初中数学教材培训

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二．本章编写特点



1．突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合



在本章，重点研究了一些特殊四边形，由于涉及的图形比较多，因此，本章涉及的图形的性质和判定方法也比较多。在教科书呈现时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。



例如，通过度量，归纳出平行四边形对边相等、对角相等的性质；利用平行四边形的旋转，探究发现平行四边形对角线互相平分的性质；通过扭动平行四边形框架，探究发现矩形的四个角都是直角、对角线相等的性质；利用菱形的轴对称性，探究发现菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角的性质；通过制作一些框架，探究发现平行四边形、矩形、菱形的一些判定方法等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。



对于一些性质和判定方法的得出，除了要求学生先探究发现，再推理论证外，有些性质还要求学生能直接利用逻辑推理得出，使逻辑推理也成为得出性质的重要手段。例如，在学习平行四边形判定的开始，直接提出思考问题，通过将平行四边形的性质反过来，直接引出对边相等、对角相等、或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形的问题，这时学生可以继续下面的探究，通过制作平行四边形的过程发现平行四边形的判定方法，再通过进行推理证明结论。也可以直接从问题出发，通过推理证明得出平行四边形的判定方法。再如，在讲正方形时，要求学生直接根据正方形的定义以及它同矩形和菱形的关系，思考正方形的性质和判定方法，并要求学生证明其中的一些结论，等等。实际上，不仅观察、实验、归纳等合情推理是发现一些数学结论的手段，逻辑推理同样也是数学规律得以发现的重要手段。纵观数学历史的发展过程，我们可以发现，许多伟大的数学创造无不是通过逻辑推理发现的，数学中的逻辑推理促进了数学的不断创新和发展。



2．重视知识间的联系与综合  



本章内容涉及了“空间与图形”中“图形的认识”“图形与变换”“图形与坐标”“图形与证明”等各个部分的内容。在教材编写时，力求注意各个部分内容的联系与综合，围绕对于特殊四边形的认识，有机地整合各个部分的内容。



例如，利用平移由平行四边形引出菱形的概念，利用图形的旋转发现平行四边形、矩形的性质，利用菱形的轴对称性探究菱形的性质等都体现了“图形与变换”与“图形的认识”的整合。再如，前面讲的利用逻辑推理发现图形的性质也体现了“图形与证明”与“图形的认识”的整合。教科书还安排了一个选学栏目“观察与猜想  平面直角坐标系中的特殊四边形”，包括利用特殊四边形的性质在平面直角坐标系中表示它们的顶点坐标，利用图形的顶点坐标证明一些特殊四边形的性质等，这些也都体现了“图形与坐标”与“图形的认识”“图形与证明”的有机整合。



再有，本章中各种特殊四边形的研究是按照一定的逻辑顺序展开的，如由平行四边形到矩形、菱形，再到正方形，这些知识本身之间联系非常紧密，在教材编写时，也充分注意到这一点。比如注意在原有属概念基础上通过附加一些条件（种差）扩大概念的内涵、减少概念的外延来引出新的种概念，在原有属概念的性质和判定方法的基础上来研究种概念的性质和判定方法。教学时，也要充分重视到这一点。



另外，学生在小学已经学过一些四边形的知识，如一些特殊四边形的概念、平行四边形、梯形的高、面积计算等等，在七年级下册“三角形”一章中，学生也已经学习了多边形、多边形的内角和等内容。在本章教科书编写时，对这些内容未作重复而是直接使用了。在教学时，可结合学生的实际情况，必要时进行适当复习，注意知识间的联系。一方面加深对学过知识的理解，也能起到温故而知新的作用。

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3．重视渗透数学思想方法



在这一部分内容中，较多地应用矛盾转化的思想去处理问题。研究四边形的问题，经常是通过辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题。例如，通过连接对角线，把平行四边形分割成两个全等的三角形，由全等三角形的性质得出平行四边形的性质。反过来，在研究三角形的中位线时，又通过构造出平行四边形，利用平行四边形的性质得出三角形的中位线定理。对于梯形的问题，则是常常通过平行移动梯形的一个腰或一条对角线，把梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题。在教学时，要让学生了解这些思想，引导学生添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已经掌握的知识来解决新问题，提高学生分析问题解决问题的能力。



另外，本章的概念比较多，概念之间联系密切，关系复杂，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法。通过分类可以帮助学生更好地掌握概念，同时也学习一些分类的方法。在本章的小结中，教科书通过图示给出了本章主要概念之间的关系，要让学生注意这些概念之间的区别和联系，进一步体会分类的思想。



4．注意联系实际



四边形是人们日常生活和生产中应用较广的一种几何图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊四边形用处更多，因此这部分内容与实际联系比较紧密。在教科书编写时，也充分注意到这一点。例如，在引入一些概念，如章前引言、平行四边形、菱形、梯形的概念，注意从实际引入。在研究性质和判定方法时，注意它们的实际应用。如安排“阅读与思考平行四边形法则”，介绍平行四边形在计算向量加法时的应用；安排“实验与探究  巧拼正方形”，介绍正方形在实际中的应用；安排“课题学习重心”，介绍特殊四边形的性质在确定它们重心时的应用；教科书的例、习题中也有一些实际应用的例子等等。这些材料都是从实际中提炼出来的，要通过这些知识的教学，帮助学生如何运用所学知识解决实际问题。还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。

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三．几个值得关注的问题



1．重视概念的教学



本大节的难点是平行四边形和各种特殊平行四边形之间的区别和联系，因为它们的概念之间重叠交错，容易混淆。学生往往搞不清楚它们的共性、特性及其从属关系，有时掌握了它们的特殊性质，而忽视了共同性质。如有的学生不知道正方形是矩形，又是菱形，也是平行四边形，应用时常犯多用或少用条件的错误。教学时不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质，尤其要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质。也就是在讲清每个概念特征的同时，要强调它们的属概念。所以解决这个难点的关键是抓好概念教学，弄清这些概念之间的关系。而要弄清楚这些关系，最好是用图示的办法。例如，教科书小结中给出了各种四边形以及它们之间的关系的图形，研究正方形时也给出了它与矩形、菱形之间包含关系的图形。教学中要重视这些图形的使用，使学生弄清这些图形之间的关系。



弄清了这些图形之间的关系，还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系，即内涵越小，外延越大，反之外延越小，内涵越大。例如，正方形的定义中，包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征，它的外延很小，而四边形的外延很大。弄清了各种特殊平行四边形的定义，各种四边形之间的从属关系也就清楚了，它们的性质、判定定理也就不会用错了，也可以根据它的特征，自己推出所有性质。



2．进一步培养推理论证能力



从培养学生的逻辑思维能力来说，“四边形”这一阶段处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段。这一章内容比较简单，证明方法也相对比较单一，学生前面已经进行了一些推理证明的训练。但这种训练只是初步，要进一步的巩固和提高。教学中同样要重视推理论证的教学，进一步提高学生的思维能力。教科书在这方面也还是很重视的。在推理与证明的要求方面，除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外，有一些图形的性质是直接由已有的结论经过推理论证得出的。另外，为了巩固并提高学生的推理论证能力，本章的定理证明中，除了采用了规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方法。这种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论。另外也有一些文字叙述的证明题，要求学生自己写出已知、求证，再进行证明。这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加，但也能激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，对发展学生的思维能力有好处。教学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展。



另外，在解决有关四边形、平行四边形和梯形的问题时，反复运用了平行线和三角形的有关知识，因此本章内容是平行线和三角形知识的深入和运用。但是，获得新知识后，要注意运用它们。随着知识的丰富，学生解决问题的途径也就增多了，在学完本章四边形的知识之后，就要引导学生直接运用这些知识解决有关问题，避免再通过添加辅助线转化为平行线或三角形来解决，防止学生总在熟悉的三角形中兜圈子，不会运用新知识来解决问题。



3．注意帮助学生梳理知识内容



这一章的概念比较多，图形的性质和判定方法也比较多，虽然难度都不是很大，但要全部记住这些定理，也要花费许多时间和精力。同概念教学一样，解决这个问题也可以采用图示的办法。在学完了一个知识点后适时的引导学生对所学内容进行梳理，画出主要内容的图表，有利于学生掌握图形的概念和性质。例如，可以将正方形的有关内容列成下图：

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类似的，我们也可以引导学生列出表示平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等图形概念、性质、判定方法等的图表，帮助学生理解这些概念。

4．重视信息技术的应用

在本章的教学中，有条件的学校还是要重视信息技术工具的使用。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来．许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质。

例如，本章许多图形的性质都是通过设置一些探究活动，利用模型，让图形动起来，在这种运动变化中发现图形的性质的。如平行四边形对角线互相平分的性质、矩形性质的得出、利用轴对称得到菱形的性质、探究中点四边形的性质等。这些运动，许多计算机软件都能实现。还有许多计算机软件具有测量功能，可以方便的测出角的大小和线段的长度，这也有利于在运动变化中观察它们的关系，发现图形的性质。利用一些软件的判断功能，可以直接验证特殊四边形的判定方法等等。

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初中数学培训手册之二十六

第20章“数据的分析”简介

课程教材研究所　　左怀玲





　　从《标准》看，本章属于“统计与概率”领域。对于“统计与概率”领域的内容，本套教科书独立于“数与代数”和“空间与图形”领域编写，共有四章。这四章内容采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率。统计部分的三章内容按照数据处理的基本过程来安排。我们在7年级上册和8年级上册分别学习了“第4章 数据的收集与整理”“第12章 数据的描述”，本章是统计部分的最后一章，主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法。



在前两章中，我们学习了收集、整理和描述数据的常用方法，将收集到的数据进行分组、列表、绘图等处理工作后，数据分布的一些面貌和特征可以通过统计图表等反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些代表数据一般水平（典型水平）或分布状况的特征量。对于统计数据的分布的特征，可以从三个方面来分析：一是分析数据分布的集中趋势，反映数据向其中心值（平均数）靠拢或聚集的程度；二是分析数据分布的离散程度，反映数据远离其中心值（平均数）的趋势，三是分析数据分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面。根据《标准》的要求，本章从就前两个方面研究数据的分布特征。



全章教学约需15课时（不包括选学内容的课时数），具体内容和课时分配如下：



20．1    数据的代表                                       约6课时



20．2    数据的波动                                       约5课时



20．3    课题学习                                         约2课时



数学活动                                                        



小结                                                     约2课时

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一、教科书内容与课程学习目标

本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。

下面是本章知识展开的结构框图。



　　　　　　　


　　本章知识的展开顺序如下图：
　

　　　　　　　　




对于一组数据利用统计图表整理和描述以后，数据分布的一些面貌和特征就可以通过这些图表反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些特征量来表示这组数据的集中趋势或典型水平。这些特征量代表这组数据频数分布中大量数据向一点集中的情况，从而反映出数据资料的典型水平。例如，要想比较某校同年级两个班某学科的测验分数，不能将两个班每个学生的测验成绩一一列举出来进行比较。因为每个学生的分数由于多种因素的影响，大多是不相同的，用个别学生的成绩进行比较是得不出什么结果的。如果能够对每个班的学生成绩进行整理、加工之后，计算出一个或几个统计量来代表全班的测验水平，再比较就非常简单明了了。很显然，这个能够代表全班成绩水平的统计量应该具有以下特点之一：

1．能够表明全班测验成绩中心点的统计量；

2．能够表明全班测验成绩排序最中间的统计量；

3．能够表明全班测验成绩出现最多的统计量；

4．能够表明全班测验成绩分布范围的统计量。

这些统计量之所以能够代表全班成绩去进行比较，是因为它们从不同的角度度量了全班测验成绩集中于哪一点或哪一个范围，因此把它们统称为集中趋势的度量，常用度量集中趋势的特征量有平均数、中位数、众数和分位数等，本章研究前三个统计量。

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统计中常用的平均数有算数平均数（简单算数平均数和加权算数平均数）、调和平均数、几何平均数等。根据《标准》的要求，本章着重研究了加权平均数。本章第20.1节开始，首先给出一个农业方面的实际问题，要求根据问题中提供的数据计算人均耕地面积，这是一个计算加权平均数的问题。教科书没有直接给出利用加权平均数解决问题的做法，而是设置一个讨论栏目，给出一种学生中常见的一种错误解法（即直接求平均数的平均数），让学生讨论这种解法，通过讨论发现错误，找到产生错误的原因，借此给出正确的解法，引进加权平均数的概念。通过比较解决这个实际问题的正确与错误的解法，也使学生对“权”的意义和作用有所体会。“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”，为了更好地说明这一点，教科书安排了2个例题，从不同方面体现“权”的作用，使学生更好地理解加权平均数。在求n个数的算数平均数时，有时会遇到重复数据较多的情况，这时可以将求算数平均数的公式进行简化，比如可以写成，如果将分别看成是的权，则算数平均数和加权平均数就统一起来，只是这里“权”的意义并不是很突出。教科书在这里将两者统一起来，为的是使学生对加权平均数有一个较全面的认识。接下去，教科书又通过一个探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。利用计算器的统计功能可以方便地求出一组数据的平均数，但由于不同品牌的计算器的操作步骤不同，因此教科书没有针对某一款计算器介绍统计功能的使用，而是概要地介绍了一下过程。到此为止，教科书中涉及到的问题都是针对全体数据，不涉及样本数据的问题。本节最后，教科书结合一个例题，介绍了如何利用样本平均数估计总体平均数的问题，使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本估计总体的思想有了更深的体会。



本章在第20.1.2小节，通过几个具体实例，研究了中位数和众数。中位数是一个反映数据集中趋势的位置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统计量，可以提供这组数据中，约有一半的数据大于（或小于）中位数。对于中位数的这个作用，教科书通过一个比较典型的考察体育比赛成绩的例子来体现。另外，在这个例子中，也体现了用样本估计总体的思想。众数是表明一组数据出现次数最多的统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个统计量，它提供了哪个（些）数据出现的次数最多。对于众数的这个作用，教科书也是通过一个典型的销售量问题来研究，在这个例子中，同样也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科书结合一个具体问题，编写了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，在这个例子中，涉及到根据具体问题的的需要选择适当的统计量来刻画数据的集中趋势的问题，在解决问题的过程中，也样学生经历了一个对数据适当分组、用表格整理数据、用统计图描述数据，分析统计图表和计算平均数、中位数、众数来分析数据的一个数据处理的基本过程。在这个过程中也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科书利用一个归纳的栏目，对平均数、中位数和众数这三种刻画数据集中趋势的统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征。