挖掘图形 活化认知

与你同行

在图形的教学中，我们要根据需要对教材中的图形进行挖掘，最大限度地发挥该图形的功能，做到一图多用，实现教学的优化组合，从而发展学生的思维能力。下面谈谈我对“圆的面积公式推导”中图形的挖掘与思考。

一、观察图形，引发思考

和大部分教师一样，在教学例题的时候，我让学生自己把圆平均分成若干份，自己拼一拼、想一想，并结合书上的问题：拼成的近似长方形与原来的圆有什么关系，让学生互相说一说。学生经过动手操作，很快就能结合图说出长方形的面积等于圆的面积，长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径。(如下图。)
   

师：根据长方形面积的计算方法，怎样求圆的面积?学生：因为长方形的面积等于圆的面积，长方形的面积等于长乘宽，也就是圆周长的一半乘以半径，所以圆的面积是S＝πr×r＝πr2。
一般来说，圆面积公式的教学至此可以告一段落了，这样的教学已完成了教学任务，学生对圆的面积的推导过程也有了了解，学生学得愉快，教师教得轻松，然而反过来看，学生除了了解公式的由来并能计算圆的面积外，似乎再没有学到什么了。我在这部分教学内容完成以后，没有急于完成书上的配套练习，而是继续让学生观察图形，引发思考。
师：除了我们刚才讲的长方形和圆的联系，长方形的周长与圆的周长比较有什么不同呢?
生1：长方形的周长要比圆的周长长一些。

生2：长方形的周长比圆的周长多两个半径，也就是一个直径。

师：你能用手比画一下，多在哪儿吗?(让学生都伸出手指进行比画。)
教师顺势出题：如果告诉你拼成的长方形的周长比圆的周长多l0厘米，你能很快计算出圆的面积吗?
如果不进行这个环节教学，而直接出示这道题，能独立完成的学生会比较少，所以在教学的时候，我不仅让学生找到图形的联系，也注重让学生去寻找不同之处，引导学生仔细观察，培养学生的求异思维；让每一个学生比画，从而化抽象为具体，学生能切实地感受到两个图形不同在哪里，这样也有利于培养学生的空间观念；练习的设计除了
让学生思考图形的差异，也融入了圆的面积计算，有了前面的教学铺垫，学生做起来自然就水到渠成了。

与你同行

二、巧妙移动，甄别异同
学生学得扎实吗，真得理解圆面积的推导过程吗?对于圆和特定的长方形面积相等，学生能发现长方形就是圆平均分以后拼起来的图形吗?
于是我又出示：
如图已知圆的面积和长方形的面积相等，长方形的长是18.84厘米，圆的面积是多少平方厘米?
让学生自己完成。

正如所料，绝大部分学生都做不出来，于是我询问了原因，有的学生说不知道半径不好求圆的面积，有的学生说，这个长方形和圆之间的关系没有找到。
教师引导：我们现在知道什么。
生：圆和长方形的面积相等。
师：刚才例题中的长方形和圆的面积也相等吧，我们把例题中的长方形移动一下，大家看看会得到什么。(投影出示移动的过程，如下图。)

随着图形缓缓移动，最终长方形的宽与圆的半径重合，学生恍然大悟：原来这一题的图和例题是一样的。

师：那为什么说图形是一样的呢?
生：都是圆和长方形的面积相等，长方形的长就是圆周长的一半，宽都是圆的半径，就可以把长方形理解为圆平均分以后拼起来的图形。
师：如果没有这个图，只告诉你圆和长方形的面积相等，那么长方形的长就是圆周长的一半，宽就是半径吗?

学生：不一定。

师：其实在看图的时候很多同学都忽视了圆的半径等于长方形的宽这个隐藏条件，而老师在移动图形的过程中，你可以清楚地找到这个条件，也只有面积相等、长方形的宽等于圆的半径，长才会是圆周长的一半。

师：你会做了吗?

生3：18.84÷3.14＝6(厘米)，6×6×3.14＝113.04(平方厘米)。

学生为什么觉得困难，很重要一点就是不会读图，会忽视图中重要条件，故很难想到和例题中的图是一样的。貌似平常的移动，就有画龙点睛的作用，不仅使学生清楚地发现题目中宽等于半径这样的隐藏条件，也能找到与前面知识的切合点，进一步巩固对圆的面积公式的理解，甚是巧妙。

三、同图异题，转化思维

同样的图形，对应不同的题目，就会对学生有不同的要求。在教学中也可以利用同一个图形渗透其他的解题策略。
继续出示：如图已知圆的面积和长方形的面积相等，阴影部分的面积是12平方厘米，圆的面积是多少平方厘米?

师：你发现了什么。(小组讨论，全班反馈。)

生：长方形的宽等于圆的半径，长是圆周长的一半；阴影部分面积就是圆面积的3/4。

师：多么重大的发现啊，很了不起!谁来说说他是怎样想的。

生：圆和长方形同时挖掉一个1/4圆，剩下的3/4圆和阴影部分的面积相等。

师：你能独立完成吗?

生：12÷3×4＝16(平方厘米)。
在这个问题的设置上有误导学生的意思，学生很容易和前一题的解题思路混淆起来，更多地关注长方形的宽等于圆的半径、长是圆周长的一半这方面，而忽视阴影部分面积的转化，因此我在教学时先安排学生讨论，希望利用集体的智慧，得到准确的回答。比我预计得好，很多学生都发现了这个规律，学生精彩的发言说明了一切，学生完全有能力理解图形转化的策略，而这样的策略融入平时的教学中，对学生思维的拓展，空间想象能力的提升都是至关重要的，关键是教师在课堂预设时要想到如何充分利用课本资源，给学生创造深化思维的机会。
诚然，要充分地挖掘图形中的有效资源，需要花费教师大量的时间与精力进行课堂预设，不仅要考虑挖掘的有效性，也要考虑学生接受能力，考虑教育教学规律，考虑教学方法。但是教师的挖掘能使学生受益良多，又何乐而不为呢?古人朱熹说过：“问渠哪得清如许，为有源头活水来。”我们教师就要做源头活水的开掘者，挖掘教材，活用教
材，使教材成为奔涌无穷智慧的源泉。