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最新北师大版九年级数学下册类比归纳专题:切线证明的常用方法word下载

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发表于 2020-5-20 21:37:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
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类比归纳专题:切线证明的常用方法

——弄清不同条件下证明方式,体会异同

◆类型一 有切点型:连半径,证垂直
一、利用角度转换证垂直
1.(2017•肥城市二模)如图,等边△ABC中,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC交于点D、E,F是AC上的点,下列说法错误的是(  )
A.若EF⊥AC,则EF是⊙O的切线
B.若EF是⊙O的切线,则EF⊥AC
C.若BE=EC,则AC是⊙O的切线
D.若BE=32EC,则AC是⊙O的切线
2.(2017•景德镇二模)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点O是AB边上一点,以OA为半径作⊙O与边AC交于点D,连接BD,若∠DBC=∠A,求证:BD是⊙O的切线.【方法10③】
3.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.求证:AB是⊙O的切线.【方法10③】
二、利用全等证垂直
4.如图,AB是⊙O的直径,PB与⊙O相切于点B,弦AC∥OP,PC交BA的延长线于点D,求证:PD是⊙O的切线.【方法10③】
◆类型二 无切点型:作垂直,证半径
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点O,OC=1,以点O为圆心、OC为半径作半圆.求证:AB为⊙O的切线.

参考答案与解析
1.C 解析:连接OE,则OB=OE.∵∠B=60°,∴∠BOE=60°.∵∠BAC=60°,∴∠BOE=∠BAC,∴OE∥AC.∵EF⊥AC,∴OE⊥EF,∴EF是⊙O的切线,∴A选项正确.∵EF是⊙O的切线,∴OE⊥EF.又OE∥AC,∴AC⊥EF,∴B选项正确.过O作OH⊥AC于H,∵∠B=60°,OB=OE,∴BE=OB.∵BE=CE,∴BC=AB=2BO,∴AO=OB.∵∠BAC=60°,∴OH=32AO≠OB,∴C选项错误.∵BE=32EC,∴CE=233BE.∵AB=BC,BO=BE,∴AO=CE=233OB,∴OH=32AO=OB,∴AC是⊙O的切线,∴D选项正确.故选C.
2.证明:连接OD.∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.∵∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=90°.又∵∠CBD=∠A,∴∠ADO+∠CDB=90°,∴∠ODB=180°-(∠ADO+∠CDB)=90°.∴BD是⊙O的切线.
3.证明:连接OA,OD.∵点D为CE的下半圆弧的中点,∴∠EOD=90°,∴∠D+∠OFD=90°.∵AB=BF,OA=OD,∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D.又∵∠BFA=∠OFD,∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠OFD=90°,即∠OAB=90°,∴OA⊥AB,∴AB是⊙O的切线.

4.证明:如图,连接OC.∵AC∥OP,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵OA=OC,∴∠1=∠3.∴∠2=∠4.∵在△POC与△POB中,OC=OB,∠2=∠4,OP=OP,∴△POC≌△POB(SAS),∴∠PCO=∠PBO.∵PB切⊙O于点B,AB是⊙O的直径,∴∠PBO=90°,∴∠PCO=90°,∴PC与⊙O相切.
5.证明:过点O作OM⊥AB于M.∵∠ACB=90°,∴OC⊥AC.又∵AO平分∠CAB,OM⊥AB,∴OM=OC,∴AB是⊙O的切线.

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 楼主| 发表于 2020-5-20 21:42:44 | 显示全部楼层
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