人教版初中八年级上册数学全册教案备课集

admin

一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
    １．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
    ２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
    ３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
    我们来共同分析：
    一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
    25600÷（30×4+7）≈200（km）
    若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
    y=200x（0≤x≤127）
    这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
    y=200×45=9000（km）
    以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
    类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
    Ⅱ．导入新课
    首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
    １．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
    ２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
    ３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
    ４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
答应:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．
    ２．依据密度公式p= 可得：m=7．8V．
    ３．据题意可知： h=0．5n．
    ４．据题意可知：T=-2t．
    我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
   一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．
    我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
    [活动一]
    画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
    １．y=2x   ２．y=-2x
结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x        -3        -2        -1        0        1        2        3
y        -6        -4        -2        0        2        4        6


    画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x        -3        -2        -1        0        1        2        3
y        6        4        2        0        -2        -4        -6

    画出图象如图（2）．
    ３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
    不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限．
    尝试练习：
    在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y= x  ２．y=- x
x        -6        -4        -2        0        2        4        6
y= x
-3        -2        -1        0        1        2        3
Y=- x
3        2        1        0        -1        -2        -3


    比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y= x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=- x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
    让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
    正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
    [活动二]
     经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
   让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
结论：
    经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
    画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
    Ⅲ．随堂练习
    用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
    １．y= x    ２．y=-3x
   
    Ⅳ．课时小结
    本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
    Ⅴ．课后作业
1、        习题11．2─1、2、6题．
2、        《课堂感悟与探究》
    Ⅵ．活动与探究
    某函数具有下面的性质：
    １．它的图象是经过原点的一条直线．
    ２．y随x增大反而减小．
    请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
    解：函数解析式：y=-0．5x
x        0        2
y        0        -1

    板书设计
§11．2．1  正比例函数

admin

一、正比例函数定义
二、正比例函数图象特征
三、正比例函数图象特征与解析式的关系规律
四、随堂练习

    备课资料
    汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示

    １．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？
    ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？
    ３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
    解法一：用图象解答：
    从图上可以看出4个小时可到达．
    速度＝ =30（千米／时）．
    行驶１小时离开天津约为30千米．
    当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．
    解法二：用解析式来解答：
    由图象可知：Ｓ与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120
    即120=k×4  k=30
    ∴S=30t．
    当t=1时  S=30×1=30（千米）．
    当S=100时  100=30t  t= （小时）．
    以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．


































§11．2．2  一次函数(一)
教学目标
1、掌握一次函数解析式的特点及意义
2、知道一次函数与正比例函数的关系
3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律
教学重点
1、        一次函数解析式特点
2、        一次函数图象特征与解析式的联系规律
教学难点
1、一次函数与正比例函数关系
2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．
分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是
s＝570－95t．
说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．

问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式．
分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x．

问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?
Ⅱ．导入新课
上面的两个函数关系式都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（    ）
①y=x-6；②y= ；③y= ；④y=7-x
A、①②③   B、①③④  C、①②③④  D、②③④
例2 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
（5）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
（6）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（7）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．
解 (1) ，不是一次函数．
(2)L＝2b＋16，L是b的一次函数．
(3)y＝150－5x，y是x的一次函数．
(4)s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．
（5）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；
（6）y=πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；
（7）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数
例3 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．
分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．
解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝ ．
若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．
例4 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
解 (1)因为 y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)．
又因为x＝4时，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3，
所以y＝3(x－3)＝3x－9．
(2) y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．

例5 已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．
(1)当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围．

admin

(2)当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．
分析 (1)当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的差．
  
(2)当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差．

解 (1) y＝30－12x．(0≤x≤2.5)
(2) y＝12x－30．(2.5≤x≤6.5)

例6　某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相应的x取值范围．
分析 因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系．
解 在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)；
在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤16)；
在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44)．
Ⅲ．随堂练习
1、见下表：
x        -2        -1        0        1        2        ……
y        -5        -2        1        4        7        ……
根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y是否为x有正比例函数？
2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元。（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y是x的一次函数。②y=8-2.4=5.6（元）]
Ⅳ．课时小结
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。
Ⅴ．课后作业
1、已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7
(1)写出y与x之间的函数关系．
(2)y与x之间是什么函数关系．
(3)计算y＝－4时x的值．
2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资．
3.仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系．
4.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米．求树高与年数之间的函数关系式．并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高．
5.按照我国税法规定：个人月收入不超过800元，免交个人所得税．超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税．试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y（元）和月收入x（元）之间的函数关系式．

板书设计
§11．2．2  一次函数
一、一次函数的定义
二、一次函数与正比例函数的联系
三、根据题意列函数关系式
四、随堂练习





























§11．2．2  一次函数(二)
教学目标
1、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
2、能较熟练作出一次函数的图象。
教学重点
1、能熟练地作出一次函数的图象。
3、        归纳作函数图象的一般步骤。
教学难点
理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
1、回顾作函数图象的一般步骤
前面我们已经学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系,并能根据已知信息列出x与y的函数关系式,本节课我们研究一下一次函数的图象及性质。
    2．在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
    (1)y＝-6x    (2)y＝-6x＋5    (3)y＝3x      (4)y＝3x＋2
Ⅱ．导入新课
问题l：以上四个一次函数图象是什么形状呢?
    让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线．
    问题2：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证．
    让学生猜想，举例验证，发现一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线。指出这条直线通常也称为直线y＝kx＋b(b≠0)，特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过(0，0)的一条直线．
    问题3：几个点可以确定一条直线?
    问题4：画一次函数图象时，只要取几个点?
    只要取两点。今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．
问题5：观察“做一做”画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．
(1)y＝-6x与y＝-6x＋2
(2)y＝12 x与y＝12 x＋2
(3)y＝-6x＋2与y＝12 x＋2
能否从中发现一些规律?
    问题6：对于直线y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)．常数k和b的取值对于直线的  位置各有什么影响?
    让学生讨论，交流，然后填空：
两个一次函数，当k一样，b不一样时，有
共同点：__________________________
不同点:___________________________
当两个一次函数，b一样，k不一样时，有
共同点：__________________________
不同点：__________________________

admin

在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象
    (1)y＝2x与y＝2x＋3     (2)y＝2x＋l与y＝12 x＋1
请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样．
Ⅲ．例题与练习
例1（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。
列表：
x        …        -2        -1        0        1        2        …
y=-2x+5        …        9        7        5        3        1        …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线。
图象如下：

在图象上找点A（3，-1）B（4，-3），当x=3时，y=-2×3+5=-1；当x=4时，y=-2×4+5=-3。（3，-1），（4，-3）满足关系式y=-2x+5。
议一议
（1）满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？
（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5吗？
分组讨论，然后回答。
（1）满足关系式y=-2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y=-2x+5的图象上。
（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5。
由此看来，满足函数关系式y=-2x+5的x,y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上；反过来，一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-2x+5。所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x，纵坐标y都满足一次函数的代数表达式。
例2 在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．
(1)y＝2x与y＝2x＋3；
(2)y＝3x＋1与 ．
解



  
想一想 (1)上面每组中的两条直线有什么关系？(2)你取的是哪几个点，互相交流，看谁取的点比较简便．
结论：一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交点比较简便．

例3 直线 分别是由直线 经过怎样的移动得到的．
分析 只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是由正比例函数的图象y＝kx(k≠0)经过向上或向下平移 个单位得到的．b＞0，直线向上移；b＜0，直线向下移．
解  是由直线 向上平移3个单位得到的；而 是由直线 向下平移5个单位得到的．
Ⅳ．课时小结
    1．一次函数的图象是什么形状呢?
    2．画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便?
3．两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?
Ⅴ．课后作业
§11．2．2  一次函数
一、一次函数的图象
二、图象性质
三、画一次函数图象的步骤



















§11．2．2  一次函数(三)
教学目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质.
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.
教学重点
1.一次函数中k与b的值对函数性质的影响；
2.结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力．
教学难点
一次函数k、b的取值和直线位置的关系，数形结合能力
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便？
2.在同一直角坐标系中，画出函数 和y＝3x-2的图象.
问 在所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.


Ⅱ．导入新课
1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.
2.观察图象发现在直线 上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.
即：函数值y随自变量x的增大而增大.
讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象?
既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？
发现上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以，当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方．所以当k＞0,b≠0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.
3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和 的图象（图略）.
根据上面分析的过程，研究这两个函数图象是否也有相应的性质？能发现什么规律.
观察函数y＝-x＋2和 的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.
即：函数值y随自变量x的增大而减小.
又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，或在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，或在x轴的下方.所以当k＜0,b≠0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.
当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.
下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：

4.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？
问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近.
问题2 随着时间的增长,

admin

小张的存款越来越多.
Ⅲ．例题与练习
例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．
解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．
所以，2m-1＜0,即 .

例2 已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.
解 由题意得:  ,
   解得，

例3 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.
(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.
解 (1)由题意得： ，
解之得， ,又因为m为整数,所以m＝2.
(2)当m＝2时，y＝-2x-1.
又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4.
解得： .

例4 说出直线y＝3x＋2与 ；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．
分析 k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．
解 直线y＝3x＋2与 的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,2)；
直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．

例5 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:
(1)直线上横坐标是2的点；
(2)直线上纵坐标是-3的点；
(3)直线上到y轴距离等于1的点．

解 (1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)；
(2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)；
(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5)．

例5 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：
(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
(2)当x取何值时，y＝0?
(3)当x取何值时，y＞0？
分析 (1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小.
(2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.
(3) y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.


解 (1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小. 当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.
(2)当x＝1时, y＝0 .
(3)当x＜1时, y＞0.
Ⅳ．课时小结
1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点.
2．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限；
k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限；
k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限；
k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限.
Ⅴ．课后作业
1.已知函数 ,当m为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第二、三、四象限？
2.已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m2＋m-3.
(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值；
(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.
3.已知函数 .
(1)当m取何值时，y随x的增大而增大?
(2)当m取何值时，y随x的增大而减小?
4.已知点(-1,a)和 都在直线 上，试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法？
5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质.










§11．2．2 专题: 一次函数应用(一)
教学目标
1.理解待定系数法；
2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．
3、体会用“数形结合”思想解决数学问题．
教学重难点
待定系数法确定一次函数解析式
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
    一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？
问题1 已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？
根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y＝kx＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k与b的值．
由已知条件x＝-2时，y＝-1，得   -1＝-2k＋b．
由已知条件x＝3时，y＝-3， 得   -3＝3k＋b．
两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程
        解得
所以，一次函数解析式为 ．
问题2 已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．
考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？
Ⅱ．导入新课
上题可作如下分析：
已知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式，所以要求的就是系数k和b 的值．而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝0时，y＝6；当x＝4时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b 的二元一次方程组，进而求得k与b的值．
解 设所求函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得

解这个方程组，得

所以所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．(其中自变量有一定的范围)
讨论

admin

1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题．
2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．
问题3 若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值．
分析 考虑到直线y＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元一次方程．
解 当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1．
这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法
Ⅲ．例题与练习
例1 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3,5)和点(-4，-9),求当x＝5时，函数y的值．
分析 1．图象经过点(3,5)和点(-4，-9)，即已知当x＝3时，y＝5；x＝-4时，y＝-9．代入函数解析式中，求出k与b．
2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手．
解 由题意，得
解这个方程组，得
这个函数解析式为y＝2x-1
当x＝5时，y＝2×5-1＝9．
例2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．

分析 从“形” 看，图象经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)满足解析式．
解 设：所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得
   解得   
所以所求的一次函数的关系式是 ．
例3 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.
分析 直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.
解 因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2.
Ⅳ．课时小结
本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法。求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中两个待定系数k和b的值；
Ⅴ．课后作业
1.根据下列条件写出相应的函数关系式．
(1)直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)；
(2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7．
2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)．
3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系．

4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，并画出图象．
5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高．
























一次函数（4）
知识技能目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质.
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.
过程性目标
1.经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响；
2.观察图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力．
教学过程






例3 求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．
分析 两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解．
解 两个函数关系式组成的方程组为
解这个方程组，得
所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)．

例4 已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
(1)在同一坐标系内作出它们的图象；
(2)求出它们的交点A坐标；
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
分析 (1)这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．
(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．
(4)先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．
解 (1)


(2)   解得
所以两条直线的交点坐标A为 ．
(3)当y1＝0时，x＝ 所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B( ，0)，当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A作AE⊥x轴于点E，则 ．
(4)两个解析式组成的方程组为
解这个关于x、y的方程组，得
由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
即   解得  ．
教学目标
1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
2、能利用函数图象解决简单的实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学过程
一、范例
1、学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费。现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包赞，则可按每100页15元收费。两复印社每月收费情况如图所示。
    根据图象回答：
    (1)乙复印社的每月承包费是多少?
   

admin

(2)当每月复印多少页时．两复印社实际收费相同?
    (3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社?
    提问：1、“收费相同”在图象上怎么反映出来?
    2、如何在图象上看出函数值的大小?
    请同学们讨论、解答、并交流自己的解答；教师引导学生如何读懂图形语言．并把图形语言转化为数学语言或文字语言。
    解答结果是：(1)乙复印社的每月承包费是200元；(2)当每月复印800页时，两复印社实际收费相同；(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社。
    说明：本题亦可用代数方法解。
3．在17．3问题2中，小张的同学小王以前没有存过零用钱．听到小张在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小张。请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王有数和月份数的函数关系的图象，在图上找一找半年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张。
分析
    (1)列表：这两个函数的自变量x的取值范围是自然数，列出x与y的对应值表： (2)描点作图，就得到函数的图象
  　提问：你能用其他方法解决上述问题吗?
4．利用图象解方程组
分析：两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式。而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解。
二、课堂练习
P54练习l、2。
三、小结
这节课，你学会了什么知识？
四、作业
P57页17、5　　1、2

第二课时　　实践与探索(二)
教学目标
1、熟练掌握一次函数图象的画法，能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
2、体验一次函数图象与一元一次方程的解，一元一次不等式的解集之间关系的探索过程，培养学生图形语言，数学语言以及文字语言相互转化的能力。
教学过程
一、范例
1．画出函数y＝32 x+3的图象，根据图象，指出：
(1)x取什么值时，函数的值等于零?
(2)x取什么值时，函数值y始终大于零?
从函数y＝32 x+3图象可以看出：
    当函数值y等于零时，直线y＝32 x+3与x轴相交于点(－2，0)，这时的横坐标就是所求的x值。所以当x=－2时，函数值y等于零。因为在x轴上方的函数图象每一点的纵坐标都大于0，横坐标都大于－2。所以当x>－2时，函数值y始终大于零。
    小结：在x轴上方的函数图象，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解析式上，就是函数值大于0，在x轴下方的函数图象，任意一点的纵坐标都小于0，反映在函数解析上，就是函数值小于0。提问：①当x取什么值时，函数值y始终小于零?②当x取什么值时，函数值y小于3?③当x取何值时，0≤y≤3?
二、想一想
由上例，想想看，一元一次方程 32 x+3＝0的解，不等式32 x+3>0的解集与函数y＝32 x+3的图象有什么关系?说说你的想法，并和同学讨论交流．
在学生讨论、交流和发表意见后，教师加以引导，最后归纳.
三、课堂练习
P55页练习l、2．
四、小结
本节课，通过作函数图象、观察函数图象，并从中初步体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的内在联系，使我们感受到不等式、方程、函数是紧密联系着的一个整体，今后，我们还要继续学习并研究它们之间的内在联系。

















§11．2．2 专题: 一次函数应用(二)
教学目标
    利用一次函数知识解决相关实际问题．
教学重点
    灵活运用知识解决相关问题．
教学难点
    灵活运用有关知识解决相关问题．
教学过程
   I提出问题，创设情境
    我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.
II导入新课
下面我们来学习一次函数的应用．
    例1 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．
    分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．
解：y=

    我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
  例2 Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？
    思考方法：从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．
    通过分析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：
    若设Ａ──Ｃx吨，则：
    由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．