初中数学教材培训

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（二）本章知识结构框图

　　　　　　

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（三）课程学习目标


1．以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；


2．根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；


3．经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。


   （四）课时安排


本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：


22．1  一元二次方程                                            2课时


22．2  降次                                                    6课时


22．3  实际问题与一元二次方程                                  3课时


数学活动


小结                                                            2课时


二、本章编写特点


本章教科书在编写中力图体现以下两个特点。


（一）重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程.方程是含有未知数的等式，它们表达了数量之间的相等关系。正如前面所学习过的其他方程，一元二次方程可以表达许多实际问题中包含的数量相等关系，因而也可以作为分析和解决这些问题的重要数学模型。从反映方程与实际问题的密切联系的角度看，本章与本套教科书前面有关方程的各章是一脉相承的，实际问题情境始终贯穿于本章之中。


如前所述，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。引言中的雕像问题是典型的黄金分割问题，本章内容由它说起，引出一个具体的一元二次方程，接着在22．1节又利用面积问题和体育比赛中的组合问题补充两个一元二次方程的具体例子，在这三个具体例子的基础上归纳出一元二次方程的定义及一般形式。这样编排可以反映一元二次方程及其有关概念是来源于现实世界的。


在22．2节讨论一元二次方程的解法时，教科书安排了问题1～3，它们都是比较简单的实际问题。这样编排可以反映讨论一元二次方程的解法是解决现实世界实际问题的客观需要，使学生感受到学习一元二次方程的解法可以解决许多实际问题。


在22．3节，教科书安排了探究1～4，它们是比前面出现的实际问题更复杂的实际问题，讨论这些问题是在前面学习的基础上拾级而上。这样编排可以结合本章内容再次体现数学建模思想，进一步加强利用一元二次方程分析解决实际问题能力的培养训练，提高学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生理论联系实际的意识和开拓创新精神.


本章结尾的小结中，再次以知识结构图的形式强化数学建模思想，表现实际问题和列、解一元二次方程的联系，这种概括起了画龙点睛的作用。


（二）重视一元二次方程的特殊性，突出解一元二次方程的基本策略以及解法中的关键步骤


在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程，他们对于解方程的基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉，按照这种思路可以继续考虑一元二次方程的解法。


一元二次方程与前面的方程相比，特点在于未知数的次数是2（二次），新的问题是如何将一元二次方程转化为已经会解的方程，即一次方程。从这个新问题入手，可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和关键步骤。教科书分析问题时注意了体现出“降次” 是很自然、很合理地产生的，这是在原来已经认识了的解方程的基本思路基础上，结合一元二次方程的实际而得到的解决问题的基本策略。这样处理既突出了一元二次方程解法上的特点及其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。各种解法中能够创造条件实现降次的步骤（配方、开方、分解因式等）就是该解法的关键步骤，它们是落实降次的具体措施。


教科书的第22.2节以“降次”为节名，其用意在于强调解一元二次方程的基本策略。在讨论各种具体解法时，教科书把重点放在分析方程的形式特征上，并结合这些特征提出具体的有针对性的解法，强调其中的关键步骤所起的重要作用，这些内容形成了课文的核心部分。


三、几个值得关注的问题


本章的主要内容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、应用举例等，这些都是重要的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意使学生切实掌握它们。此外，本章教学应特别关注以下问题。


（一）教学中应重视联系实际问题，加强对于数学建模思想的渗透


在本章的教学和学习中，应重视相关内容与实际的联系，可以选择一些适合一元二次方程内容而又接近本班学生生活的实际问题，结合这些问题展开教学的内容。要注意避免脱离任何实际问题单纯地讲述一元二次方程的内容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出一元二次方程来自实际又服务于实际，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的反映。


对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。这里需要指出，正确地理解实际问题情境是完成这一工作的基础。因此，本章的教学不能是封闭于数学知识内部的，而应是联系实际问题的开放式的，同时在丰富的内容中不失提炼数学知识这个精髓，最终使学生掌握数学基础知识，提高数学基本技能和能力，并且能运用它们处理某些实际问题。


在本章的教学中，可以从多种角度表达和思考实际问题，例如借助图象、表格、式子等进行不同形式来描述问题，分析问题，发现其中的数量关系，并建立相应的一元二次方程模型。教学中还应使学生认识到数学方法解决问题的结果要接受实际检验，注意检验所得方程及其根的实际意义，进行必要的讨论，找出合乎实际的结果。


（二）教学中应结合一元二次方程的特点，从说理的角度讨论方程的解法


本章所讨论的对象是一元二次方程，它的特殊性是其未知数为二次，这是前所未见的。将面临的新问题转化为已经会解的老问题，是解决问题的基本思路。正因如此，将一元二次方程转化为一元一次方程，即“降次”，成为解一元二次方程的基本策略。这也是化归思想在解一元二次方程时的具体体现。教学中应从一元二次方程的特点入手，通过对比以前所学方程来分析一元二次的特殊性，分析一元二次方程解法的产生背景，使学生认识到降次是自然的、合理的，从而能顺利地接受它，并用它探究一元二次方程的具体解法，而不是死记硬背解法步骤。教学中应重视使学生明白各种解法的道理，结合探究解法再次体会化归思想在解方程时的指导作用，进而理解一元二次方程的具体解法的关键步骤及其算理，将已有对解方程的认识再继续加深和扩大。


教学中应反复指出学习一元二次方程的解法时要了解以下两点：


　　1．用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。.


　　2．配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。

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初中数学培训手册之三十

第23章“旋转” 简介

课程教材研究所 薛彬

学生已经学习了平移与轴对称，对于图形变换已经有所认识。从平移与轴对称的学习来看，学习一种图形变换大致包括以下内容： （1）通过具体实例认识这种图形变换； （2）探索这种图形变换的性质； （3）作出一个图形经过这种图形变换后的图形； （4）利用这种图形变换进行图案设计; (5) 用坐标表示这种图形变换。 本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的。关于（5），本章只涉及用坐标表示中心对称。 本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）： 23.1 图形的旋转                                            2课时 23.2 中心对称                                              3课时 23.3  课题学习 图案设计                                   2课时 数学活动 小结                                                       1课时

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初中数学培训手册之三十

第23章“旋转” 简介

课程教材研究所 薛彬

学生已经学习了平移与轴对称，对于图形变换已经有所认识。从平移与轴对称的学习来看，学习一种图形变换大致包括以下内容： （1）通过具体实例认识这种图形变换； （2）探索这种图形变换的性质； （3）作出一个图形经过这种图形变换后的图形； （4）利用这种图形变换进行图案设计; (5) 用坐标表示这种图形变换。 本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的。关于（5），本章只涉及用坐标表示中心对称。 本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）： 23.1 图形的旋转                                            2课时 23.2 中心对称                                              3课时 23.3  课题学习 图案设计                                   2课时 数学活动 小结                                                       1课时 一、教科书内容和课程学习目标 （一）本章知识结构框图          （二）教科书内容 按照全套教科书的内容安排，本章学习第三种图形变换——旋转。此前，学生已经学习了平移与轴对称两种图形变换。本章第一节学习旋转的有关内容；在此基础上，第二节学习特殊的旋转——中心对称；第三节则是平移、轴对称、旋转的综合运用。 在第一节中，首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念。然后设置了一个“探究”栏目，让学生探索对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等等性质。接下来，安排了一个按要求作出简单平面图形旋转后的图形的例题。最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容。在本节中，旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣：由概念得出性质；由性质得出有关作图的方法。应关注这些内容之间的联系，使前一部分内容为后一部分内容作好准备，使后一部分内容复习巩固前一部分内容。 第二节有三部分内容：中心对称的概念、性质和有关作图，中心对称图形的概念，以及关于原点对称的点的坐标的关系。 关于中心对称，首先通过具体例子给出中心对称的概念，然后探究中心对称的性质，最后说明作与已知图形中心对称的图形的方法。关于中心对称的定义，学生应能体会到以下两层意思： （1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足一个条件：将其中一个图形绕某点旋转180°后能够与另一个图形重合。 也就是说，全等的图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的。 关于中心对称图形，主要让学生通过线段、平行四边形加以认识，并了解中心对称与中心对称图形的联系与区别。 关于原点对称的点的坐标的关系可以由学生探究得出，由此得到利用坐标作与已知图形关于原点对称的图形的方法。 第三节是“课题学习”的内容，要求学生探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。此前，教科书在七年级下册第五章“相交线与平行线”安排了平移以及利用平移进行图案设计的内容；在八年级上册第十四章“轴对称”安排了轴对称以及利用轴对称进行图案设计的内容，并指出“将平移和轴对称结合起来，可以设计出更美丽的图案”。通过平移与轴对称的学习，学生已经具备了一定的用图形变换进行图案设计的知识与经验，这些是学生运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计的基础。在本节中，首先通过一个例子让学生对课题有所了解，然后让学生搜集图案，设计图案。搜集图案并加以分析，了解图形之间的变换关系有助于学生自己进行图案设计。设计图案的过程中，应关注学生构思、实施、合作交流等环节。 （三）课程学习目标 本章的学习目标如下： 1．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质； 2．能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用。 3．通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形； 4．探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。

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三、几个值得关注的问题

（一）关于中心对称和中心对称图形

与轴对称和轴对称图形类似，中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念。

中心对称和中心对称图形的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。

中心对称和中心对称图形的联系是：如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称的。

应帮助学生认清中心对称和中心对称图形的区别与联系，获得清晰明确的认识。

（二）关于计算机的使用

利用计算机中的画图软件可以方便地作出一个图形绕某一点O旋转某个角度后的图形。可以利用软件的度量功能,从而发现对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。改变点O的位置或改变这个图形的位置，再对这个图形作旋转变换，仍然可以得出上述结论。

利用旋转变换可以进行图案设计，借助计算机则更加方便。有条件的话，可以让学生充分发挥自己的想象力，进行这方面的尝试。

    利用计算机中的画图软件可以方便地作出一个图形关于原点O的对称图形。利用软件的度量功能得出坐标,从而发现：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反。改变这个图形的位置，仍然可以得出上述结论。

在以上诸方面，计算机都可以发挥作用，如果条件具备，可以加以尝试。

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初中数学培训手册之三十一

九年级下册简介

课程教材研究所　田载今



　　人教版《义务教育课程标准实验教科书· 数学》九年级下册，是本套教科书中的最后一册。这册书包括4章，约需48课时，供九年级下学期使用。具体内容如下：

第26章  二次函数                                      12课时

第27章  相似                                          13课时

第28章  锐角三角函数                                  12课时

第29章  投影与视图                                    11课时

本册书的4章内容涉及《课程标准》中“数与代数”“空间与图形”和“实践与综合应用”三个领域的内容，其中第26章“二次函数”和第28章“锐角三角函数”的内容，都是基本初等函数的基础知识，属于“数与代数”领域。然而，它们又分别与抛物线和直角三角形有密切关系，即这两章内容既涉及数量关系问题，又涉及图形问题，能够很好地反映数形结合的数学思想和方法。第27章“相似”的内容属于“空间与图形”领域，其内容以相似三角形为核心，此外还包括了“位似”变换。在这一章的最后部分，安排了对初中阶段学习过的四种图形变换（平移、轴对称、旋转和位似）进行归纳以及综合运用的问题。第29章“投影与视图”也属于“空间与图形”领域，这一章是应用性较强的内容，它从“由物画图”和“由图想物”两个方面，反映平面图形与立体图形的相互转化，对于培养空间想象力能够发挥重要作用。对于“实践与综合应用”领域的内容，本套教科书除在各章的正文和习题部分注意安排适当内容之外，还采用了 “课题学习”“数学活动”等编排方式加强对数学应用的体现。本册书的第29章安排了一个课题学习“制作立体模型”，并在每一章的最后安排了2～3个数学活动，通过这些课题学习和数学活动来落实与本册内容关系密切的“实践与综合应用”方面的要求。



一、内容分析



第26章  二次函数



本章主要研究二次函数的概念、图象和基本性质，用二次函数观点看一元二次方程，用二次函数分析和解决简单的实际问题等。这些内容分为三节安排。

第26.1节“二次函数”首先从简单的实际问题出发，从中引发和归纳出二次函数的概念；然后由函数开始，逐步深入地、由特殊到一般地、数形结合地讨论图象和基本性质，最后安排了运用二次函数基本性质探究最大（小）值的问题。这些内容都是二次函数的基础知识，它们为后面两节的学习打下理论基础。

第26．2节“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体（例如高尔夫球）的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同情况，最后结合二次函数的图象（抛物线）归纳出一般性结论，并介绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

第26．3节“实际问题与二次函数”安排了三个探究性问题，以商品价格、磁盘存储量和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。

本章教学结束之后，学生在已经学习了一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数，这些都是代数函数，即解析式中只涉及代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）的函数。至此，学生对函数的认识已告一段落。本册书后面的第28章“锐角三角函数”讨论的则属于超越函数，等已超出代数运算的范围。



第27章  相似



本章的主要内容包括相似图形的概念和性质，相似三角形的判定，相似三角形的应用举例和位似变换等。此前学习的全等是图形之间的一种特殊关系，而本章学习的相似是比全等更具一般性的图形之间的关系。全等可以被认为是特殊的相似（相似比为1），对于全等的认识是学习相似的重要基础。

本套教科书从第八章“全等三角形”开始，在学习要求上已进入推理证明阶段。本章的学习应在前面已有基础上一以贯之，即继续进行必要的推理证明，但要把握问题的难度，不宜证明难度较大的题目，而把证明的重点放在帮助学生理解基本定理的合理性之上。

第27.1节“图形的相似”从学生熟悉的一些实际问题说起，引出相似图形的概念，以及相似多边形的概念、性质等，使学生对相似先有一个一般性的认识。

第27.2节“相似三角形”的内容是讨论最基本的多边形——三角形的相似关系，这是认识相似关系的基础，也是本章的重点内容。教科书首先安排了证明了“过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似”，然后将其推广到更一般的结论“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。在此基础上，教科书安排了三个探究问题，引导学生得出相似三角形的三种主要判定方法。教科书对于其中第一个问题进行了推导证明，另两个问题的推导证明安排学生自己完成。接着，教科书通过三个例题讨论在测量中如何利用相似三角形的知识，这些例题代表了测量中的常见典型问题。本节最后安排了相似三角形的周长和面积问题。

第27．3节“位似”讨论一种图形变换——位似变换。位似是一种特殊的相似，它的特殊性表现在“两个相似图形的对应点的连线都交于一点（位似中心）”。教科书安排了利用坐标描述位似变换的内容，这是数形结合方法的体现。本套教科书中先后共出现了四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似，本节最后安排了一幅包含这四种变换的图案，学生通过思考图案中的问题，可以对四种变换进行综合回顾。

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第28章  锐角三角函数



本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的后的三角函数。解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与第18章“勾股定理”和第27章“相似”有密切关系。

锐角三角函数是本套教科书中唯一出现过的初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数。锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形分不开。锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是角， 函数值是直角三角形中边长的比值。学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观点讨论几何图形问题的方法认识得更深入。

第28.1节“锐角三角函数”中，教科书从沿山坡铺设水管的问题谈起，通过讨论直角三角形中直角边与斜边的比，使学生感受到锐角的大小确定后相应边的比也随之确定，而且不同的角度对应不同的比值，这种对应正是函数关系。教科书设置了“探究”栏目，让学生通过自主探究，利用相似三角形得出结论，由此引出正弦函数的概念。在此基础上，引导学生类比对正弦函数的讨论，得出余弦函数和正切函数的定义。接着教科书讨论了“已知角的大小求它的三角函数值”和“已知角的三角函数值求角”这两种问题，这样就从两个相反方向再次强调了锐角与其三角函数值之间的一一对应关系。现在计算器已经成为学习和运用三角函数的有力工具，教科书在本节最后介绍了如何使用计算器求三角函数值以及如何由三角函数值求对应的角。

第28.2节“解直角三角形”中，教科书借助实际问题背景，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，并归纳出解直角三角形常用的知识和方法。接着教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形在实际中的应用，这些问题的已知条件分别属于几种不同类型，解决方法具有典型性，体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后通过对比测量大坝的高度与测量山的高度，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的数学基本思想。



第29章  投影与视图



本章的主要内容包括投影和视图的基础知识，一些基本几何体的三视图，简单立体图形与它的三视图的相互转化，根据三视图制作立体模型的实践活动。全章分为三节。

第29.1 节“投影”中，首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影。整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。

第29.2节“三视图”讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，最后通过6道例题讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系。

第29．3节“课题学习  制作立体模型”中，安排了观察、想象、制作相结合的实践活动，这是动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作式学习的方式。应该把这个课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。

与本套教科书其他章相比较，本章内容有两个特点：第一，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的计算。第二，它将平面图形与立体图形紧密地联系起来，从“由物画图”和“由图想物”两个角度讨论平面图形与立体图形之间的相互转化，对于培养空间想象能力具有特殊作用。