挖掘习题内涵,促进思维发展

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《数学课程标准》指出“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”仔细揣摩这个定义，可以发现数学有两个层面一个是形式层面的数学，即静态的知识；一个是发现层面的数学，即动态的思维。如果说对前者的关注具有现实的应试意味的话，那么对后者的研究应该更能达成“把学生教聪明起来”的理想。然而在实际的教学过程中，我们发现很多教师为了策略而策略，仅仅着眼于“解决问题”，追求某一类型题的能解会算。难道“解决问题的策略”只是为了“解决问题”?答案显然是否定的。我们应力图改变仅仅关注问题解决的倾向，而更加注重在解决问题的过程中，凸显附着在典型知识和问题上的数学思维方法，帮助学生形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策醋的多样性，使解决问题的过程同时成为数学思维发展的过程。

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转化的思维方法

如果不“变化问题”我们几乎不能有什么进展。转化应该是数学教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。

——G·波利亚

【练习设计一】
1.求下列各图形的阴影部分面积，都需要用到转化的策略吗？分别说一说。

练习过程：
（1）
知名学生分别说一说要不要转化？为什么？
（2）
关于图形，在什么情况下需要转化？
2.A.一种盐水中，盐的含量是水的1/9，810克这样的盐水中，含盐多少克？
B. 一种盐水中，盐的含量是盐水的1/10，810克这样的盐水中，含盐多少克？
练习过程：
（1）
学生独立在练习本上解答。
（2）
刚才在解决这两道题时，哪一题用到了转化的策略？为什么？
（3）
把哪一句话转化了？
（4）
怎样转化的？
（5）
小姐：遇到比较难的应用题时，对关键句进行合适的转化是解题的关键。
3.转化下列关键句：
A.男生的人数是全班人数的3/7。
B学校饲养小组养的白兔与黑兔只数的比是4:5。
C.学校十月份的用电量比九月份节约了10%。
练习过程:
指名多个学生回答。 可以从部分与部分、部分与总体以及分数、比、百分数等不同的形式方面考虑。

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【解读】
本练习通过“需要转化”与“不需要转化”的图形及应用题的对比，引导学生在比较中体悟转化策略的应用情境，在反思中形成自觉运用转化策略的意识。
就转化的思维方法而言，应该分为“需不需要转化”“转化什么”“怎么来转化”三个层次来考虑。就图形的转化求面积、周长来说，因为其具有很强的直观性，也很难归纳出一个具有典型代表意义的方法，因此，第一环节的设计仅仅停在“要不要转化”上，并不需要学生解决它。而应用题中的的转化则是比较典型的，也是学生在后续学习中会经常遇到，所以在第二环节的教学中重点分“需不需要转化”“转化什么”“怎么来转化”三个步骤引导学生掌握转化的一般思维方法。如果说第一环节仅仅是转化意识渗透的话，那么第二、三环节则是扎扎实实的能力、方法的训练。

数形结合的思维方法

数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离

——华罗庚

【练习设计二】

1.6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=
练习过程:
（1）这道题有人会做吗?怎么做?(有少部分学生可能会想到用公式做)
(2)追问：为什么可以这样做?
（3）如果我们变换一下思路，把这个算式转化成一个图形，会每到一个什么图形呢? 多媒体逐步出示，得到如下个梯形：

（4）梯形的面积计算公式是什么？这个公式跟上面算式的公式有什么联系吗？
2.1-1/2-1/4-1/2-1/16=
练习过程：
（1）看了这道题，你打算怎么做？（大部分学生应该想到通分）
（2）通分也是一种转化的方法，把异分母分数转化成同分母分数。
老师是这样转化的（多媒体出示）

（3）指名说一说这幅图跟上面的算式的关系。
(4)现在，能不能很快地知道答案?这个答案你是怎么得到的?把这个算式转化成图形，你觉得有什么好处？
【解读】
数形结合思想的实质，就是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，通过直观的图形来深化数学内容，实现抽象与形象的联系与转化。“数缺少形时少直观，形缺少数时难入微”。本教学设计通过把枯燥的数(算式)转化成规则的图形，使学生在体会数学美妙一面的同时，也充分感受到数形结合的直观性与便捷性，有效沟通了数学知识之间的联系，凸显数学的本质特征。作为一种策略的选择，或者说一种思维方法的渗透，我们关注的不仅仅是要解决某一个具体的数学问题，更重要的是让学生在这一过程中体验到数学的多姿多彩，并能自觉运用这种思维方法观察、分析、解决数学内外的各种问题。

极限的思维方法

一尺之栓，日取其半，万世不竭。

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【练习设计三】

练习过程:

（1）（接着上面的练习：1-1/2-1/4-1/8-1/16=1/16）仿照个算式继续写下去，后面应该减多少?结果是多少?再往后呢?(多媒体演示)

1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32=1/32

1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32-1/64=1/64

(2)观察这些算式，并结合上面的图形想一想？你有什么发现?(结果越来越小)

(3 )引导结果越来越接近于0，但永远也不会等于0。

(4)这个有意思的现象很早以前就有人发现了。

2300多年前，庄子就说“一尺之槽，日取其半，万世不竭。”你能解释这句话吗?这句话跟上面的算式有什么联系吗?(学生结合图形和算式说明自己的理解)

【解读】

极限的思维方法为现代数学的发展提供了有力的思想武器。由于小学生年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难以把握。本练习设计以具体的数字为依托，结合直观的图形，帮助学生形象地认识到无限小的概念，为学生的后续学习及终身发展打下基础。

归纳的思维方法

归纳这种方法……选出一个类似的、较易的问题，去解决它，改造它的解法，以使它可以用做一个模式。在外人看来似乎是迂回绕圈子，但在数学上或数学以外的科学研究中是常用的。

——G·波利亚

【练习设计四】

有4支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制(即每场淘汰1支球队)进行。一共要进行多少场比赛后才能产生冠军？如果是6支球队呢?(第二问稍后出示)

练习过程：

(1)这样的题你能画出示意图吗?(指导学生用树形图表示)

(2)学生画图。(大部分学生应该很容易得出是3场比赛)

(3)出示第二问。如果是6支球队呢?还想画图吗?

(4)学生思考后，教师引导，遇到这种比较难的，数字比较大的题，我们可以先找几个数字比较小的进行尝试，得到规律后再解决原来的题。

(5)学生用画树形图的方法，独主解决了8支球队、16 支球队时需要多少场比赛。

(6)刚才我们分别解决了4支、8支、16支球队时需要的场数，你发现什么规律了吗？（学生说规律：需要的场数比球队数少1）

(7)现在你知道64支球队需要比赛多少场了吗?你是怎么想的?

(8)还可以怎么想呢?引导(转化思路)每进行一场比赛，淘汰支球队，6支球队需要淘汰掉63支球队才能决出冠军，所以一共需要进行63场比赛。

(9)小结转化的不仅仅是图形、关键句，更重要的是对思路的转化。

【解读】

不完全归纳的思维方法是对若干个特殊事例的考察，从中归纳出一般性结论的种推理方法。为了让学生感受这种方法，在本练习中，让学生先从简单的做起，分别用画图的策略得到4支、8支、16支球队参赛时的场数，再推及到6支球队的情况。让学生完整地经历由一般到特殊，从简单到复杂，大题小做、归纳推理的方法，不但使学生的思维层次得到一 次提升，更能促进学生实现从“学会”到“会学”的跨越。

“解决问题的策略”不仅仅是为了解决问题，而应该是以问题的解决为载体，引领学生在操作中体验，在对比中反思，发展数学思维，初步形成用数学的眼光看待问题、用数学的头脑分析问题、用数学的方法解决问题的能力。在教学中，我们要善于捕捉数学思维的生长点，用数学思维撑起解决问题的脊梁，带领学生感受数学丰富的方法、深邃的思想，分享数学前行足迹中的创造、超越及其背后折射出的人类智慧和人性光芒。