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北师大版初中数学九年级下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆1教案及反思word下载

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发表于 2020-4-28 21:15:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
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文件预览:
3.6  直线和圆的位置关系

第2课时 切线的判定及三角形的内切圆


1.掌握切线的判定定理,并会运用它进行切线的证明;(重点)
2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线;(难点)
3.掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)
一、情境导入

下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况.
二、合作探究
探究点一:切线的判定
【类型一】 已知直线过圆上的某一个点,证明圆的切线
  如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°,求证:CD是⊙O的切线.

解析:要证明CD是⊙O的切线,即证明OC⊥CD.连接OC,由AC=CD,∠D=30°,则∠A=∠D=30°,得到∠COD=60°,所以∠OCD=90°.
证明:连接OC,如图,∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠COD=60°,∴∠OCD=90°,即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线.
方法总结:一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 直线与圆的公共点没有确定时,证明圆的切线
  如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证:CD与⊙O相切.
解析:连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,用正方形的性质得出AC平分角∠BCD,再利用角平分线的性质得出OM=ON即可.
证明:连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM=ON,∴CD与⊙O相切.
方法总结:如果直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到这条直线的距离等于半径.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】 切线的性质和判定的综合应用
  如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.
(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)若AD=23,AE=6,求EC的长.

解析:(1)取BD的中点O,连接OE,如图,由∠BED=90°,可得BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,再证明OE∥BC,得到∠AEO=∠C=90°,可得结论;(2)设⊙O的半径为r,根据勾股定理和平行线分线段成比例定理,可求答案.
(1)证明:取BD的中点O,连接OE,如图所示,∵DE⊥EB,∴∠BED=90°,∴BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∴∠AEO=∠C=90°,∴OE⊥AE,∴AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)解:设⊙O的半径为r,则OA=OD+DA=r+23,OE=r.在Rt△AEO中,有AE2+OE2=AO2,即62+r2=(r+23)2,解得r=23.∵OE∥BC,∴AECE=AOOB,即6CE=4323,∴CE=3.
方法总结:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二:三角形的内切圆
【类型一】 利用三角形的内心求角的度数
  如图,⊙O内切于△ABC,切点D、E、F分别在BC、AB、AC上.已知∠B=50°,∠C=60°,连接OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于(  )

A.40°
B.55°
C.65°
D.70°
解析:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=50°,∠C=60°,∴∠A=70°.∵⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,∴∠OEA=∠OFA=90°,∴∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°,∴∠EDF=12∠EOF=55°.故选B.
方法总结:解决本题的关键是理解三角形内心的概念,求出∠EOF的度数.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题


【类型二】 求三角形内切圆半径
  如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC的内切圆半径r为(  )
A.1  B.2  C.1.5  D.2.5
解析:∵∠C=90°,AC=6,CB=8,∴AB=AC2+BC2=10,∴△ABC的内切圆半径r=6+8-102=2.故选B.
方法总结:记住直角边为a、b,斜边为c的三角形的内切圆半径为a+b-c2,可以大大简化计算.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】 三角形内心的综合应用
  如图①,I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E.
(1)BE与IE相等吗?请说明理由.
(2)如图②,连接BI,CI,CE,若∠BED=∠CED=60°,猜想四边形BECI是何种特殊四边形,并证明你的猜想.

解析:(1)连接BI,根据I是△ABC的内心,得出∠1=∠2,∠3=∠4,再根据∠BIE=∠1+∠3,∠IBE=∠5+∠4,而∠5=∠1=∠2,得出∠BIE=∠IBE,即可证出IE=BE;(2)由三角形的内心,得到角平分线,根据等腰三角形的性质得到边相等,由等量代换得到四条边都相等,推出四边形是菱形.
解:(1)BE=IE.理由如下:如图①,连接BI,∵I是△ABC的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵∠BIE=∠1+∠3,∠IBE=∠5+∠4,而∠5=∠1=∠2,∴∠BIE=∠IBE,∴BE=IE;
(2)四边形BECI是菱形.证明如下:∵∠BED=∠CED=60°,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴BE=CE.∵I是△ABC的内心,∴∠4=12∠ABC=30°,∠ICD=12∠ACB=30°,∴∠4=∠ICD,∴BI=IC.由(1)证得IE=BE,∴BE=CE=BI=IC,∴四边形BECI是菱形.
方法总结:解决本题要掌握三角形的内心的性质,以及圆周角定理.
三、板书设计
切线的判定及三角形的内切圆
1.切线的判定方法
2.三角形的内切圆和内心的概念

本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容,如动手操作“切线的判定定理的发现过程”,以及讲解例题时学生的参与,课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.
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 楼主| 发表于 2020-4-28 21:18:13 | 显示全部楼层
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