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小学五年级数学求最大公因数九种方法

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发表于 2020-5-17 08:50:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
求最大公因数是小学重点掌握的知识点,不仅关系到小学重要考试,在初中数学学习中,也是很多重点知识点的学习根基。



很多同学认为在小学课本中,最大公约数已学的很透,当你认真看完这篇文章后,你会发现数学真的是一门神奇的学科。

01
观察法


运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察.



例如,求225和105的最大公因数.因为225、105都能被3和5整除,所以225和105至少含有公因数(3×5)15.因为225÷15=15,105÷15=7.15与7互质,所以225和105的最大公因数是15



02
查找因数法


先分别找出每个数的所有因数,再从两个数的因数中找出公有的因数,其中最大的一个就是最大公因数.



例如,求12和30的最大公因数.

12的因数有:1、2、3、4、6、12;

30的因数有:1、2、3、5、6、10、15、30.

12和30的公因数有:1、2、3、6,其中6就是12和30的最大公因数.



03
分解因式法


先分别把两个数分解质因数,再找出它们全部公有的质因数,然后把这些公有质因数相乘,得到的积就是这两个数的最大公因数.



例如:求125和300的最大公因数.因为125=5×5×5,300=2×2×3×5×5,所以125和300的最大公因数是5×5=25.



04
关系判断法


当两个数关系特殊时,可直接判断两个数的最大公因数.例如,两个数互质时,它们的最大公因数就是这两个数的乘积;两个数成倍数关系时,它们的最大公因数就是其中较小的那个数.



05
短除法




例如:求180和324的最大公因数.

因为:5和9互质,所以180和324的最大公因数是4×9=36.



06
除法法


当两个数中较小的数是质数时,可采用除法求解.即用较大的数除以较小的数,如果能够整除,则较小的数是这两个数的最大公因数.



例如:求19和152,13和273的最大公因数.因为152÷19=8,273÷13=21.(19和13都是质数.)所以19和152的最大公因数是19,13和273的最大公因数是13.



07
缩倍法


如果两个数没有之间没有倍数关系,可以把较小的数依次除以2、3、4……直到求得的商是较大数的因数为止,这时的商就是两个数的最大公因数.例如:求30和24的最大公因数.24÷4=6,6是30的因数,所以30和24的最大公因数是6.



08
求差判定法


如果两个数相差不大,可以用大数减去小数,所得的差与小数的最大公因数就是原来两个数的最大公因数.例如:求78和60的最大公因数.78-60=18,18和60的最大公因数是6,所以78和60的最大公因数是6.



如果两个数相差较大,可以用大数减去小数的若干倍,一直减到差比小数小为止,差和小数的最大公因数就是原来两数的最大公因数.例如:求92和16的最大公因数.92-16=76,76-16=60,60-16=44,44-16=28,28-16=12,12和16的最大公因数是4,所以92和16的最大公因数就是4.



09
辗转相除法


我们在求两个数的最大公约数时,通常的方法是短除,或者分别对两个数分解质因数,但是如果遇到两个比较麻烦的较大的数,比如:9193和3567,我们怎么办呢?



我们的祖先很久之前就帮我们搞定了,那个时候信息不畅,东西方人都各自用了几乎相同的方法,分别记载于欧几里得的《几何原本》(第VII卷,命题yⅠ和Ⅱ)和《九章算术》“更相减损术”中。



《几何原本》记载:

设有不相等的二数,若依次从大数中不断地减去小数,若余数总是量不尽它前面的一个数,直到最后的余数为一个单位,则该二数互素”



《九章算术》“更相减损术”:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”



那么我们用最开始的例子做个计算:

9193和3567,先用9193÷3567,商2余2059,再用3567÷2059,商1余1508,2059÷1508,商1余551,1508÷551,商2余406,551÷406,商1余145,406÷145,商2余116,145÷116,商1余29,116÷29,商4除尽。所以最大公约数 29。



这就是辗转相除法,大家是不是又新技能get√了!
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