“统计与概率”的教学：反思与建议

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“统计与概率”可以说是数学新课程中最让小学教师感到“头疼”的内容了。这个具有独特思维方式的领域既难教又难学，尤其是让许多成人都感到抽象难解的“概率”，也首次成为小学数学的一部分，它能否真的变成我们所期待的“儿童数学”？

    这里涉及几个方面的问题：一、有没有必要让儿童学习它？二、儿童有没有能力学习，或者说，统计与概率能否变成“儿童数学”的形态？三、教师有没有能力驾驭这样的“儿童数学”，假如前述两点成立的话？如何让教师具备这样的能力？

    下文就通过个案研究带给我们关乎上述问题的诸多思考。或许，真正的答案还隐藏在更加深入、普遍和专业的科学研究之中，还孕伏在更成熟的思辨和讨论之中，但这并不削减一项真实调查的价值。当我们直面现状从而激起对这些永恒问题的思考时，这些思考也就有了当下的意义。

“统计与概率”的教学：反思与建议



    在小学数学中，新增加的“统计与概率”内容已经成为许多教师十分关心的问题。教学应该如何设计、展开，教师又具备多少统计与概率的知识，相关教材、培训等如何完善，都值得深入研究。我们以四年级一项有一定代表性的教学内容为例作了课堂观察和研究分析，对以上问题提出建议。

    教学内容如下：

    例1：足球比赛前，裁判员通常用掷一枚硬币的方法来决定开球的一方，这样做公平吗？

    例2：口袋里有四个号球，上面分别标有1，2，3，4。甲、乙两人各摸一次。甲先摸，摸出一个号球，记下号数，放回口袋中，乙再摸。谁摸出的数大谁胜。游戏公平吗？

    课堂活动：小明、小丽被同学们推选为组长，得票数相同，谁担任组长呢？班长决定做4个纸团，其中只有一个写有“正”字。由小明从中任取一个纸团，抽出“正”字的纸团就担任正组长。这个办法公平吗？

    分析该设计的意图可能是：因为已经学习了用分数表示一个事件发生的可能性大小，例1的目的是通过计算双方获得开球权的可能性都是1/2，从而知道游戏公平的意思是“获胜的可能性是一样的”。例2是让学生进一步体会游戏的公平性。“课堂活动”是让学生体会游戏的不公平性。

    该内容由某国家级课程改革实验区一所小学的两位教师分别执教。其中，李老师从事小学数学教育13年，原始学历大专；张老师从事小学数学教育4年，原始学历本科。两位教师的教学水平在该校都属于中等偏上。我们对教学过程做了笔录和录音，课后对老师和学生作了访谈，为了解这部分内容的难易程度，我们又在大三学生中作了调查与测试。现将结果呈现如下。

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教师如何理解活动性对统计与概率教学的意义



    1． 张老师对例2的教学：缺乏活动性。

    张老师的教学设计是：读例2，让学生思考，教师提问，然后讨论得到“游戏公平”的结论。

    师：谁来解释一下游戏是如何进行的。

    生1：按照题目来解释。

    师：在“记下号数，放回口袋中，乙再摸”下面画上横线，谁来解释一下这句话的意思。

    生2：甲摸完后，乙摸的时候，袋子中仍然是这4个球。

    师：也就是说，甲摸完后，乙仍然可以摸到这4个球中的任何一个。那么我要问，甲摸到1、2、3、4号球的可能性是多少？乙呢？

    生3、4、5：甲摸到1、2、3、4号球的可能性都是1/4，乙也是。

    师：谈谈你的想法。

    生6：不管谁先摸，摸到1、2、3、4号球的可能性都是1/4。

    师：公平吗？

    生（集体）：公平。

    师：这个游戏是公平的。

    生7：我认为这个游戏是不公平的。因为摸到每一个球的机会一样，胜的机会不一定一样。

    师：我们课下单独讨论这个问题。

    的确，因为甲摸球后又放回，因而甲、乙摸到每一个号球的可能性是一样的。然而，例2的问题是“胜的公平性”，而不是摸到每一个号球的公平性。“胜的公平性”和“摸到每一个号球的公平性”并不必然地是一回事。当然，就本例而言，由于摸球后又放回，游戏是公平的。然而，我们还知道，对许多游戏而言，比如抓阄儿，即便不放回，先抓还是后抓，胜的可能性也是一样的。也就是说，放回是能够说明公平性的一个条件，但不是必要条件。从而，仅仅从这一点上来解释游戏的公平性是不够的。因此，我们就有必要了解一下教师本人对该问题的理解（见下文）。

    对学生的认知水平而言，“胜的公平性”的理由说不清楚，也无需说清楚，就应该让学生动手试验，通过活动和试验来感受与验证游戏的公平性。小学生的认识活动往往要经历从实物操作到表象操作再到符号操作的过程，只让学生在大脑中思考，往往会出现偏差，甚而出现错误①。

    2． 李老师对例2的教学：有了活动性，但缺乏对活动本质的理解。

    李老师注意到了例2的教学应该具有活动性，其教学设计是：请三组同学到讲台上做试验，然后再得到游戏的公平性。

    师：请同学们先读例2，游戏公平吗？

    生（集体）：公平，不公平。

    师：我们需要验证一下。请三组同学到讲台上来试验一下。

    三组同学分别到台上做试验。教师提醒同学们注意摸球的先后顺序并不能影响到输赢。台上的同学忙着做试验，台下的同学喊声震天，支持各自的一方。试验结果是：

    第一组：甲胜3次，乙胜1次，平1次。第二组：甲胜3次，乙胜1次，平1次。第三组：甲胜2次，乙胜2次，平1次。

    师：比较以上三组结果，请大家回答，先摸就一定胜吗？后摸就一定输吗？

    生（集体）：不一定。

    师：这个游戏公平吗？

    生（集体）：公平。

    生8：不公平。因为甲一共胜了8次，胜的可能性是8/15，乙胜的可能性是4/15。

    生9：不公平。因为甲先摸到1（号球）的话，乙有4种可能，乙胜的机会大。

    师：认为公平的同学能否从数学上来说明你的观点。甲摸到1号球的可能性是……

    生（集体）：1/4。

    师：甲摸到2号、3号、4号球的可能性呢？乙呢？

    生（集体）：都是1/4。

    师：公平吗？

    生（集体）：公平。

    师：这个游戏是公平的。

    李老师让学生以小组为单位动手摸球，注意到了教学的活动性。遗憾的是，分组试验的结果并不能说明游戏的公平性。于是，李老师转而求助理论上的解释，同张老师一样，也用“摸到每一个号球的公平性”来说明“胜的公平性”。

    为什么会出现这种情况呢？问题出在试验上。当重复试验进行较多次时，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，这个常数就称为这个事件的概率②。也就是说，频率的稳定状态是通过大量的重复试验体现出来的，试验的次数要尽可能多，否则，就不可能看到这个稳定的状态，也不可能抓住活动的本质（学生8的错误源于此）。因而，要设计尽可能多的试验，比如，可以让同学们两人一组进行试验，然后把试验的结果汇总起来。

    李老师也忽视了学生提出的“不公平”的意见。在李老师看来，通过对公平性的解释，已经说明了不公平的错误。

    两位老师从理论上所作的解释都存在问题。

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3． 张老师对“课堂活动”的教学：活动具有开放性，而开放程度失恰。

    对于本节课的“课堂活动”——选组长，如果理解为“小明取到了‘正’字就由小明当正组长；小明取不到‘正’字，小丽不要取了，就由小丽当正组长”，那么，这个问题还是比较好解决的：小明当正组长的可能性是1/4，而小丽当正组长的可能性是3/4，所以这个办法不公平（教学参考书是这样说的，张老师也是这样讲解的）。

    然而，该题目并没有说，小明取完后，小丽取还是不取，因而，本问题是一个开放性题目。在得到“课堂活动”提供的办法不公平这样的结论后，张老师话锋一转：

    师：怎样设计这个游戏才公平呢？

    生10：小明取完后，不放回，由小丽来取。

    师：这样公平吗？

    生11：不公平。如果小明取到“正”字的话，小丽就没有机会了（同例2中生9的情形）。

    生12：不公平，因为小明取完纸团后不放回。（例2的负面影响在此处显现出来，在学生看来，放回是保证游戏公平的必要条件。）

    生13：生11说的不对。如果小明取不到“正”字的话，小丽取到的机会不就大了吗？

    师：你认为公平吗？

    生13：说不准，可能公平吧。

    师：我们来看一看。小明取到“正”字的可能性是1/4，剩下的可能性是3/4。小丽在剩下的3/4机会中，再从3个纸团中取一个，于是，小丽取到“正”字的可能性是3/4的1/3。（因为在学习这节课之前，学生只是简单地认识了一下分数，所以，教师费了很大精力来说明3/4的1/3是1/4。）游戏公平吗？

    生（集体）：公平；不公平。

    学生10所设计的游戏规则的确保证了游戏的公平性。但是，要从理论上说清这一点，还是非常困难的。张老师试图说明这个道理，可由于张老师所用的知识具有超前性，学生的认知结构不能将其纳入，因而，老师辛辛苦苦做的解释，学生并不能理解和接受。我们课后访谈了5位学生，其中4位仍然不能确定以上游戏的公平性。学生13认为是公平的，理由却是“老师说公平”。

    问题出在学生10设计的这个方案复杂性和开放性较大。既然不能从理论上说清楚，那就应该让学生动手试验，在活动中感受、体验小明、小丽胜的可能性是均等的。比如，可以小组为单位，让同学们试验一下。因而，对于开放性问题，并不是越开放越好，教师要适当把握开放的程度，以避免拔高学习的难度。

    以上问题的出现，一方面是由于教师对教学的活动性没有把握好；另一方面，我们推测是由于教师对这些活动涉及的统计与概率知识缺乏深刻的理解。我们想通过课后访谈来了解教师的知识基础。

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教师的知识基础如何



    1． 基础性知识比较薄弱。

    访谈者（以下简称“访”）：你认为例2中的游戏是公平的，能谈谈你的理解吗？

    （李老师把在课堂上的解释又叙述了一遍。）

    访：你是否注意到，例2中的问题是“谁摸出的数大谁胜”，它问的是胜的公平性，而不是甲、乙两人摸到1、2、3、4号球的公平性。

    李：我没有很好地思考这个问题，不过，我认为，这两个公平性应该是一回事。

    访：你能说明一下吗？

    李：努力吧。（李老师用了一段时间尝试：甲摸到1号球的话，他胜的可能性是0，输的可能性是3/4，平的可能性是1/4；摸到2号球的话……）看来，我想不明白了。

    访：我这样解释，你看能否明白。甲、乙两人比一次，就相当于做了一次试验，不断地摸，就相当于重复试验。假设一次试验中，甲摸到了1号球，乙摸到了2号球，我们表示为（1，2）。于是，这个试验共有以下16种情况：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）

（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）

（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）

（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）

    在以上方阵中，对角线（左上到右下）以下是甲胜的所有情况，对角线以上是乙胜的所有情况。甲、乙都有6种胜的情况，于是，甲、乙胜的可能性都是6/16。公平。

    李：这样做就好理解了。我没有想到。

    由此可以看出，李老师只会用“摸到每一个号球的公平性”来说明“胜的公平性”。

    2． 理论性知识尚未确立。

    访：进行“课堂活动”教学时，为了实现公平性，学生10设计了一个方案（小明取完后，不放回，由小丽来取）。能谈谈你对该方案的理解吗？

    李：感觉该方案是公平的。但是，我也像学生想的一样，如果小明先取到了“正”字，那么，小丽不就没有可能了吗？再说，不放回去，能公平吗？

    访：如果小明取不到“正”字，小丽取到的可能性不就大了吗？再说了，我们平常抓阄儿的时候，不也是不放回吗？

    李：感觉是公平的。但我说不出理由。

    访：张老师能谈谈吗？

    张：（把其指导“课堂活动”时所作的解释又说了一遍）这种办法是在备课时和李老师发生了争论后，为说服他而想出来的。

    访：你学习过条件概率吗？这可能是条件概率问题，你想过没有。

    张：学过，但没有想到。如果真是条件概率的话，就难了。

    访：能用条件概率表示一下你刚才的解释吗？

    张：（张老师努力了一会儿）一时想不起来了。

    访：你们有没有想到用列举的办法来说明学生10设计的游戏规则是公平的。

    张、李：没有想到。也许可以用列举法来说明。

    李老师感到学生10设计的抓阄儿规则是公平的，但也只是跟着感觉走。张老师无意识中使用了条件概率的知识，但对这些知识不能从理论上做出说明。同时，两位教师都没有想到用列举法来说明规则的公平性。

    3． 知识本身具有一定的难度。

    我们调查了数学专业大三学生对“课堂活动”的解决情况，结果如下：

    观点一：如果小明取了，小丽不去取，公平；如果小明取了，小丽也取，不公平。支持该观点的人数约占总人数的16％。

    观点二：与观点一恰恰相反。持有者约占总人数的42％。

    观点三：无论如何都不公平。持有者约占总人数的15％。

    经过多次讨论，学生才想到用条件概率来解决该问题。我们又提出了这样一个问题：假设一位小学教师不懂得条件概率，你能否用比较直观的办法向他解释“学生10所设计的方案”是公平的？学生在10分钟的时间内没有想出合适的方法。

    如果不用条件概率，这个问题的解决办法是：将4个阄儿编号，比如分别是0，1，2，3，其中0代表写有“正”字的阄儿。小明抓到1号阄儿，小丽抓到2号阄儿，表示为（1，2）。所有抓阄儿的结果有以下12种情况：

（0，1）（0，2）（0，3）

（1，0）（1，2）（1，3）

（2，0）（2，1）（2，3）

（3，0）（3，1）（3，2）

    其中，第一行表示小明抓到“正”字；第一列除掉第一行中的（0，1），表示小丽抓到“正”字。两个人都有3种胜的情况，所以胜的可能性都是1／4。公平。

    由以上分析可以得到以下结论：两位教师的统计与概率知识基础比较薄弱，对该知识的理解较差；用概率来表示游戏的公平性有一定的难度。

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反思与建议



    1． 教科书要设计好难度的层次性。

    正如上面所反映的一样，这些内容对教师和学生都显得比较难。“由于统计思维与确定性思维有很大差异，依赖于人的辩证思维的发展，而思维发展心理学的研究表明，辩证思维从初中二年级（14岁）开始萌芽，因此统计与概率的内容过早进入与学生思维发展水平不相适应。”③ 特别是通过对比新课程初中数学教科书，我们发现，初中一年级关于概率方面的要求，除了对某些概念作了比较清晰的界说外，并没有比小学的内容有更高的难度。或者辩证地说，我们对中学生的要求低了。从义务教育阶段的教科书来看，有关统计与概率部分的内容缺乏一定的连续性，特别是在难度的把握上缺乏层次性。

    课程标准将义务教育阶段的数学分为3个学段，对“统计与概率”而言，各学段的要求是否可以用“初步体验、感受，体验、感受并进行简单的计算，体验、感受、计算并能进行初步的推理”来说明？同时通过大量的案例来对教学内容的范围、难度、开放度进行例说。总的说来，教科书中统计与概率内容的难度必须降低。

    2． 教学要处理好活动性与思辨性的关系。

    学习任何知识都需要经过大脑的思辨，否则就不可能实现对学习内容的压缩、整合、内化，进而纳入到认知结构之中④。对于统计与概率这样的内容，由于很难从理论上向小学生说清楚，只能依靠活动让学生充分感受、体验，然后抽象，实现内化。“在教学中……应注重对不确定性和可能性的直观感受。”⑤“应注重所学内容与现实生活的密切联系……应注重在具体情境中对可能性的体验；应避免单纯的统计量的计算。”⑥对于小学阶段统计与概率的教学，应该通过大量的重复试验来让学生体会频率的稳定状态——概率。

    教师既要安排适当的活动，又要抓住活动的本质。没有了活动，就没有了载体，学生的学习就容易遇到障碍；不理解活动的本质，不理解活动背后的理论支撑，就容易失去活动的方向。这是统计与概率教学应特别注意的问题。

    3． 教师培训要处理好提升理念与补充知识的关系。

    新课程提出了一些新的理念，理解、领会、实施这些理念是重要的。但是，正如上面所分析的，由于统计与概率是新增加的内容，许多教师又没有系统地学过，因而补上这一课成为当务之急。《高中数学课程标准》的负责人之一严士健先生曾一再呼吁，领会课程改革的理念固然重要，而掌握、弄懂新课程中的知识更为重要。义务教育阶段亦然。

    所以，教师培训应在知识的基础性和理解程度上下功夫。掌握牢固的基础知识不一定就能成为一名好教师，但是，不掌握牢固的基础知识则肯定成不了一名好教师。数学教学的问题“并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。”⑦ 如果教师缺少一定的知识积淀，缺乏对学科知识的深刻理解，就有可能出现“以其昏昏，使人昏昏”的局面。这就丢掉了我国教师对学科知识有着“深刻理解”的传统优势⑧。

    考虑到我们所调查的学校是实验区数一数二的示范学校，两位教师又是比较优秀的中青年教师，回忆起我们见到的某省小学骨干教师在公开课中出现的类似问题，我们不禁忧虑起来：想一想中国广大的农村地区，那里的教师学历较低，有相当一部分教师没有系统地学习过统计与概率的知识，他们怎样理解这部分知识呢？当然，可以通过培训来解决，然而，走马观花似的培训能解决什么问题呢？西南地区“85%的教师认为新教科书实验的最大障碍是师资培训跟不上。”⑨ 目前正在实施的“统计与概率”教学不容盲目乐观，应该引起教育主管部门、教科书编写者和教师培训机构的高度重视。

清风明月

活动具有开放性