人教版初中八年级上册数学全册教案备课集

admin

[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
    Ⅱ．导入新课
    1．做一做
    出示投影片：
   






你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
    [师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
    [生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）
    =27=25+2．
    因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
    a3?a2=（a?a?a）?（a?a）=a5=a3+2．
    5m?5n=  × =5m+n．
    （让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
    [生]我们可以发现下列规律：
    （一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
    （二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
    2．议一议
    出示投影片
   
[师生共析]
    am?an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
    am?an= ? = =am+n
    于是有am?an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
    “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
    [生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am?an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am?an=am+n．
    [师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
    3．例题讲解
    出示投影片
   


[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
    [生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
    [生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
    [师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
    生板演：
    （1）解：x2?x5=x2+5=x7．
    （2）解：a?a6=a1?a6=a1+6=a7．
    （3）解：2×24×23=21+4?23=25?23=25+3=28．
    （4）解：xm?x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．
    [师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．
    解法一：am?an?ap=（am?an）?ap
    =am+n?ap=am+n+p；
    解法二：am?an?ap=am?（an?ap）=am?an+p=am+n+p．
    解法三：am?an?ap= ? ?
    =am+n+p．
    评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
    [生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
    [师]是的，能不能用符号表示出来呢？
    [生]am1?am2?…?amn=am1+m2+mn
    [师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
    2×24×23=21+4+3=28．
    Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习   
       Ⅳ．课时小结
    [师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
    [生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．
    [生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am?an=am+n（m、n是正整数）．
    Ⅴ．课后作业
    1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．
    《三级训练》
       板书设计
   

§15．2．3幂的乘方
教学目标：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
          2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：会进行幂的乘方的运算。
教学难点：幂的乘方法则的总结及运用。
教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：投影仪、常用的教学用具
活动准备：
1、计算（1）（x+y）2?（x+y）3         （2）x2?x2?x+x4?x
       （3）（0.75a）3?（ a）4      （4）x3?xn-1－xn-2?x4
教学过程：
     通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。
一、        探索练习：
1、          64表示_________个___________相乘.
(62)4表示_________个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘.
(a2)3表示_________个___________相乘.
在这个练习中，要引导学生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。
   2、（62）4=________×_________×_______×________
           =__________(根据an?am=anm)
           =__________
      （33）5=_____×_______×_______×________×_______
           =__________(根据an?am=anm)
           =__________

admin

（a2）3=_______×_________×_______
           =__________(根据an?am=anm)
           =__________
（am）2=________×_________
           =__________(根据an?am=anm)
           =__________
（am）n=________×________×…×_______×_______
           =__________(根据an?am=anm)
           =__________
即 （am）n= ______________(其中m、n都是正整数)
通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点（如底数、指数发生了怎样的变化）并运用自己的语言进行描述。然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。
   
二、        巩固练习：
1、        1、计算下列各题：
（1）（103）3     （2）[（ ）3]4        （3）[（－6）3]4
（4）（x2）5      （5）－（a2）7       （6）－（as）3
（7）（x3）4?x2           （8）2（x2）n－（xn）2
（9）[（x2）3]7   
  学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。
2、        判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10                                    （     ）
（2）（s3）3=x6                                     （     ）
（3）（－3）2?（－3）4=（－3）6=－36     （     ）
（4）x3+y3=（x+y）3                   （     ）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0        （     ）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.
三、        提高练习：
1、        1、计算  5（P3）4?（－P2）3+2[（－P）2]4?（－P5）2
[（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）1990
2、        若（x2）n=x8，则m=_____________.
3、        、若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。
4、        若xm?x2m=2，求x9m的值。
5、        若a2n=3，求（a3n）4的值。
      6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

小    结：会进行幂的乘方的运算。

作    业：课本P16习题1.7：1、2、3。
    《三级训练》
§15．2．3  积的乘方
    教学目标
    （一）教学知识点
    1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
    2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
    （二）能力训练要求
    1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．
    2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．
    （三）情感与价值观要求
    在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．
    教学重点
    积的乘方运算法则及其应用．
    教学难点
    幂的运算法则的灵活运用．
    教学方法
    自学─引导相结合的方法．
    同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问题．
    教具准备
    投影片．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    [师]还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
    [生]它的体积应是V=（1.1×103）3cm3．
    [师]这个结果是幂的乘方形式吗？
    [生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
    [师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
    Ⅱ．导入新课
    老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
出示投影片

学生探究的经过：
   1．（1）（ab）2 =（ab）?（ab）= （a?a）?（b?b）= a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出（2）、（3）题．
    （2）（ab）3=（ab）?（ab）?（ab）=（a?a?a）?（b?b?b）=a3b3；
    （3）（ab）n= = ? =anbn
    2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
    用符号语言叙述便是：
    （ab）n=an?bn（n是正整数）
    3．正方体的体积V=（1.1×103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
    V=（1.1×103）3=1.13×（103）3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109（cm3）
    通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
    （ab）n=an?bn（n为正整数）
    积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
    4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
    an?bn=（ab）n（n为正整数）
    分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
    同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
   

admin

看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
    对于an?bn=（a?b）n（n为正整数）的证明如下：
    an?bn= ? ──幂的意义
    = ──乘法交换律、结合律
    ＝（a?b）n        ──乘方的意义
    5．[例3]计算
    （1）（2a）3=23?a3=8a3．
    （2）（-5b）3=（-5）3?b3=-125b3．
    （3）（xy2）2=x2?（y2）2=x2?y2×2=x2?y4=x2y4．
    （4）（-2x3）4=（-2）4?（x3）4=16?x3×4=16x12．
    （学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
    [师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
    1．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an?bn（n为正整数）．
    2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an?bn?cn（n为正整数）．
    3．积的乘方法则也可以逆用．即an?bn=（ab）n，an?bn?cn=（abc）n，（n为正整数）．
    Ⅲ．随堂练习
    1．课本P170练习
        
（由学生板演或口答）
     Ⅳ．课时小结
    [师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
    [生]通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则，还能理解它的真正含义．
    [生]其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．
    [生]通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用．
    Ⅴ．课后作业
    1．课本P175习题15．2─1．（5）、（6），2，3题．
    2．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误．
    3．预习“15．2．4  整式的乘法”一节．
       板书设计
    《三级训练》
§15．3．1  平方差公式
    教学目标
    （一）教学知识点
    1．经历探索平方差公式的过程．
    2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
    （二）能力训练要求
    1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
    2．培养学生观察、归纳、概括的能力．
    （三）情感与价值观要求     在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．
    教学重点
    平方差公式的推导和应用．
    教学难点
    理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
    教学方法
    探究与讲练相结合．
    通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．
    教具准备
    投影片．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    [师]你能用简便方法计算下列各题吗？
    （1）2001×1999   （2）998×1002
    [生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
    [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
    [师]很好，请同学们自己动手运算一下．
    [生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
    =20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
    =20002-1
    =4000000-1
    =3999999．
    （2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
    =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
    =10002-22
    =1000000-4
    =1999996．
    [师]2001×1999=20002-12
       998×1002=10002-22
    它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．
    Ⅱ．导入新课
    [师]出示投影片
   计算下列多项式的积．
    （1）（x+1）（x-1）
    （2）（m+2）（m-2）
    （3）（2x+1）（2x-1）
    （4）（x+5y）（x-5y）
    观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
    （学生讨论，教师引导）
    [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
    [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
    [师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
    [生]解：（1）（x+1）（x-1）
              =x2+x-x-1=x2-12
    （2）（m+2）（m-2）
        =m2+2m-2m-2×2=m2-22
    （3）（2x+1）（2x-1）
        =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
    （4）（x+5y）（x-5y）
        =x2+5y?x-x?5y-（5y）2
        =x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：


也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．

    [师]能不能再举例验证你的发现？
    [生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．

    即（50+1）（50-1）=502-12．
    （-a+b）（-a-b）=（-a）?（-a）+（-a）?（-b）+b?（-a）+b?（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2

   

admin

这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
    [师]为什么会是这样的呢？
    [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
    [师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
    [生]这个规律用符号表示为：
    （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
    利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
    （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
    [师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
    [生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
    [师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
    （出示投影）
    两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
    即：（a+b）（a-b）=a2-b2
    平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
    在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
    （出示投影片）
    例1：运用平方差公式计算：
    （1）（3x+2）（3x-2）
    （2）（b+2a）（2a-b）
    （3）（-x+2y）（-x-2y）
    例2：计算：
    （1）102×98
    （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
    [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
    在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
    即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
    （a+b）（a-b）=a2-b2
    同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：
    （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
    如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
    （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
    [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
    （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
    （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
    [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
    =1002-22=10000-4=9996．
    （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
    =y2-22-（y2+5y-y-5）
    =y2-4-y2-4y+5
    =-4y+1．
    [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
    [生]我觉得应注意以下几点：
    （1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
    （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
    （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
    [生]运算的最后结果应该是最简才行．
    [师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．
    Ⅲ．随堂练习
    出示投影片：
    计算：
    （1）（a+b）（-b+a）
    （2）（-a-b）（a-b）
    （3）（3a+2b）（3a-2b）
    （4）（a5-b2）（a5+b2）
    （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
    （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
       Ⅳ．课时小结
    通过本节学习我们掌握了如下知识．
    （1）平方差公式
    两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
    （2）公式的结构特征
    ①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
    ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
    ③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
    Ⅴ．课后作业
    1．课本P179练习1、2．
    2．课本P182～P183习题15．3─1题．
   《三级训练》
        板书设计
  §15．3．2．1  完全平方公式（一）
    教学目标
    （一）教学知识点
    1．完全平方公式的推导及其应用．
    2．完全平方公式的几何解释．
    （二）能力训练要求
    1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．
    2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
    （三）情感与价值观要求
    在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．
    教学重点
    完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
    教学难点
    理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
    教学方法
    自主探索法
    有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的目的．
    教具准备
    投影片．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    [师]请同学们探究下列问题：
   

admin

（出示投影片）
    一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
    （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
    （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
    （3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
    （4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
    [生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
    （2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
    （3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
    （4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
    （a+b）2（a2+b2）
    我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．
    [师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．
    Ⅱ．导入新课
    [师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
    [生]可以．我们知道a2=a?a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
    [师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
    （出示投影片）
    计算下列各式，你能发现什么规律？
    （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
    （2）（m+2）2=_______；
    （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
    （4）（m-2）2=________；
    （5）（a+b）2=________；
    （6）（a-b）2=________．
    [生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
    （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m?2+2×2=m2+4m+4
    （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p?（-1）+（-1）?p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
    （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m?（-2）+（-2）?m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
    （5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
    （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
    [生乙]我还发现（1）结果中的2p=2?p?1，（2）结果中4m=2?m?2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
    [师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
    [生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
    [生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
    [师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
    文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
    符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2  （a-b）2=a2-2ab+b2
    其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
    （出示投影片）
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？
               
    [生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
    [生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
    [生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
    [生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
    如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a?b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
    [师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
    （a+b）2-（a2+b2）
    =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
    应用举例：
    出示投影片：
    [例1]应用完全平方公式计算：
    （1）（4m+n）2    （2）（y- ）2
    （3）（-a-b）2    （4）（b-a）2
    [例2]运用完全平方公式计算：
    （1）1022    （2）992
    分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
    [例1]解：
    （1）（4m+n）2=（4m）2+2?4m?n+n2
    （a+b）2=a2+2?a?b+b2
    =16m2+8mn+n2
    （2）方法一：
    （y- ）2=y2-2?y? +（ ）2
    （a-b）2=a2-2?a?b+b2
           =y2-y+
    方法二：（y- ）2
            =[y+（- ）]2=y2+2?y?（- ）+（- ）2
    （a+b）2=a2+2?a?b+b2
         

admin

   =y2-y+
    （3）（-a-b）2=（-a）2-2?（-a）?b+b2=a2+2ab+b2
    （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
      从（3）、（4）的计算可以发现：
    （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
    [例2]解：（1）1022=（100+2）2
    =1002+2×100×2+22
    =10000+400+4
    =10404．
    （2）992=（100-1）2
    =1002-2×100×1+12
    =10000-200+1
    =9801．
    [师]请同学们总结完全平方公式的结构特征．
    [生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
    [师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
    Ⅲ．随堂练习
    课本P181练习1、2．
       Ⅳ．课堂小结（略）
    Ⅴ．课后作业
    课本P183习题15．3─2、4、7题．
《三级训练》
        板书设计
   
§15．3．2．2  完全平方公式（二）
    教学目标
    （一）教学知识点
    1．添括号法则．
    2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
    （二）能力训练目标
    1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
    2．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
    （三）情感与价值观要求
    鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．
    教学重点
    理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用．
    教学难点
    在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．
    教学方法
    引导─探究相结合
    教师由去括号法则引入添括号法则，并引导学生适当添括号变形，从而达到熟悉乘法公式应用的目的．
    教具准备
    投影片（或多媒体课件）．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    [师]请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
    （1）4+（5+2）    （2）4-（5+2）    （3）a+（b+c）    （4）a-（b-c）
    [生]解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11
    （2）4-（5+2）=4-5-2=-3
    或：4-（5+2）=4-7=-3
    （3）a+（b+c）=a+b+c
    （4）a-（b-c）=a-b+c
    去括号法则：
    去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．
    也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．
    [师]∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：
    （1）4+5+2=4+（5+2）    （2）4-5-2=4-（5+2）
    左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
    （学生分组讨论，最后总结）
    [生]添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
    添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
    也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
    [师]能举例说明吗？
    [生]例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c．也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）．添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值．
    [师]你说得很有条理，也很准确．
    请同学们利用添括号法则完成下列练习：
    （出示投影片）
    1．在等号右边的括号内填上适当的项：
    （1）a+b-c=a+（   ）
    （2）a-b+c=a-（   ）
    （3）a-b-c=a-（   ）
    （4）a+b+c=a-（   ）
    2．判断下列运算是否正确．
    （1）2a-b- =2a-（b- ）
    （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
    （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
    （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
    （学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得．教师遁视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学）
     总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
       Ⅱ．导入新课
    [师]有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵．请同学们分组讨论，完成下列计算．
    （出示投影片）
    例：运用乘法公式计算
    （1）（x+2y-3）（x-2y+3）
    （2）（a+b+c）2
    （3）（x+3）2-x2
    （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
    （让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的）
    分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，以便利用乘法公式，达到简化运算的目的．
   

admin

（2）是一个完全平方的形式，只须将a+b+c中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算．
    （3）是完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算．
    （4）完全平方公式计算与多项式乘法计算，但要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再用去括号法则进行计算，这样就可以避免符号上出现错误．
    Ⅲ．随堂练习
    1．课本P182练习2．
    2．课本P183习题15．3─3．
    Ⅳ．课时小结
    通过本节课的学习，你有何收获和体会？
    [生]我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
    [生]我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等．
    [师]同学们总结得很好．在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现．
    Ⅴ．课后作业
    课本P183习题15．3─5、6、8、9题．
        板书设计
   


















§15．4．1  同底数幂的除法

    教学目标
    （一）教学知识点
    1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．
    2．同底数幂的除法的运算算理．
    （二）能力训练要求
    1．经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算．
    2．理解同底数幂的除法的运算算理，发展有条理的思考及表达能力．
    （三）情感与价值观要求
    1．经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验．
    2．渗透数学公式的简洁美与和谐美．
    教学重点
    准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
    教学难点
    根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
    教学方法
    探索讨论、归纳总结的方法．
    教具准备
    投影片．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    [师]出示投影片
    1．叙述同底数幂的乘法运算法则．
    2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
    [生]1．同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即：am?an=am+n（m、n是正整数）．
    2．移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210=216K．所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28．
    [生]216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？
    [师]这正是我们这节课要探究的问题．
    Ⅱ．导入新课
    [师]请同学们做如下运算：
    1．（1）28×28    （2）52×53
    （3）102×105    （4）a3?a3
    2．填空：
    （1）（    ）?28=216
    （2）（    ）?53=55
    （3）（    ）?105=107
    （4）（    ）?a3=a6
    [生]1．（1）28×28=216
    （2）52×53=55
    （3）102×105=107
    （4）a3?a3=a6
    2．除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：
    （1）216÷28=（   ）
    （2）55÷53=（   ）
    （3）107÷105=（   ）
    （4）a6÷a3=（   ）
    再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：（1）28；（2）52；（3）102；（4）a3．
    [师]其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．
    [生]（1）216÷28
    （2）55÷53=
    （3）107÷105
    （4）a6÷a3=
    [师]从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
    （学生以小组为单位，展开讨论，教师可深入其中，及时发现问题）
    [生甲]我们可以发现同底数幂相除，如果还是幂的形式，而且这个幂的底数没有改变．
    [生乙]指数有所变化．（1）8=16-8；（2）2=5-3；（3）2=7-5；（4）3=6-3．所以商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数．
    [生丙]这说明同底数幂的除法与同底数幂的乘法的运算法则类似．相同之处是底数不变．不同之处是除法是指数相减，而乘法是指数相加．
    [生丁]太对了．那么同底数幂的除法运算法则可以叙述为：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即：am÷an=am-n．
    [师]同学们总结得很好．但老师还想提一个问题：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？
    [生]噢，对了，对于除法运算应要求除数（或分母）不为零，所以底数不能为零．
    [师]下面我们来共同推导同底数幂相除的运算法则：
    方法一：am÷an= =am-n
    方法二：根据除法是乘法的逆运算
    ∵am-n?an=am-n+n=am
    ∴am÷an=am-n．
    要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则：
    同底数幂相除，底数不变，指数相减．
    即：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）
    例题讲解：（出示投影片）
    1．计算：
    （1）x8÷x2    （2）a4÷a    （3）（ab）5÷（ab）2
    2．先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？
    （1）32÷32=（   ）
    （2）103÷103=（   ）
    （3）am÷an=（   ）（a≠0）
    1．解：（1）x8÷x2=x8-2=x6．
    （2）a4÷a=a4-1=a3．