“小数乘法和除法”教学问答

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问：小数乘法和除法这两个单元的内容是如何安排的？

答：有关小数乘法和除法的教学内容比较多，分两个单元安排，能使每个单元的容量适中，内容清楚，便于教师在教学时抓住重点，突出基础知识。下面是这两个单元的主要教学内容。

这样的安排，有利于学生充分利用已有的知识经验，循序渐进地经历知识发展、形成的过程。下面是有关小数乘法和小数除法知识建构的线索。

教材在两个单元之间插入公顷和平方千米的教学，有利于学生及时应用小数乘整数、小数除以整数等知识。如把以平方米为单位的数改写成以公顷为单位的数，要把一个数除以10 000；把以平方千米为单位的数改写成以公顷为单位的数，要把一个数乘100。另外，适时变换教学内容，能避免学生在学习中可能产生的厌倦情绪，形成良好的情感体验。

根据《数学课程标准（实验稿）》的具体目标，这两个单元精简了有关循环小数知识的教学。在第七单元里不出现除不尽的除法，在第九单元里只结合小数除法中除不尽的实例，指出循环小数的特点，讲述循环小数的概念。在“你知道吗”里介绍有限小数与无限小数、循环小数的表示方法等内容，让学生通过阅读有所了解，不作为必须掌握的知识。

问：为什么在第七单元安排一个小数乘或除以10、100、1 000……这一内容的教学？教学时要注意什么？

答：第七单元的例2教学一个小数乘10、100、1 000……例5教学一个小数除以10、100、1 000……学生掌握这些知识，就能更方便地进行进率是10、100、1 000……的计量单位的改写。如把500千克改写成以吨为单位的数，要把500除以千克与吨的进率1 000，可以直接把500的小数点向左移动三位。更重要的是，小数点位置移动的这一规律是探索小数乘小数、小数除以小数计算方法必须具备的基础知识。如把小数乘法转化成整数乘法，去掉乘数里的小数点是把乘数中的小数分别乘10、100、1 000……把整数乘法的积回归到小数乘法的积，是把一个数除以10、100、1 000……再如，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，是把被除数和除数同时乘10、100或1 000……

例2和例5的教学都是研究几个实例，从中找到具有普遍意义的规律。先用计算器计算5.04乘10、100、1 000以及21.5除以10、100、1 000的结果各是多少，初步感受小数点的位置变化；再任意找几个小数分别乘（或除以）10、100、1 000，继续观察小数点位置的变化情况，从而得到一个数乘（或除以）10、100、1 000……只要把这个数的小数点向右（或向左）移动一位、两位、三位……的结论。这一过程体现了科学、严谨的认识态度，结论不仅代表一个实例的特征，更是许多同类实例的共同规律，两道例题之后的“练一练”第2题，根据乘数或被除数的小数点的移动方向和位数，判断另一个乘数或除数是几，应用结论开展逆向思考，能帮助学生进一步掌握小数点位置移动的规律。

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问：怎样教学小数乘法？

答：小数乘法的计算方法分小数乘整数、小数乘小数两种情况。

教材对小数乘整数这一内容的编写有一定的创造性。先通过夏天和冬天分别买3千克西瓜要多少元这个实际问题，引导学生列出算式0.8 × 3、2.35 × 3，体会这两道乘法算式都是求3个相同小数相加的和；再根据3个0.8连加得2.4，3个2.35连加得7.05，分别在竖式的上写出积，感受小数乘整数可以像整数乘法那样进行笔算；然后在“试一试”里用计算器计算三道小数与整数相乘的算式，观察积的小数位数与因数的小数位数，初步知道因数里有几位小数，积里也有几位小数。这样，学生就能逐步理解小数乘整数和整数乘法的联系与区别，初步学会应用整数乘法的经验计算小数乘法。在小组里说说小数和整数相乘应该怎样计算，给学生创设了回顾与交流的机会，有助于进一步清晰地认识算法。

教学小数乘小数的时候，学生已经有小数乘整数的经验，会主动把乘数都看作整数，教学的重点是找准积里小数点的位置。第86页例1提出“把两个小数都看成整数，相乘后怎样才能得到原来的积”这个问题，引导学生应用积的变化规律和小数点位置移动的规律，在竖式上进行推理。联系四年级（下册）里的知识，乘法算式的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100，理解从36 × 18的积1 008得出3.6 × 1.8的积，应该把1 008除以100，也就是把1 008的小数点向左移动两位。“试一试”让学生再次经历转化成整数乘法，以及从整数乘法的积得到小数乘法的积的过程，着重体验两个因数一共有的小数位数与积里小数位数间的因果关系，并自己总结小数乘法的计算方法。这时的计算方法既应用于小数乘小数的计算，也统摄了小数乘整数的计算。

问：怎样教学小数除法？

答：小数除法的计算分除数是整数的除法和除数是小数的除法两段。

第72页的例题依次教学三点知识：商里小数点的位置，在最后余下的数的右边添0继续除，商不满1要在个位上写0。教学第一点知识，把9.6元看成96角或9元6角，得到每千克苹果的价钱32角或3元2角，写成小数是3.2元，体会商的小数点应该与被除数的小数点对齐。教材给被除数与商的小数点都套红色并圈起来，引起学生的注意。教学第二点知识，在余下的2的右边添0，让学生思考“表示20个几分之一”，回忆小数的基本性质，体会添这个0是合理的，添0就能继续往下除。教学要及时在商里点出小数点，使20个十分之一除以5的商有适当的位置可写。以后计算除法时，如果遇到最后有余下的数，都可以在它的右边添0继续除。教学第三点知识，要突出“个位不够商1，怎么办”这一问题，让学生联系“不够商1可以商0”的经验，主动在个位上写0，并体会如果不写这个0，商就缺少整数部分，不是一个完整的小数。上面三点知识逐一教学以后，要求学生说说小数除以整数的计算方法，初步形成计算法则。练习十三第11题设计了两个题组，都是综合应用例题教学的计算知识。左边的题组里被除数的小数点位置不同，商里小数点的位置也随之不同，突出商的小数点应该与被除数的小数点对齐；右边的题组突出及时在商里点上小数点，以及个位不够商1要商0。

第93页和第95页的例题教学除数是小数的除法。教材突出了将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，利用已有经验进行计算的策略。同时强调，被除数和除数必须乘相同的数，也就是被除数的小数点要随除数的小数点，向右移动相同的位数，保持商不变。如果被除数的小数位数比除数的小数位数少，要在被除数的末尾用0补足。计算除数是小数的除法，关键是让被除数随着除数进行相同的变化，练习十八第1题设计了这方面的专项练习，其中有被除数的小数位数和除数的小数位数同样多的情况，也有被除数的小数位数比除数多或少的情况。

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问：为什么让学生再次发现小数乘法的运算律？

答：第一次教学乘法运算律是在四年级，那时只在整数范围内认识和使用乘法的交换律、结合律和分配律。在小数乘法里是否仍然存在这些运算律，需要验证和确认，这是数域扩展必须研究的一个内容。因此，在教学小数乘法的计算法则之后，教材编排了一道例题教学运算律及其应用的问题。

有人会问：整数混合运算的运算顺序可以直接应用于小数混合运算，为什么整数的运算律不能直接迁移应用呢？这是由于两个知识的性质不同。运算顺序是人们在计算时约定共同遵守的规则，因而可以规定运算顺序既适用于整数，也适用于小数。运算律则是数学运算的内在规律，不是人们主观规定的。因而小数乘法是否存在运算律，需要通过对实例的研究，发现并得出结论。

第90页例4里有三组算式，先算出同组两道算式的得数相同，用等号连接两道算式。然后分别观察三组等式，发现两个小数相乘，可以调换乘数的位置；三个小数连乘，可以先把前面的两个小数相乘，再与第三个小数相乘，也可以先把后面的两个小数相乘，再与第一个小数相乘；两个小数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加。从而得出整数乘法的运算律对小数乘法同样适用的结论，实现运算律适用数域的扩展。教学例4要注意两点：一是圆圈里的等号必须在计算之后，确认左右两式的得数相同后填写，绝不能未经计算就写等号。如果不计算就写等号，例题的教学就不是发现运算律同样适用，变成应用运算律改写算式了，这就在认知程序上发生了逻辑错误。二是让学生指着三组等式逐一说说各表示什么运算律以及各条运算律的具体内容，使运算律的内涵更加清楚。在证实小数乘法同样存在运算律之后，就可以把应用整数乘法运算律进行简便计算的经验迁移到小数乘法中来。

问：为什么研究积与因数、商与被除数的大小关系？

答：研究积与因数的大小关系有两点作用：一是改变原来的乘法观念，发展乘法的意义。整数乘法的积一般总是大于因数（因数是0或1除外）。小数乘法里，有时积大于因数，有时积小于因数，这是另一个因数大于1或小于1造成的。这就渗透了一个数乘大于1的数，是求这个数的几倍；一个数乘小于1的数，是求这个数的十分之几、百分之几。这些认识完善了乘法的意义，在以后教学分数乘法时会得到进一步理解。二是可以用于估计笔算的结果是否合理。第11题在计算前先根据第二个因数的情况，说出积大于还是小于第一个因数，这是估计。尽管这样的估计与精确计算的误差相当大，但毕竟清楚了积的范围。一旦笔算的结果超出这个范围，就能及时发现和改正错误。

同样，让学生发现商与被除数的大小关系，对进一步认识除法的意义、估计除法的商以及监控笔算得数的合理性都有积极的意义。

第103页第7题在积与因数、商与被除数的大小关系的基础上编排，包含了丰富的教学内容。如5.4 × 0.1和5.4 ÷ 10的得数都是0.54，可以看成是求5.4的十分之一是多少；4.8 ÷ 0.1和4.8 × 10的得数都是48，可以看成是求4.8的10倍是多少。又如2.6 × 0.5与2.6 ÷ 2的得数相同，2.6 ÷ 2的计算比2.6 × 0.5简便；1.5 ÷ 0.25与1.5 × 4的得数相同，1.5 × 4的计算比1.5 ÷ 0.25简便……学生通过计算、比较和思考，能够有许多体会。教学要注意的是，这些内容不应是教师告诉学生的，也不需教师讲得清清楚楚，只要求学生有所感受或联想，使不同的学生有不同的收获。