全国初中数学优质课《制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子》教学设计及说明

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《制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子》教学设计说明
白　绵
　   一、教学内容、地位、作用分析：



　　课题学习是《义务教育数学课程标准》内容目标的第四部分“实践与综合运用”的内容，北师大版七年级上册《制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子》是一个关于数学应用的典型课题，是学生进入初中之后的第一个课题学习。课标指出，课题学习对学生而言是一种新的学习形式，对学生的要求较高，也常常要用到学生曾经学过的知识。另外一方面，它能够很好地训练学生的综合应用知识去解决实际问题的能力，这对学生进一步认识数学，体会数学中常见方法是大有好处的。学生在中学阶段会遇到很多这种探究性的问题，他们都是与现实生活息息相关，对于这些问题的解决，能够极大的激发学生的学习兴趣，同时培养学生自觉应用数学知识解决实际问题的好习惯。



这节课需要学生综合本学期所学过的数学知识(如图形的展开与折叠、字母表示数以及用代数式的值去推断代数式所反映的规律等)、技能与方法，通过解决问题的方式去获得对相关知识与方法的进一步的理解，体会各个部分之间的联系。本课学习，需要学生体验一种新的学习方法。让学生经历实验、分析、猜测、交流、推理和反思等一系列过程，认识数量的变化关系和规律，提高学生综合运用知识能力，培养学生的实践探索能力。



     本课题突出两个方面：



　　学习过程的探究性；制作容积尽可能大的无盖长方体盒子的过程，也是一个简单的数学研究过程，可获得一定的研究方法和经验。



     知识运用的综合性：本节课学习的活动重心是通过对长方体盒子的展开与折叠，让学生经历试验、想象、分析、猜测、交流、推断和反思等过程，形成问题的代数表达，再通过验证等活动获得问题的解决。



    二、教学目标分析：



    根据国家教育部颁布的新《数学课堂标准》的精神，学生的学习目标应将知识与技能、方法与过程、情感态度价值观融为一体，所以本节课的目标制定如下：



1.知道用数学知识解决实际问题需要建模，会用函数式表达变量之间的相依关系；



2.感受数量之间相依变化的状态和趋势，体验分割逼近的方法和从特殊到一般的探究过程。



这节课运用一个实例让学生综合运用所学知识解决实际问题。同时，这节课的主要目标应在于学生对过程方法方面的体验与感受。



    这样制定教学目标遵循了学生学习数学的心理规律。首先，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学问题的过程，增强他们对问题的感性认识。其次，经历折纸、列表、观察、比较、推理、交流等活动，提高学生的理性认识。再者，也培养了学生良好的个性品质，包括大胆猜想、勇于创新、积极探索的精神。通过解决“小明的问题”让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辨证思想，感受数学的实用性。



三、教学问题诊断



本节是学生初中阶段第一次进行课题学习，他们对简单几何体的侧面展开图，列代数式，代数式的求值，统计图的画法等知识已具有一定的认知水平，由于学生在本学期的数学学习过程中，经历了多次探索性学习，所以他们具备了一定的探索、研究能力，基本适应了自主学习，小组合作学习等学习方式，为学习本节课打下了一定的知识以及能力基础。



在学习新知识过程中可能存在的困难：



1．  制成无盖长方体形盒子需要剪去四个同样大小的正方形；



2．  如何建立关于v的数学模型？



3．  若a=20cm,x的取值范围是什么？



4．  怎样缩小x的取值范围，去寻找v的最大值？

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5．如何通过观察，总结归纳出：“若正方形纸片边长为a，当     时，v最大，v最大值为”这一结论?

     四．教法特点及预期效果

      教法特点：本节课是在教师引导下，学生探索实践得出结论的过程。

      预期效果：

1．会用正方形纸片制作容积最大的无盖长方体形盒子；

2．对综合运用数学知识解决实际问题的过程有所体会；

3．对缩小区间逼近最大值的方法有所体会。

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《制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子》教学设计



白　绵

教 学 目 标	1．知道用数学知识解决实际问题需要建模;会用函数式表达变量之间的相依关系; 2．感受数量之间相依变化的状态和趋势，体验分割逼近的方法和从特殊到一般的探究过程。
教学重点		引导学生感受课题学习这种全新的探究学习方式; 知道用数学知识解决实际问题需要建模，会用函数式表达变量之间的相依关系。
教学难点		感受数量之间相依变化的状态和趋势，体验分割逼近的方法和从特殊到一般的探究过程。
教学准备		一张边长为任意长的正方形纸片，剪刀、直尺、透明胶、计算器、课件。
教学过程设计 创设情境，导入新课动手实践，探索规律建立数学模型合作探究，逼近结论解决实际问题 回顾与反思布置作业
教学程序及内容			师生活动设计	设计意图
一.创设情境，导入新课：			教师给出生活中的实际问题: 小明同学在六一儿童节联欢会上承担了一项任务，用正方形的纸制作无盖的长方体形盒子盛瓜子，他想知道怎样制作盛的瓜子最多！	切合学生生活实际，自然有趣，激发学生探究热情。
二.动手实践，探索规律： 1.学生用正方形纸片制作无盖长方体形盒子； 2.学生展示自己的制作和初步的研究成果； 3.发现容积与小正方形的大小有关。			师：引导学生用一张正方形的纸怎样制作无盖的长方体形盒子。鼓励说生说一说，试一试。 学生活动：画一画；剪一剪；折一折。 1．学生讲解制作过程 2．     2．老师展示学生制作的一些盒子：如四边高低不等的；底面不是长方形的等。这些都不符合要求。 3．引导学生说出：剪掉的四个角是大小一样的正方形。 4．同学们举起自己制作的盒子互相比较，发现他们的不同。 5．老师也展示各种不同形状大小的盒子，并用动画演示长方体盒子的形状大小与剪掉小正方形边长有关系。	让学生通过画、剪、折等亲自动手操作活动，感受纸盒的长、宽、高和原来的纸片的边长以及剪去的小正方形的边长之间的关系，为下一步表示长方体的体积扫清了障碍，初步体会到剪下的小正方形的边长对长方体的体积有较大的影响，学生因急于解决问题而进入了主动学习的状态。
三.建立数学模型： 1．教师明确要求； 2．学生小组探究； 3．小组展示结果。			师引导：如果大正方形的边长为a，剪掉小正方形的边长为x,用a和x来表示这个无盖长方体的体积V. 1．请各组展示结果，选一名代表为大家讲解     的理由； 2．明确v随x的变化而变化。	体会实际问题转化为数学问题的过程，体会建模的方法；为下一步分割逼近寻找最大值做准备。
四.合作探究，分割逼近   1.合作探究，分割逼近：引导学生观察式子，探究x取什么值时，v最大？ （1）取x的整数值计算v的值，并观察v的变化，找到最大值. (2) 讨论v最大时x的取值范围是什么？ （3）重复上面过程，分割逼近 。 2.阶段小结：用几何画板演示所得无盖长方体形盒子的体积随小正方形边长的变化而变化的全过程，同学们得出结论			师：若a=20cm，x的取值范围是什么?先取哪些值计算v的值？     生： x的取值可在０cm至１０cm之间,为方便计算，x取整数1到9计算v的值。 师：指导小组合作列表，用计算器进行计算.    生：得出当x=3时，v最大。 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v    师：引导学生思考：x取什么值时，v最大？ 应有3种情况：当x=3时，v最大；在整数点的左边v最大；在整数点的右边v最大。 生：计算x=2.9,x=3.1时v的值，综合前面得出结论，v取值在3到4之间v最大. 师：指导小组合作，计算观察    生：得出当x=3.3时，v最大；得出当x=3.33时，v最大 X 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 v 引导学生说出v随x的变化的具体情况，明确当x逼近时，v变大。这个过程可以永远做下去，v的值在增大，无限逼近一个特定的值。    教师引导小组合作，共同探究，形成结论：    1.若a=10,当x=   时 ，v最大；若a=30, 当x= 5 时 ，v最大；若a=50,当x= 时 ，v最大；……    2.若正方形纸片边长为a，当 时，v最大，v最大值为	探究当x取什么值时，v的值最大，归纳出结论；体会分割逼近的思想；体会探究学习的方法。
五．猜想、验证、归纳：    1．将问题一般化； 2．将结论一般化				熟悉强化探究过程；在教师引导下学生进行不完全归纳，把问题一般化，结论一般化。
六.解决实际问题:			师：现在谁能帮小明解决问题呢？     生：先量出正方形的边长，在四角剪去四个六分之一边长的正方形就可以制作符合要求的盒子了。	前后呼应，体现出数学学习为生活实际服务。
[url=]七.回顾与反思[/url] 1．要解决怎样的问题? 2.解决问题的过程和方法? 3．还有什么疑惑?			师生交流互动，我的收获是……，我还感到疑惑的是…… (学	小结本课的知识要点、探究过程中的方法，解决疑惑。
八.布置作业			1.自己任取数值验证课堂上所得结论的正确性。      2.思考：如果把正方形纸片换成矩形纸片，结论又如何？	强化所得结论、方法；启迪更多思考。

板书设计

        课题学习        制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子

结论一：剪掉的四个角是大小一样的正方形。

建立数学模型：     

    特值法、逼近：  若a=20，x=，v最大；

                    若a=10,x= ，v最大；   

                    若a=30,x=  5 ，v最大；

                    若a=50,x= ，v最大；……

结论二：当 时,v最大， v最大值为.