小学生五年级奥数名师专题讲座辅导WORD免费下载

admin

目录
目录 - 1 -
（一） 数的整除 - 2 -
（二） 数字谜 - 6 -
① 横式字谜 - 6 -
②             竖式字谜 - 8 -
（三） 定义新运算 - 11 -
（四） 行程问题 - 15 -
① 追击及遇问题 - 15 -
② 火车过桥 - 19 -
（五） 列方程解应用题 - 22 -
（六） 抽屉原理 - 27 -
（七） 不规则图形面积计算（1） - 30 -
（八） 不规则图形面积计算（2） - 34 -
（九） 逻辑推理 - 39 -
（十） 牛吃草 - 41 -
（十一） 流水行船 - 45 -
（十二） 奇数与偶数 - 48 -
（十三） 周期性问题 - 52 -
（十四） 植树问题 - 56 -
（十五） 有趣的树阵图 - 59 -
（十六） 有趣的树阵图练习 - 64 -

admin

思路导航：：
从第1根电线杆起到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一根电线杆，也就是说间隔为50米；那么，行使的总路程为：50×（37－1）=1800米；2分钟=2×60秒=120秒，共行1800米，所以，火车速度为：1800÷120＝15米／秒。

（十五） 有趣的树阵图

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.

一、例题与方法指导
例1.        在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

思路导航：
由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。

　　因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。
　
例2.        将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

证明：         
思路导航：
设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。

　　根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
　　3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），
　　3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，
　　d——c＋b＝d——a＋c，
　　2c＝a＋b，
　　a＋b
　　c＝2。
　　值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。
例3.        在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

思路导航：
由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。

例4.        在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

思路导航：
由例2知，右下角的数为

　　（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得如图的填法。

二、巩固训练
  1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.
                  




2. 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.






3. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.






4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.






    5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.

admin

由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:
2 [(100-10) 30]+1
=2 3+1
=7(段)
[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.


（十四） 植树问题

只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。
封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：
1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：
但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：
如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：
2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：


植树问题的三要素：
总路线长、间距(棵距)长、棵数．
只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
植树问题的分类：
　　⑴直线型的植树问题　⑵封闭型植树问题　⑶特殊类型的植树问题

一、例题与方法指导

例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?
思路导航：
每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?
思路导航：
在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=1350÷9=150株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。
例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？
思路导航：
16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；8×3=12×2=24，也就是说，每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不需要移动的有5-1=4个。
事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。

二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？
思路导航：：
要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层，事实所爬的层数只是4-1=3层，所以上一层楼梯需要的时间是48÷（4-1）=16（秒）；又，从4楼走到8楼共需走8-4=4层楼梯，所以还需要的时间是16×4=64秒。
2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟?
思路导航：：
125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台的时间是90÷45=2分钟。
3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？
思路导航：：
根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2个厚度是重叠的，也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米； 根据我们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，“环扣”数为5-1＝4(个)，所以，五个大小相同的铁环连在一起时，总长度为40+4×28＝152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1) ×28=292(毫米)。
4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需多少分钟?
思路导航：：
要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里面包含有24÷3=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，那么，每次5分钟,一共需要用时5×7=35分钟。


三、能力提升
1 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

思路导航：：
由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2倍，因为每个小三角形的边上均匀栽9株， 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，所以，大三角形的每条边上栽的棵数为：9×2-1=17棵；又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上共栽花：（17-1）×3=48棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵，中间共栽花：7×3=21棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。

2 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

思路导航：：
4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为12÷（4－1）=4秒；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4×（12－1）=44秒敲完。

3 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？

admin

二、巩固训练
1. 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列.
第一列        第二列        第三列        第四列        第五列
1        2        3        4        5
        9        8        7        6
10        11        12        13        14
        18        17        16        15
…        …        …        …        …
        …        …        …        …
2. 把分数 化成小数后，小数点第110位上的数字是_____.
3. 循环小数 与 .这两个循环小数在小数点后第_____位,首次同时出现在该位中的数字都是7.
4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,
……共有1991个数.
   (1)其中共有_____个1,_____个9_____个4；
   (2)这些数字的总和是_____.
10. 7 7 7 …… 7所得积末位数是_____.

             50个


答案：
6.  3
仔细观察题中数表.
             1  2  3  4  5       (奇数排)
    第一组
9        8  7  6       (偶数排)
             10  11  12  13  14  (奇数排)
    第二组
                 18  17  16  15  (偶数排)
             19  20  21  22  23  (奇数排)
    第三组  
                 27  26  25  24  (偶数排)

可发现规律如下:
(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；
(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.
(3)10 9=1…1，10在1+1组，第1列
   19 9=2…1，19在2+1组，第1列
因为1992 9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.
7.  7
=0.57142857……
它的循环周期是6，具体地六个数依次是
5，7，1，4，2，8
110 6=18…2
因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.
8.  35
因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.
9.  853,570,568,8255.
不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为19917=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3284+1=853(个),9的个数是2284+2=570(个),4的个数是2284=568(个).这些数字的总和为
1853+9570+4568=8255.


三、拓展提升
1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8 9=72,在9后面写2,9 2=18,在2后面写8,……得到一串数字:
1  9  8  9  2  8  6……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？
3. 设n=2 2 2 …… 2，那么n的末两位数字是多少？        

            1991个
4．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？


答案：11.  依照题述规则多写几个数字:
1989286884286884……
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4) 6=330…5，所以所求数字是8.
12.  1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990 10=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.
13.  n是1991个2的连乘积,可记为n=21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:

n        n的十位数字        n的个位数字        n        n的十位数字        n的个位数字
21        0        2        212        9        6
22        0        4        213        9        2
23        0        8        214        8        4
24        1        6        215        6        8
25        3        2        216        3        6
26        6        4        217        7        2
27        2        8        218        4        4
28        5        6        219        8        8
29        1        2        220        7        6
210        2        4        221        5        2
211        4        8        222        0        4

观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为20.因为1990 20=99…10，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.
14.  因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.
6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.

admin

　　1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，…
　　这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：
　　奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……
容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333……1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。
三、拓展提升
1.在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？
2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？
5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？

答案
　1.对。提示：因为平方数能被4整除或除以4余1，而形如111…11的数除以4的余数与11除以4的余数相同，余3，所以不是平方数。
　　2.5个。提示：与例4类似分析可知，先排9个奇数页的故事，其中有5个从奇数页开始，再排8个偶数页的故事，都是从偶数页码开始。
　　3.3次。提示：见下表。
　　
　　4.偶数。
　　提示：这行数的前面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，…
　　这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，……
　　从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。70÷3=23……1，第70个数是第24组数的第一个数，是偶数。
　　5.偶数。
　　提示：号码总和等于100加上小明号码的2倍。
　　6.不能。
提示：如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。

（十三） 周期性问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。
    在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

一、例题与方法指导
        例1.        某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____.
思路导航：
因为7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了
          31+30+31+1=93(天).
因为937=13…2，所以这年6月1日是星期二.

例2.        1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____.
思路导航：
依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365 10+2=3652（天）
因为（3652+1） 7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.
[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.

例3.        按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的.
                                    
                                      ……
思路导航：
从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.
因为80 6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13 3=39（个）.

        例4.        节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是_____灯.
思路导航：
依题意知,电灯的安装排列如下:
白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.
由73 4=18…1,可知第73盏灯是白灯.

例5.         时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_____.
思路导航：
分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991 24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.
[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.

admin

（十二） 奇数与偶数
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的叫做奇数。奇数平常也叫做单数，偶数也叫做双数。0也是偶数。所以。一个整数不是奇数，就是偶数。
奇数和偶数的运算有如下一些性质：
1．偶数±偶数=偶数；奇数±奇数=偶数；偶数±奇数=奇数。
2．奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。
3．如果一个偶数能被奇数整除，那么，商必是偶数。偶数除以，如果能整除，商可能是奇数，也可能是偶数。奇数不能被偶数整除。
4．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1。

一、例题与方法指导

例1.        用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？
思路导航：
有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。
　　这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
　　要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。
　　要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。
　　例2.        7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
思路导航：
盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

　　例3.        有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
思路导航：
当m是奇数时，（m-1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。
　　当m是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：
　
　　由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。
综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。

　　例4.        一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
思路导航：
可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。
　　以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。

二、巩固训练
1.        有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
解答       
大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：
（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。
（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。
综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。
2.        一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
　　分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。

admin

一、例题与方法指导
例1.        船在静水中的速度为每小时13千米，水流的速度为每小时3千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港需要多少小时？
思路导航：
根据条件，用船在静水中的速度+水速=顺水速度，知道了顺水速度和顺水时间，可以求出甲乙两港之间的路程。因为返回时是逆水航行，用船在静水中的速度-水速=逆水速度，再用甲乙两港之间的全长除以逆水速度即可求出乙港返回甲港所需时间。
解：        顺水速度：13+3=16（千米/小时）
            逆水速度：13-3=10（千米/小时）
                全程：16×15=240（千米）
返回所需时间：240÷10=20（千米/小时）
答：从乙港返回甲港需要24小时。

例2.        一艘小船往返于一段长120千米的航道之间，上行时行了15小时，下行时行了12小时，求船在静水中航行的速度与水速各是多少？
思路导航：
求船在静水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的时间就是逆行速度，路程除以下行时间就是顺水速度。顺水速度与逆水速度的和除以2就是船速，顺水速度与逆水速度的差除以2就是水速。
解：逆水速度：120÷15=8（千米/小时）
顺水速度：120÷12=10（千米/小时）
船速：（10+8）÷2=9（千米/小时）
水速：（10--8）÷2=1（千米/小时）
答：船在静水中航行的速度是每小时9千米，水速是每小时1千米。

例3.        甲、 乙两港相距200千米。一艘轮船从甲港顺流而下10小时到达乙港，已知船速是水速的9倍。这艘轮船从乙港返回甲港用多少个小时？
思路导航：
根据甲、乙两港的距离和从甲港到乙港的时间可以求出顺水速度是每小时200÷10=20（千米/小时），顺水速度是船速与水速的和，已知船速是水速的9倍，可以求出水速是20÷（1+9）=2（千米/小时），船速为2×9=18（千米/小时），逆水速度为18-2=16（千米/小时）
解：顺水速度：200 ÷10=20（千米/小时）
        水速：20÷（1+9）=2（千米/小时）
        船速：2×9=18（千米/小时）
    逆水速度：18-2=16（千米/小时）
返回时间：200÷16=12.5（小时）
答：这艘轮船从乙港返回甲港用12.5个小时。

二、巩固训练
        1.        A、B两港间相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时。另有一艘机帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘机帆船往返两港要多少小时？
【思路导航】先根据和差问题的解题思路，分别求出顺行时间和逆行时间；再根据两港相距360千米和轮船的顺行时间、逆行时间求出轮船的顺行速度和逆行速度；求出了顺行速度和逆行速度就可以求出水流的速度；最后，根据两港相距360千米和机帆船的船速、水速可求出机帆船顺流航行和逆流航行的时间，两者相加的和即是所求的问题。
解：顺行时间：（35-5）÷2=15（小时）              逆行时间：35-15=20（小时）        
顺水速度：360÷15 = 24（千米/小时）            逆水速度：360÷20=18（千米/小时）   
水速：（24-18）÷2=3（千米/小时）
    往返时间：360÷（12+3）+360÷（12-3）=64（小时）
答：这艘机帆船往返两港要64小时。

2.        甲、乙两只小船在静水中速度分别为每小时12千米和每小时16千米，两船同时从相距168千米的上、下游两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时乙船追上甲船？

【思路导航】此题为水中相遇问题和追及问题，甲、乙两船一个顺流，一个逆流，那么它们的速度和为甲、乙两只小船在静水中速度的和，而水中的追击问题不论两船同向逆流而上还是顺流而下速度差均为甲、乙两只小船在静水中速度的差，因此用路程÷速度和=相遇时间，路程÷速度差=追及时间
解：相遇时间：168÷（12+16）=6（小时）
    追及时间：168÷（16-12）=42（小时）
答：6小时相遇；42小时乙船追上甲船。

3.        一艘轮船从上游的甲港到下游的乙港，两港间的水路长72千米。已知这艘船顺水4小时能行48千米，逆水6小时能行48千米。开船时，一个小朋友放了个木制玩具在水里，船到乙港时玩具离乙港还有多少千米？
【思路导航】根据条件，先求出轮船的顺水速度和逆水速度，然后很容易求出船速和水速，此时的水速也就是玩具运动的速度，轮船和玩具都是顺流而下，它们每小时相距一个速度差，再用全长72千米除以轮船的顺行速度，得出轮船的顺行时间，用顺行时间乘以速度差即可。
解：顺水速度：48÷4=12（千米/小时）       逆水速度： 48÷6=8（千米/小时）
船速：（12+8）÷2=10（千米/小时）      水速：（12-8）÷2=2（千米/小时）
船到甲港的时间：72÷（10+2）=6（小时）
玩具离乙港的距离：6×（10+2-2）=60（千米）
答：船到乙港时玩具离乙港还有60千米。