北师大版初中八年级数学下册全册教案合集下载

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［过程］让学生充分考虑，使他们能分清命题的题设和结论.写出逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，而判别真假则依赖于对知识的掌握.
［结果］解：①凡相等的角都是直.假命题
②相等的角是对顶角.  假命题
③同位角相等，两直线平行.  真命题
④如果两个数之和是正数，那么这两个数中必须有一个正数.  真命题

4.回顾联系，形成结构
本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成.命题分为真命题和假命题.
在辨别真假命题时.注意：假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.
大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.
5.课外作业与拓展
课外作业：课本P197  习题6.3  1、2 、3
6.3  为什么它们平行
一、教学目标
（一）教学知识点
1.平行线的判定公理.
2.平行线的判定定理.
（二）能力训练要求
1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力.
2.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.
3.掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式.
（三）情感与价值观要求
通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想.
二、教学重难点
教学重点：平行线的判定定理、公理.
教学难点：推理过程的规范化表达.
三、教具准备
投影片五张
第一张：定理（记作投影片§6.3 A）
第二张：议一议（记作投影片§6.3 B）
第三张：定理（记作投影片§6.3 C）
第四张：想一想（记作投影片§6.3 D）
第五张：小结（记作投影片§6.3 E）
四、教学过程设计
1.创设情景，引入新课
［师］前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？
［生甲］在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.
［生乙］两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.
［生丙］同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
［师］很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.
上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实.
我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行.
2.讲授新课［师］看命题（出示投影片§6.3 A）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
［师］这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图6－12，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b.
那如何证明这个题呢？我们来分析分析.
［师生共析］要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行.
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3.
［师］好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴∠1+∠2=180°（互补的定义）
［∵∠1+∠2=180°］
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）
∵∠3+∠2=180°（1平角=180°）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
［∵∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2］
∴∠1=∠3（等量代换）
［∵∠1=∠3］
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.
这一定理可简单地写成：
同旁内角互补，两直线平行.
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.
（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.
（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.
好，下面大家来议一议（出示投影片§6.3 B）
小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？



［生］我认为他的作法对.他的作法可用图6－14来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°.因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB.
［师］很好.从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.

［师生共析］已知，如图6－15，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1+∠3=180°（1平角=180°）

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∴∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠2与∠3互补（互补的定义）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：（出示投影片§6.3 C）
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
这一定理可以简单说成：
内错角相等，两直线平行.
［师］刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的.下面大家来想一想（出示投影片§6.3 D）
借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？
［生甲］已知，如图6－16，直线a⊥c,b⊥c.
求证：a∥b.

证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）
∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴b∥a（同位角相等，两直线平行）
［生乙］由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.
［师］同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.
3.课堂练习
（一）课本P200随堂练习
1.蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图6－17所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.

解：这三个四边形的形状是平行四边形.
理由是：∵∠α=109°28′∠β=70°32′（已知）
∴∠α+∠β=180°（等式的性质）
∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）
（二）你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？能证明你的作法吗？
［过程］通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤.

［结果］如图6－18所示.
用圆规和直尺能作出两条平行线.
因为在作图中，作∠β=∠α.而∠α与∠β是同位角.由“同位角相等，两直线平行”可知：a∥b.
还可以作内错角，即：作一个角等于已知角α，使所作的角与∠α是内错角即可.
4. 回顾联系，形成结构
这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表（出示投影片§6.3 E）

由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角.
注意：1.证明语言的规范化.
2.推理过程要有依据.
3.“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证.
5.课外作业与拓展
课外作业：课本P201习题6.4  1、2


6.4  如果两条直线平行
一、教学目标
（一）教学知识点
1.平行线的性质定理的证明.
2.证明的一般步骤.
（二）能力训练要求
1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力.
2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤.
（三）情感与价值观要求
通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.
二、教学重难点
教学难点：理解命题、分清其条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证.
三、教具准备
投影片六张
第一张：议一议（记作投影片§6.4 A）
第二张：想一想（记作投影片§6.4 B）
第三张：符号语言（记作投影片§6.4 C）
第四张：命题（记作投影片§6.4 D）
第五张：证明的一般步骤（记作投影片§6.4 E）
第六张：练习（记作投影片§6.4 F）
四、教学过程设计
1.创设情景，引入新课
［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？
这节课我们就来研究“如果两条直线平行”.
2.讲授新课
［师］在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：
两直线平行，同位角相等.
下面大家来分组讨论（出示投影片§6.4 A）
议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？
［生甲］利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等.
［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补.
［师］很好.下面大家来想一想：（出示投影片§6.4 B）
（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？
（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
（3）你能说说证明的思路吗？

［生甲］根据上述命题的文字叙述，可以作出相关的图形.如图6－23.
［生乙］因为“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”这个命题的条件是：两条平行线被第三条直线所截.它的结论是：内错角相等.所以我根据所作的图形.如图6－23，把这个文字命题改写为符号语言.即：
已知，如图6－23，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
［师］乙同学叙述得很好.（出示投影片§6.4 C）
（投影片为上面的符号语言）你能说说证明的思路吗？
［生丙］要证明内错角∠1=∠2，从图中知道∠1与∠3是对顶角.所以∠1=∠3，由此可知：只需证明∠2=∠3即可.而∠2与∠3是同位角.这样可根据平行线的性质公理得证.
［师］丙同学的思路清楚.我们来根据他的思路书写证明过程.哪位同学上黑板来书写呢？

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（学生举手，请一位同学来）
［生丁］证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
［师］同学们写得很好.通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理.即平行线的性质定理.这样就可以把它作为今后证明的依据.
注意：（1）在课本P191中曾指出：随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证明的依据.所以像“对顶角相等”就可以直接应用.
（2）这个性质定理的条件是：直线平行.结论是：角的关系.在应用时一定要注意.
接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题（出示投影片§6.4 D）
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
  ［师］来请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上.

图6－24
［生甲］已知，如图6－24，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）

［生乙］老师，我写的已知、求证与甲同学的一样，但证明过程有一点不一样，他应用了直线平行的性质公理，我应用了直线平行的性质定理.（证明如下）
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
［师］同学们证得很好，都能学以致用.通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论.
到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳.
［师生共析］好，我们来共同归纳一下（出示投影片§6.4 E）
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形.
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.
［师］接下来我们来做一练习，以进一步巩固证明的过程.
3.课堂练习
（一）练习（出示投影片§6.4 F）

证明邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图6－25，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB.
OF平分∠BOC（已知）
∴∠EOB= ∠AOB
∠BOF= ∠BOC（角平分线定义）
∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）
∴∠EOB+∠BOF= （∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）
即∠EOF=90°
∴OE⊥OF（垂直的定义）
（二）已知，如图6－27，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.

［过程］让学生在证明这个题时，可从多方面考虑，从而拓展了他们的思维，要证：AD∥BC，可根据平行线的五种判定方法，结合图形，可证同旁内角互补，内错角相等，同位角相等.
［结果］证法一：∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

证法二：如图6－28，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

证法三：如图6－29，连接BD（构造一组内错角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
4. 回顾联系，形成结构
这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤.
1.平行线的性质：
公理：两直线平行，同位角相等
定理：两直线平行，内错角相等
定理：两直线平行，同旁内角互补
2.证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
5.课外作业与拓展
课外作业：课本P204  习题6.5  1、2、3


6.5  三角形内角和定理的证明
一、教学目标
（一）教学知识点
三角形的内角和定理的证明.
（二）能力训练要求
掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.
（三）情感与价值观要求
通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.
二、教学重难点
教学重点：三角形内角和定理的证明.
教学难点：三角形内角和定理的证明方法.
三、教具准备
三角形纸片数张.
投影片三张
第一张：问题（记作投影片§6.5 A）
第二张：实验（记作投影片§6.5 B）
第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）
四、教学过程设计
1.创设情景，引入新课

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［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）
工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.

为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？
2.讲授新课
［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）
用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？

［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于     0°.
［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.
［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？
［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.
［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？
［生齐声］180°
［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B）
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.
但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.

这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时，∠A与∠ACE能重合吗？
［生齐声］能重合.
［师］为什么能重合呢？
［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥BA.
［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.
这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？
［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.
［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？

［生甲］已知，如图6－40，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：∠A+∠B+∠C=180°.
［生乙］老师，我的证明过程是这样的：
证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.
则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.
小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C）


在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？
你有没有其他的证法.
［生甲］小明的想法可行.因为：
∵PQ∥BC（已作）
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.
［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.

即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.
∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）
∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）
∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）
∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.
3.课堂练习
（一）课本P206随堂练习1、2.

1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.
答案：90°  60°
如图6－44，在△ABC中，∠C=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=90°.

如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°

2.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,

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∠C=70°,求证：∠ADE=50°.
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=70°（已知）
∴∠AED=70°（等量代换）
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）
∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）
（二）课本P209试一试1
证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？

［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.
［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.
证明略.
4.回顾联系，形成结构
这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.
5.课外作业与拓展
课外作业：课本P208习题6.6  1、2 、3








6.6  关注三角形的外角
一、教学目标
（一）教学知识点
1.三角形的外角的概念.
2.三角形的内角和定理的两个推论.
（二）能力训练要求
1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.
2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
（三）情感与价值观要求
通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路.从而使他们灵活应用所学知识.
二、教学重难点
教学重点：三角形内角和定理的推论.
教学难点三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.
三、教具准备
投影片四张
第一张：想一想（记作投影片§6.6 A）
第二张：推论（记作投影片§6.6 B）
第三张：例1（记作投影片§6.6 C）
第四张：例2（记作投影片§6.6 D）
四、教学过程设计
1.创设情景，引入新课
［师］上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？
［生］通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°.
师］很好，下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.

已知，如图6－56，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.
则：∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）
［师］好，在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到 ∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.
那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.
2.讲授新课
［师］那什么叫三角形的外角呢？
像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
外角的特征有三条：
（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.
（2）一条边是三角形的一边.如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.
（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.
把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.
下面大家来想一想、议一议（出示投影片§6.6 A）

如图6－57，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？
［生甲］∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°.
［生乙］∠1=∠2+∠3.因为：∠1与∠4的和是180°,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°.所以∠2+∠3=180°－∠4.而∠1=180°－∠4,因此可得：  ∠1=∠2+∠3.
［生丙］因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：∠1>∠2,∠1>∠3.
［师］很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？
［生丁］三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.
［生戊］不对，如图6－58.

图6－58（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：△ACB是钝角三角形.∠ACB>∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.
图6－58（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等.
由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的.应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.
［师］噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？
［生］同意.
［师］是三角形的任一个外角都有此结论吗？
［生］是的.
［师］很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片§6.6 B）
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
［师］这两个结论是由什么推导出来的呢？

admin

［生］通过三角形的内角和定理推出来的.
［师］对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.
因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.
注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.
下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片§6.6 C）

［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC.
［师生共析］要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：需证明：∠DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=1/2∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
［师］同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？
［生甲］这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=1/2∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=1/2∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
［生乙］还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=1/2∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=1/2∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
［师］同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.
现在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？（出示投影片§6.6 D）
［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2.

［师生共析］一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠3是△CDE的一个外角（已知）
∴∠3>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.
3.课堂练习
（一）课本P212随堂练习1

1.已知，如图6－61，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求∠B和∠ACB的度数.
解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠DCA=100°,∠A=45°（已知）
∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质）
∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°）
∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质）
∵∠DCA=100°（已知）
∴∠ACB=80°（等量代换）
（二）课本P213试一试1
如图6－62，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
［过程］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

［结果］证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图6－63.
则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图6－62.
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）
即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图6－64.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）

如果点D在线段BC的另一侧，如图6－65，则有
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
（可利用三角形的内角和定理来证明，证明略）
4. 回顾联系，形成结构
本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推论1.

admin

在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明.
6.课外作业与拓展
课外作业：课本P212习题6.7  1、2、3
回顾与思考
●教学目标
（一）教学知识点
1.证明的必要性，了解证明的书写格式.
2.了解定义、命题、公理和定理的含义.
3.平行线的性质定理和判定定理.
4.三角形的内角和定理及推论.
（二）能力训练要求
1.理解证明的含义.
2.通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论.
3.掌握用综合法证明的格式.体会证明的过程要步步有依据.
4.通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用.
5.通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用.
（三）情感与价值观要求
通过学生回顾与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而发展他们的空间观念.
●教学重点
1.平行线的性质定理和判定定理的应用.
2.三角形内角和定理及其推论的应用.
3.证明的步骤及书写格式.
●教学难点
证明过程的书写.
●教学方法
自学，小组讨论法.
●教具准备
投影片三张
第一张：问题（记作投影片“回顾与思考” A）
第二张：平行线的判定与性质的关系图（记作投影片“回顾与思考” B）
第三张：知识结构图（记作投影片“回顾与思考” C）
●教学过程
Ⅰ.巧设问题情境，引入课题
［师］前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？如何证明呢？今天我们就来对此进行回顾与思考.
Ⅱ.回顾与思考
［师］同学们先独立思考下列问题，然后以小组为单位进行讨论，共同回顾本章的内容.（出示投影片“回顾与思考” A）
1.直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？
2.请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理.
3.什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么关系？你会证明它们吗？
4.三角形内角和定理怎样证明？三角形的外角与内角有什么关系？
5.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤.
（学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决）
［生甲］如：两棵一样高的树，但相距很远，当你站在其中一棵树旁边时，显得它很高，而另一棵较低.

图6－69
又如图6－69：
直观看，图6－69（1）长，图6－69（2）短，实际上是一样长的.
……
（学生举出了许多生活中的实例，说明直观有时也会发生错误）
［生乙］定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.
命题呢，就是判断一件事情的句子.
公理：是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题.即公认的真命题.
定理是经过推理的过程得到的真命题.
［生丙］在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行.
如果两条直线平行时，则同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的.
这两类命题的条件和结论正好相反.
［生丁］两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件.
［生戊］公理也是.
［师］同学们讨论得很好，这两类命题的关系如下图（出示投影片“回顾与思考” B）

［师］你们会证明它们吗？
［生］会.主要利用平行线的性质公理证明其性质.利用平行线的判定公理证明判定定理.
［师］很好.接下来看问题4、5.
［生甲］证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角.
［生乙］三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.
与它不相邻的内角关系是：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
［生丙］证明一个命题是真命题的基本步骤是：
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
［生丁］在证明时需注意：
（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来.
（2）证明中的每一步推理都要有根据.
［师］同学们讨论得真棒，通过分组活动，解决了具有能反映本章内容的一串问题.现在来梳理一下本章的知识结构图.（出示投影片“回顾与思考” C）

［师］好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容.
Ⅲ.课堂练习
（一）课本P203复习题  A组  1~7

图6－70
1.将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图6－70的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？
答案：能.
证明：∵四边形ABCD是正方形（已知）
∴∠DAB=90°（正方形的性质）
∵∠DAE=30°（已知）
∴∠EAB=60°（等式性质）
∵∠AEF=120°（已知）
∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

图6－71
2.已知，如图6－71，直线a,b被直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=180°
证明：∵a∥b（已知）