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最新北师大版九年级数学下册难点专题:二次函数的综合题【勇于探究的能力】word下载

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发表于 2020-5-20 21:40:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
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文件预览:

难点专题:二次函数的综合题【勇于探究的能力】

——代几结合,突破面积及点的存在性问题

◆类型一 抛物线与三角形的综合
一、求最值
1.如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是直线x=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题
2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;
(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.【易错4】
3.★如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),与直线y=x-2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
三、与面积相关的问题
4.如图,坐标平面上,二次函数y=-x2+4x-k的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4,则k的值为(  )
A.1    B.12   C.43     D.45
5.★如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).
(1)求a,b的值;
(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
◆类型二 抛物线与特殊四边形的综合
6.抛物线y=-x2+6x-9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得四边形ABCD为平行四边形,那么点D的坐标是(  )
A.(-6,0)  B.(6,0)  C.(-9,0)  D.(9,0)
7.如图,在平面直角坐标系中,沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形,其长、宽分别为4,2,则过A,B,C三点的拋物线的函数关系式是________________.

8.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)上,则a的值为________.

9.正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线l经过O,P,A三点,点E是正方形内的抛物线l上的动点.
(1)建立适当的平面直角坐标系,
①直接写出O,P,A三点坐标;
②求抛物线l的解析式;
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.

参考答案与解析
1.解:(1)由题意得1-b+c=0,b2=2,解得b=4,c=3.∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)存在.∵点A与点C关于直线x=2对称,∴连接BC与直线x=2交于点P,则点P即为所求.根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3,0).∵y=x2-4x+3,∴点B的坐标为(0,3).设直线BC的解析式为y=mx+n,则3m+n=0,n=3,解得m=-1,n=3.∴直线BC的解析式为y=-x+3,∴直线BC与直线x=2的交点坐标为(2,1),即点P的坐标为(2,1).
2.解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得a-b+c=0,9a+3b+c=0,c=-3,解得a=1,b=-2,c=-3.∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3.
(2)当点P在x轴上,P,A,B三点在一条直线上时,点P到点A、点B的距离之和最短,此时点P的横坐标为-b2a=1,故点P的坐标为(1,0).
(3)点M的坐标为(1,-1),(1,6),(1,-6),(1,0). 解析:抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1.设点M的坐标为(1,m).已知A(-1,0),C(0,-3),则
MA2=m2+4,MC2=(m+3)2+1=m2+6m+10,AC2=12+32=10.①若MA=MC,则MA2=MC2,得m2+4=m2+6m+10,解得m=-1;②若MA=AC,则MA2=AC2,得m2+4=10,解得m=±6;③若MC=AC,则MC2=AC2,得m2+6m+10=10,解得m1=0,m2=-6,当m=-6时,M,A,C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去.综上所述,符合条件的点M的坐标为(1,-1),(1,6),(1,-6),(1,0).
3.(1)解:∵顶点坐标为(1,1),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+1.又∵抛物线过原点,∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1,即y=-x2+2x.联立抛物线和直线解析式可得y=-x2+2x,y=x-2,解得x=2,y=0或x=-1,y=-3,∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(-1,-3).
(2)证明:分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于点D,E两点,则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,CE=3,∴BE=CE,∴∠ABO=∠CBO=45°,∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=90°,∴△ABC是直角三角形.
(3)解:假设存在满足条件的点N,设点N的坐标为(x,0),则点M的坐标为(x,-x2+2x),∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|.由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=2,BC=32.∵MN⊥x轴,∴∠MNO=∠ABC=90°,∴当△ABC和△MNO相似时,有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB.①当MNAB=ONBC时,则有|-x2+2x|2=|x|32,即|x||-x+2|=13|x|.∵当x=0时,M,O,N不能构成三角形,∴x≠0,∴|-x+2|=13,即-x+2=±13,解得x=53或x=73,此时点N的坐标为53,0或73,0;②当MNBC=ONAB时,则有|-x2+2x|32=|x|2,即|x||-x+2|=3|x|,∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,解得x=5或x=-1,此时点N的坐标为(-1,0)或(5,0).综上所述,存在满足条件的N点,其坐标为53,0或73,0或(-1,0)或(5,0).
4.D 解析:∵y=-x2+4x-k=-(x-2)2+4-k,∴顶点D的坐标为(2,4-k),点C的坐标为(0,-k),∴OC=k.∵△ABC的面积为12AB•OC=12AB•k,△ABD的面积为12AB•(4-k),△ABC与△ABD的面积比为1∶4,∴k=14(4-k),解得k=45.故选D.
5.解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=-12,b=3.
(2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,CB,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F.则S△OAD=12OD•AD=12×2×4=4.S△ACD=12AD•CE=12×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=12BD•CF=12×4×-12x2+3x=-x2+6x.则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x.∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.
6.D 解析:令x=0,得y=-9,∴点B的坐标为(0,-9).∵y=-x2+6x-9=-(x-3)2,∴点A的坐标为(3,0),对称轴为直线x=3.∵点C在抛物线上,且四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,即BC∥x轴,∴点C的坐标为(6,-9),∴BC=6,∴AD=6,∴点D的坐标为(9,0).故选D.
7.y=-512x2-12x+203 解析:依题意得A点的坐标为(-4,2),B点的坐标为(-2,6),C点的坐标为(2,4).设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,则16a-4b+c=2,4a-2b+c=6,4a+2b+c=4,解得a=-512,b=-12,c=203.∴抛物线的函数关系式为y=-512x2-12x+203.
8.-23 解析:连接OB.∵四边形OABC是边长为1的正方形,∴∠BOC=45°,OB=1×2=2.过点B作BD⊥x轴于点D.∵OC与x轴正半轴的夹角为15°,∴∠BOD=45°-15°=30°,∴BD=12OB=22,∴OD=OB2-BD2=(2)2-222=62,∴点B的坐标为62,-22.∵点B在抛物线y=ax2(a<0)上,∴a622=-22,解得a=-23.
9.解:(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系,如图所示.

①∵正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,∴点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2).
②设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c.由抛物线l经过O,P,A三点,得0=c,0=16a+4b+c,2=4a+2b+c,解得a=-12,b=2,c=0.∴抛物线l的解析式为y=-12x2+2x.
(2)∵点E是正方形内的抛物线l上的动点,∴设点E的坐标为m,-12m2+2m(0<m<4),∴S△OAE+S△OCE=12OA•yE+12OC•xE=12×4×-12m2+2m+12×4m=-m2+4m+2m=-(m-3)2+9,∴当m=3时,△OAE与△OCE面积之和最大,最大值为9.

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 楼主| 发表于 2020-5-20 21:43:15 | 显示全部楼层
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