展，是课改背景下数学教育的内在追求，数学操作技能（特指度量、作图等技能）的教学自然也不例外。 但在一线教师的课堂中，操作技能的教学恐怕更多地是“示范和模仿”，学生的感受恐怕更多地是“单调和乏味”，这一串关键词勾勒出的课堂不可能洋溢着生命成长的气息。难道就不能创造技能教学的另一种可能：充满探索情趣而又意味深长？我们在相关课例的教学中进行了思考和探索。 一、  操作技能不仅仅是动作技能，也是智慧操作的过程。 这似乎是数学教育的一个悖论，一方面，随着对东方数学教育研究的深入 ，数学技能在学生数学水平的提高和数学能力培养中的重要性日益突出；但另一方面，基层教师的课堂中，数学技能的教学却暮气沉沉，毫无数学教改的时代气息。这其中固然有多种原因，但不容置否的是，首先在我们的理念上，认为数学技能就是动作技能，教师不示范讲解和学生跟着模仿，怎么能习得？因而，数学操作技能的教学要打开新局面，首先要对直尺、三角尺、量角器、圆规等工具，以及运用这些工具进行操作的过程要有新视野。任何的度量都是用度量单位比划被测图形的过程，因而抽象的数学单位不能只存在于学生的心智内部，总得有一个物化的存在形式。以角的度量为例，“度”是测量的单位，但我们不可能用“度”这个单位一度一度去测量被测的角，为了方便，把许多个“一度”组合在一起而成量角器，量角器显然是度量单位“度”的物化形式，或者说是一个个有着明确度数的角的标准形式。以此类推，直尺就是“厘米”等长度单位的物化形式。就作图来说，作图所凭借的工具，是相关数学概念的物化形式，三角尺的两直角边不是“垂直”概念的存在吗？圆规只要一转，不就是一个个圆吗？鉴于此，我们就可以构建这样的认识：度量的过程是孩子们用工具去比划被测量对象，对照重合找到和被测图形相对应的标准形式，从而获得结果的过程。而画图的本质是学生在头脑中依据数学概念的心理意义去想像图形的基本结构，添画某些要素（点、线、面），将数学概念的心理意义通过具体的图形呈现出来，或不断地调整各要素（点、线、面）的位置关系，使之切合数学概念的要求。虽然就操作技能的最终来说，上述的很多过程是在无意识状态中完成的，但就其最初的心理过程来说，肯定是充满智慧的，绝对不是纯粹的肢体动作过程。换言之，数学中的度量、作图等操作技能，是基于数学知识并以手肌肉运动表现在外的智慧性动手技能，它提供了学生通过自己的眼睛和小手去认识现实世界的机会，理应让学生在自主学习的过程中获得技能。 二、  数学概念不仅仅是数学推理的基础，也是技能生长的沃土。 在角的度量中，即使学生明白了“由那条零刻度线决定了读那圈刻度”的道 理，但在实际操作中，总有不少学生读错刻度。想要突破这个不是难点的难点，似乎只有多操作。认知心理学认为，技能属于程序性知识范畴，而程序性知识的获得必须以陈述性知识为前提。这揭示了一个显而易见的道理，如果人为割裂了数学操作技能和相关数学概念之间的内在联系，数学操作技能的形成就只能演变为简单的模仿、机械的训练。而反之，只要教师有意识地挖掘学生已有的知识储备，操作技能的形成完全可能“四两拨千斤”。在上面所说的教例中，教师如果充分调动起学生关于“锐角”、“钝角”的表象，被测的角是锐角的，就读两个刻度中锐角的度数；是钝角的，就读两个刻度中钝角的度数。以知识的表象为支撑指导操作，而不再拘束于僵化的技巧，操作还容易错吗？ 充分发挥相关知识的作用，技能的教学或许就少去了重复的讲解和机械的训练。与此同时，我们还应该看到，数学概念的定义虽然揭示了它的本质特点，但并不能呈现出这个概念的多方面特点。为了利于学生探索相关的数学操作技能，作为教师，就要有意识地引导学生领悟更有利于数学技能形成的数学本质。 在苏教版国标四年级上册教材中，“平行”的教学先认识平行线，再学习画平行线。教材从两条直线的相交、不相交，引出了平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线互相平行。不相交，而且是无限延长后永远不相交，这种描述本身就是只可意会不可再现的，因而在作图中，很难说得清这两条直线是永远不相交的，要求学生自主探索怎样画平行线当然也就难上加难。针对这种情况，在平行线的教学中，我们就有意识地引导学生发现：互相平行的两条直线间宽度不变（学生还没有学习垂直，所以引用这个生活概念来替代“距离”），为孩子们探索平行线的画法作了铺垫。教学的事实证明，这样的铺垫对于孩子们探索操作技能是必需的。 数学概念和数学技能间的相得益彰是双向的，不仅数学概念的深刻理解可以促进学生以此为生长点探索数学技能，而且，凭借数学技能的操作可以加深对数学概念的认识，为更高层级的数学技能的生长提供可能，这也是发展的一个方面含义。因而，在操作技能的学习过程中，教师也要注意把握促进学生加深理解数学概念的课程资源。例如，角的度量中，用直尺延长角的边以方便测量，可以加深学生对“角的边为什么是射线”的理解；要求学生画不同方向的两组平行线，可以把多种四边形联系起来，并从平行的角度阐释各自的特征；如此等等。 三、  教学组织不仅仅可以先讲后试，也可以先试后讲。 广大一线教师在数学操作技能的教学中，囿于“示范――模仿――训练”的 教学模式，与数学教育心理学的研究缺失有一定关系。 如上文所言，数学操作技能既不是纯粹的智慧技能，也不是典型的动作技能，但它的掌握还是属于程序性知识学习的范畴。程序性知识的习得一般要经历如下三个阶段：①陈述性阶段。理解并记住此技能的各项规定或操作步骤，知道要怎样做。②转化阶段。即将言语表达的某项技能用行为的方式表现出来。③自动化阶段。通过一定的练习使得某操作快速、准确、熟练。也就是说，技能教学一般教师先讲、学生跟着操作。以现代认知心理学的一般规律指导教学，这本身没有问题。实际上，就操作技能的掌握来说，教师先讲学生模仿的教法同样可以是卓有成效的。但模仿和强化操作，封杀了学生作为一个人的全部丰富性，因而，发展的功能是极其有限的。当我们对这样的教法进行反思的时候，恰恰一方面凸现了心理学的一般原理指导数学教育的尴尬，另一方面则凸现了数学教育心理研究的苍白。数学的教与学是特殊的认知活动，其中的心理过程和心理机制，与其他的学习过程并不完全一致，因而，以一般的心理学原理指导数学教育，就缺少了针对性和适应性。正如歌德所言，理论是灰色的，唯生命之树常青。鲜活的教学实践完全可能走在理论前面。加涅认为，任何技能的学习都是以过去学习的其他比较简单的技能为前提的。因而，新技能的建构是学生以相关数学知识为基点统合已掌握技能的过程。以已有的知识技能为基础，辅之于在平时的游戏活动中，孩子们多样的动手操作活动积累的动作经验，显然，在教师讲解、示范之前，让学生先尝试操作，完全是行得通的。 上文提高的“平行”课例中，在学生认识平行意义后，我们就放手让他们试画平行线。学生先画一条直线，把直尺移动一下，再画一条直线。但孩子们似乎有所顾忌，移动直尺时都稍稍动了动。在老师的要求下，直尺移动得幅度大了，问题也就冒了出来。量了量两条直线间的宽度，发现两条直线延长后会相交。画――移尺――再画，“哪问题出在那一步呢？”，“肯定是尺移动时出了问题。”学生依据“两条平行线间的宽度不变”一思考，得出了结论“直尺移动时不能晃动”。“徒手移动直尺要不晃动，还真不容易！如果能靠着轨道移动那该多好啊。”就这样，把画平行线的新技能转化成了探究“怎样给移动的直尺造轨道”。孩子们调动起各种经验和技能，将移动直尺的方法演绎得多姿多彩：有的孩子把直尺一端沿着练习本的边移动；有的把直尺一端靠上了数学书来移动；有的在已画的直线旁又画了一条与之相交的直线，让直尺一端沿着新画的直线移动；有的在直尺一端靠上了另一把尺……新技能无须教师多讲，已成为了孩子们的囊中之物。 数学操作技能的教学倡导学生先试、教师再讲，其本质是彰显其智慧性的内 在属性，但与此同时，也并不是否定其动作性的内在属性。也正因为，数学操作技能具有相互间不可替代的两方面属性，因而，在教学中我们常常看到，学生即便理解了操作的原理或方法，但在操作中还是会出错。特别是，由于小学生的年龄所限，在动作的精确度、连续性、协调性方面，经常会出现这样或那样的问题。例如画平行线，即使用了规范的操作方法画平行线，一些孩子们还是会惊呼“不平行吗？！”问题出在哪里？原来，在双手的配合上出了问题。如图的第二步，应先右手用力按住三角尺，左手拿直尺轻轻靠上；之后，应左手用力按住直尺，右手轻轻移动三角尺；第三步，左手就可以放开直尺，用力按住三角尺，右手拿铅笔靠着三角尺的一边轻画直线。整个过程中如果双手的用劲配合不佳，就极易造成三角尺和已画直线的不重合，或者三角尺或直尺的晃动，那画出的两条直线当然就不平行。 一般，每一种操作都有类似的特殊的技巧要求。但凡事都要学生躬身而为，也就容易陷入凡事都不能有作为的境地。这些操作过程中的特殊技巧，更多地是动作的协调与连贯方面的要求，只要“熟”总是能生“巧”的，因此，也就无须让学生自己去摸索，以省去不必要的操作挫折。有效的数学操作技能教学，教学方式虽然以“先试后讲”为主，但教师在学生运用新技能进行操作时，一定要留心学生操作还存在什么问题，并及时组织讨论交流，交流和共享各自的解决之道，或者教师作出必要的示范讲解，以帮助孩子们尽快地步入操作定型、简缩、自动化的层次。 任何技能掌握之后，再操作起来可能就无须动脑。但探究之初，无疑是件富有挑战性的事情。没有精心的组织，要求孩子们琢磨新技能怎样操作，那犹如将小白鼠引入迷宫，即使获得成功也是全凭运气。而自主探究的教学，学生是否获得成功如果全凭运气，没有绝大多数学生在绝大多数时候获得成功的把握，那也就失去了在课堂情境中组织的意义。从这个角度上说，考量“先试后讲”的教学怎样设计，是很有价值的事。笔者执教“平行”后的体会是，首先要洞悉操作技能的数学本质，然后从学生的视野依次剥离学生已经掌握的旧技能，把剩下的操作作为课的核心。抓住了这样的核心，也就抓住了学生已有的动手操作经验、知识与技能向新技能发展的关节点，教学也就有了“四两拨千斤”的可能。例如，画平行线的数学本质是实现画直线（线段）工具的平移，平移后对应的直线（线段）自然是平行的，因而，新技能的各步操作中，剥离学生已掌握技能后剩下的也就是给要移动的直尺“造轨道”，以实现直尺的平移。用量角器度量角的大小，数学本质是用量角器上度数明确的角去重合被测度数的角，而学生在前面的学习中，已经知道了角的大小是指角的两边张开的大小，也学会了怎样使两个角重合的操作，所以，新技能形成的核心也就是能从量角器中找出各种度数的角。这样一剥离，显露的核心往往既不十分烦琐，学生的内心世界也可能有相关的动作操作经验或知识技能储备，教师过多的讲解和示范完全没有了必要。

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郝消息

和谐：小学数学教学设计的新视角
――以“字母表示数”的教学设计为例

随着建构主义逐渐成为教学设计的理论基础，教学设计的主旨也转向了以学习者为中心的学习环境设计①。从这样的命题出发，决定了我们不能在教学设计过程中倚重某个要素，而抛弃某个要素。因而，多要素、多视角的和谐也就成了必然的诉求。本文以江苏教育版课程标准实验教科书四年级下册“用字母表示数”的教学设计为例，对此问题作如下应答。
一、学校形态和原始形态的融通：在历史的长河中领悟知识的数学本质。作为数学教师，在设计教学时，面临的首要问题是深刻理解所教知识的数学本质、思想内涵。数学教育的规律告诉我们，对教学内容的理解程度直接影响到教学目标的确定、对教学对象的分析以及教学策略的选择，甚至直接影响到在课堂情境中，教者灵活应对生成性教学问题的智慧水平。因此说把握所教知识的数学本质、思想内涵是数学教学设计的灵魂实不为过。
由于小学生的年龄特点所限，他们学习的数学知识不是纯粹的科学形态的数学，而是经过教育学、心理学以及教学法加工的学校形态的数学。②为使数学知识的呈现形式、学习顺序更符合小学生的学习规律，从数学的科学形态到学校形态，不仅仅弱化了数学的抽象性、逻辑性和形式性，而且还在相当程度上滤去了数学知识发展的脉络走向以及相互间的广泛联系，这就给广大一线教师想利用教材，全面而又深刻地理解所教知识的数学本质带来了障碍。例如，在小学数学的教材体系中，学生学习“用字母表示数”被认为是系统学习代数知识的开始，这之后，再安排学习方程的意义、解法以及列方程解决实际问题。在小学的方程知识系统中，字母只是用来表示未知数。虽然在教师的教学用书中提出，用字母表示数是学生认识上的一次飞跃。但多数教师没有原始形态的数学知识作支撑，并不能透彻地理解这句话的真正意义。因而有教师还是误认为：用字母表示数就是用字母替代未知数，使得表达更简略。那用字母表示数到底意味着什么？作为学校形态数学知识载体的教材已经无力回答这个问题了，还是让代数发展的历史告诉我们答案吧。
初等代数的中心内容是围绕解方程展开的。早期，古埃及和稍后希腊人的代数，几乎毫无例外地都是用文字叙述的。像公元9世纪阿拉伯数学家阿尔?花拉子米的著作《还原和对消的科学》中，有这样一题：把一个正方形面积加上其一边长度之十倍等于39时，此正方形必是什么（用现代符号表示即为x2＋10x =39）?花氏的解答为：把所加边长的倍数除以2，得5。把该数自乘，得乘积25。把此数与39相加，得64。取此数的平方根得8，从该数中减去边长倍数之半，剩下3。此即所求正方形的边长，因而所求正方形面积等于9。〔1〕这还是一个并不复杂的问题，解答过程读来就如此艰涩，当所要解决的实际问题复杂一些时，用这种方式表达的解方程过程那该会多么繁复！这种繁复非常缓慢地促使人类形成了“必须要有一套符号”的认识。最早使用简略记号的代数学家是古希腊丢蕃图。他在著作里，将未知数称为“题中的数”，并用希腊字“数”的第一个音节的缩写来表示。这之后，许多数学家在引入代数符号方面作出了贡献，但他们的符号和丢番图一样，基本上仍是标准文字的缩写。也正因为如此，16世纪最有天才的意大利代数学家卡当在其巨著《大法》中记录的方程种类就有66种之多。〔2〕用音节的缩写来表示未知量，虽然简略了方程解法的表述，但一个个音节的缩写，其本身都具有先入为主的意义，因而就只能表示一个个特定的数量，只不过有所简略而已。每一种方程都各具独自的特点，只能按照其本身的特点和细节来处理，一种方程就需要一个特殊的解法，这无疑耗去了数学家们巨大的精力。到了17世纪，法国数学家韦达设想寻找一种求解各种类型方程的通用方法，通过研读先辈们的代数著作，他逐渐认识到，要实现自己的设想，首先要使各种类型的方程具有普遍的形式。他在自己的著作中有意识地、比较系统地提出了用字母表示不同量的想法。他这样写道：
在这里，我们用一种技巧来帮助我们区别已给的量和所求的或未知的量，这就是用一种有永久性质的、易于理解的符号体系――例如，用A或其他母音字母表示未知量，用B、C、G或其他子音字母表示已知量。〔3〕
韦达用统一的字母表示未知量、已知量及其运算，被公认为是对世代代数传统的突破，是代数学发展历史上的一座重要里程碑。这种价值体现在韦达超越了各类数量的具体特点，从一般意义上用字母来表示它们，省略了数学关系的实际情境，去掉了实际语言带来的差别。这样，就把原先各具特点的方程归结成了通用的形式，使得代数变得能适应所有场合的普遍情况，极大地扩展了代数的应用范围。其后，字母表示的意义不断被拓展，字母不仅表示数量，而且可以表示向量、矩阵、超复数等各种形式的量，代数真正发展成为了一门关于形式运算的学科。
回顾代数的发展历史，不仅仅是体会用字母表示数推动代数学发展的历史功绩，更重要的诉求是领悟用字母表示数的数学本质：字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。换言之，用字母表示数，不是因为不知道这个数量是多少，而是因为这个已知的数量在不断的变化中，因而用字母来概括地表示它。教学中，为了能使孩子们用极短的时间完成人类先祖认识提升的历史过程，我们需要将科学形态的数学科学转变为学校形态的数学学科，但为了使学校形态的数学更具有教育价值，我们更需要在数学知识的学校形态、科学形态和原始形态之间来回穿梭，从更宽广的视野研读教材，思索领悟知识的数学本质、思想内核，把握人类认识提升的大致过程。只有这样，从长远看，才能为学生对数学获得更好的理解提供生长点；从当前的教学设计看，才能更好地理清教学思路。像经过上面的分析，用字母表示数的教学就要致力于使学生认识到，字母不仅可以表示特定的未知量，还可以表示变化的已知量。站在历史的高度，我们还可以从整体上把握住人类认识提升的三个历史阶段：文辞代数→缩写代数→符号代数。虽然，个体的学习过程总呈现出其特有的特点，但整体上，儿童的学习过程往往会以某种形式重复人类认识提升的历程。因而，就有助于我们在教学过程中清楚地判断学生的认识处于什么水平，从而积极、能动地调整教学，以达到教学目标。
二、实践经验和教育理论的结合：在理性的分析中体味学生的学习障碍。
有研究资料显示，小学教师教学设计能力的发展与教龄密切相关。教龄对于教学设计的影响主要体现在分析教学任务和教学对象，以及编制教学目标、选择与运用教学方法等多个方面。〔4〕虽然教学内容不同，在分析教学任务、编制教学目标、选择与运用教学方法等方面有所差异，但其技能技巧终究可以迁移使用。而分析教学对象，意味着要了解学生的生活经验、知识基础、学习可能产生的学习困难与错误等。由于学习某个知识点，对学习者的生活经验、知识积累、要开展的思维活动等各方面往往有不同的要求，所以，教师在进行此教学设计分析教学对象时的所得所感，并不能简单地用在彼教学设计中。从这个意义上说，教师的实践经验在分析教学对象中所取的作用就显得格外重要。但需要引起我们思考的是，广大一线教师的实践经验往往是建立在教学经历基础上的感性体会，鲜有严密的分析和理性的总结，其科学性是有限的，有时甚至不能恰如其分地对学生的学习状况作出针对性的诊断和推测。例如学生学习“用字母表示数”，从实践经验的角度分析，代数是算术的推广和发展，以数年的算术学习经历作基础，把特定的数量关系用简单的代数式表示出来，就不是太难的事。练习中要求学生用含有字母的式子来表示数量关系，正确率非常高，接近100%，似乎也佐证了这个判断。但我们在多次貌似成功的试教之后，要求学生回答“四年级一班有 a人，二班有42人，两个班有多少人？”的问题时，偏偏有平均50％以上的学生认为此题不能计算出最后结果，或者干脆写上“不能解答”？！题的表达形式虽然不同了，但孩子是同样的孩子，为什么在不同的情境中就表现出如此迥异的状况呢？像这样深层次的问题，实践经验是无法作出解释的。因而在教学设计过程中，应该基于实践经验并有意识地引入教育理论，特别是数学教育心理学的知识，在实践经验和理性思辨的相互结合中分析教学对象，从理性的高度把握住学生在数学学习过程中的心理过程，解释数学学习的某种心理现象，准确体味学生学习可能出现的障碍、难点，为学生创设真正有效的学习环境。
从数学教育心理学的视角来分析，我们可以发现，孩子们学习“用字母表示数”是极富有挑战性的事情。深入到数学概念形成的过程内部看，数学概念可以区分为“过程”和“对象”两个相互依赖的侧面，〔5〕（110）用字母表示数就是无数次解决特定问题的思维由“过程”向“对象” 凝聚的结晶。像“四（1）班有30人，四（2）班有32人”，这个问题的“过程”属性侧重于表达“由两个班的人数可以得到两班的人数和”的计算过程，关注“30＋32＝62”，但这样的加法算式只能表示这个特定情境中的特定问题，不具有一般性。当孩子们积累了相当的学习经验后，就可以引导他们不仅仅关注一次次计算的过程，而把算法的本身作为数学思考的对象，关注“30＋32”，由此才可能从特殊情况概括出一般意义：两个班的人数不管有怎样的变化，两个班肯定一共有“ a+b”人。从这里我们可以清晰地体会到由算术到代数，不是简单的词面字义上的更替，而是思维方式上的提升。由于小学生在学习“用字母表示数”之前，主要是算术的思维方式，形成的思维定势是列出的算式要算出确定的结果。这种思维方式对将一个代数式作为思考的对象，是不能接受的，孩子们总觉得“这还没有算完呢”。而代数的思维方式偏偏更多地关注算法本身，结果是多少是次要的。因此，学生学习“用字母表示数”的最大难点是：能将含有字母的式子既看作一个过程，更能看作一个对象，是确定性的结果和抽象性的关系的统一体。至此，我们也就能理解那平均50%以上的学生问题出在那里了。有些学生虽然没有直接作出“不能解答”的应答，写了“a＋42＝”，看似只是多写了“＝”，但反映出其心理上还是希望计算出结果，并没有将算法本身作为思维对象。
那为什么学生没有形成代数的思维方式，却也能正确地完成诸如“用含有字母的式子来表示题中的数量关系”这样的练习呢？这似乎是不可思议的。
  　实际上，数学技能上的高水平和数学思想上的低层次两者间本身就是可以不匹配的，它们可以统一地存在于一个个体身上。这就像代数的发展历史上，我们的祖先虽然没有意识到用字母表示一般的数，从而在更抽象的层面上思考和解决代数问题，但不妨碍他们运用特定的缩写字母或文字来替代未知数，并表现出高超的解方程技巧。英国的CSMS小组曾经对3000名13至15岁的学生做过调查研究，区分出学生使用字母的6个水平：
给字母赋值。一开始就要用数值来代替字母表示。
忽视字母的意义。字母被忽略掉，或者只承认它，但不给它任何含意。
视字母为具体对象。字母是具体对象的表示记号，或者就是对象本身。
视字母为特定的未知数。字母是一个特殊的未知量，可以对它进行计算。
视字母为广义的数。字母可以代表几个数，且不一定是未知量。
视字母为变量。字母代表一个范围内的非特定的数，而且在两组数之间可能存在一定的关系。
他们的研究进一步显示，虽然在教学中表达了对象的一般性，但只有较少一部分学生能将字母看成广义的数，有能力将字母当作变量的就更少了，较多的学生是把字母解释成特定的未知数。〔5〕（159）也就是说，有相当多的学生是在比较低的层次上运用字母表示数的。算术知识是代数知识的基础，只要在算术学习阶段对各种数量关系有正确的认识，那么在代数思想的较低层次上学生就完全可以熟练地运用含有字母的式子表示各种数量关系，甚至进行简单的代数式的运算，只不过在他们的认识中，字母可能就是一个具体数量的替代而已，并不表示一般的意义。实际教学中，正因为学生在类似的练习中，表现出很高的水平，而致使有相当一部分教师疏于反思自己的教学设计还有什么问题。
三、意义建构与文化传承的并举：在递进的反思中完成认知结构的重组。大家普遍认为，只有理解才能学好数学。“理解”的心理学意义指，要学习的数学概念或原理，学习者能在心理上组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分。〔5〕（64）这样的表述至少包含有两个意思：一方面，在新概念或原理的学习之前，学习者必须具备建构新知识意义的准备知识，否则就不会产生理解；另一方面，如果不致力于在新、旧知识之间建立恰当的联系，即使具备了新知学习的准备知识，也不会产生理解的心理过程。从这样的视角看，我们就不能漠视孩子们在以前的数学学习中运用字母的各种经历和体会。细细究来，孩子们在以前的数学学习中，获得的字母运用的经验主要有三种情况。其一是一些单位和数量的字母表示，像kg表示千克、cm表示厘米、h表示高、t表示时间等，无论那种情况，都是有关词语的单词的缩写表示，不是代数学上的符号表示。其二用x表示未知数，即用字母表示特定的未知量，也不是新知的意义。其三，在运算律和面积计算的学习中，用字母表示运算律和面积计算公式。这里的字母运用具有了代数学中的符号特征，但由于教学的侧重点不同，孩子们可能更多地经历了这样的替代过程，并没有经历清晰的用字母表示数的抽象过程。总之，孩子们在以前的数学学习中，对字母的运用主要是停留在数学发展历史上的缩写阶段。在数学发展史上，从丢番图用缩写的字母表示数到韦达用字母表示一般意义上的数，用了整整1200年。要孩子们在短短的40分钟内，用独立建构的方式走过人类认识提升的这段历史显然不是现实的。因而，在正视孩子们已有数学学习经验的基础上，教学方式注重意义建构与文化传承的并举是理智的做法，教学中可以设计这样几个环节：③
1．  唤起经验。利用扑克“6、7、A、10”算24点，以及求数列“2、4、6、
m、10…”中m的值来引导学生归纳出：用字母可以表示特定的未知数。板书：特定 未知数
2．  初次建构。用课件演示小棒摆三角形，要求学生说出用的小棒根数。在
学生回答“摆两个三角形用6根小棒”时，老师引导学生认识到还可以写成“3×2”根。之后，给一段时间比一比：哪个同学这样的算式写得多？待孩子们纷纷停笔不写的时候，再引导学生思考：怎样用一个式子来概括各种各样情况下，摆三角形用的小棒根数？由于学生在以前的学习中，有过字母表示的经历，所以学生能得出“3×a”的写法。接着引导学生反思，这里的“a”还表示特定的未知数吗？并讨论“a”不可以表示什么数？教师根据情况相机板书：特定→变化
未知数→已知数
3．  再次建构。出示“数学魔盒”，从电脑中输入一个数，经过魔盒加工输出
另一个数。学生甲说输入8，加工输出18；学生乙说输入10，加工输出20……同学们纷纷举手时，老师提出：哪个同学的回答能把其他所有同学想尝试的情况都包括进来？引导学生提出输入“b”，加工输出“b＋10”。之后，再引导学生探究魔盒加工数的“秘密”。使学生认识到，如果输入“c”，那么就按照“c+10”的关系加工，出来的数就是“c+10”。老师总结并板书：既表示关系也表示结果
   学习从最终意义上说，是新知识纳入原有认知结构的过程。用字母表示数的新意义要进入学生已有的认知结构，字母运用的原有经验是必经的节点。学生的认识要实现飞跃，就必须对字母表示数的新意义和旧经验之间的区别有清楚的认识，不然就不可能产生真正的理解。上述教学设计努力彰显的就是这点。分析其中的教法，呈现出的特点是让学生亲身经历用字母表示数的过程，教师相机用词语概括不同情境中用字母表示数的意义。这样的教法传递着这样一种认识，即当我们把现行约定俗成的数学知识看作历史传承结果的同时，也意味着这些知识经历了发生、发展、积淀的过程。为了让学生在数学学习过程中，获得持续发展，应该让学生经历发现问题、尝试解决的过程，在此基础上，适时辅之于倾听接受似乎更有效率些。这样的学习，探索中有倾听接受，接受中有自主体验，才更符合课堂情境中小学生学习的科学规律。

和谐视角的小学数学教学设计的全部涵义，不是一个案例所能概括的。上面谈及的三点显然是不全面的，例如教学目标的确定是教学设计的核心所作，文中就没有涉及。本文从案例的视角来阐释这样的命题，正是想说明它的一个内在特性，和谐视角的小学数学教学设计既不是教学设计理论和小学数学的简单叠加，也不是小学数学和和谐教育理论的简单叠加。一个学科的建设，必定离不开理论的支撑和演绎，但教学设计作为实践性极强的学科，它的发展更离不开对鲜活案例的归纳和总结。一个成功案例虽然有局限性，但它所折射出的点滴的创新之举、学科教学设计的特有规律，不是理论演绎能全部涵盖的，这正如歌德所言：理论是灰色的，唯生命之树常青。当然，我们也应该本着和谐――案例设计和理性思考相结合的态度，在案例设计的基础上，概括、筛选、综合教学设计实践活动中的理性感悟，一例一得，得得相积，只有这样，才能构建既具有严密理论体系，又彰显实践智慧和数学教学规律的小学数学教学设计学科。




注   释：
①  所谓学习环境，是指促进学习者发展的各种支持性条件的统合。 钟志贤．论学习环境设计〔J〕．电化教育研究，2005，（7）：35－41.
② 为了叙述的方便，我们把数学知识的表现形式分为科学形态、学校形态和原始形态。科学形态指以数学概念为基础，通过严密的逻辑组织起来的公理体系，其突出地表现为抽象性、逻辑性、形式性；学校形态指以促进学生发展为目的而构建的数学知识体系；原始形态指数学思考不断披荆斩棘，数学真理不断被发现，科学形态逐步被构建的历史历程。
③  以此思路设计的课例，由启东市第一实验小学季国栋老师执教，在2006年华东六省一市小学数学优质课观摩中获一等奖。其中，“数学魔盒”的素材引自江苏南通师范第二附属小学柳小梅老师的设计。
参考文献：
〔1〕让?迪厄多内．当代数学 为了人类心智的荣耀〔M〕．沈永欢，译．上海：上海教育出版社，1999．58－59．
〔2〕朱家生．数学史〔M〕．北京：高等教育出版社，2004．92．
〔3〕T?丹齐克．数：科学的语言〔M〕．苏仲湘，译．上海：上海教育出版社，2000．73．
〔4〕张景焕，金盛华等．小学教师课堂教学设计能力的发展特点及影响因素〔J〕．心理发展与教育，2004，（1）：61．
〔5〕李士锜．PME：数学教育心理〔M〕．上海：华东师范大学出版社，2001．