小升初专题讲座

彭庙

第六讲 图形面积
简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

　　上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4＝ 16（格）；右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5＝ 15（格）.

　　上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2＝ 10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.

　　上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3＝ 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是
　　（4+7）×4÷2＝22（格）.
　　上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.
6.1  三角形的面积
　　用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：
　　三角形面积= 底×高÷2.
　　这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.
　　例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

　　解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.
　　三角形ABD面积=4×高÷2.
　　三角形 ADC面积=2×高÷2.
　　因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.
　　例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.

　　解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.
　　三角形 ABC面积= 8× 4÷2＝16.
　　我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.
　　
　　三角形 DFE面积= 16÷4＝4.
　　例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.

　　解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
　　而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
　　FE×BE÷2，
　　它恰好是长方形ABEF面积的一半.
　　同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.
　　因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是
　　20×12÷2＝120.
　　通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
　　例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？

　　解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.
　　对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此
　　面积=4×10÷2＝ 20.
　　对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此
　　面积=7×8÷2＝28.
　　四边形 ABCD面积= 20＋ 28＝ 48.
　　这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
　　例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.

　　解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
　　三角形 ABE面积=3×6×2＝ 9.
　　三角形 BCF面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.
　　三角形 DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.
　　我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
　　三角形 BEF面积=6×6-9-12-3＝12.
　　例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.

　　解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.
　　把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2＝7.
　　因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5.
　　因为 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是
　　3.5×4＝14.
　　长方形 ABCD面积=7×（8＋2）=70.
　　四边形 ABMD面积=70-7- 14＝ 49.
6.2  有关正方形的问题
　　先从等腰直角三角形讲起.
　　一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
　　两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.
　　一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是
　　直角边长的平方÷2.
　　当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是

　　斜边的平方÷4
　　例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

　　解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.
　　这一个图形的面积是
　　32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.
　　例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？

　　解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.
　　三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.
　　三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.
　　三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2＝4.
　　三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.
　　阴影部分的总面积是 4＋1＝5.
　　例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.

　　解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.
　　因为
　　A是45°，角D是90°，角E是
　　180°-45°-90°＝ 45°，
　　所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.
　　四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即
　　7×7÷2-3×3÷2＝20.
　　这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.
　　现在我们转向正方形的问题.
　　例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？

　　解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
　　长-宽 =15-11＝4
　　是“三”正方形的边长.
　　宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此
　　中间小正方形边长=11-4×2＝3.
　　中间小正方形面积=3×3＝ 9.
　　如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.
　　例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.

　　解：剩下的长方形土地，我们已知道
　　长-宽=1（米）.
　　还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？
　　如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
　　我们把长和宽拼在一起，如右图.

　　从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.

　　可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.
　　现在，我们就可以算出大正方形面积：
　　15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.
　　64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的
　　长+宽=8（米）.
　　因此
　　长=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.
　　宽=8-4.5＝3.5（米）.
　　那么划出的长方形面积是
　　4.5×1＝4. 5（平方米）.
　　例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.

　　解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此
　　四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2
　　三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此
　　三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.
　　四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有
　　阴影部分面积=三角形ECG面积
　　=小正方形面积的一半
　　= 6×6÷2＝18.
　　十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.
6.3  其他的面积
　　这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.
　　例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

　　解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.
　　周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是
　　4×4-3-5-1.5＝6.5.
　　例6与本题在解题思路上是完全类同的.
　　例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.

　　解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此
　　三角形AEF面积＝（三角形 AEB面积）-（三角形 AFB面积）
　　＝8×6÷2-4×8÷2
　　＝ 8.
　　　这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.
　　例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？
　
　　解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.
　　可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此
　　草地面积=（16-2）×（10-2）＝ 112.
　　例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.

　　解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.
　　阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于
　　梯形 ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.
　　上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.
　　例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求这个图形的面积.
　　解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.

　　三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.
　　三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12.
　　这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.
　　因为 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.
　　因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.
　　2×三角形DEC面积
　　= 2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积）.
　　三角形ABC面积
　　= （三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.
　　四边形BCEG面积
　　=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）
　　=（2×12＋18）÷5
　　＝8.4.
　　所求图形面积=12＋ 18- 8.4＝21.6.
　　例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.
　　解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.
　　（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）
　　=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和
　　=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）
　　=3.


　　例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？
解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此
　　（三角形 ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）
　　＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.
　　三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有
　　阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.

彭庙

第七讲 工程问题
　　在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是
　　工作量=工作效率×时间.
　　在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.
　　举一个简单例子.
　　一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
　　一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
　　
　　
　　再根据基本数量关系式，得到
　　所需时间=工作量÷工作效率
　　
　　=6（天）?
　　两人合作需要6天.
　　这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.
　　为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是
　　30÷（3+ 2）= 6（天）
　　
　　数计算，就方便些.
　　
　　∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也

　　需时间是

　　因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.
7.1  两个人的问题
　　标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
　　例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？
　
　
　　答：乙需要做4天可完成全部工作.
　　解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
　　（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.
　　解三：甲与乙的工作效率之比是
　　6∶ 9= 2∶ 3.
　　甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
　　例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
　　解：共做了6天后，
　　原来，甲做 24天，乙做 24天，
　　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
　　这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
　　如果乙独做，所需时间是

　　如果甲独做，所需时间是

　　答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
　　例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
　　解：先对比如下：
　　甲做63天，乙做28天；
　　甲做48天，乙做48天.
　　就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

　　甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

　　因此，乙还要做
　　28+28= 56 （天）.
　　答：乙还需要做 56天.
　　例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
　　解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

　　余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

　　2+8+ 1= 11（天）.
　　答：从开始到完工共用了11天.
　　解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
　　（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.
　　解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
　　在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.
　　4=3+1，
　　其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
　　例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

　　由于两队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息的天数是

　　答：乙队休息了5天半.
　　解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
　　两队休息期间未做的工作量是
　　（3+2）×16- 60= 20（份）.
　　因此乙休息天数是
　　（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.
　　解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
　　甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
　　如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是
　　16-6-4.5=5.5（天）.
　　例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
　　解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.
　　设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
　　8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要
　　（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
　　8+4=12（天）.
　　答：这两项工作都完成最少需要12天.
　　例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他

　　要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？
　　解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.
　　两人合作，共完成
　　3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.
　　因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是
　　（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.
　　很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
　　例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时

　　如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
　　解：乙6小时单独工作完成的工作量是

　　乙每小时完成的工作量是

　　两人合作6小时，甲完成的工作量是

　　甲单独做时每小时完成的工作量

　　甲单独做这件工作需要的时间是

　　答：甲单独完成这件工作需要33小时.
　　这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

　　有一点方便，但好处不大.不必多此一举.
7.2  多人的工程问题
　　我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.
　　　例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
　　解：设这件工作的工作量是1.
　　
　　
　　甲、乙、丙三人合作每天完成

　　减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

　　
　　答：甲一人独做需要90天完成.
　　例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？
　　例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
　　解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

　
　　说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
　　2+6+12=20（天）.
　　答：完成这项工作用了20天.
　　本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

　　例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
　　解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
　　
　　他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

　　答：甲独做需要26天.
　　事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.
　　例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
　　解一：设这项工作的工作量是1.
　　甲组每人每天能完成

　　乙组每人每天能完成

　　甲组2人和乙组7人每天能完成
　
　　
　　答：合作3天能完成这项工作.
　　解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.
　　现在已不需顾及人数，问题转化为：
　　甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
　

　　小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.
　　例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？
　　解一：仍设总工作量为1.

　　甲每天比乙多完成

　　因此这批零件的总数是

　　丙车间制作的零件数目是

　　答：丙车间制作了4200个零件.
　　解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
　　乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
　　已知
　　甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
　　综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
　　12∶8∶7.
　　当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
　　2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.
　　例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
　
　　
　　
　　答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
　　解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.
　　三人共同搬完，需要
　　60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.
　　甲需丙帮助搬运
　　（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.
　　乙需丙帮助搬运
　　（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.
7.3  水管问题
　　从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
　　例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
　　
　　甲每分钟注入水量是

　　乙每分钟注入水量是

　　因此水池容积是

　　答：水池容积是27立方米.
　　例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在
　　按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
　
　
　
　
　　答：开始时打开6根水管.
　　例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要

　　、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
　
　　
　　，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
　　
　　
　　以后（20小时），池中的水已有
　
　　
　　
　　此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？
　　看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.
　　因此，答案是28小时，而不是30小时.
　　例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
　　解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.
　　2小时半比1小时半多60分钟，多流入水
　　4 × 60= 240（立方米）.
　　时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是
　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），
　　8个水龙头1个半小时放出的水量是
　　8 × 8 × 90，
　　其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.
　　打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要
　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.
　　答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
　　水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
　　例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？
　　解：设满水池的水量为1.
　　A管每小时排出

　　A管4小时排出
　
　　 　

　　因此，B，C两管齐开，每小时排水量是

　　B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是

　　答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.
　　本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24.
　　17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.
　　例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一

　　草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？
　　解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.
　
　
　　原有草+4星期新长的草=12×4.
　　原有草+9星期新长的草=7×9.
　　由此可得出，每星期新长的草是
　　（7×9-12×4）÷（9-4）=3.
　　那么原有草是
　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
　　对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是

　　这些草能让
　　90×7.2÷18=36（头）
　　牛吃18个星期.
　　答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
　　例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？
　　“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.
　　例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？
　　解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.
　　从9点至9点9分进入观众是3×9，
　　从9点至9点5分进入观众是5×5.
　　因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是
　　（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.
　　9点前来的观众是
　　5×5-0.5×5=22.5.
　　这些观众来到需要
　　22.5÷0.5=45（分钟）.
　　答：第一个观众到达时间是8点15分.
　　从例20和例21中，我们也注意到，设置计算单位的重要性.选择适当的量作为计算单位，往往使问题变得简单且易于表达.本书中多次提到设单位问题，请同学们注意学习.

彭庙

第八讲 比和比例关系
比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.
　　这一讲分三个内容：
　　一、比和比的分配；
　　二、倍数的变化；
　　三、有比例关系的其他问题.
8.1  比和比的分配
　　最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.
　　例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.
　　解：设甲的周长是2.
　　　　  
　　甲与乙的面积之比是
　　
　　答：甲与乙的面积之比是864∶875.
　　作为答数，求出的比最好都写成整数.
　　例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.

　　求上底AB与下底CD的长度之比.
　　解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.
　　三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积
　　=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.
　　答：AB∶CD=3∶14.
　　两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.
　　例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.
　　解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，
　　中杯与小杯容量之比是4∶3，
　　大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.
　　∶
　　=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）
　　=44∶75.
　　答：两者容量之比是44∶75.
　　把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.
　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
　　3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
　　7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

　　花了多少钱？
　　解：根据比例与乘法的关系，
　　
　　连比后是
　　甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
　　=32∶48∶63.
　　
　　答：甲、乙、丙三人共花了429元.
　　例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙
　　
　　，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？
　　解：设甲的长度是6份.
　　
　　∶x=5∶4.
　　
　　乙与丙的长度之比是

　　而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.
　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
　　答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.
　　
　　于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.
　　例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？
解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是
　
　　答：这些糖果每千克平均价是27.5元.
　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

　　事实上，有稍简捷的解题思路.
　　解二：先求出这三种糖果所买数量之比.
　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
　　平均数是（15+11+10）÷3=12.
　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是

　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.
　　例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，
　　
　　解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此
　　
　　
　　
　　例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？
　　解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.
　　三人工作效率之比是

　　他们分别需要完成的工作量是
　　
　　所需时间是
　　700×3=2100分钟）=35小时 .
　　答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.
　　这是三个数量按比例分配的典型例题.
　　例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：
　　甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
　　那么丙有多少名男会员？
　　解：甲组的人数是100÷2=50（人）.
　　
　　乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.
　　
　　
　　答：丙组有12名男会员.
　　上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔

　　例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？
　　解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
　　上坡、平路、下坡的速度之比是
　
　　
　　走完全程所用时间
　　
　　答：小龙走完全程用了10小时25分.
　　上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.
　　解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

　　设小龙走完全程用x小时.可列出比例式
　
8.2  比的变化
　　已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.
　　例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？
　　解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.
　　5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
　　5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
　　甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来
　　甲得22.5÷5×20=90（分），
　　乙得 22.5÷5×16=72（分）.
　　答：原来甲得90分，乙得72分.
　　我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.
　　解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.
　　（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
　　即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
　　15x=12×22.5
　　x=18.
　　甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

　　解：其他球的数量没有改变.
　　增加8个红球后，红球与其他球数量之比是
　　5∶（14-5）=5∶9.
　　在没有球增加时，红球与其他球数量之比是
　　1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
　　因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.
　　现在总球数是

　　答：现在共有球224个.
　　本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：
　　（x+8）∶2x=5∶9.
　　例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？
　　解一：我们采用“假设”方法求解.
　　如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有
　　240∶x=8∶5，x=150（元）.
　　实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

　　答：张家收入720元，李家收入450元.
　　解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.
　　我们画出一个示意图：

　　张家开支的3倍是（8份-240）×3.
　　李家开支的8倍是（5份-270）×8.
　　从图上可以看出
　　5×8-8×3=16份，相当于
　　270×8-240×3=1440（元）.
　　因此每份是1440÷16=90（元）.
　　张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.
　　本题也可以列出比例式：
　　（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.
　　然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.
　　例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.
　　解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.
　　8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.
　　A数是17×8=136，B数是17×5=85.
　　答：A，B两数分别是136与85.
　　本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.
　　例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？
　　解一：充分利用已知数据的特殊性.
　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，
　　新的1份=原来1份+1
　　原来4份，新的5份，5-4=1，因此
　　新的1份有15-1×4=11（张）.
　　小明原有图画纸11×5-15=40（张），
　　小强原有图画纸11×2+8=30（张）.
　　答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.
　　解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）
　　4∶3=20∶15
　　5∶2=20∶8.
　　
　　但现在是20∶8，因此这个比的每一份是
　
　　
　　当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.
　　解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.
　　把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

　　从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.
　　因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.
　　例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.
　　例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？
　　
　　我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点
　
　　
　　等需要时间是

　　答：这两支蜡烛点了3小时20分.
　　把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.
　　例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？
　　解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.
　　因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.
　　红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.
　　白球有 7×7＋3＝52（只）.
　　原来红球比白球多 158-52＝106（只）.
　　答：箱子里原有红球数比白球数多106只.
8.3  比例的其他问题
　　  
　　，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：
　　（甲-7）∶乙= 2∶3.
　　因此，有些分数问题，就是比例问题.
　　
　　加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？

　
　　
　　
　　答：这些画片有261张.
　
　　解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是
　
　　
　　样重，就有

　　因此原有水的重量是

　　答：容器中原来有8.4千克水.
　　例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.
　　例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子

　　堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？
　　
　　子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.
　　现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差

　　从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是
　　50÷（3-1）＝25（个）.
　　再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.
　　答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.

　　人，问高、初中毕业生共有多少人？
　　解一：先画出如下示意图：

　　6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是
　　520÷（30-17）= 40（人）.
　　因此，高、初中毕业生共有
　　40×（17＋12）＝ 1160（人）.
　　答：高、初中毕业生共1160人.
　　
　　计算出每份是

　　例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.
　　例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.

　　下的钱共有多少元？
　　解：设钢笔的价格是1.
　　
　　这样就可以求出，钢笔价格是

　　张剩下的钱数是

　　李剩下的钱数

　　答：张、李两人剩下的钱共28元.
　　题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.
　　作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.
　　
　　用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？
　　这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.

　　们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使
　　（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，
　　或简写成 6A＋5B＝100.
　　就恰好符合均价是1.
　　类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的约数，符合要求.
　　A＝5，猪 5头，绵羊 25头，
　　B=4，山羊12头，绵羊8头.
　　猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.
　　现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.
　　
　　要注意，这样的问题常常有多种解答.
　　A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
　　答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.
　　求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.
　　通常求混合比可列下表：
　
　　下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.
　　例24 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？
　　解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.
　　1人买3件少 5％×3；
　　1人买2件多 5％×2；
　　1人买1件多 15％ ×1.
　　1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.
　　A组是2人买4件，每人平均买2件.
　　B组是5人买12件，每人平均买2.4件.
　　现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.
　　B组人数是
　　（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），
　　
　　A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人.
　　10＋ 4＝ 14（人）.
　　答：买3件的顾客有14位.
　　建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足 4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.

彭庙

第九讲 经济问题
　　商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得 40％的利润.因此
　　利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％.
　　卖价=成本×（1+利润的百分数）.
　　成本=卖价÷（1+利润的百分数）.
　　商品的定价按照期望的利润来确定.
　　定价=成本×（1+期望利润的百分数）.
　　定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价 25％，就是按定价的（1-25％）＝ 75％出售，通常就称为75折.因此
　　卖价=定价×折扣的百分数.
　　例1 某商品按定价的 80％（八折或 80折）出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？
　　解：设定价是“1”，卖价是定价的 80％，就是0.8.因为获得20％
　　
　　定价的期望利润的百分数是

　　答：期望利润的百分数是50％.
　　例2 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？
　　解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中
　　80％的卖价是 1.3×80％，
　　20％的卖价是 1.3÷2×20％.
　　因此全部卖价是
　　1.3×80％ ＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.
　　实际获得利润的百分数是
　　1.17－1＝ 0.17＝17％.
　　答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％.
　　例3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？
　　解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.
　　乙店的定价是 1×（1＋ 15％），甲店的定价就是 0.9×（1＋20％）.
　　因此乙店的进货价是
　　11.2÷（1.15- 0.9×1.2）=160（元）.
　　甲店的进货价是
　　160× 0.9= 144（元）.
　　答：甲店的进货价是144元.
　　设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.
　　例4 开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？
　　解：设去年的利润是“1”.
　　利润下降了40％，转变成去年成本的 10％，因此去年成本是 40％÷10％＝ 4.
　　在售价中，去年成本占

　　因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％.
　　答：今年书的成本在售价中占88％.
　　因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.
　　例5 一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？
　　解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.
　　现在出售 70％商品已获得利润
　　0.5×70％＝ 0.35.
　　剩下的 30％商品将要获得利润
　　0.5×82％-0.35＝0.06.
　　因此这剩下30％商品的售价是
　　1×30％＋ 0.06＝ 0.36.
　　原来定价是 1×30％×（1+50％）＝0.45.
　　因此所打的折扣百分数是
　　0.36÷0.45＝80％.
　　答：剩下商品打8折出售.
　　从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.
　　例6 某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？
　　解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润
　　（45-35）×12＝120（元）.
　　出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润
　　120÷8＝15（元）.
　　不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是
　　（45-15）÷（1-85％）＝200（元）.
　　答：每个商品的定价是200元.
　　例7 张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.
　　张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？
　　解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购 4×3＝12（件）.
　　由于60件每件减价 4元，就少获得利润
　　4×60＝ 240（元）.
　　这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润
　　240÷12＝20（元）.
　　这种商品每件成本是
　　100-4-20＝76 （元）.
　　答：这种商品每件成本76元

彭庙

第十讲 溶液问题
　　一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.
　　从一些基本问题开始讨论.
　　例15 基本问题一
　　（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？
　　（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？
　　解：（1）浓度10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水80-8＝72（克）.
　　如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水
　　100-8＝92（克）.
　　还要加入水 92- 72＝ 20（克）.
　　（2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40- 8＝ 32（克）.
　　如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有
　　x∶32＝40％∶（1-40％），
　
　
　
　　例16 基本问题二
　　20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克？
　　解： 20％比15％多（20％-15％）， 5％比15％少（15％-5％），多的含盐量
　　（20％-15％）×20％所需数量
　　要恰好能弥补少的含盐量
　　（15％-5％）×5％所需数量.
　　也就是

　　画出示意图：

　　相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.
　　  
　　　
　　答：需要浓度 20％的 600克，浓度 5％的 300克.
　　这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.
　　例17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？
　　解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％.
　　（85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2.
　　按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.
　　设买红笔是x支，可列出比例式
　　5x∶9×30＝2∶3

　　答：红笔买了 36支.
　　配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.
　　例18 甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为 62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？
　　解：利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是

　　后一次混合，甲、乙数量之比是
　
　
　　这与上一讲例 14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变.
　　5与2相差3，5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2，3∶5中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即
　　
　　现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份，每份是3.原来这

　　答：第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.
　　例19 甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水 120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？
　　解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.
　　甲中含盐量：乙中含盐量
　　= 300×8％∶120×12.5％
　　= 8∶5.
　　现在要使
　　（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.
　　把“300克+ 倒入水”算作8份，“120克+ 倒入水”算作5份，每份是
　　（300-120）÷（8-5）= 60（克）.
　　倒入水量是 60×8-300＝ 180（克）.
　　答：每一容器中倒入 180克水.
　　例20 甲容器有浓度为2％的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9％的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：
　　（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？
　　（2）再往乙容器倒入水多少克？
　　解：（1）现在甲容器中盐水含盐量是
　　180×2％＋ 240×9％＝ 25.2（克）.
　　浓度是
　　25.2÷（180 ＋ 240）× 100％= 6％.
　　（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9％，要含有 25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克），
　　还要倒入水420-280＝140（克）.
　　答：（1）甲容器中盐水浓度是6％；
　　（2）乙容器再要倒入140克水.
　　例21 甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含
　　乙两种含金样品中含金的百分数.
　　解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.
　　用例17方法，画出如下示意图.

　　因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以
　　（68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％）
　　＝2∶1
　　＝ 6∶3.
　　
　　
　　注意：6+3＝2＋7＝9.
　　
　　那么每段是

　　因此乙的含金百分数是

　　甲的含金百分数是

　　答：甲含金 60％，乙含金 72％.
　　用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.

彭庙

第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算
11.1  四种常见几何体的平面展开图
　　1.正方体
　　沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

　　图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
　　2.长方体
　　沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

　　3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

　　4.（直）圆锥体
　　沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。

11.2  四种常见几何体表面积与体积公式
　　1.长方体
　　长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
　　长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
　　2.正方体
　　正方体的表面积=6×a2
　　正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
　　3.圆柱体
　　圆柱体的侧面积=2πRh
　　圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）
　　圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
　　4.圆锥体
　　圆锥体的侧面积=πRl
　　圆锥体的全面积=πRl+πR2
　　
　　母线长与高）。
11.3  例题选讲
例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：从图6—5和图6—6中可知：  与 ； 与 ； 与 互相处于相对面的位置上。只要在图6—7
　
　　（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
　　先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与 处在互为对面的位置上。
　　再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与 处在互为对面的位置上。
　　最后再看图6—7中的（c），同上，1与 ，2与4处在互为对面的位置上。
　　图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。

分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？

分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
　　正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）
　　一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
　　几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
　　答：（略）
例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

　　上面的表面积为12×9=9（平方厘米）
　　前面的表面积为12×8=8（平方厘米）
　　左面的表面积为12×7=7（平方厘米）
　　几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
　　答：（略）
例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）

分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。
　　因为圆锥形铅锤的体积为
　　　　
　　设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）
　　所以有下列方程：
　　60π=100πx，解此方程得：
　　x=0.6（厘米）
　　答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：
　　2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2
　　=2πx+4π
　　根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：
　　2πx+4π=75.36
　　解方程：
　　　　
　　圆钢的体积为π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）
　　答：（略）。
例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图6—17。在图6—17中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2лR×n÷360（这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R。另外从图6—17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。
　
　　
　　所以 2πR=12π，得R=6（厘米）
　　在直角三角形中，根据勾股定理有：
　　102=h2+R2，即h2=102-R2
　　 =100-36=64，h=8（厘米）
　　
　　答：（略）
例9 图6—18中的图形是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几？

分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3。
　　三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90°，G、F又分别为AD、  
而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为
　　
　　
　　
　　答：（略）
例10 图6—19是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图6—20是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？
分析与解：我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图6—20可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP的下底FJ为3厘米，高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为1.5厘米，这一来梯形FJQP的面积为

　
　　以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值
此时水面的高度为：
　　54÷6=9（厘米）
　　以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。
　　为方便起见，我们把C面适当放大成图6—21，在图6—21中，因为PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为1.5厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来三角形FPT与PQG的形状一样，面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与现在以三角形PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时，水面的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5厘米。
　　答：（略）

彭庙

第十二讲 循环小数化分数
12.1  纯循环小数化分数
　　从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：
　
　
　　　　　 　　
　
　
　　　
　
　　　
　　从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。
　　
　　　　
12.2  混循环小数化分数
　　不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2 把混循环小数化分数。
　
　　
　　　　　
　
　　　
　　（2）先看小数部分0.353
　　　
　　　
　　
　　
　　由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
　　
　　
12.3  循环小数的四则运算
　　循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题：
　
解：先把循环小数化成分数后再计算。
　
例4 计算下面各题。
　
分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。
　　　　
　　（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。
　　　　
　　（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。