关于对称美在高中数学教学中的相关应用

中学生作文

关于对称美在高中数学教学中的相关应用
公主岭市第三高级中学数学组 郑彤
德国教育学家魏尔曾说:美与对称性紧密相关.对称是最能给人以美感的一种形式,它是整体中各个部分之间的匀称和对等.在数学上常常表现为数式或图形的对称,命题或结构的对偶或对应.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.下面举例说明,供同学们在学习中参考.一、巧用数式结构对称解题数式结构的对称,必将蕴含着解法(证法)的对称.从而,具有相同结构特征的数式具有同等的地位,处理的手法必将相同.从数学中的对称美的角度出发,常能优化解题思路和简化解题过程. 在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.
关原理键词: 对称性﹑数学美﹑对偶式﹑对称性
Ⅰ.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例
<1>.利用对称性,预测问题结果
   当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.
例1. 已知x,y,z∈R﹢,且x+y+z=1求函数f(x,y,z)=  + 的最大值
   分析直接求最大值,无从下手,观察变量x,y,z可知:它们在条件及函数f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当x=y=z= 时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为
从而 +   
只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度.
上不等式通过基本不等式   不难证得
<2>.运用对称性,诱发解题灵感
有些数学问题,用对称的眼光去观察﹑审视,通过形﹑式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.
例2. 若a,b,c表示三角形三边之长,
求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)  3abc
分析本题关于a,b,c是对称的,这就启发我们将3abc移到左平分给三个加项,即需证:
[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc]  0
由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如
a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)
=a(a-b)(c-a)   
于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)
又因为关于a,b,c对称,故不妨假设a  b  c
此时, c(c-a)(b-c)  0
而a(a-b)(c-a) +a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)]
=(a-b)2[c-(a+b)]  0
从而原不等式获证
<3>.洞察对称性,巧妙转化问题
对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将
题巧妙转化,使问题解题思路简捷﹑化难为易﹑避繁就简.
例3. 自点A(-3,3)发出光线h射到x到轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线h所在的直线方程
分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点A(-3,3)且与⊙c(x-2)2+(y-2)2=1对称的圆⊙c¹相切的直线方程”如图,
这样的转化不但明确了解题
思路,而且简化了解题计算量

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,设直线h的方程y-3=k(x+3)则根据⊙c¹的圆心C’(2,-2)到直线h的方程的距离等于⊙c¹的半径1,可求出k=- ,从而求出直线方程
<4>.剖析对称性,合理准确选择
   数学的发现关键阶段------领悟阶段,发现常常是作出选择,就是要抛弃不合适的方案,保留合适的方案,而支配这种选择的就是数学美感,而对称美感往往扮演着重要角色
例4.        已知:△ABC的内界圆与外切圆的半径分比别为r和R,则r和R比值等于(  )
A.  4sin              B.  
C.                 D.  
分析  三角形的边a,b,c或角A,B,C对r和R的影响是相同的, r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重,因此在比值 的表达式中,必有边a,b,c或角A,B,C的轮换对称,因此C是正确的

怎样预见数学研究成果?如果我们对未来结果一无所知,那么只有凭感觉判制,数学中的对称美感,是我们必须信任的向导.

Ⅱ.对称与非对称的联系
寻求对称不是解题的唯一途径,具体问题具体分析才是出路,下面对对称与非对称作一辨证分析
<1>.非对称向对称转化
对称的形式容易被感知与理解,均衡协调的结构往往能理顺思路,反之则会干扰思考,这就要求我们使凌乱的非对称的形式转化为对称和谐的结构.  
(1)根据题目的结构及需要,对原式添加某些项,使其形成对称局面,促使问题求解.
例1.        设a<b<c<d,若变量x,y,z,t是a,b,c,d的某一排列,试问表达式n(x,y,z,t)可以取多少不同的值?
评析:  如将n(x,y,z,t)再添上两项(x-z)2和(y-t)2  则 n(x,y,z,t)+ (x-z)2+(y-t)2就转化为关于x,y,z,t的全对称式,故 n(x,y,z,t)的不同值仅依赖于(x-z)2+(y-t)2=(x2+y2+z2+t2)-2(xz+yt)的不同取值,而上式右端第一项(x2+y2+z2+t2)又是全对称的,因此,n取不同的值仅依赖于xz+yt,而它恰有三种不同的值 ab+cd,ac+bd ,ad+bc,事实上(ab+cd) –(ac+bd)=a(b-c)+d(c-b)=(b-c)(a-d)>0
∴   ab+cd>ac+bd   
           同理   ac+bd>ad+bc
即   n(x,y,z,t)可取三种不同值
(2).根据式子外部特征及某些性质,引进一个新的对称的式子,与原式配合求解,所引进的新的式子称为对偶式
例2.设a,b∈R+,且 , 求证:对每一个自然数n有(a+b)n-an-bn≧22n-22n-1
证   设d1=(a+b)n-an-bn =
        令  d2= d1=
d1+ d2=2 d1=  
          )
由题设可知 ab  4  , 于是 2 d1  
       即   d1

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<2>. 对称-------非对称---------对称的辨证关系
方法上的对称,形式上的对称,确实能为我们获取信息打开通道,   但是没有一个极美的东西是在调和中有着某种”奇异”有的时候抓 住某种”奇异”更能简洁明快的求解.
例3.        在△ABC中求证
评析: 这里的约束条件A+B+C=∏,将C视为常量(＂奇异＂),此时sin 为常量,  为变量,它们地位不同,(打破和谐性),问题转化为求 的最大值,因为  =    当且仅当A=B时取最大值,同理固定B角,A=C时取最大值,固定A角, B=C时取最大值,呈现出和谐之感,因此只有当A=B=C=  时  =  (最大)
例4.        在△ABC中,求 最大值
分析点评:本例形式上与上例3极为相似,用同样的方法展开
  
  (这里运用放缩法,与上例解法不对称)
=
=
此时 可正可负 (又与上例解法不对称) ,不妨设 之后虽然破坏了A,B,C的对称结构. (他们有大小之别) 但为我们解题开拓了思路
数学中的对称美，使人赏心悦目。几何图形的中心对称、轴对称，都给人以舒适美观之感。毕达哥拉斯曾经说过：“一切平面图数学中的对称美，使人赏心悦目。几何图形的中心对称、轴对称，都给人以舒适美观之数学中的堆成没感。毕达哥拉斯曾经说过：“一切平面图形中最美的是圆形，一切立体图形中最美的是球数学中的对称美，使人赏心悦目。几何图形的中心对称、轴对称，都给人以舒适美观之感。毕达哥拉斯曾经说过：“一切平面图形中最美的是圆形，一切立体图形中最美的是球形”，其最根本的原因就是因为圆与球具有典型的对称性。代数中也同样充满着对称之美,恒等式、不等式及对称行列式等，类型可谓繁多。还有虚根成对定理，奇偶函数、三角函数的图象，互为反函数的图象关系等，无不表现出鲜明的对称性；形态各异的二次曲线，更与对称密切相关。形”，其最根本的原因就是因为圆与球具有典型的对称性。代数中也同样充满着对称之美,恒等式、不等式及对称行列式等，类型可谓繁多。还有虚根成对定理，奇偶函数、系等，无不表现数学中的对称美，使人赏心悦目，几何图形的中心对称，轴对称，都给人以舒适美观质感，比大哥拉斯曾经说过，“一切平面图形中最美的图形是圆，一切立体几何图形中最美的是球”其最根本的原因是圆与球具有典型的对称性，代数中同样也存在对称之美，等式不等式行列式也同样存在对称之美类型繁多，还有虚数虚根成对定理就、，奇偶函数，三角函数图像， 互为反函数图像关系等，无不表现出鲜明的对称性，形态各异的二次曲线更与对称性密切相关对学生实施对称美的思想还需要长期的渐进过程，不能一蹴而就还需要经过长期的培养
出鲜明的对称性；形态各异的二次曲线，更与对称密切相关。形中最美的是圆形，一切立体图形中最美的是球形”，其最根本的原因就是因为圆与球具有典型的对称性。代数中也同样充满着对称之美,恒等式、不等式及对称行列式等，类型可谓繁多。还有虚根成对定理，奇偶函数、三角函数的图象，互为反函数的图象关系等，无不表现出鲜明的对称性；形态各异的二次曲线，更与对称性有关系。对称对称性有密切相关。