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最新人教版八年级数学下册18.2.3第2课时正方形的判定教学设计及反思word下载

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发表于 2020-3-29 19:34:27 | 显示全部楼层 |阅读模式
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第2课时 正方形的判定


1.掌握正方形的判定条件;(重点)
2.能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算.(难点)
一、情境导入
老师给学生一个任务:从一张彩色纸中剪出一个正方形.
小明剪完后,这样检验它:比较了边的长度,发现4条边是相等的,小明就判定他完成了这个任务.这种检验可信吗?
小兵用另一种方法检验:量对角线,发现对角线是相等的,小兵就认为他正确地剪出了正方形.这种检验对吗?
小英剪完后,比较了由对角线相互分成的4条线段,发现它们是相等的.按照小英的意见,这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样?
你认为应该如何检验,才能又快又准确呢?
二、合作探究
探究点一:正方形的判定
【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形
  如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:四边形CEDF是正方形.
解析:要证四边形CEDF是正方形,则要先证明四边形CEDF是矩形,再证明一组邻边相等即可.
证明:∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°.又∵∠ACB=90°,∴四边形CEDF是矩形.∵DE=DF,∴矩形CEDF是正方形.
方法总结:要注意判定一个四边形是正方形,必须先证明这个四边形为矩形或菱形.
【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形
  如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形?并说明理由;
(2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.
  解析:(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC.又∵CF=AE,∴可证BE=EC=BF=FC.根据“四边相等的四边形是菱形”,∴四边形BECF是菱形;
(2)菱形对角线平分一组对角,即当∠ABC=45°时,∠EBF=90°,有菱形为正方形.根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A=45°.
解:(1)四边形BECF是菱形.理由如下:∵EF垂直平分BC,∴BF=FC,BE=EC,∴∠3=∠1.∵∠ACB=90°,∴∠3+∠4=90°,∠1+∠2=90°,∴∠2=∠4,∴EC=AE,∴BE=AE.∵CF=AE,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形;
(2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方形.证明如下:∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠3=45°,∴∠EBF=2∠3=90°,∴菱形BECF是正方形.
方法总结:正方形的判定方法:①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角;③还可以先判定四边形是平行四边形,再用判定定理1或判定定理2进行判定.
探究点二:正方形的判定的应用
【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用
  如图,点E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE.求证:
(1)EF=FP=PQ=QE;
(2)四边形EFPQ是正方形.
解析:(1)证明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP,即可证得EF=FP=PQ=QE;(2)由EF=FP=PQ=QE,可判定四边形EFPQ是菱形,又由△APF≌△BQP,易得∠FPQ=90°,即可证得四边形EFPQ是正方形.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.∵AF=BP=CQ=DE,∴DF=CE=BQ=AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中,AF=DE=CQ=BP,∠A=∠D=∠C=∠B,AP=DF=CE=BQ,
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),∴EF=FP=PQ=QE;
(2)∵EF=FP=PQ=QE,∴四边形EFPQ是菱形.∵△APF≌△BQP,∴∠AFP=∠BPQ.∵∠AFP+∠APF=90°,∴∠APF+∠BPQ=90°,∴∠FPQ=90°,∴四边形EFPQ是正方形.
方法总结:此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.
【类型二】 与正方形的判定有关的综合应用题
  如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平
分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F,连接AE、AF.
(1)求证:∠ECF=90°;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,要使四边形AECF为正方形,△ABC应该满足条件:______________________(直接添加条件,无需证明).
解析:(1)由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO,可推出∠BCE=∠OCE,∠GCF=∠OCF,则∠ECF=12×180°=90°;(2)由MN∥BC,可得∠BCE=∠OEC,∠GCF=∠OFC,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,得出EO=CO=FO,点O运动到AC的中点时,则EO=CO=FO=AO,这时四边形AECF是矩形;(3)由已知和(2)得到的结论,点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角时,则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直,因而四边形AECF是正方形.
(1)证明:∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,∴∠ECF=12×180°=90°;
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF.又∵∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF.又∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.∵∠ECF=90°,∴四边形AECF是矩形.
(3)∠ACB=90°.
方法总结:在解决正方形的判定问题时,可从与其判定有关的其他知识点入手,例如等腰三角形,平行线和角平分线.从中发现与正方形有关联的条件求解.
三、板书设计
1.正方形的判定方法
一组邻边相等的矩形是正方形;
有一个角是直角的菱形是正方形.
2.正方形性质和判定的应用
教学反思:
本节课采用探究式教学,让学生产生学习兴趣,通过实践活动调动学生的积极性,给学生动手操作的机会,变被动为主动学习,引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程,以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识,养成良好的学习习惯.
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 楼主| 发表于 2020-3-29 19:34:53 | 显示全部楼层
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