人教版初中八年级数学下册全册教案合集下载

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　　2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
　　3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
　　4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的性质1、2．
　　2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
三、例题的意图分析
    本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．
四、课堂引入
　　1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
五、例习题分析
例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
　　求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵　四边形ABCD是菱形，
∴　 CB=CD， CA平分∠BCD．
∴　 ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴   △BCE≌△COB（SAS）．
∴　 ∠CBE=∠CDE．
∵　在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴　∠AFD=∠CBE．
    例2 （教材P108例2）略
六、随堂练习
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为               ．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
七、课后练习
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．




19.2.2   菱形（二）
一、教学目的：
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的两个判定方法．
2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．
四、课堂引入
1．复习
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2）菱形的性质1  菱形的四条边都相等；
性质2  菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）
2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
    通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2　 四边都相等的四边形是菱形．

五、例习题分析
例1 （教材P109的例3）略
例2（补充）已知：如图 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵　 四边形ABCD是平行四边形，
∴　 AE∥FC．
∴　 ∠1=∠2．
又　 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴　 △AOE≌△COF．
∴　 EO=FO．
∴　 四边形AFCE是平行四边形．
又　 EF⊥AC，
∴　  AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
    ※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．
求证：四边形CEHF为菱形．
    略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．
六、随堂练习
1．填空：
（1）对角线互相平分的四边形是                         ；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

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（4）两组对边分别平行，且对角线              的四边形是菱形．
2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
七、课后练习
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是  （    ）．
（A）两条对角线相等        （B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直  （D）两条对角线互相垂直平分
2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
3．做一做：
设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．　




19.2.3 正方形
一、教学目的
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．  
二、重点、难点
1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．  
2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．   
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
四、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
五、例习题分析
例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵　 四边形ABCD是正方形，
∴　 AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴　△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

  例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
    分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
    证明：∵  四边形ABCD是正方形，
∴   ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又   DG⊥AE， ∴  ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴   ∠EAO=∠FDO．
∴   △AEO ≌△DFO．
∴   OE=OF．
例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵　 PN⊥l1，QM⊥l1，
∴   PN∥QM，∠PNM=90°．
∵　 PQ∥NM，
∴　 四边形PQMN是矩形．
∵   四边形ABCD是正方形
∴　 ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴　 ∠1+∠2=90°．
又　 ∠3+∠2=90°，  ∴　 ∠1=∠3．
∴   △ABM≌△DAN．
∴   AM=DN．  同理  AN=DP．
∴   AM+AN=DN+DP
即   MN=PN．
∴　 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
六、随堂练习
1．正方形的四条边____  __，四个角___  ____，两条对角线____   ____．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（   ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（   ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（   ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（   ）

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⑤四个角相等的四边形是正方形．（   ）
3．        已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．

七、课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．



19．3  梯形（一）
一、教学目的：
1．        探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．
2．        能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算能力．
3．        通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．
二、重点、难点
1．重点：等腰梯形的性质及其应用．
2．难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．
三、例题的意图分析
    本节课安排了三个例题，例1是教材P118中的例1．它是等腰梯形性质的直接运用．题目比较简单，在教学中，最好让学生分析、讲解、解答．同时也要注意引导学生，在证明△EAD是等腰三角形时，要用到梯形的定义“上下底互相平行（AD∥BC）”这一点．
    例2与例3都是补充的题目，例2是一道计算题，例3是一道证明题，其用意一是为了巩固其概念，二是辅助线添加方法的练习，这两个题目的辅助线均是“平移一腰”，老师们在教学或练习中也可以再补充一些其它辅助线添加方法的题目，让学生多了解多见识．（但由于本教材在梯形这一部分知识中，并没有添加辅助线的要求，因此所选的题目不要太难．）通过题目的练习与讲解应让学生知道：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在教学时应让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．
四、课堂引入
1．创设问题情境——引出梯形概念．
【观察】（教材P117中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？
2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，
【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？
（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？


梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．）
（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
  
3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．
在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．
【问题一】　图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想；
【问题二】　这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？
结论： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．
②等腰梯形同一底上的两个角相等．
③等腰梯形的两条对角线相等．
五、例习题分析
    例1（教材P118的例1）略．
（延长两腰     梯形辅助线添加方法三）
例2（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD的长．
    分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
    解（略）．
　   例3 （补充） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．
    分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．
证明（略）
另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．
六、随堂练习
1．填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=      ．
（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是    和      ．
（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=       ．
2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．  （AD=DC=BC=4，AB=8）
3．求证：等腰梯形两腰上的高相等．
七、课后练习
1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为     ，最小角为       ．
2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．

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3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB， ， ．
求证：AD=AB—DC．
4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）





19．3  梯形（二）
一、教学目的：
1．通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明．
    2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力．
　 3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．
二、重点、难点
1．重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用．
2．难点：等腰梯形判定方法的运用．
三、例题的意图分析
    本节课安排的例题与练习较多，可供老师们选用．
    例1是教材P119的例2，这是一道计算题，讲解时要让学生注意，已知中并没有给出等腰梯形的条件，它需要先判定梯形ABCD为等腰梯形，然后再用其性质得出结论．
    例2、例3、例4都是补充的题目．其中例2是一道文字题，这道题在进行证明时，可采用“平移对角线”或“作高”两种不同的方法，通过讲解例2，可以再次给学生介绍解决梯形问题时辅助线的添加方法．
    例3是一道证明等腰梯形的题，它需要先证明其四边形是梯形，即先证出EG∥AB，此时还要由AE，BG延长交于O，说明EG≠AB，才能得出四边形ABGE是梯形．然后再利用同底上的两角相等得出这个梯形是等腰梯形．选讲此题的目的是为了让学生了解和掌握证明一个四边形是等腰梯形的步骤与方法．
    例4是一道作图题，新教材P119的练习4就是一道画梯形图的题，此例4与练习4相同．通过此题的讲解与练习，就是要加强学生对梯形概念的理解，并了解梯形作图的一般方法．让学生知道梯形的画图题，也常常是通过分析，找出需要添加的辅助线，先画出三角形或四边形，再根据它们之间的联系画出所要求的梯形．
四、课堂引入
1．复习提问：（1）什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？
　（2）等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？
　（3）在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？
　　我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题．
     2．【提出问题】：前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题．等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？
命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证．
启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证．
　　已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．
求证：AB=CD．
　　分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．
　　证明方法1：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．
　　∵AB∥DE， ∴∠B=∠1，
　　∵∠B=∠C， ∴∠1=∠C．　∴DE＝DC．
　　又∵AD∥BC，　∴DE＝AB=DC．
证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE．
证明方法二：用常见的梯形辅助线方法：过点A作AE⊥BC， 过D作DF⊥BC，垂足分别为E、F（见图一）．

证明方法三： 延长BA、CD相交于点E（见图二）．                                图一                     图二
       通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：等腰梯形判定方法
     等腰梯形判定方法  在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．
　　【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．
五、例、习题分析
例1（教材P119的例2）
例2（补充） 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
　　分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．
　证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，
又 AD∥BC，∴ 四边形ACED为平行四边形， ∴ DE=AC ．
　∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E
　∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2
　又 AC=DB，BC=CE，  ∴ ΔABC≌ΔDCB．  ∴ AB=CD．
∴ 梯形ABCD是等腰梯形．
　　说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．
问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证 RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．
  例3（补充） 已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．

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　　分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．
　　例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．
　　分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．
如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成  AECD的画图．
　　画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．
　　  .
　　②延长BE到C使EC=4cm.
　　③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D．
　　四边形ABCD就是所求的等腰梯形．
　　解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．

　　答：梯形周长为26cm，面积为24 ．
六、随堂练习
  1．下列说法中正确的是（     ）．
（A）等腰梯形两底角相等   
（B）等腰梯形的一组对边相等且平行
（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度
（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm．
3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．
4．已知，如图，在四边形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
（略证   ，AD=BC，  ，∴ AB∥DC）
5．已知，如图，E、F分别是梯形ABCD的两底AD、BC的中点，且EF⊥BC，求证：梯形ABCD是等腰梯形．
七、课后练习
1．等腰梯形一底角 ，上、下底分别为8，18，则它的腰长为______，高为______，面积是_________．
2．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．
3．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB与CD不平行，且AB=CD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．
4．如图4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．求证：CE= （AB+CD）．






第二十章数据的分析
20.1数据的代表
20.1.1平均数（第一课时）
一、教学目的：
1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念
2、使学生掌握加权平均数的计算方法
3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。
二、重点、难点和难点突破的方法：
1、重点：会求加权平均数
2、难点：对“权”的理解
三、例习题意图分析
1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。
（1）、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念和加权平均数的计算公式。
（2）、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式，也是已学者易犯的错误。在这里安排讨论很得当，起揭示思维误区，警示学生、加深认识的作用。
（3）、客观上，教材P136的问题是一个实际问题，它照应了本节的前言——将在实际问题情境中，进一步探讨它们的统计意义，体会它们在解决实际问题中的作用，揭示了统计知识在解决实际问题中的重要作用。
（4）、P137的云朵其实是复习平均数定义，小方块则强调了权意义。
2、教材P137例1的作用如下：
（1）、解决例1要用到加权平均数公式，所以说它最直接、最重要的目的是及时复习巩固公式，并且举例说明了公式用法和解题书写格式，给学生以示范和模仿。
（2）、这里的权没有直接给出数量，而是以比的形式出现，为加深学生对权的意义的理解。
（3）、两个问题中的权数各不相同，直接导致结果有所不同，这既体现了权数在求加权平均数的作用，又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。
3、教材P138例2的作用如下：
（1）、这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固，让学生熟悉公式的使用和书写步骤。
（2）、例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化，以百分数的形式出现，升华了学生对权的意义的理解。
（3）、它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。
四、课堂引入：
1、若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。
某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：
班级        1班        2班        3班        4班
参考人数        40        42        45        32
平均成绩        80        81        82        79
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？下述计算方法是否合理？为什么？
= （79+80+81+82）=80.5
五、例习题分析：
例1和例2均为计算数据加权平均数型问题，因为是初学尤其之前与平均数计算公式已经作过比较，所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数，即是选择普通的平均数计算还是加权平均数计算，其次若用加权平均数计算，权数又分别是多少？例2的题意理解很重要，一定要让学生体会好这里的几个百分数在总成绩中的作用，它们的作用与权的意义相符，实际上这几个百分数分别表示几项成绩的权。
六、随堂练习：
1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占100%、测验占30%、期中占35%、期末考试占35%，小关和小兵的成绩如下表：
学生        作业        测验        期中考试        期末考试
小关        80        75        71        88
小兵        76        80        68        90

admin

2、为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：（单位：小时）
寿命        450        550        600        650        700
只数        20        10        30        15        25
求这些灯泡的平均使用寿命？
答案：1.    =79.05        =80  2.   =597.5小时
七、课后练习：
1、在一个样本中，2出现了x 次，3出现了x 次，4出现了x 次，5出现了x 次，则这个样本的平均数为       .
2、某人打靶，有a次打中 环，b次打中 环，则这个人平均每次中靶     环。
3、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各项成绩如表所示：
应聘者        笔试        面试        实习
甲        85        83        90
乙        80        85        92
试判断谁会被公司录取，为什么？
4、在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？
答案：1.          2.          3. =86.9    =96.5  
乙被录取      4.  39人





20.1数据的代表
20.1.1平均数（第二课时）
一、教学目的：
1、加深对加权平均数的理解
2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题
3、会用计算器求加权平均数的值
二、重点、难点和难点的突破方法：
1、重点：根据频数分布表求加权平均数
2、难点：根据频数分布表求加权平均数
三、例习题的意图分析
1、教材P140探究栏目的意图。
（1）、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。
（2）、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时，频数恰好反映这组数据的轻重程度，即权。
这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容，比如组、组中值及频数在表中的具体意义。
2、教材P140的思考的意图。
（1）、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题
（2）、帮助学生理解表中所表达出来的信息，培养学生分析数据的能力。
3、P141利用计算器计算平均值
这部分篇幅较小，与传统教材那种详细介绍计算器使用方法产生明显对比。一则由于学校中学生使用计算器不同，其操作过程有差别亦不同，再者，各种计算器的使用说明书都有详尽介绍，同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计算器。所以本节课的重点内容不是利用计算器求加权平均数，但是掌握其使用方法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较大、较多的计算也变得容易些了。
四、        课堂引入
采用教材原有的引入问题，设计的几个问题如下：
（1）、请同学读P140探究问题，依据统计表可以读出哪些信息
（2）、这里的组中值指什么，它是怎样确定的？
（3）、第二组数据的频数5指什么呢？
（4）、如果每组数据在本组中分布较为均匀，比组数据的平均值和组中值有什么关系。
五、随堂练习
1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况，对学生作课外作业所用时间进行调查，下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表
（1）、第二组数据的组中值是多少？
（2）、求该班学生平均每天做数学作业所用时间
2、某班40名学生身高情况如下图，
请计算该班学生平均身高
所用时间t(分钟)        人数
0＜t≤10        4
0＜≤        6
20＜t≤20        14
30＜t≤40        13
40＜t≤50        9
50＜t≤60        4
答案1.（1）.15. （2）28.  2.  165
七、课后练习：
1、某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表
该公司每人所创年利润的平均数是多少万元？
2、下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄，根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄？
3、为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的50个居民区进行了噪音（单位：分贝）水平的调查，结果如下图，求每个小区噪音的平均分贝数。
答案：1.约2.95万元  2.约29岁  3.60.54分贝












20.1 数据的代表
20.1.2 中位数和众数（第一课时）
一、教学目的
1、认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数。
2、理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表，可以反映一定的数据信息，帮助人们在实际问题中分析并做出决策。
3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。
二、重点、难点和难点的突破方法：
1、重点：认识中位数、众数这两种数据代表
2、难点：利用中位数、众数分析数据信息做出决策。
三、例习题的意图分析
1、教材P143的例4的意图
（1）、这个问题的研究对象是一个样本，主要是反映了统计学中常用到一种解决问题的方法：对于数据较多的研究对象，我们可以考察总体中的一个样本，然后由样本的研究结论去估计总体的情况。
（2）、这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时，中位数的求法和解题步骤。（因为在前面有介绍中位数求法，这里不再重述）
（3）、问题2显然反映学习中位数的意义：它可以估计一个数据占总体的相对位置，说明中位数是统计学中的一个重要的数据代表。
（4）、这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的，所以应鼓励学生学好这部分知识。
2、教材P145例5的意图

admin

（1）、通过例5应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数，它代表该型号的产品销售最好，以便给商家合理的建议。
（2）、例5也交待了众数的求法和解题步骤（由于求法在前面已介绍，这里不再重述）
（3）、例5也反映了众数是数据代表的一种。
四、课堂引入
严格的讲教材本节课没有引入的问题，而是在复习和延伸中位数的定义过程中拉开序幕的，本人很同意这种处理方式，教师可以一句话引入新课：前面已经和同学们研究过了平均数的这个数据代表。它在分析数据过程中担当了重要的角色，今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用。
五、例习题的分析
教材P144例4，从所给的数据可以看到并没有按照从小到大（或从大到小）的顺序排列。因此，首先应将数据重新排列，通过观察会发现共有12个数据，偶数个可以取中间的两个数据146、148，求其平均值，便可得这组数据的中位数。
教材P145例5，由表中第二行可以查到23.5号鞋的频数最大，因此这组数据的众数可以得到，所提的建议应围绕利于商家获得较大利润提出。
六、随堂练习
1某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的销售金额，统计了这15个人的销售量如下（单位：件）
1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150
求这15个销售员该月销量的中位数和众数。
假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件，你认为合理吗？如果不合理，请你制定一个合理的销售定额并说明理由。
2、某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调，销售台数如表所示：

        1匹        1.2匹        1.5匹        2匹
3月        12台        20台        8台        4台
4月        16台        30台        14台        8台
根据表格回答问题：
商店出售的各种规格空调中，众数是多少？
假如你是经理，现要进货，6月份在有限的资金下进货单位将如何决定？
答案：1. （1）210件、210件   （2）不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件（320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平），销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
2.   （1）1.2匹    （2）通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进2匹空调。
七、课后练习
1.        数据8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8的中位数是  ，众数是
2.        一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是        .   
3.        数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是（       ）
A.97、96    B.96、96.4       C.96、97      D.98、97
4.        如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（       ）
A.24、25     B.23、24        C.25、25      D.23、25
5.        随机抽取我市一年（按365天计）中的30天平均气温状况如下表：
温度（℃）        -8        -1        7        15        21        24        30
天数        3        5        5        7        6        2        2
请你根据上述数据回答问题：
（1）.该组数据的中位数是什么？
（2）.若当气温在18℃~25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天？
答案：1.  9；2.  22； 3.B；4.C；  5.（1）15.   （2）约97天






20.1.2 中位数和众数（第二课时）
一、教学目的：
1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。
2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。
3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。
二、重点、难点和突破难点的方法
1、重点：了解平均数、中位数、众数之间的差异。
2、难点：灵活运用这三个数据代表解决问题。
较多的一种量。另外要注意：
平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大.
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响.
平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.
中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势.
三、例习题的意图分析：
教材P146例6的意图
（1）、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的一个例题，从分析和解答过程来看它交待了该如何完整的进行这几个过程，为该怎样综合运用已学的统计知识解决实际问题作了一个标准范例。教师在授课过程中也应注意，对已学知识的巩固复习。
（2）、从分析和解答过程来看，此例题的一个主要意图是区分平均数、众数和中位数这三个数据代表的异同。
（3）、由例题中（2）问和（3）问的不同，导致结果的不同，其目的是告诉学生应该根据题目具体要求来灵活运用三个数据代表解决问题。
（4）、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义，也体现了统计知识与生活实践是紧密联系的。
四、课堂引入：