小学数学教学论文（优秀论文交流）

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让学生在探索中学习数学

内容提要：传统的数学教学中存在着一些问题，主要表现为：学生的学习方式单一而被动，从而导致“教师教得很辛苦，学生学得很痛苦，学生却无法得到应用的发展。”随着课程改革的深入我们必须切实处理好这些问题。通过转换教师角色、营造宽松的学习氛围、创设情境培养学生的探索能力把课堂真正还给学生，努力提高课堂教学的实效性，促进学生全面发展。
关键词：营造、转换、创设、探索、氛围、角色、情境。
在一定程度上，提起学数学，许多学生就会把它等同于“做习题”、“考试”、“讲评”。传统的数学学习学生的学习方式单一而被动，从而导致“教师教得很辛苦，学生学得很痛苦，学生却无法得到应用的发展。”新课程强调：动手实践，自主探究和合作交流是学生学习数学的重要方式。提倡学生“做数学”，强调学生探索新知的经历和探索新知的体验。即用亲身体验的方式来经历数学，探究数学。
    那么，如何把数学课堂变为数学探究性质活动的课堂，使学生得到更好的发展？以下本人结合自己的 教学实践及平时的学习谈几点体会。
一、营造宽松的学习氛围。
心理学研究表明：良好的情绪能使学生的精神振奋，不良的情绪则会抑制学生的智力活动。因此，我们必须在小学数学课堂中设法为学生营造一种自主、民主、和谐、轻松的学习环境。使学生在这个学习环境中感到安全，感到没有顾虑，能够自由发表意见，提出问题，真正地打开思想闸门，积极主动地实现认识或情感深处的碰撞与融合。教学时，教师要尊重每一个学生，对于学生发表的正确意见及时给予鼓励，对于学生提出的各种不合理的答案或一些奇思怪想，也不要马上判断正误，因为老师不是确定答案正确与否的最高“法官”。此时，老师可以提醒学生“再听听别人的意见”，或者指导学生在讨论中自悟、自我否定、自我论证，从而形成轻松的学习氛围，使学生经常处于一种跃跃欲试，积极探索的心理状态。
二、教师角色的转换
    数学教育家弗赖登塔尔说：“学习数学唯一正确的方法是让学生进行再创造。”也就是在教师的引导下由学生本人去探索，走科学家探索知识的道路，把要学的数学知识发现或创造出来，才是学习数学比较好的方法。著名心理学家皮亚杰认为，只有儿童自己“发现”的东西才会被儿童积极同化，从而产生深刻地理解。这就要求教师转变观念，变换角色，变知识的 传授者为教学过程的组织者、引导者、参与者。因此教师的主要任务是“引导”和“调动”他们的情感和意志，激发他们的学习兴趣。不再是通过“教书”去传授知识，也不再是去教学生如何去做。故教师上课前要集中更多的时间和精力去设计有效和创造性的活动，确保上课时能正确引导学生走进课堂；引导学生去探索和实践；引导学生去分析和交流，形成自己新的知识。
三、创设情境，培养学生的探索能力。
1、巧设猜想情境，鼓励学生大胆猜测。
猜测是指人们在对研究的数学问题进行观察、实验、比较、归纳等一系列思维活动基础上，依据已有的材料知识、经验做出符合一定规律事实的推测性想象。猜测是一种飞跃性的思维，对于探究性学习来说猜测是一种重要的思维方式。“猜想——验证”的 方法已成为现代科学探索中常用的方法。在数学课堂上，教师要鼓励学生对结论先做出大胆猜想，然后加以验证。
例如：学完多位数减法之后，学生完成练习四的第6题后，（题目：被减数是800，减数是576，差是多少？如果被减数和减数都增加20，差是多少？）我又设计了两个问题：如果被减数和减数都增加150，差是多少？如果被减数和减数都增加1200，差是多少？学生通过计算以后都不由自主地发出“答案是一样的”惊叹！此时引导学生说说你发现了什么，大胆地提出猜想，并加以验证，最后得出“被减数和减数都增加相同的数，差不变。”我并没有满足于此，暗示学生看了这个结论，你还能提出猜想吗？其中有一个学生就说了：“被减数和减数都减少相同的数，差变不变呢？”“你猜呢？”鼓励学生大胆地猜测，并懂得用数学地方法来验证自己的猜想。
2、创设问题情境，激发学生自主探索的欲望。
学生探究学习的积极性、主动性、往往来自一个对学习者来讲充满疑问和问题的情境，教师通过“设疑”，把学生引入一种与问题有关的情境，使学生明确探究目标，确定思维的方式，并产生强烈的探究欲望，激发学生对新知识学习的积极性。
例如：在教学“能被2、5整除数的特征”之前，我安排了一场别开生面的师生对抗赛，由学生任意报一些数，看谁能最快地说出它们能否被2、5整除，当学生才算出三、四题时，我已判断完毕。学生在惊讶之余产生疑问“为什么老师如此神速？这其中肯定有什么奥秘？”激发起学生探求其中规律的迫切的愿望。在此基础上发给每个四人小组一张练习纸让他们自主探究。（附练习纸）
    探究步骤：
（1）、任意报数（一位数、二位数、三位数、多位数各几个）
一位数：                     
二位数：                     
三位数：                     
多位数：                     
（2）、通过计算给上面的数分类
①能被2整除                  
不能被2整除               
          ②能被5整除                  
            不能被5整除               
（3）、提出猜想（仔细观察能被2、5整除的数，你发现了什么？）
①能被2整除的数的特点：                        
②能被5整除的数的特点：                        
（4）、验证
①任意举几个能被2整除的数：
②任意举几个能被5整除的数：
3、创设游戏情境，引导自主探究。
    爱表现是学生的天性，教学中因充分利用学生这个心理特点，有的放矢创设情境，引导学生自己去理解，去发现。例如，在一年级“9加几”的教学中，传统的教学方法就是老师直接告诉学生，用“凑十法”来做，明确这个方法后再加以大量的练习，使学生记忆9加几的方法与结果。有一位老师是这样设计的：①通过9加几和10加几的不公平的计算比赛。使学生体验到10加几就是十几，容易算。孕伏“凑十”的意念。②对“9加5”进行探讨。用多种方法获得结果，再引导学生观察、讨论、发现较简单的方法就是先设法凑十，而最简单的方法，是把较小数分为1和几，然后1和9凑十，初步发现9加几 的计算方法。③通过对其他9加几计算的讨论，引导学生逐步掌握9加几的计算方法。④最后，通过多种练习、游戏引导学生应用规律进行计算，形成计算能力。两种教学方法的最大不同点就在于后一位教师充分尊重学生的探究的需要，创设情境放手让学生动手动脑去探索，自己得出结论。
4、创设操作情境，深化自主探究。
    “思维产生于动作，智慧来自动作”。根据小学生好动、好奇的心理活动，在小学数学课堂教学中，教师可以组织一些以学生为主的活动，对一些实际问题通过自己动手测量、演示或操作，动手动脑获得学习成效，既能提高学生的操作能力，又满足了学生探究、获得新的体验的需要。
    例如：在“整千整百数除以一位数的口算除法“的教学中，先出示8÷4，请同学用小棒在桌上摆一摆、分一分，然后用数学语言把分的过程说一说。大家一致认为：把8根小棒平均分成4份，每份是2。接着2我又出示80÷4，这时，有同学在座位上轻轻嘀咕：“我没那么多的小石子，不好分。”我只是微笑地看着他，既没有肯定也没有否定。很快有同学满脸兴奋地叫起来：“老师，我有办法，把一根小棒当作十，不就行了吗？”“这个主意不错，大家不妨试试！”同学们纷纷尝试。接着我又出示800÷4，8000÷4，这回全班同学受80÷4的迁移，都说“有办法”“把一根小棒当作100，8个百平均分成4份，每份是2个百，就是200。”“把一根小棒当作1000，8个千平均分成4份，每份是2个千，就是2000。”学生在动手操作的过程中自己发现了整千整百数除以一位数的口算方法，教师的任务就是引导学生对自己发现的方法进行整理、归纳！
又如在教学《长方形和正方形的周长》时，每个小组桌上都有一个长方形和正方形的纸片，让学生任选一个图形量一量，算一算这个图形的周长。集体交流时就出现了几种不同的算法。
计算正方形的周长有：
①5+5+5+5＝20厘米
②5×4＝20厘米
长方形的周长有：
①    7+5+7+5＝24厘米
②    7×2+7×2＝24厘米
③    （7+5）×2=24厘米
然后引导学生进行讨论、比较，自己发现哪种方法最简便，自己得出计算长方形和正方形的周长公式。

参考文献：
①《新课程理念与小学数学课堂教学实施》，首都师范大学出版社，2003年5月第一版。
②丁杭樱：《如何让学生体验数学学习》，载《教学月刊》（小学版）2005年2月。
③郭思乐：《数学思维教育论》，上海教育出版社，1997年2月第一版。
④波利亚：《数学与猜想》，科学出版社，1984年。

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小学生数学学习障碍及教育对策
【摘要】小学教育阶段是数学学习能力发展的关键时期，而数学障碍对小学生的数学学习和今后的生活造成不良影响，文中探讨了小学生数学学习障碍的涵义及表现、类型、成因，最后从数学障碍学生矫治应坚持的原则和教学要素出发，即从教师、学生和教学环境（主要指班级和教室）三方面提出了相应的教育对策。
【关键词】小学生 数学学习  学习障碍  教育对策
中图分类号 B842                    文献标识码A

1 小学生数学学习障碍的涵义及表现
小学教育是指使受教育者打下文化基础知识和作好初步生活准备的基础教育。其对象一般是6—12岁的儿童，我们将其称为小学生[1]。而小学生的学习障碍有广义的学习障碍和狭义的学习障碍之分。广义的学习障碍相当于学习迟钝，狭义的学习障碍相当于学习失能，简称LD[2]。
在本文中所述的小学生学习障碍其实就是小学生学习失能，现普遍称学习失能为学习障碍指智力正常的小学生在阅读、书写、拼音、表达、计算、推理、社会交往等基本学习技能方面受损伤所致的严重学习困难现象。学习障碍这一术语被美国的柯克在1963年首先倡导使用，至1990年已取得病源上的共识，被推定为源于中枢神经系统的功能障碍。迈克勒巴斯特制定了如表1所示的诊断标准[2]。

表1学习失能的诊断标准
智力水准正常
末梢感觉器官的障碍
身体运动功能障碍
一次性情绪障碍
特殊环境下的不利
还有不属上列情形，但不能达到的学习效果，其原因被推定为源于中枢神经系统的功能障碍者。


这就说明，学习障碍不同于弱智，弱智儿童智力低下，在所有学习任务上都有困难，而学习障碍学生却正常。智商数在90以上，他们只是在某个特定的学习任务上有难以克服的困难。所以学习障碍是轻度且局部的发展障碍，它是可逆的，这就为学习障碍的矫治留下了空间。
小学生数学学习障碍又称为非语言性障碍，是指智力正常的小学生，由于数学能力的缺损而导致的数学学习落后，即明显低于同年龄或同年级水平。
一般认为，有数学障碍的小学生具有五种基本表现：一是学习加减法困难，二是数字记忆困难，三是计算时对位困难，四是运算符号混淆，五是空间认知困难。这类孩子在机械图形与数学任务能力方面落后，他们记不住人脸的图形，交往能力差。在运动和机械记忆方面有困难。男女无差异，约0.1%—1%的儿童有此障碍。他们可能爱读书，也会讲故事，可解决图形式的逻辑思维任务但空间想象能力差，学习时较为刻板不能将新学习的操作迁移到新环境中。
2 小学生数学学习障碍的分类
关于小学生数学学习障碍的分类国内还没有较为统一的分法，但按其成因和矫治重点的不同现存在两种分法，一是按其成因分为器质性数学学习障碍和学习性数学学习障碍[3]；二是按其表现形式分为认知性数学学习障碍和情绪性数学学习障碍[4]。
器质性数学学习障碍主要指由于脑损伤或遗传性生理缺陷所致，具体包括运算功能失常、无法进行空间计算、实物操作困难以及不能辨认数学意义及关系；学习性数学学习障碍主要受后天因素的影响，通常是由于教学不当、情绪、疾病、课程缺陷等问题所致，同时也包括了社会文化等心理因素的影响；认知性数学学习障碍是指在认识过程中，由于记忆、理解、思维等心理因素的影响，导致数学学习产生障碍。比较常见的认知障碍有：
对已学过的数学基础知识掌握较差；
各种数学技能的不足；
在数学学习所需要的智力活动中存在某种缺陷。
有研究发现，数学障碍学生与正常学生相比在花费同样时间却显示出对已学过的数学基础知识掌握得极差；表现在缺乏基本的数学学习技能和技巧，如观察能力，转换能力，记忆能力，逻辑思维能力等等。在学习新知识时，障碍学生对于新旧知识间的关系掌握不好，看不清楚它们之间的内在联系，因此学习起来较为困难。
情绪性数学学习障碍是指在学习中，由于师生关系、同伴关系及其它关系不融洽，而使数学学习受到影响。产生情绪障碍的原因很多，表现形式有：
对数学学习表示淡漠，没有学习的要求；
对数学学习的兴趣、热情受本人的情绪制约，忽冷忽热，不稳定；
对数学学习过分焦虑。
两种分类之间存在的关系初步建构如下：

图1  数学学习障碍分类
3 小学生数学学习障碍产生的原因
不管是小学生数学学习障碍还是其他任何一种学习障碍，其产生的原因决不是单纯的一种原因，而是种种因素综合作用的结果，是极为复杂的。现就影响小学生数学学习障碍产生的因素及综合模型罗列如下：
3.1主观因素
指从障碍学生自身出发，在生理和能动性方面考查。
3.1.1情感态度的影响
由于情感因素的作用，一些小学生凭个人的爱好学习，喜欢的学科就认真努力，刻苦钻研；不喜欢的学科就不愿学习，提不起精神，造成偏科。尤其是数学学科由于其内容的枯燥，没有生动的语言，没有优美的情境而导致学生的厌烦。另一方面，老师和学生之间的沟通不良导致学生对老师有成见，产生逆反心理，上课不专心听讲也不愿学习这些老师所教的内容。然而，学生学习热情的投入是学习好功课的动力。学生情感能否投入，关键在教师的引导。如果老师和学生之间产生了矛盾，尤其是小学生心理承受能力差，不知如何的应对，容易导致焦虑、担心或产生厌人及物的情况。那么老师就需要及时采取以正面引导为主的合理的方法解决矛盾，化解分歧。相反，若老师越是批评，学生越是不学，形成恶性循环。
3.1.2个性差异
性格类型的差异，主要表现为内向型、外向型的差异，显然外向型的学生性格开朗活泼，易于和同学、老师、家长交流，在学习过程中也能经常性的保持一种乐观向上与自信的心态。这些特点是非常的有益于学习与发展的，对学习障碍的形成能起到抑制作用。反之，内向型的个性特点往往起到相反的作用。
数学学习能力的差异，“知觉、思维与记忆”是学生学习数学知识的三项最重要的能力，尤其是思维中的抽象概括能力，是三大能力中的核心能力。在学生的成长过程中，由于各种因素的制约，其能力的发展也是不均衡的。比如说知觉，题中是24，偏偏写成42，计算中常常把十位数与个位数相加，对不齐位，如果屡次纠正无效，就应该对学生的视知觉能力给予关注。再如，学生能很好地记住刚刚看到的数字吗?(视觉记忆)学生在书写的时候，手眼能够很好地协调吗?(视觉—动作配合)又如，“除数与被除数”的关系，总是分辨不清，搞不清楚“除和除以”有何分别。这就应对学生对数学概念与符号的理解能力及抽象概括能力引起关注。这是造成数学学习障碍的内在因素。
学生智力水平的差异，首先我们应该承认学生的智力水平是有差异的，但智商落后所导致的数学学习困难不介于数学障碍，而真正数学障碍的产生是由于学生智力水平存在差异而使智力水平较低的学生产生自卑心理从而降低了自我效能感导致障碍。
3.1.3身心健康的差异
所谓“身心健康是指人体各器官发育良好、功能正常、体制健壮、精力充沛并有良好的劳动效能状态，与生活环境之间保持良好的协调与均衡，对自然环境和社会环境有较强的适应能力”[6]。而身心健康差异主要表现为身体素质和心理承受能力的差异。小学生身心健康，身体素质好，在学习中往往能表现出旺盛的学习力，同时表现出一种自信的心态，能够在学习过程中自如的处理各种突发事件，不利于学习障碍的形成。
3.2客观因素
指无生命的客观事物对障碍学生的影响。影响小学生学习过程中心理障碍的客观因素(又称环境因素)是极其复杂而又多方面的，其中主要包括社会环境、家庭环境和学校环境。
3.2.1遗传和神经因素
LD儿童被推定为源于中枢神经系统的功能障碍。2000年，日本学者原仁在研究中列举了LD发生的3个要因，第三要因为：家族性因素，尤其是阅读障碍。数学障碍儿童的应用题障碍主要是读不懂题目，若有人给他们读一遍题目他们就能做出来。
脑发育迟缓或局限性的右大脑半球的障碍主要表现为数学障碍。计算障碍被认为有可能与脑的未成熟（髓鞘化的延迟）有关。随着年龄的增大，大脑不断的成熟，症状会有所改善。另外，局限于右大脑半球的障碍临床上表现为以非语言性LD为主要症状，被称为右脑半球综合征[5]。人的右脑半球主要集中计算、逻辑思维、空间方位功能，语言功能主要是在左脑半球。而双侧大脑分化失常症会影响小学生数学学习，产生数学障碍。同时也附带发生情绪和行为上的障碍。
3.2.2社会环境
小学生的是非分辩能力有限，其社会性正处于形成阶段。目前社会上一些不良风气、媒体宣传、周围一些人群低级庸俗的生活方式的感染，及拜金主义、享乐主义等人生观极易对小学生的心理健康产生潜移默化的影响。从目前存在的懒惰、自控能力差、说谎、焦虑等心理障碍来看，其原因与社会的一些不良风气有直接关系。
3.2.3家庭因素
家庭背景的差异，主要包括：是否是不完整家庭、父母的文化知识水平、父母对孩子数学学习的重视程度等。如果学生身处一个不完整家庭，首先在自身身心上就不完整，对学习失去信心与兴趣，同时也不能有父母经常性的有效的帮助与监督，日积月累，很容易形成学习障碍。同样，父母的文化知识水平对学生学习障碍的形成也能起到至关重要的作用，比较城镇孩子与农村孩子，城镇孩子的各种学习能力要明显优于农村孩子，这很大一部分原因是城镇孩子的家长一般有较高的文化知识水平，他们一方面用自己的文化知识影响着孩子，另一方面能够开展更优的家庭教育，弥补学校教育的不足。
3.2.4学校环境
学校的校风、班风、教学内容、课外教育活动等，特别是老师本人的性格和作风对小学生心理健康的形成也起着直接或间接的影响作用。  教师在学校教学中起主导作用，是良好学校环境形成的主要责任承担者，而目前数学教学中存在的问题主要有以下两个方面。
3.2.4.1教师以教为主，对学生学力缺乏关注
教师是知识的拥有者，把学生当成知识的容器。不管学生有多大差异，每天教师所灌输的知识学生必须全部掌握，所灌知识量的大小及灌输方式都必须接受。天长日久，学生接受不了的知识就成为他们学习数学的障碍，即产生认知障碍。首先，学生“知觉、思维与记忆”能力的发展是不均衡的，教师应当针对不同学生的个体特点进行辅导和教学；其次，小学生的数学思维是由感觉动作的思维到具体形象的思维，再到抽象的思维的过程。其能力基础是小学生实际生活中的具体操作的经验。所以有经验的教师能够根据学生的特点，从具体的实物入手，逐步导入到生动的图形，最后才上升到抽象的符号。否则，如果不把抽象概念与学生生活实际相联系，势必很难达到预期教学效果。事实上，教师的教不得法必然会导致部分学生学习上的不适应。
3.2.4.2师生缺少沟通，对学生情感缺乏理解
在数学教学中，有些教师缺乏对学生情感的投入。讲课传授知识和考试是传统教学的两个核心要素。教师对学生缺少信任，缺少爱的表示。课堂上总会看到学生由于回答不出教师所提出的问题而受到严厉批评的场面。很少有教师对回答不出问题的学生说“你试试看，你一定会答上来的”，或“错也没关系”等鼓励的语句。慢慢地使学生由不喜欢数学教师发展到对数学学科淡漠，出现情绪障碍。师生缺少沟通，产生不了互动的正面效益。一方面，教师不了解学生的实际情况，根据主观想象制定学习目标，以致目标太高，学生无法达到。另一方面，学生不了解教师所要达到的目标，因此双方产生不了碰撞，引不起互动，在情感上更缺乏沟通。大多数数学教师对数学有兴趣，从小学一年级直到大专或大学毕业，连续学习数学达14年以上。他们很难体会在数学学习中有障碍的感受。尤其是小学六年级数学教师，经过一两个小循环，就可把小学数学内容概括起来。由此得到小学数学课并不难的结论。而学生们，从小学一年级直到六年级，越学越感觉到数学学科的难度。在这种情况下，师生之间在情感上是很难沟通的。由于师生双方缺少沟通，因此学生在数学学习中产生障碍。
3.3环境和身心交互影响[3]
Ivan和Nirbhay（1992）特别强调了感觉统合能力是区别障碍儿童和正常儿童的关键因素。感觉统合是个体对外界感觉刺激输入时的组织运用能力。这种运用能力包括了身体知觉、外在环境知觉、适应性反应、学习历程，或某些神经功能的发展，他们还指出前庭觉、本体觉、感觉刺激对行为发展的重要性。但即使“采用心理学的科学方法研究教育问题，如果舍问题的内在心理历程于不顾，只从问题表象去分析研究，再严密的方法也不能了解问题症结所在，自然更难达到解决问题的目的”[7]。学习障碍儿童的学习心理历程如图2所示：
其中最上层的想象力，注意力，记忆力，概念形成，知觉力为基本心理历程内在层次的功能。它们必须与其次的感觉统合，视觉协调与学习能力交互作用，才能激发动机、发展学习技能（如听、说、读、写、算）或介入特殊训练。学习障碍小学生对从外界摄取的各种感觉不能完整有效地统合，导致个体与环境的平衡失调及注意力发展障碍，在思维过程中所使用的认知和元认知策略不如正常小学生，学习动机水平低下,出现明显的畏学、厌学情绪和行为。他们往往倾向与消极归因，把学习障碍归因与外部的、不可控的、不稳定的因素，归之于自己无

  




基本心理历程

图2  基本心理历程及学习技能流程图

能为力，如学习条件不好，教师教学水平低下、学习难度太大等，从而导致自尊水平低下，自我概念消极，学习兴趣缺乏及习得性无助感的产生。
4 小学生数学学习障碍的教育对策
4.1矫治原则
为了强化学生参与意识，提高师生互动的正面效益，在教学过程中对于有数学学习障碍的学生的矫治须遵循以下原则：
4.1.1在教学中加强师生间的充分沟通
所谓充分沟通指的是认知领域和情感领域两个方面。从认知领域来讲，指的是反馈矫治，即在数学教学中，教师要随时了解学生的情况，根据具体情况给予指导；使学生能参与到教学中来，领会教师所传授的知识，并使其能力有所提高。从情感领域上看，是指师生双方感情的交流。数学课有其特殊性，它不像语文课、外语课那样，师生可通过语言文字交流各自的体会；也不像化学、物理课那样，师生可通过实物或实验进行交流。数学学科需要十分抽象的思考。随着数学知识的增多和加深，数学学科好像离生活越来越远。因此，教师在数学教学中就更应该注意情感的投入。师生之间只有充分的沟通，才能提高师生互动的正面效益。因此，教师在数学教学中要做到“三解”：一是了解学生的原有认知结构和认知过程；二是对学生在数学学习过程中的个体劳动的差异给予充分理解；三是对学习速度较慢或暂时没有掌握所学内容的学生要给予谅解。只有充分了解、理解、谅解了学生，才能知道怎样培养学生的参与意识，同时提高师生互动效益。
4.1.2在教学中必须承认学生的差异性
学生的心理能力决定了其数学学习成绩的好坏及数学能力的发展。心理能力就其发生和发展来看，既服从于一定的共同规律，又表现出人与人之间的个性差异。因此，在数学教学中，教师必须承认这一差异，了解差异，并因材施教，才能强化每个学生的参与意识，使学生不断提高参与教学的能力，提高师生互动的正面效益。
数学之所以成为“老大难”学科，主要原因是由于学生之间的学习成绩和学习速度存在很大差异。成绩好的学生常常一次能前进很多，成绩差的学生则需要以较小的步子前进，且需要经常的复习。这种学习上的差异，随着学生学习数学学科时间的增长会更加明显。因此，数学教学的任务并不是要经过几年的教学，使每个学生的数学成绩都达到优秀水平，这是根本不可能的。数学教师的任务是在承认学生存在差异的情况下，因材施教，使每个学生在个人原有基础上发挥出最大潜力，学到一定的数学知识，达到一定的标准，并提高各方面的能力。
4.2从教学要素出发，提出相应的教育对策
教与学这一相互作用的过程是一个系统的过程，对数学障碍学生我们只有从整体和系统的角度出发充分协调、调动系统中的各个要素，把各个要素有机的统一起来更全面的为数学障碍学生服务，才能取得良好的矫治效果。正如格式塔心理学派的著名论断：“整体不等于各部分之和,而大于各部分之和”。
4.2.1教师主导，变被动为主动
首先要解决由于教师方面的问题而产生的数学学习障碍，我认为不能再把学生当作盛知识的容器，必须把学生当成和教师“平等的人”，并且教师不能再守株待兔，等待学生来向其说明什么而是变被动为主动运用一些方法、手段到学生中间去了解、发现学生需要什么。但是小学生的心理一般先入为主的认为自己和老师是不能平等对话的。老师是高高在上的。所以，老师必须通过一些手段让学生能够和自己对话，敞开心扉的和自己交流，以激发和强化学生参与数学教学的意识，并参与具体的这种方法，从而提高学生的参与意识和能力。在此，我推荐梁威的“数学学习反思卡”[4]。


数学学习反思卡
反思者（学号）           记录时间    年    月    时
序号 认知领域 情感领域
1 ①在头脑中回忆今天老师讲了什么？②概述今天老师所讲述的内容：                  
                                                        当时你上课的情绪如何〔 〕：
很兴奋②很生气③很悲观④较平静⑤其它
为什么                                 
2 课上掌握情况：〔 〕①全会了②似懂不懂③多半不懂④一点都不会 当时你学习的感受〔 〕：①是一种享受②简直是受罪③平淡如水④没法表达
为什么                                    
3 ①那节课你没有掌握的内容是什么       ②你觉得没有掌握的原因何在呢？ 对你的数学老师说几句话：              
                                      
                           
4 一天中你学习数学的时间是   分钟，你的作业完成情况〔  〕：①很容易做完了，②不会做，没做，③全是抄的，④有不会做的，想等明天问过老师或同学后再做，⑤防止老师惩罚，找理由应付过去。                          
  


反思卡的内容按评价内容可分为认知领域和情感领域两大部分，按时间分为课上课下，并且给了学生一个自我反思和与教师交流的机会。反思卡设计成调查表形式，每周发给学生本周所需反思卡，学生每天填写一张，每周交一次。同时，通过反思卡使师生之间得到沟通，为提高师生在教学中互动的正面效益打下了基础。学生通过填写反思卡还懂得了自我评价，不同程度上克服了懒惰，使有些同学开始养成好的学习习惯。
4.2.2以“生”为本，因“障”施教
在数学教学中，由于器质性数学学习障碍主要是脑损伤或遗传性生理缺陷所致，补救起来较为困难。所以，我们强调以学习性数学学习障碍的治疗为重心。这是因为对教师来说其补救措施相对来讲比器质性数学学习障碍便于操作，补救效果也较好。那么对学习障碍学生教师可以扬长补短，积极探索各种教学策略和教学模式并利用记忆策略进行因障施教。对于认知性数学学习障碍学生教师可以利用行为主义的教学法以及计算机辅助教学（CAI）等手段，通过目标具体化操作程序激发动机、小步调调空、及时反馈，也可以借助认知学派和建构主义的认知策略建构学习来帮助数学障碍学生逐渐掌握学习目标。对于情绪性数学学习障碍的学生教师可以采用人本主义的合作教学法营造群体动力和轻松愉悦的学习氛围通过组内合作互助，共同分享解题的成败体验，使数学障碍学生能借助讨论、澄清等方式学习其他优秀学生的经验。教师也可以传授给数学障碍学生一些实用的复述策略如有效的运用记忆术、适当过度学习、合理进行复习、随意识记和有意识记、多种感官参与学习，划线技术等；及精细加工策略包括深度加工材料、记笔记、提问策略、生成性学习等；还有组织策略如列提纲、利用图形和利用表格等；学习管理策略有学习时间管理、学习努力和心境管里、学习环境管理、学习工具管理、利用其他人支持等[8]。
4.2.3充分发挥教学因素中的教学环境和教学媒体——设立资源班及资源教室[3]
当今时代，全纳教育已经成为特殊教育的大势所趋，为了给每一个有学习障碍的学生提供尽可能多的关怀和帮助，力求使每个学习障碍学生都能得到最大程度的补救，每个特殊学生的潜能得到最大程度的开发，在普通学校设立资源班和资源教室无疑具有重大现实意义和理论价值。
综合中国台湾和其他国家的做法如下：设有学习资源班的小学生在每年六月，学习障碍资源班教师都要向校内一年级班主任宣讲资源班招生对象，并请班主任观察疑似学习障碍学生实施各项测验，必要时，还要安排学生到医院做医学检查。由专门的特殊教育学生鉴定及就学
辅导委员会召开安置会议安置。实施就学辅导个别化教学计划生活适应的辅导亲职教育，经辅导后，一旦习障碍学生的学业成就达到普通班水平，就可随时回归普通班就读。
但资源班有可能会对小学生产生标签化的影响。为了消除这种跗面影响，设置资源教室成为当前补救特殊学习障碍学生最普遍的作法，资源教室有一个特性，就是学仍然以在普通班上课为主；绝大多数教学责任仍是在普通班教师身上。学生只有部分时间接受特殊教育，资源教室教师与该生原班级教师应当有足够的沟通时间。通常一个星期有半天的时间聚会讨论学生的学习进展。学生人数大约在十五至二十之间，不过还要考虑学生年龄、问题严重程度以及其他因素。酌减学生人数。每位学生平均一天大约花1.5小时至2小时在资源教室较为合适。如果学生不须要这么长的时间在资源教室，则他较适合留在普通班级，而资源教师只提供他一些辅助教材或接受普通班教师的咨询。如果学生需要多于3小时的特殊教育服务。那么自足式的特殊教育班级可能对他较合适。资源教室教师在小组研讨学生的教育安置时，应扮演积极角色，提供有关资料并为学生设计个别化教学计划，最后依计划书的实施定时对学习障碍学生进行评鉴。

参考文献：
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ljalang

开放数学教学过程，实现学生动态发展
厚街镇溪头小学  卢业武
内容提要：我校实现小学数学教学过程的开放，主要采取如下的的方法与措施：一、提供观察的机会，让学生在观察中感知；二、提供操作的机会，让学生在操作中探究；三、提供表达的机会，让学生充分展示思维过程；四、留给思考的时间，让学生积极动脑筋思考；五、开展合作学习，让学生在交往互动中学会学习。通过实施，学生学习的自主意识增强了，
关键词： 开放  数学  教学过程   实现   学生   动态发展

布鲁纳认为：“教学过程就是在教师引导下学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的过程。教学论认为：教学过程既是一种特殊的认识过程，又是一个促进学生全面发展的过程，它是认识与发展相统一的活动过程。小学数学教学过程是师生双方在小学数学教学目的指引下，以小学数学教材为中介，教师组织和引导学生主动掌握数学知识、发展数学能力、形成良好个性心理品质的认识与发展相统一的活动过程。它是一个以教学目的、教师、学生、教材和教学方法构成小学数学教学过程的五大主要组成部分。在这些组成部分中，教师、学生、教材是构成小学数学教学过程的主要成分，特别是教师和学生更是两个最活跃的基本要素，这两大要素对整个小学数学教学过程的构成及其效果具有决定性的作用。我校实现小学数学教学过程的开放的策略如下：
一、提供观察的机会，让学生在观察中感知。
观察学习不仅是对具体行为的简单模仿，还可以是从他人的行为中获得一定的行为规则和原理（即抽象性观察学习），或者把各种示范行为的不同特征组合成新的行为（即创造性观察学习）。观察是思维的“眼睛”，是学生认识事物的“窗口”。观察是一切智力活动的开始，它是获取感性知识，启发各种思维活动不可缺少的因素。数学上的观察是指对形和数的特点进行直觉上的认识，而不是简单的重复问题。它为解题提供可靠的线索，确定正确的解题方向。
①观察条件间的共性
条件间的共性，往往表现题目中某种规律性的东西，它常常给我们解决未知问题提供可靠的线索。
如第二册一道题：看每行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。2，10，18，——、——、——；85，80，75，——、——、——。只要引导学生能观察到每行中相邻两数的差都一样的共同点，学生通过归纳和想象，不难猜想出应该填什么数。
②观察条件间的差异
条件间的差异，往往表现出对要解决的问题所起的不同作用，它能帮助我们更好地理解条件的真正含义。如，应用题：
a、溪头小学合唱队有60人，比舞蹈队的人数的2倍多6人，舞蹈队有多少人？
b、溪头小学舞蹈队有60人，合唱队的人数比舞蹈队的2倍多6人，合唱队有多少人？
两道应用题中，题a已知比较量“合唱队的人数”，求标准量“舞蹈队的人数”，列式是：“（60－6）÷2”；而题b已知标准量“舞蹈队的人数”，求比较量“合唱队的人数”，列式是：“60×2＋6”。由于条件间的差异，往往表现出对要解决的问题所起的作用不同。
③观察已知和未知之间的联系
同一道题目中，已知和未知之间总有直接或间接的联系，解题的目的在于不断发现和提示这种关系，然后根据这种关系，才可能去探索未知。
如第五册一道应用题：一个班有48人，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，问做完语文、数学作业的有多少人？这是一道小学生不常见的集合问题。容易发现，37人、42人都是48人中的一部分，它与我们要求的未知人数之间有什么内在联系呢？让学生回答一下，37人加42人为什么会大于48人呢？显然，是因为有的学生同时完成了语文、数学作业而被算作两次的原因，答案是学生容易回答的。假如结合图形（集合图）启发学生发现已知和未知之间的联系就更直观更清楚了。
④要注意发现隐含条件
发现题目中的隐含条件是很重要的，忽略了隐含条件，常常给解题带来很多困难和失误。任何一道数学题都不可能将所有的条件都显示出来。发现题目中的隐含条件有时是很困难的，可能是题目本身有意加大难度，也可能是我们对数学中一些基本概念还没有深刻的了解。
如第四册一道应用题：有一个池塘，每边种6棵树。四边一共种多少棵树？这是一道看起来十分容易的问题。粗心的学生很容易说是24棵树，看图数一数，实际是20棵树，错在什么地方呢？主要是学生不了解在四边形上栽树的特点，因而忽略了一个重要的隐含条件：四边形每一边都应该少算一棵树。
⑤改变不同的观察角度
不同的观察角度，反映条件之间的不同联系。一个恰当的观察角度，常常使我们一眼就能看到条件之间的联系，从而很快找到解题捷径。经常改变观察角度，能使我们全面掌握条件之间的联系，容易发现解题捷径。
例如,罗教师在教“长方体表面积计算”时，他习惯性地提出一道试题：“一个正方体表面积是24平方厘米，把它平均分割成8个小正方形，求每个小正方体的表面积。”几分钟后大部分学生列出了24÷6÷4×6和24×××6两种教师备课中已经设定了的标准算式。这位教师肯定了学生的正确答案，但一个学生却提出：“老师，可以是24×吗?因为小正方体每个面积就是大正方体的面积的，所以我认为我的算式是正确的……”罗教师很快发现这显然是一个更“直觉”的思维方法。罗老师在上课时特别地肯定了那位学生的解题方式，那位学生也很受鼓舞，后来对数学表现出极大的兴趣。
又如,第八册一道题：有1、2、3、4四张数学卡片，每次取两张组成两位数，其中是偶数的有多少？这是一道小学生很少见的排列问题。要是将所有两位数都写出来，从其中找出偶数，这要花很多时间，而且容易漏写，这一观察方法显然不可取。要是从偶数的特征考虑，将2、4分别作个位数，再分别写出十位数，这是常规办法。但是，在数学卡片较多的情况下，仍然要花很多的时间。假如考虑到2作个位数，剩下的三个数都可以作为十位数，就有三个偶数。4作个位数，同样有三个偶数。因此，不需动笔就可以说出偶数的个数。
二、提供操作的机会，让学生在操作中探究。
陶行知先生说：“人生两件宝，双手和大脑。” 这就是提倡学生在学习中要手脑并用。儿童心理学研究表明，小学生的思维发展是一个由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维转变的过程，小学生的思维仍然是以具体形象思维为主，而他们的抽象逻辑思维需要在直观教具、学具的支持下才能完成。加强实际操作教学，通过生动形象的感性材料和师生的语言描述，使学生的学习从感觉表象到达思维，是符合小学生的心理特点的。在课堂教学中，我们要充分解放学生的双手和大脑。因此，教师要给学生提供动手操作的机会，建立起以学生为主体，以学生主动参与、积极探索为核心的自主探究型教学模式，促进学生智力的发展，优化课堂教学，达到知识与能力的和谐统一发展。
①动手操作，使学生对“探索”产生浓厚的兴趣。
“兴趣是最好的老师。” 兴趣是学生内心深处的希望之火，只有点亮这一火种，学生才有学习的迫切需要，就有一种力求认识，探索事物的心理倾向，产生一种寻求知识，探索真理的精神力量，甚至达到乐此不疲，废寝忘食的地步。我在教学中，正是利用这种心理，恰当地进行动手操作，激发学生的兴趣，使他们与探索事物的规律结下不解之缘。
例如，教学求“相差数”的看图列式时，邓老师先引导学生摆 10 个△，然后在△下面一一对应 6 个○，问：哪一行摆得多？第一行里的△哪部分和○同样多？用小棒把△分成两部分，同样多的是几个？哪部分是△比○多的？启发学生想△比○多，△可以分成哪两部分？再把△和○比一比，△比○多几个？怎样列式？为什么？通过边摆边说，加深学生对“求相差数”列式的理解。本来枯燥的数学内容，在学生的动手操作中变的兴趣盎然，学生学习的积极性很高。
    又如，在教学“求一个数比另一个数多几的应用题”时，王老师首先让学生按要求摆小兔图片，然后设计 3 个问题让学生回答：①白兔和黑兔比，白兔多还是黑兔多？②白兔可分成哪两部分？③要求白兔比黑兔多几只？怎么办？用什么方法计算？怎样列式？学生回答问题的过程就是学生有条理的分析过程，就是应用减法意义解答的过程，经过组织语言，学生能说出：白兔多，黑兔少，白兔可分成两部分，一部分是与黑兔同样多的 7 只，另一部分是比黑兔多的，从 12 只白兔中拿出跟黑兔同样多的只数，得数就是白兔比黑兔多的只数，所以用减法计算，这样，学生就会把过程用一段完整的话表达出来，可见，学具操作强化了应用题的数量关系，又促进了思维及语言的发展，培养了学生的理解能力。为分析复杂应用题打下良好基础。
②动手操作，扫除学生的思维障碍，使学生顺利地进行学习。
著名数学家波利亚所说：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。” 学生的学习是问题的不断产生与逐步解决的过程。在这解决问题的过程中，学生的探索学习受到阻碍，受学生思维特点的限制，学生通过动手操作将抽象的思维转化成具体形象思维，从而得到问题的解决。这样，动手操作成了学生解决疑难问题的手段。
a、动手操作，突破学生的思维定势。
迁移是指学生已有的知识水平与技能对学习新知识、技能的影响。正迁移对新知识的获得有积极的促进作用，给学生的学习带来事半功倍的效果。但是，在知识的迁移过程中，也引来了一些负面效应，我们称它为负迁移，严重阻碍着学生的思维，形成思维定势。在教学中，我让学生动手操作，来扫除思维定势的障碍，达到使学生顺利进行学习的目的。
例如：我在教学“小数点位置的移动引起小数大小的变化”时，在处理教材中发现这一内容即是单元的重点也是本册教材的难点。重点可以理解，但是这么明显的知识，学生怎么会难以接受呢？我在对教材的反复分析中得出：这里存在着一个学生思维上的障碍：本单元，学生初步接触小数，书本上明确指出像0.3、0.75、4.352、1.45……表示十分之几，百分之几，千分之几……的数叫做小数，又说明小数有小数点、整数部分，小数部分。已经把小数的形式筐得死死的，再加上前一课时正在讨论小数的性质（小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变）。拿学生来说，刚刚还说大小不变，这里怎么说起小数大小的变化了呢？在学生心里：至少有这么一些疑问没有解决：小数点能移动吗？怎么移？移动以后会出现什么情况？如不能很好地解决这些问题，学生学习新课是有难度的。为此，我让每个学生都做了一个小圆点来代表小数点，利用学生的操作，进行分层教学。第一层操作，解决：小数点能移吗？怎么移？移动以后的数是多少。（每移一次，齐声读一读）例如：把3的小数点向右移一位、二位、三位，得到：3、30、300，分别把它们读出来。再向左移得到0.3、0.03、0.003，第二层操作，体会小数点位子移动后，小数已发生了大小的变化。得出向右移是扩大，向左移是缩小。第三层操作，才从操作中体会变化的规律。这样做，就消除了学生的思维障碍，为进一步学习扫清了道路。
b、动手操作，可以分散重点，突破难点。
个体心理学研究表明：“小学生的思维从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然有很大成份的具体形象性。”这就说明，学生比较容易理解和掌握具体的、直观的东西，而对于抽象的知识的掌握有一定的难度，要解决这一矛盾，就需要教师多采用直观教学手段，化抽象为具体，化难为易，才能把抽象的知识展现在学生面前，通俗易学。
例如：在教学圆锥体的体积时，要得到体积公式 V锥=∏r2.h，这一关系。假如只是用来计算圆锥的体积，那么，学生看到这个公式，也能够计算了。但要理解：“圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍。”那可就太难了。在综合练习中，不是漏掉等底等高，就是漏掉3倍，这是怎么回事呢？关键是学生对这一求体积公式的推导过程了解不深，导致概念模糊，思维混乱。我在教学圆锥体积公式时：充分利用动手操作的优点，使学生亲身体验知识的形成过程。让学生分组进行操作，每组准备一盆水，一个圆柱体容器：A，两个圆锥体容器（其中一个与圆柱体等底等高B，另一个非常小C，可以夸张一下[很小]）。第一步，用B圆锥体装满水往圆柱A中倒，发现了什么？每一组都得到圆柱的体积是圆锥的3倍，也就是圆锥的体积都是圆柱的三分之一  。那么，是不是所有的圆锥都是圆柱体积的三分之一呢？立刻用圆锥C来验证。结果发现不是所有圆锥都是圆柱体积的三分之一。于是进一步讨论：那么圆柱A与圆锥B有什么关系呢？通过比一比、量一量等，得出：圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。再通过及时巩固，学生对这一概念理解透彻，掌握牢固。正如著名数学家波利亚所说：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”
③动手操作，促使学生主动探索，发现规律。
“实践出真知。”的确，人类掌握的科学文化知识，都是在实践中摸索出来的，而教师引导学生掌握知识的过程，是要把人类的认识成果转化为个体认识的过程，与科学家的认识过程不同，他是一种再生产知识的过程。在教学中，为学生创设情境，让他们摆一摆，弄一弄，使他们自己发现知识，掌握规律，对学生来说，也是一种发现，一种创新。更重要的是培养了学生在探索中去了解未知世界，提高了学生获取知识的能力。
例如：在教学长方体的体积时：我要求四位 同学合作，用32个棱长1厘米的方木块摆成长方体，所摆成的长方体有什么相同的地方？学生很容易想到体积相等，即都包含着32个这样的体积单位。那么，不同在什么地方呢？（形状）也有学生直接概括成长、宽、高是不同的。至此，只要抓住矛盾的焦点，进一步探索这个长方体的长、宽、高与这个长方体的体积32立方厘米有什么关系。通过多次的操作，无论是从下往上一层一层的计算，还是从前往后一排一排的计算，大家发现：长、宽、高的乘积总是32，从而得出长方体的体积公式。有同学提出：长×高×宽，也可以计算长方体的体积，只是考虑时由前往后一排一排进行计算而已。从这里我们可以看出，学生对知识学的主动，学的灵活。在此，学生的聪明才智得到了充分发挥。
④动手操作，帮助学生分析理解，培养初步的创新能力。
通过动手操作，促使学生用多种感官参与到学习中，能从多渠道促进知识内化，大大提高了教学质量和效率。
如在教学《圆柱体积计算公式》时，我先带领学生复习了圆面积计算公式，并说出它的推导过程，并指出本节课我们还是采用“拼割”的方法来共同探讨圆柱的体积如何计算，让学生试着猜想：圆柱最可能拼割成哪种已学过的立体图形？如何拼割？学生通过独立操作学具，然后在小组中互相演示操作方法，口述图形的变化，并说明图形在形状、底面积、高、体积等方面在变形前后有什么内在联系，学生非常容易地推导出圆柱体积公式，还有的学生轻而易举地说出增加的表面积就是长方体左右两面的面积，也就是圆柱体底面半径与高乘积的2倍，学生思维的火花自然而然的爆发出来。这次的操作是知识的深化，并提高了学生抽象思维的能力。通过操作，在图形转化的过程中，学生一步步拾级而上，进一步培养学生的空间观念，渗透知识间的互相“转化”的思想。
有人说：“儿童的智慧集中在手指尖上。”这种说法是很有道理的，作为素质教育的主阵地的课堂教学，应该为儿童创造更多的机会，让学生在“动手操作”中，主动探索、发现知识，掌握知识。这不仅能在轻松愉快的环境中获取知识信息，更重要的是培养了学生主动探索未知世界的能力，为学生的进一步发展创造了条件。
三、提供表达的机会，让学生充分展示思维过程。
小学数学教学的重要任务之一就是培养学生的思维能力，而重视学生“说”的训练，是发展思维、培养能力的重要手段。那么，如何提供表达的机会，让学生充分展示思维过程呢？即在教学中如何训练学生的“说”呢？我校教师的做法可归纳为如下八种方式进行训练：
①举例子，说概念
进行“举例子，说概念”这种训练，不仅能使学生对数学概念的意义理解深刻，而且能使学生学会有根有据地思考问题。
如，当学生回答了“公约数只有1的两个数叫做互质数”时，教师就跟着问：“你能举出几个不同的例子说明吗？”引导学生说出“像1和2、2和3、3和5、4和9”等。又如，学生在学习“能被3整除的数的特征”时，发现与前面学到的“能被2（或5）整除的数的特征”有不同的地方，这时可以启发学生说清楚有什么不同，为什么不同。从而可以进一步分清二者之间的联系和区别，避免思维的误区。
②读题目，说题意
学生在读了文字题、应用题之后，根据教师的引导要求，用自己的话，简单明了、准确地复述题意。一般包括：a、题中讲的是什么？b、已知条件是什么？c、要求的问题是什么？这种训练，既可看出学生对题目的理解程度，又可以培养学生认真读题、审题的学习习惯。
如：“有5朵黄花，红花比黄花多3朵。红花有多少朵？”读了应用题之后，说说：a、题目讲了几种花？b哪种花与哪种花比？哪种花多？哪种花少？c、你是从哪一个条件中知道的？d、题目告诉了哪种花的朵数？f、题目中要求什么花的朵数？
又如，在讲复合应用题“学校举行歌咏比赛，三年级参加24人，比四年级少16人，五年级参加的比三、四年级的总数多5人，五年级参加多少人?”时，读了应用题之后，说说：(1)题目中直接告诉我们哪个年级的人数?(2)要求的是哪个年级的人数?它与谁有关系?(3)题目中关键是先求出哪个年级的人数?求四年级人数时容易犯什么错误?然后根据题目要求让全体学生说，先说给同桌听，并互相纠正语言中的毛病，再说给全班同学听，并要求学生用语言表达时要有条理、说清楚，这样大家的积极性很高，收到了良好的教学效果。特别是在说到求四年级人数易犯哪些错误时，我又提出：遇到类似“比四年级少16人”这样的语句叙述时，应如何理解才不可避免错误?学生的积极性更高了，大家都能说出：首先要弄清谁比四年级少16人，四年级比三年级人数怎样，待问题解决后，我又提出一个问题让学生课下思考：根据这个题目的条件，还可以提出哪些问题，怎样解答?用这样的方法来拓宽学生思路，达到举一反三的目的。
③看图形，说图意
要求学生根据图形所表示的数量关系或图形所反映出的特征，用准确的语言讲出所要提示的实际意义。例如，教学“长方体和正方体的认识”，在观察测量实物之后，引导学生说出它们的特征。
④读算式，说顺序
如，“40.2－40.2÷8＋2”读作“______________”,要先算（     ）法，再算（     ）法，最后算（      ）法；又如，“4×【（3.2＋4.06）÷6.05】” 读作“______________”，要先算（    ）法，再算（    ）法，最后算（   ）法。这样读和说，使学生既分清了运算顺序，又训练了数学术语的表达，还为理解文字题的数量关系、正确列式打下了基础。
⑤讲过程，说算理
在学生做完题后，教师让学生用简洁、流利的语言把计算过程、计算道理或分析应用题的思路叙述出来。
例如：我在教学归一应用题时，有这么一题：建校劳动，小明3次搬砖45块，那么他4次搬砖多少块？我让同学们动手画一下线段图或写出数量关系，再列式解答。大部分同学用算式45÷3×4来计算，但是有同学举手表示：用算式45+45÷3来计算也可以，我忙问这是什么道理，他说：“求4次搬砖多少块就是3次搬的加上一次搬的，合起来就是4次搬的砖块数。”我一听，连忙把问题改成5次搬砖多少块？他说：“这简单，只要用45+45÷3×（5－3）来计算，表示3次搬的加上2次搬的就是要求的5次搬多少块砖。”可能是受他的启发，又有同学说：“5次搬砖多少块，还能这样做：45×2－45÷3，表示6次搬的减去一次搬的，就是5次搬的砖块数。”这难道不是一种创新吗？
⑥比较算法，说异同
如，在做简便计算的练习题24×25。学生有不同的做法：
①24×25＝6×（4×25）＝600；      ②24×25＝12×（2×25）＝600；
③（24×5）×（25÷5）＝600；      ④24×25＝（30－6）×25＝600。
在学生做完后，引导学生进行算法、思路比较，说说繁简。同时，引导学生说说是怎么想的，通过思考、说练、判断、比较，学生所学习的不仅是一个题目的解答方法，而是这一种类型题目的计算原理。
⑦动手操作，说结论
在数学中，根据教材的内容特点，精心组织操作活动，让学生动手操作，然后用自己的语言表达出来，这样把知识的获得过程与培养语言表达能力有机地结合起来。
如，在教学“长方体体积的计算”时，我设计了如下操作活动：要求学生将24个正方体木块(各表示1立方厘米)摆成形状不同的长方体，边操作边说出所摆长方体的长、宽、高各是多少。教师分别板书出来后，引导学生观察长、宽、高与体积的关系，并比较算式和相应的形体，发现长方体所占的体积单位数正好等于长、宽、高的乘积，并让学生完整地叙述出来。这样边操作、边说结论，也培养了学生初步的逻辑推理能力。
⑧观察实验，说规律
如，实验推导圆锥的体积公式时，让学生边看边实验、边思考边说规律：
a、圆锥容器里装满水，倒入等底等高的空圆柱内，水占圆柱容器的多少？b、这样要倒水几次，才能装满圆柱容器？
c、反过来倒，圆柱容器里的水倒入等底等高的空圆锥容器里，几次才能把圆柱容器里的水倒空？，
d、这个实验说明圆锥与等底等高的圆柱体体积之间有什么关系？
学生通过观察实验，说出：圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。
四、留给思考的时间，让学生积极动脑筋思考。
学生是否主动体验探究最显著的特点是，课堂上学生活动的表现，即学生有意义的活动的时间和空间是否充足。因此，教师要千方百计引导学生积极参与教学过程。如：给学生一个时间，让他们自己去安排；给学生一个问题，让他们自己找答案；给学生一个困难，让他们自己去解决；给学生一个冲突，让他们自己去讨论;给学生一个题目，让他们自己去创造。
那天，是一节复习课上，我出示了这样一道题目：蓝天电脑公司新进了一批电脑，“联想”电脑80本，“神州”电脑的台数是“联想”的，“清华同方” 电脑的台数和“联想”与“神州”的总台数一样多，求“清华同方”电脑比“联想”电脑多多少台？
题目虽然很长，但马上就有一个学生举手回答：“算式是：80×+80-80，并且给出了他的解题的思路：因为“联想”电脑有80本，“神州”电脑的台数是“联想”电脑的，80×就是“神州” 电脑的台数。因为“清华同方”电脑的台数和“联想”与“神州”的总台数一样多，80×+80是“联想”与“神州”的总台数，也就是“清华同方”电脑的台数，求“清华同方”电脑比“联想”电脑多多少台？用“清华同方”电脑的台数减去“联想”电脑的台数就可以了。
我心中暗自为学生叫好，这么快就把解题的思路想好了，下面的学生也露出了钦佩的神情。
“老师，我列的算式是：80×（1+）-80，因为‘清华同方’电脑的台数可以看成是‘神州’电脑台数的（1+）”
这不是我自己要讲的第二种方法吗？我对学生的理解程度感到很满意。
这时，角落里的一只手举了起来，那是一个在平时经常会有一些奇怪的想法，但有时是“瞎掰”的学生，“80×……”
“不可能这样简单。”“这肯定是错的，结果相同只是巧合吧。” ……,没等他说完，很多同学都对他的解法表示了怀疑。
这个学生会不会又是在“瞎掰”呢？“你再考虑考虑，这个到底对不对呀。”由于自己有了前面的想法，这样的话就从我的口中流露出来了。这个学生经我这么一说，抓着自己的头发，脸上也出现了一时的迷茫。
课后，去问这位学生，这位同学阐述了这样的理由：根据数量关系可以知道“清华同方”比“联想”多的数量=“清华同方”的数量－“联想”的数量，而“清华同方”的数量=“神州”的数量+“联想”的数量。所以，“清华同方”比“联想”多的数量就等于“神州”的数量。因此，只要求出“神州”电脑的数量，问题就解决了。可以列式成：80×=64（台）。
多么简单的算式，多么简单的思路呀，为什么当时没有给这位学生说下去的时间，为什么没有很好地引导这位学生把他的思路说出来呀。我们平时不是经常在说要给学生自由的时间，让学生做学习的主人吗？我们教育的对象是活生生的人，他们有自己的主观性和创造性。只要我们在教学中给学生充分的信任，那么学生自然就会放手去做、去想、去说、去议论，那么学生就会有所收获；只要我们为学生创设出一个能展示他们才能的时间和空间，学生的潜能就会被激发出来。
把时间留给学生，给他们创造的空间，那么，我们就会发现学生是多么的聪明和多么具有创造性。
五、开展合作学习，让学生在交往互动中学会学习。
随着人们对教育和学习内涵理解的不断深入，合作学习也越来越受到人们的重视。北京师范大学教育技术学院院长黄荣怀教授将“合作学习”定义为“学生以小组形式参与、为达到共同学习的目标、在一定的激励机制下使个人和他人学习的成果最大化而合作互助的一切相关行为。”同时指出，“合作学习是以学习者为中心，在合作学习过程中，教师不再是‘讲坛上的圣人’，而变成了学生身边的指导者，学生不再是‘各主沉浮’，而要通过积极互动的活动实现共赢的学习效果。”他认为，合作学习特别强调发挥学生的自主性和创造性，教学设计更应以学生的合作学习活动为中心，注重学生在活动中应用知识和体验知识，同时还应提供一定的学习资源和工具指导学生完成任务。通过合作学习，同学之间可以相互督促相互交流，通过督促，学习态度和学习动机能够得到端正，通过交流，人就会有一种归属感和存在感。教学是一种智慧的教育，知识是生命的滋润剂，而不是生命的最高追求。因此我们要从教育为生命的终身发展奠基的角度，来重新认识和诠释合作学习，全面地理解合作学习的目标，以人为本，以学生的发展为本，让合作学习凸显学生生命的活力。合作学习既是一个过程，又是一种状态，作为过程，它要求合作学习的价值取向要从关注知识到关注人；作为状态，它追求充满生命活力的教学和提高生命价值的教育本义。因此在数学教学中，我们要以更全面的观点来审视和组织合作学习，让合作学习折射出学生生命活力的光芒。
①生活切入，在情境中感悟合作
克鲁泡特金在《合作论》中说，生存竞争不是生物进化的唯一原因，合作互助也是进化的重要因素，是生物的本能，是一切生物包括人类在内的进化法则。由此可见，合作是一种生活方式，更是一种重要的生命过程。目前我国小学生大多数是独生子女，从小以自我为中心，普遍缺乏合作意识，要让学生主动合作，积极建构，首先要引导学生感悟生活，在日常生活情境中感悟合作的重要性和必要性，形成指向于合作的积极心理态势。
要让学生感悟生活，教师首先要从熟悉的日常生活中引导学生感悟、体验人与人之间合作互助的相互依存关系，认识到生活处处有合作；其次，教师在数学教学中要进行生活化的情境设计，让学生在“生活态”的情境中自主活动、充分感悟。
例如，在教学圆柱的认识一课时，为了让学生充分感悟合作的必要性，我组织了一次圆柱形产品的包装设计和推介活动，让学生将圆柱形学具当作“产品”，小组合作完成“产品”的设计包装，这一活动的开展不仅要求学生根据产品（圆柱）的特征裁剪包装纸，更需要各小组根据成员的特长进行分工，确定量、算、剪、画、贴以及“产品”介绍的最佳人选，只有充分发挥小组成员的智力强项，才能确保任务完成得既快又好。在设计、制作、介绍产品的过程中，每个学生的才能充分展示出来，结束后教师再让学生说一说：你们的设计采纳了组内成员的哪些意见？小组合作的设计包装与独自一人设计的相比，有什么优势？你还能举出生活中类似的例子吗？从而让学生举一反三，充分感悟。
学生合作中的灵动离不开主体的有效参与。在认识人的生活本质和参与创设的“生活态”情境中，学生充分认识到了人与人相互交往，相互合作的重要性和必要性，既创生了课程资源，又提高了学生主体参与合作的积极性和主动性，变“要我合作”为“我要合作”。
②科学组织，在训练中学会合作
合作学习的过程不仅仅是认知的过程，更是一个交往过程与审美过程。在合作学习过程中，不仅要求学生相互间实现信息与资源的互补与整合，而且需要学生学会交往、学会参与、学会倾听、学会尊重他人。因此，科学地组织和训练是有效开展合作学习的重要前提条件。
首先教师要根据学生的知识基础、学习能力、兴趣爱好、心理素质等方面的差异运用组间同质、组内异质的原则进行分组，充分利用人力资源，使成员之间具有互补性。组建的合作学习小组之间力求均衡，无明显差异便于开展公平竞争，通常每个小组以4-6人为宜，小组内设小组长、记录员、汇报员等各一名。其次要选拔和培养好小组长，督促组长积极主动地组织合作交流，使成员养成合作学习的良好习惯；指导组长对合作学习进行有序的安排和灵活地协调，保证合作交流的有效进行。第三要训练学生学会倾听，培养与训练学生“听”、“说”、“辩”的能力，使学生“能听”、“会说”、“善辩”。无论是听教师的提问，还是同学发言都要听完整，表达自己的想法要有理有据。当同学发言出现错误时，一定等其把话说完再用适当的方式指出不足；当别人提出与自己不同意见时要虚心接受，边听边修改自己的观点，同时听取别人意见不盲从，做到有选择接受。
学习小组的合理组建为合作学习搭建了科学的平台，组长的培养和基本合作技能的训练，既增强了学生的合作意见，同时又促进了学生合作能力的的提高，为合作学习的有效进行奠定了基础。
③把握时机，在交流中体验合作
合作的前提是个体对新知的自主探索，合作的核心则是对话交流。在数学教学中，无原则的一味合作，只会降低个体自主学习，自主探究的积极性。因此教师要善于把握合作学习的时机，让合作建立在学生个体“需要”的基础之上，只有学生经过独立思考，有了交流的需要，再开展合作学习才是有价值的、有成效的。
例如，在圆锥的体积公式教学时，我先用多媒体演示圆柱渐变成一个等底等高圆锥的过程，让学生说说什么变了，什么没变？初步直观感受一下圆锥体积和等底等高圆柱的关系，然后请学生猜一猜它们之间有没有关系，有什么关系？你能用什么方法来证明？当他们面露难色，欲求而不能时，教师适时让学生小组合作探究，学生趣味盎然地进入合作情境，开始了探索和讨论，在相互启发下，各小组相继想出了自己的办法，在此基础上，教师适时组织各小组进行交流。有的想出了用像皮泥做一个圆柱，再把圆柱改做成等底等高的圆锥，看能做几个的办法；有的则说：我们可以把等底等高的圆柱和圆锥分两次放到有水的玻璃缸中，看上升的水面是圆锥的几倍；有的说在圆锥筒里装沙再倒入圆柱筒；还有的甚至想出了称重量的方法……交流中，学生不仅自豪地讲解自己的方法，而且对别人的方法也进行着认真的补充：如当别的组刚说出称一称等底等高的圆柱和圆锥物体，看看重量是几倍的方法，马上有同学站起来说：这种方法不一定行，如果做圆柱和圆锥物体的材料不同呢？或者一个是空心的呢？甚至还有学生对称重量的方法也提出了自己的建议。
合作学习时机把握的关键就在于要处理好独立思考和合作交流的关系。一味地合作，不让学生有独立思考的空间，长期以往，会使学生思维的深刻性和创造性的发展受阻，不利于学生思维品质的发展。先独立思考再合作，有助于提高合作的有效互动，因为合作前每个学生看问题的方式和角度不同，经过独立思考，学生对问题的理解和解决有了自己的见解，于是他们在合作交流时才有话可说，才有助于把问题讨论深刻。同时也只有在学生经过独立思考，思维受阻或意见不统一，产生合作需要时，适时开展合作学习才能产生良好的合作学习效果，才能让学生体验到合作学习的魅力。
④精心设计，在参与中分享合作
数学知识的内容具有多样性，并非所有的知识学习都适宜用合作学习这种方式，同时合作也并非每堂课适宜，也不是一定在整堂课进行。因此教师要选择适宜合作学习的内容，认真设计合作学习的形式，适时捕捉合作学习的时机。让学生在其亲身经历的合作活动中自我体验，自我感悟、自我建构，分享合作给他们带来的愉悦。
虎门销烟池是虎门的标志和骄傲，历经100多年的沧桑，蕴藏着丰富的文化内涵。可小学生对她的了解却是很少的。于是我校王老师就设想把了解虎门销烟池当作开展合作学习的一个重要资源和内容。在学完几何形体的认识后，组织学生上了一次别开生面的数学综合实践课。他先让学生以合作小组为单位，在课前分别收集有关虎门销烟池的历史、建筑特点以及诗歌文学等资料，然后在课上组织各组进行交流，在交流中学生了解到城堡的结构和功能；了解到每块城砖上为什么都刻有文字；了解到为什么虎门销烟池却这么著名；了解到今人对虎门销烟池的赞美和讴歌……。学生没有想到身边的虎门销烟池是这么让他们惊奇和自豪。在学生欲罢不能时，教师提出：你们想不想量量销烟池，去亲自感受一下虎门销烟池的宏伟？各小组自己确定测量方法、测量工具和人员的分工。在测量长、宽时，有用测绳和卷尺，沿着虎门销烟池外围逐段逐段量的；有用步测法沿着虎门销烟池的长和宽走一遍，数出步数计算的；有先量出虎门销烟池外围人行走道一块路石的长度，再沿着长和宽的方向数出路石的个数计算的……在测量高时有先量出一块城砖的高度，再仰头数块数计算的；有在地面竖立竹竿，利用实物和影长的比值来计算的；有量台阶的高度，再乘以台阶个数计算的……在各组测出数据后，教师组织各小组进行测量方法和数据的交流，对各种不同测量方法的特点和测量中出现的问题进行讨论，让学生通过具体数据进一步感受虎门销烟池的恢弘。
在综合实践活动中，学生参与了合作的全过程，有小组内成员的协作，又有多组的合作交流。通过合作学生既掌握了数学上测量具体物体的方法，又在资料的收集和交流中实现了数学与多学科的交融和整合，使学生不仅学到知识，而且经历了一次文化的洗礼和熏陶。合作内容的精心选择和设计，让他们经历、体验、分享合作带来的快乐，是合作张扬了他们的个性和活力。
⑤适时激励，在评价中发展合作
由于受旧的传统教学观的影响，合作学习的评价存在着重结果轻过程，重知识轻情意和态度、价值观，《数学课程标准（实验稿）》在基本理念中明确指出：“对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”这充分体现了新课程“为了每个学生发展”的核心理念。美国课程理论家斯塔弗尔比姆认为：评价最主要的意图不是为了证明，而是为了改进，因此合作学习的评价应该是“发展式”评价，是多元评价。首先是评价主体的多元化。既可以是教师评学生，也可以是学生对合作同伴的评价。特别是在合作中当小组成员发出由衷赞叹时，那种激励作用是显而易见的；其次是评价内容要多元化，既要重视对合作学习绩效的评价，更要重视对合作中所表现出来的情意、价值观的评价，捕捉学生身上瞬息即逝的“闪光点”，以心灵拥抱心灵，以激情点燃激情。第三是评价对象的多元化，合作是一种集体的活动，因此合作学习的评价既要重视对不同方面表现突出的学生个体的激励，更要重视对合作集体的激励，让评价进一步凝聚和弘扬学生的合作精神，促进合作有效性的提高。通过对合作学习的多元评价，用激励和赏识点燃学生的生命火炬，唤醒学生心灵中潜在的自尊、自爱，在轻松、和谐自然的氛围中，促进学生的持续发展。

雅斯贝尔斯说：“教育是人的灵魂的教育，而非理智知识和认识的堆积。”教育是为了促进生命和谐自由地发展，而唯理智的教育丢掉了教育的另一半，忽视了生命是知情的统一。因此以往的更多是作为知识教学手段存在的合作学习，只有融入对学生生命发展的关注，融入教育者无私的爱，开放数学教学过程，实现学生动态发展，才是有效地教学，才能体现出学生生命的活力。

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让学生用心灵与数学“对话”
——小学数学思维能力课堂评价初探
上虞市城东小学      甘 霖        0575-82298228
【摘要】对学生思维能力的评价是促进学生发展、提高课堂教学质量的有效措施和保障机制，也是真正创设有效课堂教学的教学手段之一。本文基于“文本对话”的层面从三方面进行初步的探索：数学阅读能力的强弱快慢；数学思想方法的有效运用；数学表征能力的准确流畅。这三方面分别是课堂评价思维能力的起点、内核与外显。通过适时的课堂评价，培养学生的数学思维能力，让学生用心灵与数学“对话”。
【关键词】对话；数学思维能力；课堂评价
新课程带来的教学变革之一就是变讲课为对话，《数学课程标准》中指出，新课标理念下的数学教学，不再是教师一相情愿的“独白”，而是学生、数学文本、教师之间“对话”。在小学数学课堂中，师生、生生通过对话交流，双方敞开精神、彼此接纳，不同的思维碰出了火花、燃成火焰，富有活力和创见的想法不断得到激发。这里的对话，通常是指“人本对话”。但同时，学生与数学文本自身又可以直接对话，如果借用语文教学中的术语，那就是“文本对话”。它包括对数学文本的信息收集、理解、思考、抽象、归纳、表述等等众多过程。
从根本上讲，数学学习是学习者与数学“相遇”的过程，即数学与人“相遇”、并最终实现学习者创造性转化的过程。学习者与数学的“相遇”并非二者的“面对面”，而是精神的“对话”、心灵的“对话”。数学不是一种静止的、冷藏库式的知识，它本身是真实的、活动性的，其内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。与数学的直接“文本对话”，使数学由一种外在于人的、被动的“客体性存在”，转变为学习者的一种内在的、主动的“动姿化存在”，从而真正使数学的内容、思想、方法、语言成为与学习者心灵“对话”交流的重要对象。因而，学习者与数学的直接“文本对话”在新课程体系中显得尤为重要。
长期以来，师生对话、生生对话之类的“人本对话”，其课堂评价具体可见可闻，且易于操作，在对话中即能进行直接评价。但对于“文本对话”，即直接与数学本身所蕴含的信息对话，探寻的模式与可行的做法不多，探其根本，关键在与这种“对话”中如何评价学习者的数学思维能力。
现代教学论和评价论认为，有效的课堂教学其实是在一步步或明或隐、或大或小的评价活动基础上展开的。学生的数学思维能力，同样需要通过评价获得提升，这是促进学生发展、提高课堂教学质量的有效措施和保障机制，也是真正创设有效课堂教学的教学手段之一。笔者想通过一些案例和调查，初步探讨学生在与数学“文本对话”过程中思维水平的评价，抛砖引玉，或许能引起一些深层次的思考与探究。
一、数学阅读能力的强弱快慢——评价数学思维能力的起点
一直困扰学生成绩的“题没看清”、“理解错了”，很重要的原因之一是数学阅读能力差。在新课程实施过程中，教师过多地追求让学生从生活中感知数学，却忽视在语言文字中理解数学。“文本对话”的缺失造成一些学生数学阅读能力的低下，其实，数学阅读能力是学生数学思维能力的重要标志。
学生智力发展的诊断研究表明，学生的“数学语言”的特点及掌握数学术语的水平，是其智力发展和接受能力的重要指标。数学阅读能力弱的学生，课堂上对数学课程语言信息的敏感性差，思维转换慢，从而造成知识接受质差量少。理解问题时常发生困难和错误。因此，重视数学阅读，丰富数学语言系统，提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义。那么在数学课堂中，如何对学生的数学阅读能力进行有效的评价，从而促进其提高呢？
【案例一】
笔者在《相差关系》课堂教学中，有这样一个片段：
电脑出示右侧画面，让学生观察并收集数学信息：学生得出了“5个圆形、3个三角形”的观察结果。
让学生用学过的数学语言“谁比谁多几个”来说：学生给出了“三角形比圆形多3个、遮起来的有5个三角形”等结果。在此基础上，老师进一步追问“你是怎么知道的？”、“现在还可以提什么问题？”，学生通过思考就总结出了一道完整的数学问题“圆形有5个，三角形比圆形多3个，三角形有几个？”
接下来，老师进一步引导读懂文字表述的数学信息。
师：请大家自由朗读，说一说，这三句中你认为哪句话最重要，最难懂？
生：三角形比圆形多3个。
师：咱们一起来研究这句话，（齐读）你读懂了什么？（学生独立思考）谁和谁比？以谁为标准，谁多，谁少？和你同桌说说看，看他能听懂你的意思么？
生汇报：三角形和圆形在比较。三角形多，圆形少。这是以圆形为标准来说的。
师：你们读得很仔细，如果把这句话反过来说，以三角形为标准，怎么说明白呢？
生：圆形比三角形少3个。
师：是啊，同样是这样一幅图画，但由于我们语言顺序调换一下，话里的多和少也会发生变化。这说明数学语言是非常精确的，不能随便更改。除了摆图片和分析重点句，有没有其他的办法？（生思考）
师：咱们换一种办法来解决这个问题，用线段长短来表示。我画这么长的一段线来表示圆形的个数——5个，那么三角形的个数要画多长呢？
生：要比圆形长一点。
师：那么问题是什么，我们怎么表示呢？
生：在下面用？表示。
师：像这样用线段长短来表示的一种图，我们叫它线段图。从图中我们就可以很清楚的知道谁和谁比，谁多谁少，这就是数学带给我们的方便。
……
这是一堂一年级数学问题教学的初始课。随着数学问题从纯文字、标准格式变为更丰富生动、形式多样的表现形式，数学信息也愈发复杂多样。这就需要我们的学生具有良好的数学阅读能力，真正进行“文本对话”，不仅能对文字信息作出分析，而且对于符号、图形等也能很快地进行剖析和理解，这要求在平时的课堂教学中加强文字语言与符号语言、数与形的转换及读写结合的阅读训练，而课堂的适时评价恰恰就是这一训练的基石。
1、从评价学生解题技能转到评价数学阅读能力。
目前多样化的数学呈现方式中，情景可能是复杂的，数据需要取舍，解决模式可能不唯一，答案可以各不相同等等。这就需要在课堂评价中，淡化探求解题思路过程那一套形式化的“说法”，转而重视学生的数学信息的处理能力，让学生学会分辨哪些是有用的信息，同时让学生意识用符号、图形等数学语言有时可以简洁地表达数量关系。不仅仅追求“言必有据”，同时鼓励直觉、猜想、合情推理，允许学生个性化地学习和阅读。使数学文本对话成为激发学生探索未知、获得发展的动力，使数学阅读能力成为催动个体去寻求更多的发现、更多的创造、更好地生存的目标。
2、对学生数学阅读能力和最后的解题结果进行分别评价。
在课堂教学中，对学生解决数学问题的评价不能光看结果，而应该注重过程，尤其应该对题意的阅读理解和最后的计算结果分别进行评价。如在上述案例中，教师对学生能够正确表述出图画的意义予以了充分的肯定和表扬，即使当学生的回答出现一些问题时，也要准确地评价学生表现出来的闪光点，同时点出其中的不足，如：“你观察得很仔细，但是我要给你纠正个词儿……”“你看懂这题的意思了，很好，不过表达得还不是很清楚。”有时可引导学生互相作出评价：“这位同学用自己的话来解释这道题，大家明白了么？”从数学阅读能力入手评价，从而增强学生学习数学的自信心。
二、数学思想方法的有效运用——评价数学思维能力的内核
2006年12月，史宁中教授在澳门演讲时提出：要把数学教学中的“双基”发展为“四基”，即除了“基础知识”和“基本技能”之外，加上了“基本思想”和“基本活动经验”，新修订的《数学课程标准》也已经把“四基”纳入了课程总目标。由此可见，系统而有步骤地渗透数学思想方法成为数学课堂中的重要内容。
基本数学思想是数学思维能力的内核。数学思想方法的有效运用，也成为评价小学生数学思维能力的内核。数学思维能力包括很多内容，相应的数学思想方法也复杂多样，如排列组合、逻辑推理、等量代换、函数思考、概括抽象、假设法、化归法等等，基本数学思想是真正让学生用心灵与数学直接“对话”的桥梁，我们所要培养的学生就应该具有这些基本数学思想，并能用这些数学思想来思考和探索世界。

  

笔者曾做过一次有关二年级学生基本数学思想的调查。调查的重点是对材料的概括能力及跟概括直接有关系的可逆思考和函数思考能力。调查采用4种不同类型简单函数关系测试题组，都为20以内的加法算式，以竖排排列，同一类型为6组，每一组6题。其中甲组：第一加数相同，第二加数逐次增加1；乙组：第二加数相同，第一加数逐次减2；丙组：第一加数逐次减2，第二加数逐次加2；丁组：第一加数逐次加2，第二加数逐次减3。在测试中要求学生从中发现简单函数关系并用言语表述。

（其余三组测试题略）
在调查中发现：96%以上的小学二年级学生已经能够通过观察、计算、推理等方法独立发现每一组题中的函数关系，同时，80%左右的学生已经能够比较完整地表述函数规律。也就是说，小学二年级学生已经具备了基本的函数思考能力。
但是实验又发现：学生思考的速度存在着显著的差异；在发现函数规律的难易程度上，也存在着一定的差异，也就是说，学生在函数思考能力上表现出了显著的差异。这些差异既有教材原因，更有教学方法的原因。如何使学生对数学思想方法进行有效运用，又该如何将学生获得和运用数学思想方法成为课堂评价的目标之一呢？笔者认为，应注意以下几个方面：
1、评价学生数学思想方法力求具体化
数学思想方法是个抽象性的概念，而在教学过程中则可以通过具有一定情境的问题进行评价。例如上述的调查中，便通过典型题型来评价学生的函数思考能力。此外还可以评价学生能否在教师指导下，从日常生活中发现并提出有趣的数学问题；能否选择适当的方法解决问题；是否养成反思自己解决问题过程的习惯等等。教师可以根据学生的具体表现，给予定性和定量评价，尤其要注意用鼓励性的语言进行描述，使学生意识到数学思想方法的重要性。
2、关注学生数学思想方法的二次评价与延迟评价
学生在数学学习上存在差异，尤其是数学思想方法方面的差异更是明显，必然有一部分学生无法迅速有效地运用数学思想方法来解决问题，这时教师应该允许一部分学生经过一段时间的努力，逐步达到。如学生在课堂的回答出现了错误，教师应该予以其补充机会，或者在其他同学回答的基础上再次回答，再进行第二次评价。再如学生对自己的课堂作业不满意，可以提出申请，重新学习后再解答，教师重新进行评价。这种二次评价与延迟评价对于学习有困难的学生，能让他们真正体验到自己的变化、成长和进步，感受到成功的喜悦，从而激发新的学习动力。
关注学生与数学思想方法的“文本对话”，学生的创新意识将得到进一步增强，学生的数学思维能力将得到进一步发展，从而有效提高数学教学质量。
三、数学表征能力的流畅精确——评价数学思维能力的外显
在与数学的“文本对话”中，数学思维能力的最终外显是通过学生的表征能力，“表征”（representation）一词的意思是“再次呈现”，即思维能够以表征的方式再现我们的经历与体验。表征能力包含有语言成分，也有非语言成分。当完成某个数学思维过程后，其语言表征仅仅是可以表达出来的外部形式，此外还有不能以外部形式表现出来的非语言表征。在信息加工、贮存和提取的过程中，语言和非语言表征同样重要。
在课堂中评价学生的数学表征能力不能仅仅看学生的语言表征是否准确流畅，同时还应对其他非语言表征进行评价。如对于数学信息是否只是头脑里“登记”一下就了事的，有否对数学文本进行主动对话，有否主动性和积极性等等，教师的适时评价，能激发学生数学表征的积极性与主动性，从而获得其数学的“个人体验”与“对话”，最终升华为数学思维能力的提高。
【案例二】
这是笔者参加市探索课比武《找规律》一课的片段。在创设情景，激发兴趣后进入第二部分：引导探究，学习新知。
师：谁愿意把你的发现告诉大家？请你完整地响亮的表达你的想法，其他小朋友认真听，听完了再举手补充。
生1：斜着看，每一斜行的图形都是一样的。
师：是啊，你观察得很仔细。从右上角到左下角，每一斜行的图形都是一样的。
生2：横着看，把最前面一块移到最后，其余的图形都向前推一格。
师：为了表述得更清楚，让我们先来仔细观察第一行和第二行，拿第二行和第一行比，是怎么变化的呢？
生3：最前面一块移动到了最后，其余的图形都向前推一格。
师：接下来该怎么变化呢？看看你的猜测是否正确？让我们完整地看一看它的变化规律。（课件演示）
师（小结）：横着看，我们找到了它的规律，就是将最前面一块移到最后，其余的图形依次向前推一格，好，还有其他发现吗？（板书：前——后）
生4：竖着看，把最上面一块移到最下面，其余的图形往下推一格。（板书：上——下）
师：好，谁能将刚才说的规律上来摆一摆（请同学移动黑板上的图形）
师：真厉害！你的观察和表述非常准确！小朋友们通过观察，横着看、竖着看，斜着看，都发现了扑克牌里循环变化的规律。……
在数学表征能力中，学生与数学的文本“对话”常常是肤浅的、不成熟的，教师应该鼓励学生用自己的方式表达对数学的理解。数学语言是思维的载体，交流与表达个人的观点是促进数学思维能力的一个重要环节，而通过其他非语言表征也能反映学生的思维水平，例如在上述案例中，教师除了让学生通过用语言表达规律之外，还通过动手操作的形式表述规律。
笔者认为，通过课堂评价提高学生的数学表征能力可以从以下几方面入手：
1、采用多种呈现形式，形成清晰的评价轨迹。
在课堂教学中可采用个人、小组与教师评价相结合；口头评价与书面评价相结合；定量与定性相结合；口试、面试与笔试相结合。如口试的主要内容是说理，即说算理、说解题思路、讲公式的推导过程等。面试的主要内容是操作，如操作小棒演示算理，拼摆学具推导公式，测量，制作等。这些与数学的“文本对话”这不仅培养学生数学表征能力，也促进数学思维的发展。
2、给予不同层次数学表征能力的学生不同的评价。
表征能力之所以能从低层次到高层次，关键靠学生主体不断地进行反思和抽象。在数学教学过程中，教师要鼓励学生将自己的思维过程讲出来，多问学生：“你是怎样想的？”同时，如果一部分学生在表达自己对数学知识的理解过程中不够完善，也可以允许学生用动作等其他非语言表征来再现自己的思维过程。让每个人体会到只要你在某个方面付出了努力就能获得公正的、客观的评价，保护学生的自尊心，树立学生的自信心。
结束语
小学阶段是初步形成数学思维能力的学段，小学数学思维能力的课堂评价应该从一年级开始，使学生将有内在联系的数学阅读能力、基本数学思想、数学表征能力由“点”连接成“链”，逐步形成“网”，使其数学思维能力结构化，最终形成良好的思维品质，推动思维层次的深入。这种与数学的“文本对话”必须强调“从一个开放心灵者看到另一个开放心灵者之话语”（马丁）。只有教师在课堂上给学生提供“数学文本对话”的机会，让学生用耳、用口、用眼、用手去发现问题、表达思想，然后及时评价学生的每一点滴进步和发现，关注学生的个性，使外部的活动过程内化为主体内部的心理活动过程，并从中产生出主体的个人体验。
不同的课堂评价会对学生数学思维能力的培养产生重要的影响，因而要重视选择科学的课堂评价手段以及合适的评价语，让学生真正学会用心灵与“数学”对话，从而促进学生数学思维能力的健康发展。




【参考文献】
⑴中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京师范大学出版社.2001.
⑵戴维·伯姆.论对话[M]. 教育科学出版社.2005
⑶孔企平.对小学数学教学评价的思考.小学教学参考. 2004.04
⑷成安宁.小学生思维能力的发展与“新思维数学”教学体系.小学教学（数学版）.2008.03
⑸沈超.新课程下怎么教应用题

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数学课应引发学生的有意“反思”
内容摘要：
《学记》中说：“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。”它是我国较早提出反思作用的理论之一。反思是对自己的思维结果进行检验和再认识的过程，学习数学时，会产生形形色色的猜想，萌发各种各样的解题策略。在解题受阻时，需要及时反思，考虑这些猜想、策略的正确性、可行性，以便及时调整方法，少走弯路；在解题失败时，同样要反思寻找失败的原因，以此为鉴，免蹈覆辙；在解题顺利时，更需要对解题过程再审视、再探索，寻找其中蕴涵的内在规律，可以这样说，问题的解决并不意味着解题思维活动的结束，而往往是深入认识的开始，从感性认识到理性认识，反思在其间正是充当了重要的桥梁角色。小至个人，大至国家，都是在不断的反思与总结经验中逐渐成长、壮大，一个人如果在成长过程中善于反思、总结经验、扬长避短，那么他一定比有同样经历的人有更加丰硕的收获。
关键词：反思、思维、有意
学生在表达自己对数学知识的理解过程中需要不断反思，反思是对数学学习思维过程进行回顾性的思索，以获取学习的经验或教训。数学的理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又靠对思维过程的不断反思才能达到。反思是不断提高数学理解水平的重要手段。小学生的数学学习是一个思考过程，更是对自己的思维活动和经验的反思过程。在数学教学中注重学生反思能力的培养，有利于学生提高主体意识，自主地进行学习，有效地进行自我教育。所以，教师要充分注重培养学生对数学知识的反思，有意引导学生学会反思、进行反思。
一、在过程中反思，引导数学知识的梳理
认知心理学认为：在学习过程中，不论是难以理解的还是熟练掌握的事实、概念、原理和理论，学习者都能够对其产生一个整合的、符合常识的表征或者解释系统。因此，数学课堂上，在引导学生积极主动地探究知识的形成，进行有意义的建构时，要引导学生回望探究过程。归纳知识规律、梳理数学知识。
1、知识获取过程
荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，事实上，由于新知的未知特性，学生的探究活动往往不是一蹴而就的。这就要求学生在面对波折时能对自己的探究过程进行有意识的回望和反思，随时调整修正自己的探究行为，从而保证探究的纵深进程。例如，《分数化成有限小数的规律》教学中，为了帮助充分体会“最简分数”这一前提的重要性，教师巧妙地安排了这样的探索内容：让学生应用发现的方法判断“，，”三个分数能否化成有限小数，促使学生产生“分母同样是15，为什么，不能化成不限不数，而却能化成有限小数”的困惑，引导他们自觉地对自己的探索过程及探索结论进行反思，从而得到“最简分数”这一重要事实前提，感悟“考虑问题”需全面的探究心得。
2、问题解决过程
一直以来，数学教学都非常关注引导学生“学会学习”。那么，这么多年过去了，我们的学生学会学习了吗？真正意义上的学会学习，必然是具有一个核心要素就是“主体反思”。那么缺乏“主体反思”的学习活动，是难以纳入“学会学习”的实质性范畴。于是，作为课堂教学设计者，应该结合教学过程的行进引导学生学会如何反思，要帮助学生整理思维过程，确定解题关键，促使思维条理化、概括化。例如，在新授完毕或学生把问题解答后，通过简单扼要地提问或引导，要求他们回顾解题过程，在反思过程中考虑：（1）回忆解题的方法、过程；（2）概括解题的关键、注意点；（3）改进表达、操作方法；（4）优化解题策略。通过学生的分析、讨论和总结，让解题思路显得自然、有条理。这正是课程标准所要求的“能对知识的学习过程和解决问题的过程进行自我评判和调控”。
二、在错误中反思，进行数学知识的追因
学生做错题目，其原因是多种多样的，有粗心大意看错题目的，有笔误写错数字或符号的，有受思维定势影响而出错的，有考虑不周全而出错的。在实际教学中，教师应把学生的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思一下错题错在哪里？为什么错？然后让学生有针对性的纠错，让错误发挥最大的育人功效。
有一次，学生在完成一道填空题：0.19÷0.03＝6……( )时，大部分学生填的是“1”，针对这一较为典型的错误，我把它作为一个判断题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着追问：“你是怎样发现错误的？”学生在富有启发性问题的诱导下，积极主动地进行探索，很快找到了三种判断错误的方法：
（1） 余数1与除数0.03比，余数比除数大，说明填“1”是错误的。
（2） 余数1与被除数0.19比，余数比被除数大，说明填“1”是错误的。
（3） 验算：6×0.03＋1≠0.19，说明填“1”是错误的。
紧接着，我再带着学生分析，找出正确的余数。由于计算时，被除数和除数同时扩大了100倍，虽然商不变，但余数是被除数扩大100倍计算后余下的，所以余数也扩大了100倍，正确的余数应把1缩小100倍，得0.01。
上面的例子中，我从学生的现实学习中选取错例，充分挖掘错误中潜在的智力因素，提出具有针对性和启发性的问题，创设一个自主探究的问题情境，有意引导学生从不同角度反思问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现了问题，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握。通过反思，培养了学生的发现意识。
三、在方法中反思，增进数学知识的优化
数学理解之所以能从低层次到高层次，关键靠学生主体不断地进行反思和抽象，反思和抽象是不断提高数学理解水平的重要手段。因此，要给学生主动权，不能拔苗助长、急于求成，让学生有时间、有机会对自己的思维活动过程进行反思。例如：教师在引导学生探索和交流“”算法的基础上，让学生计算，学生在选择方法的时候，就会反思自己的计算方法，如化小数的方法在这道题时显然是行不通了，学生在反思中比较、择优，真正领悟到“化成分母相同的分数再相加”这种方法的通用性，在反思的过程中深化对知识的理解。
学生的反思，教师要做个有心人。如在算法多样化中让学生想一想他人的做法，看看自己的算法，听一听他人的表述，比一比自己的思考，看一看还有没有更好的解法，只有在这种空间中，学生才会不断进步。在课堂教学中，我们经常遇到这种情况，对于同一道题目，不同的学生能运用不同的数学思考方式做出不同的解答。而且他们各执己见，互不相让。这时很多教师会用都对都表扬的方式一带而过，然后进行下一环节的教学。我认为这样做便丧失了一个很好的引导学生反思数学思考过程，帮助学生树立批判优化意识的机会。以应用题“某服装公司买来一批布，如果全部做西装，可做9件，如果全部做西裤，可做18条，如果全部做套装，可做几套？”教学为例：
生1 的解法是：18÷（18÷9＋18÷18），主要采用具体化法，把这批布的数量具体化，假设这批布有18米，再根据“这批布的总米数÷每套服装用布米数＝套数”列出算式。
生2的解法是：1÷（＋），是仿造“工程应用题”的做法，把这批布的总数量看作单位“1”， ＋表示每套服装用布量占这批布总量的几分之几。根据“这批布的总数量÷每套服装用布数量占这批布总数量的几分之几＝套数” 列出算式。
生3的解法是：9－3＝6，2×（18÷9）＝6，是通过观察发现：1件上衣的用料等于2条裤子的用料，用18÷9＝2，我便从9件上衣料中拿出3件上衣换成6条裤子，这样就可以得出这批布共可做6套套装。
多种方法的展现后学生比较、反思，学生发现生1解法的优点是好理解，不足之处是这批布的数量具体化有时不好确定，计算也稍微繁琐一点。生2解法的优点是好列式，不足之处是不太好理解。生3解法的优点是比较巧妙，不足之处是不容易确定拿出几件上衣换裤子。
这样做，有意让学生学会用批判的眼光来剖析自己和别人的思维方式，帮助学生树立了不断批判自我优化自我，相互学习取长补短的意识。
四、在习惯中反思，促进数学知识的巩固
曹才翰先生认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。所以我们要有意让学生每隔一段时间交流和反思自己的学习习惯。
解完一道题后，我们应要求学生对解题过程和运算结果进行自我评判和自我完善，其中包括培养学生检验的习惯。如比较和的大小，可利用“一半>小半”进行比较。这种估值检验是求得近似结果的心算检验，在计算的复查或进行粗略的检验时，估算有时能从反面来判断结果的正误，从而达到检验的目的。又如“一个直角三角形的三条边分别为3cm、4cm、5cm，求这个三角形的面积”，学生在解答时出现了分歧，此时教师引导学生通过画图的方法进行检验。学生就能从直观的图形中得到启发，从而对自己的方法进行反思。
此外，还有代入检验、逆向检验、多解检验、等检验方法。教给学生检验方法后，教师要在平时的教学工作中有意识地引导他们运用方法，自觉复查检验，逐步养成良好习惯。
在学生初步具有了反思检验习惯的基础上，我们还要努力培养学生反思总结的习惯。不仅在做错题目时要进行反思，有些有一定难度的题目，学生解题时初时无从下手，忽而豁然开朗，这时，要反思总结一下，以避免下次再犯同样的错误。反思时，可想一想自己是从哪方面入手的，沿着自己思维的踪迹重温一遍其中运用了什么有用的方法？为什么自己能得出简捷的解答？从而建立知识网络，完善知识结构。在培养学生学会反思、乐于反思、善于反思的过程中，值得重视的一点是教师的主导作用。只有教师有意识地对学生进行指导和训练，才能使学生通过反思逐步改善自己的思维品质，提高思维能力，获得更好的可持续发展。
五、在经验中反思，增加数学知识的积累
这是一节计算教学课。内容是小学数学第九册“小数加减混合运算”，例题如下：
22.58-(6.12+4.03)+ 8.37
=22.58-10.15+8.37
=12.43+8.37
=20.8
计算方法的探究告一段落后，教师提了这样一个问题：“根据经验，你觉得计算过程中可能会出现哪些错误？”不想，这个问题犹如一粒石子，在学生的脑海中激起了千万层浪：
生1：我觉得计算中可能会将“+8.37”漏抄，使计算变得不完整。
生2：我觉得可能会将“22.58-10.15”错算成“12.53”。
生3：我觉得可能会将“22.58-10.15”错算成“11.43”。
生4：我觉得可能会将“12.43+8.37”错算成“4.06”。
生5：我觉得可能会将“12.43+8.37”的结果写成“20.80”。……
不难发现，学生所预见的计算错误，不仅有书写格式上的，也有计算失误上的；不仅有外露表层的错误，更有内敛隐约的错误。那么，学生为什么能如此全面而深刻地揭示计算中可能出现的错误呢？我认为原因很显然，那就是说学生可能具有类似的错误经验积累。这种积累，可能是直接的，来自于自己日以往的计算经验；也有可能是间接的，来自于日常的计算见闻。有经验的教师必然意识到：这种计算经验积累已经成为学生计算观念系统中一个重要的组成部分，并影响着学生的计算活动。更重要的是学生通过反思，真正将自己置于学习主体的位置，从不同角度阐述了自己的个性化想法，有效地训练了学生主体的创新思维。因此，在课堂教学中，教师应创设适当的情境，结合新知探究的过程不时有意引发学生进行基于自身认知经验背景的反思，不但可以促进新知建构的有效实现，而且能在一定程度上张扬学生的学习个性，使学生的创新意识在这样的情境中潜移默化地得以渗透，真正在小学数学课堂中凸现“自主创新”的迷人光彩。
总之，如果教师在课堂上重视反思，鼓励学生反思，并巧妙地利用反思，定会使数学课堂教学波澜起伏，有助于激发学生学习兴趣，提高学习效率，学生必然乐思、巧思、善思。


参考文献：
1．袁振国：《教育新理念》北京教育科学出版社  2002年版
2．郅庭瑾：《教会学生思维》北京教育科学出版社  2001年版
3．白月桥：《素质教育课程构建研究》北京教育科学出版社2001年版
4．盛群力、李志强：《现代教学设计论》浙江教育出版社  1998年版
5．唐树明《培养学生数学反思能力的教学策略》

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农村小学生数学问题解决能力影响因素的调查与思考
鳌江第七小学    陈爱华
  【内容摘要】
    目前农村小学生数学问题解决能力比较弱，他们在数学问题解决时常见的错误是（数量）关系感知错误、图式提取错误、计算错误和思维定势错误。为了了解农村小学生问题解决能力究竟受哪些因素的影响，采用书面测验、访谈等多种方法对其进行一次调查研究。结果表明：农村小学生数学问题解决能力的影响因素是对数学问题的感知理解、数学知识经验、数字运算工作记忆广度和数学应用题认知结构等。为此，提出如下教学建议：1、创设思维场情境，加深对问题的感知理解。2、掌握必要的基础知识和基本技能，发展学生的知识经验。3、加强数学阅读，提高学生的记忆广度。4、构建知识网络，实现认知结构的整体优化。
【关键词】农村小学生     问题解决能力    影响因素   

一、研究背景
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科,要求学生具有较强的数学问题解决能力。所谓的“数学问题解决能力”是指创造性地应用数学知识以解决问题的能力，它所强调的是创造能力和应用意识，在小学数学教学活动中处于核心地位。在我国《全日制义务教育数学课程标准》中，问题解决的总体目标是：“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”
纵观现实，实施新课程之后，教师们更加注重培养学生的数学问题解决能力。比如课堂教学中会让学生尝试解决一些实际问题，但收效甚微。尤其是农村小学生，数学问题解决能力还是比较弱。因此有必要去研究农村小学生数学问题解决能力究竟受哪些因素影响。为此，本调查试图从学生的问卷调查及访谈中，探索出农村小学生数学问题解决能力的影响因素。
    二、调查内容、方法、过程等
   （一）调查内容
    在仔细阅读了浙江教育出版社出版的现行六年级数学教材和教师教学参考用书的基础上，广泛与当地有丰富教学经验的数学教师进行座谈后，我们将六年级下册总复习中的一道行程应用题进行改编如下：
在一条比直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分行200米，小刚每分行300米，多少时间后，两人相距5千米？
1、该问题给出了哪些已知条件？请详细说明。
2、该问题要解决的未知数有哪些？请详细说明。
3、用合适的图表示出题目的意思。
4、当你看到这个问题时立即想到它属于什么问题？
5、你认为解决这道题的关键是要先解决哪一步？
6、请列式计算（你能想到几种情况，就写几种情况。）并说明你为什么想到可以这样解？
7、你认为该题的正确答案是什么？
   （二）被试选择   
    笔者随机选取了浙江省温州市平阳县鳌江镇内一所普通农村小学，并随机抽取六年级的三个班学生，人数分别是44、43、43人，年龄分别分布在13岁左右。
   （三）施测方式
2006年2月21日——2月24日，在学生不知情的情况下，由班主任协助组织进行测试。在测试前，不给学生任何解题提示，让学生独立解答，在每份问卷规定时间内学生自己认为解题已完成，把问卷交给老师。学生在解题过程中没有任何讨论和交流。基本反映了学生独立解决问题的真实水平。
   （四）问卷发放与回收
本次研究共发放测验卷130份，回收有效卷130份，有效率100%。
（五）数据处理
经过整理、分析，所有的测查数据统一采用P值、R值及百分数进行统计分析。
三、结果与分析
    1、农村小学生数学问题解决策略已呈多样化
表一    农村小学生解题情况统计表
解题正确  
解题错误
一种 两种 三种 四种
人数 百分比 人数 百分比 人数 百分比 人数 百分比 人数 百分比
64 49.2% 31 23.8% 1 0.8% 0 0% 34 26.2%

     注：百分比=相应的人数÷总人数×100%
从表一看，学生的解题策略已呈现多样化，24.6%的学生能从多种角度思考问题。但能正确解答出三种情况的仅有0.8%，全部考虑完整的学生还没有。由此可见，农村小学生数学问题解决总体水平还不高，有待于进一步培养。
     2、农村小学生数学问题解决时的常见错误有关系感知错误、图式提取错误、计算错误和思维定势错误
表二   农村小学生数学解决问题时的常见错误统计图



    注：百分比=对应的人数÷解题错误的总人数×100%。图式提取错误是指被试在解决问题的过程中没有成功提取该类问题解决图式；关系感知错误是指被试在解决问题过程中错误使用了题目中提供的数量关系。
调查发现，被试容易出现关系感知错误、图式提取错误、计算错误和思维定势错误等四类错误。其中最容易出现的是关系感知错误和图式提取错误。经访谈得知：关系感知错误是因为被试没有精细、充分地加工应用题中所出现的数量关系；图式提取错误是被试在解决问题的过程中，没有正确地使用该类应用题解决的图式，或者不知道该类问题的准确解决图式；计算错误有的是由于学生粗心所造成，有的是由于计算的某些规则使用错误所导致的；思维定势错误是由于学生错误使用了过去习惯于用来解决问题的策略和套路来解决当前的问题。
3、农村小学生数学问题解决能力的主要影响因素是对数学问题的感知理解、数学知识经验、数字运算工作记忆广度和数学应用题认知结构
（1）农村小学生数学问题解决能力与对数学问题的感知理解成正相关
表三   农村小学生数学问题解决思维过程中各项问题完成情况统计（一）
   项目

类别 已知条件 未知条件
正确 错误 正确 错误
人数 百分比 人数 百分比 人数 百分比 人数 百分比
解题正确 86 66.1% 10 7.7% 26 20% 70 53.8%
解题错误 29 22.3% 5 3.8% 3 2.3% 31 23.8%
R1值 P(R1>ra=0.283)<0.001
R2值 P(R2>ra=0.283)<0.001

    注：百分比=相应的人数÷总人数×100%, R1是已知条件与问题解决能力之间的相关系数； R2是未知条件与问题解决能力之间的相关系数。
  表四  农村小学生数学问题解决思维过程中各项问题完成情况统计（二）
  项目

类别 画    图 归    纳 正确答案
正 确 错 误 正 确 错 误 正确 错误
人数 % 人数 % 人数 % 人数 % 人数 % 人数 %
能正确解题 65 50 31 23.8 41 31.5 55 42.3 69 53.1 22 16.9
不能正确解题 13 10 21 16.2 3 2.3 31 23.8 1 0.8 38 29.2
R1值 P(R1>ra=0.283)<0.001
R2值 P(R2>ra=0.283)<0.001

   注： R1表示正确画图与问题解决能力之间的相关系数；R2表示正确归纳与问题解决能力之间的相关系数。
从调查情况看，有些学生对问题和条件没有进行很好的感知，造成信息遗漏，而且部分学生难以提取正确的相应图式或图式短缺，所以学生问题解决的正确率不是很高。经R值检验，我们发现：学生的问题解决能力与对问题的感知理解成正相关——当学生对已知条件的了解越深入，对要解决的未知数越清晰，对应用题的图式理解越深刻，数学归纳能力越强，数学问题解决的能力就越强。
（2）学生的数学知识经验与问题解决能力成正相关
    表五     学生的数学知识经验与问题解决能力的相关表
        知识总量
解题情况 优 良 合格 不合格
能正确解题的人数 26 66 4 0
不能正确解题的人数 2 14 10 8
R值 P(R>ra=0.283)<0.001

    注：“优”是指20道题目中至少有90%会做；“良”是指20道题目中有70%—90%会做（不包括90%）；“合格”是指20道题目中有60%—70%会做（不包括70%的）。
研究时，我们主要采用作业法，即要求被试在一定的时间内完成20道数学题目。正确计1分，否则计0分。得分越高，知识总量越大，知识经验越丰富。
测查过程中，一些学生在解决问题时，不能适时提取已有的数学知识，存在长期记忆中的绝大多数信息并没有被调动起来。调查表明，学生的数学知识经验与问题解决能力成正相关：学生的数学知识经验越丰富，就越容易形成一定的数学问题解决模式，提高数学问题解决的能力。
（3）数字运算工作记忆广度对问题解决能力具有间接的预测性
表六    学生数字运算工作记忆广度与问题解决能力的相关表
数字运算工作记忆
           广度
解题情况       1 2-3 4-5 6
解题正确 0 51 35 10
解题错误 20 8 5 1
R值 P(R>ra=0.283)<0.001

     注：“1”是指平均每8秒钟能正确地按顺序记忆1个算式的得数，其它的以此类推。
    工作记忆是一种对信息进行暂时性加工和存储的综合能力。在调查中，我们采用测量法对数字运算工作记忆广度与问题解决能力的相关性进行研究。在预测的基础上，共设计了6组数学题，每组均包含从4—7道得数在10以内的加减乘除计算题目。实测时每人一桌，并有一位本班的教师负责监督，防止他们复述和作弊。正式测验时按题目数量从少到多的顺序把各组题目呈现给被试，每组的时间均约为8秒钟，要求被试看完题目后迅速地按照题目的顺序写下这些计算题的答案。测试前首先练习1至2组同型题目，让被试掌握方法和注意事项。统计时按照答案与顺序均正确进行评分，正确一个计1分，错误一个计0分，把每个学生各组得分相加后除以总组数6便得到了该学生数字运算工作记忆的平均广度，分数越高，数字运算工作记忆的广度越大。
调查发现，数字运算工作记忆广度与问题解决能力成正相关：工作记忆的广度越大，对信息的加工程度和准确率就越高，数学问题解决能力就越好；反之则不然。在访谈中我们发现农村小学生的数字运算工作记忆广度比较小，在还没有全部得到有效加工的情况下就已经消退了，因此需要不断的重复提取。但是，如果没有相应的问题解决策略和技能，缺乏良好的问题表征，图式、知识的储备不足，仍然可能无法成功地解决问题。因此，数字运算工作记忆的广度可能只对问题解决具有间接的预测作用。
（4）数学应用题认知结构对问题解决能力有直接的预测性
表七   学生数学应用题认知结构与问题解决能力的相关表
      知识结构
类别 C值为1的人数 C值为负数的人数 C值为1的人数
解题正确 50 45 0
解题错误 0 35 0
R值 P(R >ra=0.283)<0.001

注：C值为1表示被试的知识结构与理想的知识结构完全相同；C值为负数表示两种知识结构相去甚远；C值为0表示被试把所有的题目都分为一类。
    所谓的“认知结构”是指人脑中已经组织好的整体性的信息结构。本研究采用卡片排列法对被试进行团体测试。首先，从小学数学教材中归纳出学生应该掌握的应用题图式，每类选择至少2题，并根据解题方法插入了少量的变式编题。用以正式测试的题目共有18道。打乱顺序后统一印刷在测试纸上，让被试根据某种规律或者联系对这些应用题进行归类。然后，将被试的排列情况转化成为一个18×18的矩阵，矩阵中某个单元对应的两个题号如果同属一类，这个单元就标号为1；如果两个题不能归为一类，则标号为0。接着，构建参照矩阵，由主试和数学教师共同讨论，列出一个18×18的参照矩阵。最后，将被试的矩阵与参照矩阵进行对比，将两个矩阵中共同记分为1的单元的总数记为S1，1，将被试矩阵中标号为1但参照矩阵中标号为0的单元的总数记为S1，0，并按照公式：C=—进行计算，评价被试的认知结构与理想的认知结构二者的一致性程度。
通过本调查，我们发现：学生的认知结构与问题解决能力成正相关。学生的认知结构越好，数学应用题之间的联结越精细，层次性越强，越有利于问题解决。因为认知结构好的学生往往根据应用题的解答图式进行划分，因而对于变式能进行很好地理解。学生越能将知识按照内在的线索建立联系，对于识别问题、提取问题解决图式的准确率就越高。从而有助于问题的正确理解和解决。总之，学生的数学应用题认知结构越好，数学问题解决能力就越强。即数学应用题的认知结构对问题解决能力有直接的预测性。
   四、思考与建议
1、    创设思维场情境，加深对问题的感知理解
问题解决始于问题情境，问题情境的内化则是思维场情境，思维场情境能引领学生解题方向，活化思维活动，有助于发现问题的隐蔽关系，突破解题障碍；更有助于对问题解决进程的反馈和调节。创设思维场情境的有效策略是创设问题情境。
同时在调查中我们发现一些学生在解决问题时不能适时提取已有的数学知识。为此，我们认为：在数学教学中，应创设适宜的问题情境。郑毓信教授在学术报告《数学教学方法改革之实践与理论思考》中指出，教学情境不应仅仅起到“敲门砖”的作用，特别是不仅仅有益于调动学生的学习积极性，而还应当在课程进一步开展中自始自终发挥一定的导向作用。也就是说，教师创设的问题情境要能够使学生经常回忆得起来，等碰到具体问题而概念或相关知识遗忘了时，能回到具体的情境中去，如此有助于学生理解相应的知识和概念，提高学生解决问题的效率。同时，问题情境的创设要与学生的智力和知识水平相适应。过易的问题学生不感兴趣，反之会使学生感到高不可攀。因此，创设的问题情境必须在学生的“最近发展区”内提出问题，能促进学生最大限度地调动相关旧知识来积极探究，才能收到良好的效果。教师在课堂教学活动中必须以学生为主体，创设思维场情境，让学生加深对问题的感知理解，使数学课堂真正活起来。
2、    掌握必要的数学基础知识和基本技能，发展学生的知识经验
    通过调查，我们得知：农村小学生的数学问题解决能力与知识经验显著相关。因而在小学数学教学中应让学生切实掌握《全日制义务教育数学课程标准》所规定的数学基础知识和基本技能。义务教育阶段的小学数学教育具有基础性、发展性等特点，小学数学教育中的基础知识既要对学生进一步学好数学和相邻学科具有基础性和促进作用，又要有利于帮助学生解决日常生活中的问题，促进学生数学问题解决能力的发展。因此，在小学数学教学中，一方面要让学生切实掌握“数与代数”、“ 空间与图形”、“统计与概率”等基础知识和基本技能；另一方面又要根据社会、科技和数学本身发展的需要，把以往未受关注的知识、技能及数学思想方法作为学生学习的重要内容。
3、加强数学阅读，提高学生的记忆广度
   调查中，我发现相当一部分农村小学生的数字运算记忆广度比较小，在还没有全部得到有效加工的情况下就已经消退了。对于这部分学生应重视获取知识的内化过程，让学生在理解掌握并尝试应用的基础上促进记忆。为此，我们不妨采用加强数学阅读的方法来改变现状。
数学阅读是指通过阅读数学材料（包括教科书、课外读物等）获取数学知识，获得数学思想和方法，积累数学语言，收集整理信息的过程。读写结合、手脑并用，是提高阅读效率的汇重要途径。其一，数学阅读要对数学概念、公式、定律等知识反复咀嚼，准确理解，动口说一说，能达到更好地理解、记忆的效果。其二，书写可以加快、加强记忆，数学阅读时，对重要的内容常通过书写或作笔记来加强记忆；其三，教材编写为了简约，数学推理的理由常省略，运算证明过程也常简略，阅读时，如果从上一步到下一步跨度较大，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，以便顺利阅读；其四，数学阅读时常要求从课文中概括归纳出一些东西，如解题格式、证明思想、知识结构框图，或举一些反例、变式来加深理解。由此可见，加强数学阅读，有助于提高学生记忆的广度。
    4、构建知识网络，实现认知结构的整体优化
     问题解决需要相关的知识，但仅仅在头脑中存在知识，并不能保证它得到有效的应用，我们不仅要使学生掌握尽可能丰富的知识技能，而且还应使这些知识和技能建立必要的联系，构成了条件化、结构化、概括化的知识系统。
     调查中，我们发现数学问题解决能力差的学生的认知结构不理想，甚至是无序的。在课堂教学中，当新知纳入原有认知结构之中时，新旧知识没有建立联系，或建立得不完善。这种没有联系或联系微弱的知识是不容易被激活的，或是激活了，却没有反思意识。因而在数学教学中，教师必须沟通教材中知识的内在联系，使知识系统化、深刻化。从不同角度加深学生对概念的理解，并使新旧知识逐步形成紧密的锁链，形成知识网络，进而从不同角度和方面去激活思维的灵活性、独创性和批判性，实现认知结构的整体优化。为此教学中应注重：①认识每单元知识系统的整体结构，理清知识要素间的纵横联系；②启发学生归纳、概括、比较解决问题的方法；③引导学生独立地建立与发展认知结构，并积极主动地进行思维。④在教学中通过比较让学生把握同类问题的一般关系与结构，不同类问题的区别与联系，从而增强学生对问题的识别能力。
五、结语
数学问题解决能力的培养是一个长期而艰巨的过程。在教学活动中，只有根据农村小学生数学问题解决能力的影响因素，聚集各方面有利条件，多渠道采取有利措施，对学生进行问题解决能力培养，学生的数学问题解决能力才有可能得以逐步提高。

主要参考文献：
1、黄巍. 优、差生解决有机合成的问题表征差异及其影响因素. 心理科学，1994（4）：217—222
   2、刘电芝. 问题解决中的模式识别探析. 华东师范大学学报（教育科学版），1996（2）79—82
3、朱德全.数学问题的表征及元认知开发.教育研究.1997年3月版
4、管鹏.数学问题解决与模式形成.现代中小学教育.1999年2月版
5、钟启泉等主编.《基础教育课程改革纲要（试行）》.华东师范出版社出版. 2001年8月版
6、《全日制义务教育数学课程标准》. 北京师范大学出版社出版.2001年第1版
7、郑毓信.数学教学方法改革之实践与理论思考
8、李光树主编.小学数学教学论.人民教育出版社.2003年9月版



附件1：
农村小学生数学知识总量测查问卷（二）
学校：           姓名：            性别：
        哪里人：            年龄：         
    以下的题目请你详细审题，所有的题目可以列式计算，也可以列方程解答。考试时间为40分钟，所以你应该在规定的时间内尽量多地完成题目，这是一次考试，所以请你一定要独立完成，不要讨论，也不要看别人的，谢谢合作！
1、  甲、乙两城相距260千米。客车从从甲城开往乙城，每小时行驶60千米，货车从从乙城开往甲城，每小时行驶45千米。两车同时从两城出发，2小时后还相距多少千米？
2、  某市居民1999年末的储蓄达到9079万元，比1988年末的储蓄存款大15倍还多4万元。求1988年末的储蓄存款数。
3、  把一个长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个长方体后，表面积最多能增加多少？
4、  一列慢车从某站开出，每小时行48千米，过了45分钟，一列快车从同站开出，与慢车同向而行，又经过1.5小时追上慢车，求快车的速度。
5、  二（1）班有39人，二（2）班有31人，从二（1）班调多少人到二（1）班，两班的人数同样多？
6、  甲数是8，乙数比甲数的 5倍还多3，甲乙两数的和是多少？
7、  实验小学有学生1200人，全体学生参加平安保险，每人保险金额3000元，保险费率是0.1%。全校学生应付保险费多少元？
8、  一桶油连桶重8千克，用去半桶后连桶重4.5千克，问桶与油各重多少千克？
9、  某商品进价为250元，按标价的9折销售时利润率为15.2%。商品的标价是多少？
10、王老师买了50张奖状，付出15元，找回3元。每张奖状的价钱是多少元？
11、同学们种树。五、六年级一共种树136棵，六年级比五年级多种树16棵。两个年级各种树多少棵？
12、一只书包售价74元。比一只铅笔盒的售价的3倍少1元。一只铅笔盒的售价多少元？
13、甲、乙两港相距334千米，客船和货船分别同时从两港相向而行，开出4.5小时后两船还相距100千米，客船每小时航行28千米。货船每小时航行多少千米？
14、一个长方形的周长是720米，长是250米。宽是多少米？
15、一块0.15公顷的三角形麦地，量得它的底是250米，它的高是多少米？
16、一条电线长30米，剪去2/5，还剩下多少米？
17、甲乙两个工程队合挖一条225米的山洞，从两头同时对挖，甲队每天挖进7米，乙队每天比甲队多挖1米。多少天后可以挖通？
18、把一个底面半径6厘米的圆锥形金属铸件浸没在棱长15厘米的立方体容器中，水面比原来升高1.2厘米，求这个圆锥形铸件的体积。
19、赵、钱、孙、李四位同学的平均体重是38千克，加上小东后，五人的平均体重是37.6千克。小东体重是多少千克？
20、一个工厂计划安装270台新机器，头5天安装45台。照这样的进度，余下的还要装多少天？

附件2：
农村小学生数学知识结构测查问卷（三）
学校：            姓名：            性别：
亲爱的同学，请你仔细阅读下面的题目，然后根据自己的了解，按照一定的标准分类，把你认为应该归为一类的题目的序号放在一起，并写出分类标准。如果你觉得在某些类别中还有小的类别，也请你分别列出来，直到不能再分为止。这些分类请你单独完成，不要讨论，也不要看别人的，谢谢！
1、制锁厂购的三年国评券50万元，年利率为2.52%。三年后所得利息多少元？
2、一项工程，甲工程队单独施工，需要6天完成；乙工程队单独施工，需要10天完成，两队共同施工，多少天完成？
3、在边长20厘米的正方形硬纸板内，剪下一个最大的圆。这个圆的面积是多少？
4、一辆汽车的车轮外直径为0.8分米，1分钟转60转。这辆汽车1分钟行驶多米？
5、生产一批零件，甲3小时完成全部工作量繁荣1/6，乙6小时完成全部工作量的1/4。甲、乙两人合作需要多少小时完成？
6、甲、乙两个粮食仓库，乙仓库存粮36万千克，比甲仓库少7/25。甲仓存粮多少万千克？
7、一辆卡车行时完一段路程需6小时，比客车行驶完这段路程的时间多20%，客车行驶完这段路程需几小时？
8、果园里有苹果树120棵，比梨树棵数多20%。梨树有几棵？
9、三个连续自然数的和为18，求他们的积。
10、商店对某商品进行调价，按原价的8折销售。此时商品的利润率为10%。此商品的进价为1000元，此商品的原价是多少？
11、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么得到的两位数比原来的两位数大36。求原来的两位数。
12、打开水管5小时可以灌满一池水，打开水管8小时可以把水池的水放完。现在把进水管和出水管同时打开，多少时间可以把水池灌满？
13、甲车速度为每小时30千米，开除1小时后乙车从同一起点出发，与甲车同向而行，3小时后追上甲车，求乙车的速度。
14、某商品的进价为150元，销售价为210元。该商品的利润率是多少？
15、甲、乙两艘船同时从两个码头相向而行，3小时后相遇。已知甲的速度为每小时22千米。求两个码头之间的距离。
16、一个圆锥形铸件，底面直径和高都是3分米，这个铸件的体积是多少？
17、一只书包售价74元，比一只铅笔盒的售价多60元。一只书包和一只铅笔盒共多少元？
18、一个圆柱形地下水管，底半径为1米，长1千米，这条地下水管的容积是多少？
19、甲、乙两人练习跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米。如果让乙先跑1秒，甲经过几秒追上乙？
20、甲、乙两车同时从相距405千米的两地相对开出，4.5小时后相遇，甲车每小时行驶47千米，相遇时，甲车比乙车多行驶多少千米？

附件3：   
农村小学生数字记忆宽度测查问卷
要求：每组题目出示后，看8秒钟，然后迅速地按照题目的顺序写下这些计算题的答案。记住你只有8秒看题目的时间，并且你必须看完所有题目后才能在答题纸上写答案，明白了吗？
我们先来试试：4÷2    1+4     6+2    8÷2    7-1
1、7-2     1+2     7×0     8÷2
2、7+1     2+4     4÷1     1×6    8÷8
3、4×2    8-6     5÷1     6÷3    7÷1     2+7
4、8×0    6÷6    7-7      3+2     2+1      7-4    9-3
5、7+2     9-8     1+5      5×0    8-6      3×2    9-4
6、2×3    3+6     5-4      8÷1    3+1      3×3    4+3

iya721

学习了，专家多多，受益非浅。{:soso_e113:}