人教版九年级上册第24章圆24.1.2垂直于弦的直径教学设计和课后反思

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教材分析
垂直于弦的直径是在学生学习了轴对称图形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行的。在进行本节之前已通过折纸、对称、平移、旋转推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的空间与图形的经验。
垂径定理是圆的一个重要的性质定理，它对线段的计算、证明线段相等、弧相等等问题提供了十分简便的方法。同时通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，利用圆的轴对称性，还可以对学生进行数学美的教育。因此，本节课无论从知识上还是从学生能力的培养及情感教育方面都起着重要的作用。
学情分析
学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且前面已学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学是比较好奇、好动、好表现的。在本节课通过动手实验学习不难。由于垂径定理的题设与结论比较复杂，学生容易混淆遗漏，并且对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，所以本节课学生的学习障碍在于对垂径定理的题设与结论的区分及证明方法的理解。
教学目标
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
             ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
             ③掌握辅助线的作法——作弦心距。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
             ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；
             ②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。
  
教学重点和难点
教学重点：垂径定理及其应用
教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法

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教学过程
教学环节	教师活动			预设学生行为		设计意图
1、复习提问---创设情境	演示动画：将一等腰三角形对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的概念，并提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？			轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形		通过情境设置,吸引学生的注意力，激发学生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。
2、引入新课，揭示课题	让学生用自制的圆形纸片对折，观察，思考：圆是否是轴对称图形？			学生通过动手实验，观察，合作交流，得到结论：圆是轴对称图形		培养学生的动手能力，观察能力和合作交流能力
	请学生在自己的圆形纸片中作图：（1）任意作一条弦AB，（2）过圆心作AB的垂线得直径CD交AB于点E。 板书课题：垂直于弦的直径			结论：（1）CD⊥AB （2）CD是直径 思考：CD还有其他性质吗？ 猜想：线段相等、弧相等 归纳命题：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。		培养学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并让学生领略到圆的对称美
2、讲解新课，控求新知	命题的题设：垂直于弦的直径。 命题的结论：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 板书： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。			分小组合作证明命题。引导学生从等腰三角形的性质和圆的轴对称性两方面证明。		增加学生的兴趣，让学生通过探索发现，思维碰撞，对数学有最深切的感受，通过合作交流，体会成功的乐趣。
分解记忆，巩固定理	这样记定理：直线CD①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧			题组一：判断正误，快速抢答 　　(1)直径平分弦；（×） 　　(2)垂直于弦的直线平分弦；（×） 　　(3)垂直于弦的半径平分弦（√）		加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混．有利于解决易错易混淆的题目，也有利于垂径定理的应用
例题示范，变式练习	【例1】如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。			学生口述，教师板书		学习弦心距的作法，强调在垂径定理的应用中，用半径、半弦和弦心距构造直角三角形的重要作用性
	【变式一】在上图中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=。 【思考】若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则R、a、d三者之间的关系式是。			学生板演		调整难度，让学生学有所获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。
实际应用	例2：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 实际例题：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？			O 师生共同完成解答过程		结合实际，让学生感受到生活中处处有数学，并能将所学知识应用其中。
师生小结，纳入系统	1．定理的三种基本图形——如图1、2、3。 2．计算中三个量的关系——如图4，。 3．证明中常用的辅助线——作弦心距。                                 图1                                                图2                                          图3                                                 图4			与老师一起总结归纳所学知识		让学生通过归纳探究，使知识点有机地结合在一起，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高他们分析和归纳的能力。
课后作业	1．如图5，在⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为，∠AOB＝度。 2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图6）。 3．如图7，两个圆都以点O为圆心，求证：AC=BD。                                          图5                                                图6                    图7					巩固所学，拓展思维。作业适量，减轻学生学习负担，提高学习效率。
板书设计
垂直于弦的直径 垂径定理：       垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 这样记定理：直线CD①过圆心                         ②垂直于弦③平分弦                                                        ④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 思考：若圆的半径为R，一条弦长为a， 圆心到弦的距离为d，则R、a、d三者之间的关系式是           。			例1 （学生口述，老师板演） 变式1 （学生板演）      例2      （老师画图分析，学生动手写过程）		课堂小结 作业

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教学反思
反思一：对实际问题的意义的看法
     教学来源于生活，有服务与生活，在实际生活中，数、形随处可见，无处不在。好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望，使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近，学生在解决实际问题的过程中，主要困难有两点，一是学生一见到实际问题就畏惧，根本不去读题，二是学生对实际背景不熟悉。为此，本节课设计了一个实际问题，这样做的好处，一是具有非常实际的用途，二是与本节课的内容具有直接联系。这个问题解决了，以后学生再见到类似的实际问题时，就不会感到陌生。
反思二：学生参与的锻炼
在探索垂径定理的过程中，增强了同学们的猜测、推理等技巧，并且考查了学生分析问题的能力，动手与思考的有机结合，对学生思考问题和解决问题都有很大的帮助．在探索垂径定理的过程中，对部分学生来说存在着困难，因此，教师在教学过程中除了是组织者和引导者之外，还应扮演“伯乐”和“雷锋”的角色，多给学生一些赞许鼓励和帮助，让更多的学生参与到学习中来．
反思三：垂径定理的应用
    在垂径定理的应用方面，学生容易混淆题设与结论，或者有漏条件的现象，还需多做练习，达到熟能生巧的水平。