小升初专题讲座

彭庙

第十三讲 估计与估算
　1992年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第3题是：
　　
的结果是x。那么，与x最接近的整数是____。
　　这道题并不要求求x，而求“与x最接近的整数”，这就是估计或估算。
　　估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：
　　（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；
　　（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。
　　例1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小数点后前3位数字。
　　解：A＞1234÷3122=0.3952…
　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…
　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小数点后前3位数是395。
　　说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下：
　　将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有
　　1234÷3121≈0.3953≈0.395。
　　
得它们的和大于3，至少要选多少个数？
　　解：要使所选的数尽量少，所选用的数就应尽量大，所以应从开头依次选。首先注意到：
　　
　　
　　从而
　　
　　
　　所以，至少应选11个数。
　　说明：（1）上述解答是采用取近似值的办法估值的，也可以利用放缩法估值解答。解法如下：
　　
　　
　　
　　所以，至少应选11个数。
　　（2）以上解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界声、”，而这里的验算只是一种估计或估算，并不要求精确。
　　（3）类似的问题是 至少取出多少个数，才能使取出的数的和大于2？
　　答案是7，请读者自己练习。
　　例3 右面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？

　　解：每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中的数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1。这样便可断定，处于百位的两个数字之和是18，而且后面两位数相加进1。
　　同样理由，处于十位的两个数字之和也是18，而且两个个位数字相加后进1。因此，处于个位的两个数字之和必是17。
　　所以，6个方框中数字之和为18＋18＋17=53。
　　例4 如果两个四位数的差等于8921，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，
　　解：最小的四位数是1000，与1000组成一个数对的另一个四位数是 8921＋1000=9921，也就是最小一个数对是 9921与1000。同时由最大的四位数是9999，可知共有
　　9999-（9921—1）=79（个）
　　不同的被减数。所以，这样的数对共有79个。
　　说明：解答的关键在于确定符合条件的的最小数对（9921，1000），同时因为有几个不同的被减数，就有几个不同的减数相对应地存在，所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。
　　例5 七位数175□62□的未位数字是几时，不管千位上是0～9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？
　　解：因为1750620÷11＝159147……3，
　　　　　　1759629÷11＝159966……3，
　　所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628，最大值是1759626。
　　又因为1001=7×11×13，由数的整除性质，可知1750628加上若干个1001，或1759626减去若干个1001后，其值也是11的倍数。这样1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍数。
　　由上述讨论可知七位数175□62□的末位数字是7时，不管其千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
　　说明：上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。此题也可由能被11整除的数的特征入手解决。留给读者思考。
　　例6 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？
　　解：根据题意可知，在所得到的许多不相等的乘积中，最小值是 1×1=1，最大值是13×13=169，并且1与169都不能被 6整除，这样，在得到的许多不相等的积中，能被6整除的最小值是1×6=6，最大值是13×12=26×6，而介于1×6与26×6之间的能被6整除的数并非每个都是2张卡片上的数的积，如25×6，23×6， 21×6，19×6，17×6这五个就不是。
　　所以，这些积中能被6整除的数共有
　　26-5=21（个）。
　　说明：解答这类问题要特别注意：不能简单地根据最小值是6的1倍，最大值是6的26倍，就错误地下结论是26个。
　　 。
如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1，  
　　解：关键是判断从哪个数开始整数部分是2。因为2-1.64=0.36，我们  11＋19×2=49。
　　例8 有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？
　　  总介于这两个数之间，所以后面各数的整数部分均为91，当然第19个数的整数部分也为91。
　　说明：注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n＋1之间，或者写成n≤a＜n＋1，此时n就是a的整数部分。因此确定某个正数的整数部分，实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间。
　　例9 求下式中S的整数部分：
　　
　　解：根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大”对S的分母进行放缩。
　　
　　 不但非常麻烦，而且容易出错。为了求得一个数大概是多少，我们采用放缩法，以确定它的范围，也就是估值。放缩是解答估值问题的一种常用方法。在用这种方法时，一定要注意放缩要适当，要合情合理。
　　一个类似的问题是
　　
　　答案是19。
　　例10 学校组织若干人参加夏令营。先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。而后乘船，需要定员为70人的船至少3条。到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校参加夏令营的人有多少？
　　解：由“每辆有60个座位的汽车至少4辆”可知，参加夏令营的人数在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240人之间。
　　由“需要定员为70人的船至少3条”可知，参加夏令营人数在（70×2＋1=）141～（70×3=）210人之间。
　　这样，参加夏令营的人数在181～210人之间。又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知，参加夏令营的人数一定是一个平方数。而181～210之间只有196是平方数，所以参加夏令营的人数是196。
　　说明：解答此题的关键是估计人数的范围：
　　从乘车来看，1≤第四辆车人数≤60，
　　从乘船来看，1≤第三条船人数≤70，
　　所以，181≤夏令营的人数≤210。
　　例11 将自然数按如下顺序排列：
　　1 2 6 7 15 16 …
　　3 5 8 14 17 …
　　4 9 13 …
　　10 12 …
　　11 …
　　在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，数字13排在第3行第3列。
　　问：数字168排在第几行第几列？
　　分析：我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律。这里第2斜行的数字是3，2；第3斜行的数字是4，5，6；余此类推。仔细观察后我们发现：
　　奇数斜行中的数字由下向上递增，
　　偶数斜行中的数字由上向下递增，
　　
　　我们只要找出168位于第几斜行，再换算成原数阵中的第几行第几列，问题便解决了。
　　 18斜行最大的数字是171，所以168位于第18斜行。第18斜行中的数字是由上向下递增，因此，168位于第18斜行由上向下数第（168-153=）15位，换算成原数阵的行和列，便是第15行，第（18-15＋1=）4列。
　　解法2：为方便起见，可将数阵按顺时针方向旋转45°，则原数阵变为
　　1
　　3 2
　　4 5 6
　　10 9 8 7
　　11 12 13 14 15
　　… … … … … … … … … …
　　设168位于上述数阵的第n行，则
　　1＋2＋…＋（n—1）＜168≤1＋2＋…＋n，
　　
　　
　　可见，n应为18，即168位于上述数阵中的第18行。
　　又 168-153=15，18-15＋1=4，由数阵排列次序可知168位于上述数阵的第18行从左数第4个数，从右数第15个数。将上述数阵还原为题中数阵，168在第15行第4列的位置上。
　　例12 唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑，米老鼠每分钟跑125米，唐老鸭每分钟跑100米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的n×10％倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次？
　　解：唐老鸭跑完1万米需要100分钟。设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令，则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意有
　125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得 n（n＋21）＞400。
　　当　n=12时， n＋21=33，12×33=396＜400。
　　当　n=13时，n＋21=34，12×34=442＞400。
　　所以n至少等于13，即遥控器发出指令的次数至少是13次。

第十四讲 列方程解应用题
在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。
　　列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
14.1  列简易方程解应用题
　　

　　 10x+1，从而有
　　3（105+x）=10x+1，
　　　　 　7x＝299999，
　　 　　　 x＝42857。
　　答：这个六位数为142857。
　　说明：这一解法的关键有两点：
　　
　　
　　示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。
　　（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
　　例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？
　　分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。
　　解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得
　　2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
　　解得x＝500。推知队伍长为
　　（2.6-1.4）×500=600（米）。
　　答：队伍长为600米。
　　说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。
　　例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？
　　分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。
　　解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得
　　（x-1）×22=（x-3）×26。
　　解得x=14。所以火车的车身长为
　　（14-1）×22=286（米）。
　　答：这列火车的车身总长为286米。
　　例4 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？

　　分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。
　　解：设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方
　　3×90=270（米），
　　故有
　　72x＝65x+270。
　　

　　由于正方形边长为90米，共四条边，故由
　　
　　可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。
　　答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。
　　例5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？
　　分析：这是流水中的行程问题：
　　顺水速度=静水速度+水流速度，
　　逆水速度=静水速度-水流速度。
　　解答本题的关键是要先求出水流速度。
　　解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即
　　（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，
　　
　　再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有

　　
　  
　　解得x=20。
　　答：甲、乙两港相距20千米。
　　例6 某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？
　　 赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行x时， 客车能否在115分钟完成。
　　解：把150人分三批，每批50人，步行速度为4千米/时，汽车速度为
　
　　解得x＝1.5（时），即每人步行90分，乘车25分。三批人5时同时出发，第一批人乘25分钟车到达A点，下车步行；客车从A立即返回，在B点遇上步行的第二批人，乘25分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在C点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。
　　如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘25分钟车呢？必须计算。
　　   
次返回的时间是20分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分，所以当客车与第三批人相遇时，客车已用25×2＋20×2=90（分），还有115-90=25（分），正好可把第三批人按时送到。
　　因此可以按上述方法安排。
　　说明：列方程，解出需步行90分、乘车25分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车25分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。
14.2  引入参数列方程解应用题
　　对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
　　例7 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
　　分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。
　　解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得
　　
　　由①②，得
　　
　　将③代入①，得
　　
　　
　　  
　　说明：此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多，可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。
　　例8 整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？
　　分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程。若能消去a，b，c，便可解决问题。
　　解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有
　　
　　②-①，得
　　36b=120C。 ④
　　③-②，得
　　96xc=1800c＋36b。 ⑤
　　将④代入⑤，得
　　96xc＝1800c+120c。
　　解得x=20。
　　答：有20头牛。
　　例9 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙 从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
　　解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得

　　①＋②，得

　　将y=210－x代入①式，得

　　解得x＝140。
　　答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
14.3  列不定方程解应用题
　　有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。
　　例10 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
　　解：设该班有x个男生和y个女生，于是有
　　4x+3.25y=3.6（x+y），
　　化简后得8x=7y。从而全班共有学生

　　在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以

　　推知x＝21，y=24。
　　答：该班有21个男生和24个女生。
　　例11 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？
　　解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得61分可列方程
　　9x+5y+2（10-x-y）=61，
　　化简后得7x=41－3y。
　　显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5。
　　答：小明至多套中小鸡5次。
　　例12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）。问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？
　　分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低，在配套下安排生产。
　　我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣，做裤子效率高的多做裤子，才能使所做衣服套数最多。
　　一般情况，设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子，它们的比为 在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。这  
　　  的效率高，故这7天全安排这两组生产单一产品。
　　设甲组生产上衣x天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣y天，生产裤子（7-y）天，则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（条）。依题意，得
　　42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，
　　
　　令u＝42＋8x＋9y，则

　　显然x越大，u越大。故当x=7时，u取最大值125，此时y的值为3。
　　答：安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计125套。
　　说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。

路漫漫

很好

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