初中数学教材培训

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1.　引入或解释函数等概念，例如通过候鸟飞行问题引入正比例函数，通过登山问题引入一次函数，通过第14.1节中一系列具体例子解释变量间的对应关系等，这样做的目的是借助直观的、具体的事物为理解抽象的内容服务。



2.　作为函数的应用举例，例如第14.1节中例4的水位预测，第14.2节中例6的运输规划等，它们都可以体现数学建模思想，反映函数的广泛应用性.



本章明确提出“为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要的数学工具——函数，用它描述变化中的数量关系.函数的应用极其广泛.”在本章的教学和学习中，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出函数来自实际又服务于实际，加强对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.



找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境是基础.在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图象、表格、式子等进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数的合理性.教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用函数分析解决它们.



（三）重视数形结合的研究方法



　　本章所讨论的对象是函数，函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系.这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，这在数学发展中具有重要地位.恩格斯说：“笛卡儿变数的出现，是数学中的一个转折点，从此运动和辩证法进入了数学.”



在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质.以前我们曾多次提到数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，而对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解. 结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势.教学过程中，在函数解析式与图象的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用.学习了本章之后不仅要知道有关函数的图象，更要体验图象的作用和数形结合的方法.数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识.



（四）加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用



设计本章教科书的内容和结构时，注意了函数与以前所学习的其他代数知识的关系，力求能够在发展和构建一个较好的知识体系方面起到一定引导作用.为此，本章安排了第14.3节“用函数观点看方程（组）与不等式”，用函数的观点对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）重新进行了分析.教学中应能感受到这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高处进行动态的分析.教师需要明确安排这一节的目的，把握这些内容的要求尺度.教科书的设计者希望能通过这些内容的教学，加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，使学生能用一次函数可以把以前学习的方程和不等式等不同的数学对象统一起来认识，逐步达到新旧知识的融会贯通，进一步体验函数的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力.



由于本章最后部分是以新带故的内容，其中多数内容学生并不生疏，所以这部分内容很适合探究式学习方式，希望教学中注意加强学习的主动性，注意鼓励学生积极探究，教师为启发诱导设计必要的铺垫，让学生能在经过自己的努力来体验知识间的内在联系.



从特殊到一般地认识问题，是学习的一种途径.本章在讨论一次函数时，教科书在函数解析式、图象、性质等问题上，注意了对比函数和的区别，并对这些问题进行了由特殊到一般的讨论.教学中应注意这种安排的前后联系，体现解决问题时“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的基本策略.



（五）注重对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力



本章中函数的基本概念，函数的一般表示法和一次函数的概念、图象、性质等是基础知识；会画一次函数（包括正比例函数）的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质等是基本技能；能利用这些函数分析和解决简单实际问题是基本能力.对于基础知识和基本技能的掌握和基本能力的提高，都应在教学中得到落实.例如，第14.1节中对于描点法画函数图象的一般步骤进行了归纳，这对后续学习很重要，应使学生熟悉它.又如，一次函数中的正负对函数的增减性（图象的升降）的影响等，是一次函数的基本性质，应使学生从数形两方面理解.

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初中数学培训手册之二十

第十五章“整式”简介

课程教材研究所 林立军



　　人教版初中数学新课标实验教科书第十五章是“整式”，本章属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前已经学习了有理数运算、列简单的代数式和一次方程及不等式的基础上引进的。



本章共安排了5个小节及两个选学内容，教学时间约需13课时，大体分配如下（既供参考）：



15.1  整式的乘法                                            4课时



15.2  乘法公式                                              2课时



15.3  整式的除法                                            2课时



15.4  因式分解                                              3课时



数学活动



小结                                                       2课时

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一、教科书内容和课程学习目标

（一）本章知识结构框图

　　　　

　　（二）教科书内容

本章的主要内容是单项式、多项式、整式的有关概念，合并同类项、添括号法则、整式的四则运算、乘法公式以及因式分解。这些知识是以后学习分式、根式运算以及函数等知识的基础。同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。

全章共包括四节：

15.1
整式的乘法

本节分为4个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数、整式加减等知识的基础上学习的。其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的前提条件，教科书把它们作为本节的预备知识依次安排在前3个小节中。教学时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第4小节的开始安排了单项式乘法。我们知道，运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键，是熟练地进行单项式乘法，对此应该予以高度重视。在学生掌握了单项式乘法的基础上，利用分配律等就能进一步引进单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法，这样就使得整式乘法的运算从简到繁，由易到难，层层递进，环环相扣。

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15.2
乘法公式

本节分为2个小节。乘法公式是在学习整式乘法的基础上得到的，在第1小节的开始，教材以“探究”的形式安排了3个题目，这些题目，按照多项式的乘法法则计算并不困难。通过总结三个题目结果的共同点，我们选取上述形式的多项式乘法并直接写出结果，把它们作为公式，即平方差公式，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以直接写出结果。

用类似的方式，第2小节引进了乘法的完全平方公式。在引进完全平方公式后，适时引进添括号法则，以满足整式运算的需要。

15.3
整式的除法

本节也分为2个小节。同底数幂的除法是学习整式除法的基础，因此教科书在第1小节中首先介绍同底数幂的除法性质。熟练地进行单项式除法是学好多项式除以单项式的关键，在第2小节，教科书根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除法的法则。

对于多项式除以单项式，教科书是从计算



　　来导出运算法则的，根据是乘、除法互为逆运算及分配律。可以看出，法则的基本点是把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，而单项式除法是已经学习并掌握了的。

15.4
因式分解

本节的内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法。两种方法分别安排在第1和第2小节。

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（三）课程学习目标



本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：



1. 使学生理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。掌握单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念，明确它们之间的区别与联系；



2. 使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号与添括号。使学生做到在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算；



3. 使学生掌握正整数幂的乘除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。使学生能熟练地运用乘法公式（平方差公式和完全平方公式）进行乘法运算；



4. 使学生会进行整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；



5.　使学生理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，让学生掌握什么是公因式，掌握提公因式（字母的指数是数字）和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。



二、本章编写特点



（一）强调重要的数学思想方法的渗透



根据数与式之间的联系，教材通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律。体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性，强调整式乘法与因式分解是相反方向的变形。



在编写在整式乘法法则时，注意“转化”的思想方法。例如，多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，而单项式乘法则“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法。



教科书的安排为这种“转化”的思想和方法提供了极大的方便。我们知道，幂的运算性质是整式运算的基础，它们是集中安排的，要打好这基础。而单项式乘法则是整式乘法的关键，它是作为幂的三个运算性质的直接运用安排的，这是通向本章的主要内容之一——多项式乘法的“桥梁”，然后依次安排多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘。



在整式除法的教学中也要注意“转化”的思想方法。例如，多项式与单项式相除的法则，第一步是“转化”为单项式与单项式相除，第二步则是“转化”为有理数的除法与同底数幂的除法。



可以看出，在整式的乘除法的学习中，只有打好基础，才能够熟练地进行后面的运算；只有在熟练运用“转化”方法的前提下，才能够顺利地取得较好的效果。



在编写本章教材时，注意了代数与几何之间的联系，在整式乘法和乘法公式部分，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一。



（二）充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程



从具体的实际问题出发，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律，这是本章的一个突出特点。密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，这是编写本章时高度重视的一个中心课题。



以第15.2节为例，无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方，都是从几个具体的、简单的题目的运算出发，最后归纳出运算性质。然后，再利用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题。而整式的加、减、乘、除法无不是从具体的问题出发，最后归纳出运算法则，再进一步用于解决实际问题。这种从具体到抽象，再由抽象到具体的编排方式，可以循序渐进地向学生呈现教学内容，有助于学生的理解和掌握，符合现阶段学生的认知水平。

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三、几个值得关注的问题



（一）发挥整式承前启后的作用



在小学和七年级，已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中简单的数量关系、根据数量关系列方程和解方程，有了这些基本知识，学生已经对整式具有了一定的感性认识。



学习整式的有关概念以及运算，都必须以已学过的数学知识为基础，比如整式的乘方离不开实数的乘方，整式的加、减、乘、除运算离不开实数的加、减、乘、除运算法则。



整式中的字母表示数，整式的运算都是建立在数的运算的基础之上，在整式运算的教学中要强调运用数的运算律。通过对数与式运算的对比分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊（具体）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具体），在不断重复中得到提高，培养学生初步的辨证唯物主义观点。



　　因式分解是本章的重要内容之一，它与前面的整式和后续的分式联系极为密切，而因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。因式分解在解方程和函数变形等方面也经常使用，所以要足够重视。



（二）充分发挥学生的积极性和主动性



　　充分信任学生，努力发挥他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。勤于思考，善于思考，是学好数学的先决条件。



在本章中，教材安排了大量的“探究”“讨论”和“思考”栏目。通过“探究”栏目让学生体验研究问题，解决问题，最后探求出一般结论的过程，加深学生对问题的理解，使其既知其然，又知其所以然。本章共安排了9个“探究”栏目，许多重要结论或概念都是通过这个栏目归纳和总结出来的。在教学过程中应该尽可能地发挥“探究”栏目应有的作用。通过这个栏目，学生一方面可以体验获得结论的过程，另一方面可以获得成功的喜悦。



“讨论”栏目为学生提供一个合作交流、互相启发以及相互促进的机会和平台，通过积极讨论和思想交流，可以拓展思维空间，促进数学思考，加深对问题的认识。例如，在15.3.1节，通过对面积的讨论，可以发现平方差公式与面积之间的内在联系，从而感受到几何与代数之间内在的统一性。再比如，在15.4.2节，通过“讨论”栏目，鼓励学生自觉地在讨论实例的基础上归纳出单项式相除的法则。总之，通过“讨论”栏目，学生可以共同探索，共同发现，共同发展。通过该栏目，学生可以感受到集体智慧的强大力量，进而培养集体意识和团队精神。



　　课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性，而“思考”栏目的安排也是为实现上述目标所做的设计之一。通过“思考”栏目，可以强有力地培养学生的创新精神和自学意识。



　　在本章的教学中，要有意识地鼓励学生寻找“富有挑战性”的学习材料，并更多地进行数学活动和相互交流，在探究、讨论、思考的过程中获得知识，培养能力。在本章的“数学活动”和“拓广探索”栏目中都设计了许多探究性的问题，教师应该适当地安排这些问题，鼓励学生积极思维，努力探索，努力提高数学思维水平。



（三）把握好教学要求



本章要求学生会进行简单的整式的加、减运算，会进行简单的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）运算和除法运算。会推导平方差公式和完全平方公式，并了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算。会用提公因式法和公式法进行因式分解（指数是正整数）。



多项式（升幂或降幂）的排列方式，不作为重点，但要适当渗透。



整式是代数式中最基本的式子，为避免概念过分集中，本章介绍整式概念时不要求对代数式进行分类，避免过早地出现分式、有理式、无理式等概念。



单项式的系数是对式中的字母来说的，有数字系数与字母系数的不同。单项式的次数是式中所有的字母的指数的总和，而且次数仅仅与字母有关。要注意规定为，指数1不写出，切不可把的指数当作0。单独一个非零的数，也是单项式，叫做零次单项式。数0也可看作单项式，它没有任何确定的次数。这些不要讲给学生，以免概念太多，引起学生思维的混乱，反而影响教学效果。



教学时，要注意使学生掌握单项式与多项式的关系，重点在于使学生认识多项式是几个单项式的和，每个单项式是该多项式的一个项。各项都应包括它前面的符号，这一点在教学时一定要特别予以强调。



　　添括号法则是在去括号法则的基础上建立的，而去括号法则已经在第一、二章学过。教科书根据第二章中应用去括号法则得到的两个等式，再把它们反过来，分析等式两边对应项的符号变化，得到添括号法则。教学时要向学生指出，应该把添上括号（或去掉括号）与括号前面的符号看成统一体，不能拆开。这对正确地运用法则，熟练地进行计算有很大帮助。要特别地向学生强调，添括号与去括号恰好是互逆的过程，检查添括号是否正确，可以用与去括号检验，反之亦然。



本章系统地介绍了幂的运算性质、乘除运算法则以及乘法公式的知识，每个知识的发生过程都叙述得清晰明确。在教学过程中，要以教科书为基础，探讨知识发生的过程，并和学生一起研究如何经过由具体到抽象概括得到性质、法则以及公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法。



对于乘法公式，要使学生领会平方差公式和完全平方公式都是有几何意义的。

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对于因式分解部分，只要求学生会灵活地运用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）两种分解方法，对分组分解法和十字相乘法则不做要求。对于其他因式分解方法，教材只在选学栏目中给出了一种，即







　　型式子的因式分解（十字相乘法），仅供学有余力的同学参考。在教学时可以适时向学生提出几个（应用因式分解）解方程的问题，这样可以使学生感受到学习因式分解的重要意义。







（四）把握并突破知识的重点、难点和关键



在本章，有较多的知识点属于重点或难点，有的知识点既是重点又是难点，下面分三部分进行具体分析。



整式的加减



　　合并同类项是重点，也是难点。合并同类项是整式加减的知识基础，整式的加减主要是通过合并同类项把整式化简。熟练进行合并同类项，必须抓好三个关键环节的教学。首先要使学生掌握同类项的概念，会辨别同类项，准确地掌握判断同类项的两条标准（字母和字母指数）；其次，要明确合并同类项的含义是把多项式中同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，这样多项式就得到了简化；最后，要使学生明确“合并”是指同类项的系数的增加，把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。



进行整式的加减，关键是使学生明确整式加减的作用是把整式化简，化简的主要方法是合并多项式中的同类项。