公开课教学设计 圆锥曲线的共同性质教案

网站工作室

教学目标

了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法．

教学重点，难点

圆锥曲线的统一定义及准线方程．

教学过程

一、问题情境

1．情境：

我们知道，平面内到一个定点 的距离和到一条定直线 不在 上 的距离的比等于 的动点 的轨迹是抛物线．

当这个比值是一个不等于１的常数时，动点 的轨迹又是什么曲线呢？

2．问题：

试探讨这个常数分别是 和 时，动点 的轨迹？



二、学生活动



探讨过程略（可以用课件演示或直接推导）；

可以得到：当常数是 时，得到的是椭圆；当常数等于2时得到的是双曲线；

三、数学运用

1．例题：

例1．已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹．

解：根据题意可得

化简得

令 ，上式可化为

这是椭圆的标准方程．

所以点 的轨迹是以焦点为 ，长轴、短轴分别为 的椭圆。这个椭圆的离心率 就是 到定点 的距离和它到定直线 不在 上 的距离的比．

类似地，我们可以得到：当点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，方程为 （其中 ），这个常数就是双曲线的离心率．

　　这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 和到一条定直线 （ 不在 上）的距离的比等于常数 的点的轨迹．

当 时，它表示椭圆；

当 时，它表示双曲线；

当 时，它表示抛物线．

其中 是圆锥曲线的离心率，定点 是圆锥曲线的焦点，定直线 是圆锥曲线的准线．

根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 轴上的椭圆或双曲线，与焦点 对应的准线方程分别为 ．

例2．椭圆 上一点到右准线的距离是 ，求该点到椭圆左焦点的距离．

解：设该椭圆的的左右焦点分别是 ，该椭圆的离心率为 ，由圆锥曲线的统一定义可知，

所以， 即该点到椭圆左焦点的距离为 ．

说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线．）



例3．若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上有一点 使

最小，则点 为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　 　　 　　

略解：因为椭圆的离心率为 ，则 就等于 点到右准线的距离 ，则可以看到 ，由点到直线的最短距离是垂线段得 可以得到 ．故选 ．