《指数函数的图像与性质》有效教学案例设计

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《指数函数的图像与性质》有效教学案例设计
临高中学   数学组
一、案例背景
新课程认为知识不是单方面通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（教师指导和同学的帮助）协作，主动建构而获得的。它强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。通过多年教学实践和对新课程的认识,我认为若遵循这个原则进行数学课堂教学，学生的学习将是一种高效的活动。
二、教材中的地位
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1》（人教A版）第二章《2.1.2指数函数及其性质》的第一课时。指数函数是重要的基本初等函数之一，是学生在高中阶段学习的第一个函数，是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。本节课用“古莲子的年代”问题作为引例，来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计理念
1、函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到今后学习其他函数当中去。
2、结合 “提高课堂教学的有效性”的理念，以及本班的实际情况，在本课的教学中我努力践以下两点：
（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
四、教学目标
本节课我确定的教学目标是：
1、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；
2、在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；
3、在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；
4、同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，培养学生主动学习、合作交流的意识。
五、教学重点与难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
六、教学过程：                 
（一）创设情景、引出课题
引例：古莲子的年代问题
我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？经过科学家测定知道，每经过1年 C14的剩留量是上一年的99.9876%。现测得一颗刚出土的古莲子中C14的残余量占原量的87 . 9% 。设这颗古莲子体内C14原含量为1。
师：写出古莲子体内C14剩留量y随时间x变化的关系式。
学生容易得到关系式为： 。教师追问： 是函数关系吗？如何判断呢？
（设计意图：用“古莲子的年代”问题做引例，激发了学生的好奇心和学习新知的兴趣和欲望，为引出指数函数的概念做准备；同时追问 是函数关系吗？如何判断呢？可以及时复习函数的概念。）
（学情预设：学生得到的关系式中可能会漏掉 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中 的范围。）
（二）师生互动、探究新知

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1、指数函数的定义
师：其实，在本章开头的问题1中，也有一个与 （ ）类似的关系式 （ ）
⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：
① （ ）和 （ ）这两个解析式有什么共同特征？
②是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？
（设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现 ， 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。）
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
师：如果用字母 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成 的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。
⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（教师板书指数函数的定义）
对于底数的条件限制，可将问题分解为：
①若 会有什么问题？（如 ， 则在实数范围内相应的函数值不存在）
②若会有什么问题？（对于 ， 都无意义）
③若又会怎么样？（ 无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要）
师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定且。
（学情预设：①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求 ； 为什么不行？②若学生只给出 ，教师可以引导学生通过类比一次函数（ ）、反比例函数（ ）、二次函数（ ）中的限制条件， 思考指数函数中底数的限制条件。）
（课堂教学时，发现学生预习做得比较好，基本上都能知道 ，并且也能清楚地回答为什么要有这样的规定。这也说明指数幂的运算性质掌握得较好。）
（设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；
②讨论出 ，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。）
接下来教师让学生判断：函数 是指数函数吗？（在课堂中有部分学生认为是指数函数，学生可能只是关注指数是否有变量，而不考虑其它的，此时引起大部分学生的强烈反对，争论得很激烈！）
师：不是！指数函数中要求 的系数必须是1。
练习:下列函数是指数函数吗,为什么?
（1）      （2）        （3）       （4）
（设计意图：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解）
2、指数函数性质的探讨
⑴提出两个问题
①目前研究函数的性质一般包括哪些方面；
设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（定义域、对应法则、值域）和函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性）。
②研究函数常用的方法有哪些？
可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；当然也可以用列表法研究函数，但有时我们常常结合几种方法来研究，更容易，更直观地得到函数的性质。（提出这个问题时，两个教学班的学生都回答是利用函数的图象，可见思维的局限性）
（设计意图：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从解析式和列表不同的角度对函数进行研究；
②对学生进行数学思想方法的有机渗透。（从特殊到一般、数形结合、分类讨论））
⑵分组探究，得出性质
师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数 和 进行研究。
①将学生分为若干组，每组4人，2个同学从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，另2个同学从图象的角度入手研究指数函数（在网格本上，在同一坐标系内画出函数 和 的图象）；
②每组的4个同学进行交流与探究，并将研究所得到的结果写出来，准备展示。
（学生在探究时，我在巡视，发现有些同学作图不规范，有些同学不会利用解析式进行研究，对上述的各种情况，我个别做适当的指导。）
（设计意图：通过自主探索、合作学习不仅体现了学生的主体地位，而且可以让学生加深对所得到结论的理解。）
⑶交流、总结
教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并让学生谈谈从两个角度入手研究有什么体会。（上课时我让学生先展示所画的图象，对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。学生基本上能得出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性。）
师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的结论呢？（部分小组得到图象过定点（0，1）， 图象和 的图象关于y轴对称。把上述学生得到的结论列成一张表格，写在黑板上。）
（设计意图：①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的；②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。）

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练习：在刚才的那个坐标系中，画出函数 和 的图象。观察图象，发现它们有什么共同特征？
（设计意图：通过本练习，学生容易得到底数决定着指数函数的单调性。而不同底的图象的特征可能没提到，教师可进行适当的引导，把它点出来。）
此时教师可追问：以什么为界线呢？教师马上通过几何画板中改变参数 的值，追踪 的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律,以及不同底的指数函数图象的特征：第一象限内，底大图高。
师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。（把函数 和 的性质进行修改即可）

另外还可指出：函数 和 的图象关于y轴对称。
师：引例中函数 图象可以画吗？
生：可以！
师：那你们画一画！
生：啊！……（表情很为难，同时部分学生想到了用几何画板）
画出图象后，教师问：能根据图象推算这颗古莲子的生活年代吗？
（设计意图：学生得出答案：大约是1036年。很开心！这不仅让学生感受到数学知识来源于实际生活，又服务于实际生活，让学生深刻感受到数学就在我们的身边！）
（三）巩固训练、总结提升
1．例1：已知指数函数 的图象经过点 ，求 的值。
解：因为 的图象经过点 ，所以
即 ，解得 ，于是 。
所以 。
（设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。）
师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即列一个方程就可以了。
（设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。）
2、例2：比较下列各题中两个值的大小
（1） ，      （2） ，     （3） ，
师：比较两个指数幂的大小有什么方法？（先让学生回答，我再总结：（1）比较两个同底的指数幂值的大小，可利用单调性；（2）不同底的指数式值的大小，找一个中间量，常找“1”或“0”。）
（设计意图：加深对指数函数性质的理解。）
3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？
（学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。）
（设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到今后学习其他函数的研究中去。
②总结本节课中所用到的数学思想方法。
③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。