人教版中学九年级上册数学全册教案备课集

admin

   问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
    设苗圃的宽为xm，则长为_______m．
    根据题意，得________．
    整理，得________．
列表：
x        0        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11
                                                                                               
    老师点评（略）
    二、探索新知
    提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
    （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？
    老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．
    （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．
    为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：
    一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
    回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
    例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
    -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
    分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
    解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
    例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
    （1）x2-64=0    （2）3x2-6=0     （3）x2-3x=0
    分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
    解：（1）移项得x2=64
    根据平方根的意义，得：x=±8
    即x1=8，x2=-8
    （2）移项、整理，得x2=2
    根据平方根的意义，得x=±
    即x1= ，x2=-
    （3）因为x2-3x=x（x-3）
    所以x2-3x=0，就是x（x-3）=0
    所以x=0或x-3=0
    即x1=0，x2=3
    三、巩固练习
    教材P33  思考题  练习1、2．
    四、应用拓展
    例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
    设长为xcm，则宽为（x-5）cm
    列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
    请根据列方程回答以下问题：
    （1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
    x        10        11        12        13        14        15        16        17        …
x2-5x-150                                                                       
    （3）你知道铁片的长x是多少吗？
    分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．
    解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．
    x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）
    x         10         11         12         13        14        15        16        17        ……
x2-5x-150        -100        -84        -66        -46        -24        0        26        54        ……
    （3）铁片长x=15cm
    五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
    本节课应掌握：
    （1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；
    （2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
    （3）要会用一些方法求一元二次方程的根．
    六、布置作业
    1．教材P34  复习巩固3、4  综合运用5、6、7  拓广探索8、9．
    2．选用课时作业设计．
     作业设计
    一、选择题
    1．方程x（x-1）=2的两根为（  ）．
      A．x1=0，x2=1     B．x1=0，x2=-1    C．x1=1，x2=2     D．x1=-1，x2=2
    2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（  ）．
    A．x1=b，x2=a       B．x1=b，x2=     C．x1=a，x2=       D．x1=a2，x2=b2
    3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则 =（  ）．
      A．1      B．-1     C．0      D．2
    二、填空题
    1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
    2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
    3．方程（x+1）2+ x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
    三、综合提高题
    1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．




    2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．



    3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（ ）2-2x +1=0，令 =y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．





答案:
一、1．D  2．B  3．A
二、1．9，-9  2．-13  3．-1，1-
三、1．由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9．
2．a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入得
ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1必是该方程的一根．
3．设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，
即当x2-1=0，x1=1，x2=-1；
当y2=-1时，x2-1=-1，x2=0，
∴x3=x4=0，
∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根．


22.2.1 直接开平方法

    教学内容
   

admin

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
    教学目标
    理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
    提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
    重难点关键
    1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
    2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
    教学过程
    一、复习引入
    学生活动：请同学们完成下列各题
    问题1．填空
    （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

    老师点评：
    问题1：根据完全平方公式可得：（1）16  4；（2）4  2；（3）（ ）2   ．
    问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
    则PB=x，BQ=2x
    依题意，得： x?2x=8
    x2=8
    根据平方根的意义，得x=±2
    即x1=2 ，x2=-2
    可以验证，2 和-2 都是方程 x?2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
    所以2 秒后△PBQ的面积等于8cm2．
    二、探索新知
    上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2 ，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
    （学生分组讨论）
    老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
    即2t+1=2 ，2t+1=-2
    方程的两根为t1= - ，t2=- -
    例1：解方程：x2+4x+4=1
    分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
    解：由已知，得：（x+2）2=1
    直接开平方，得：x+2=±1
    即x+2=1，x+2=-1
    所以，方程的两根x1=-1，x2=-3
    例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
    分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
    解：设每年人均住房面积增长率为x，
    则：10（1+x）2=14.4
    （1+x）2=1.44
    直接开平方，得1+x=±1.2
    即1+x=1.2，1+x=-1.2
    所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
    因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
    所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
    （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
    共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
    三、巩固练习
    教材P36  练习．
    四、应用拓展
    例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
    分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
    解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
    那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
    把（1+x）当成一个数，配方得：
    （1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=2．56
    x+ =±1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6
    方程的根为x1=10%，x2=-3.1
    因为增长率为正数，
    所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
    五、归纳小结
    本节课应掌握：
    由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± ，达到降次转化之目的．
    六、布置作业
    1．教材P45  复习巩固1、2．
    2．选用作业设计:

一、选择题
    1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（  ）．
      A．p=4，q=2     B．p=4，q=-2     C．p=-4，q=2    D．p=-4，q=-2
    2．方程3x2+9=0的根为（  ）．
      A．3      B．-3      C．±3     D．无实数根
    3．用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是（  ）．
      A．（x- ）2= ，x= ±
      B．（x- ）2=- ，原方程无解
      C．（x- ）2= ，x1= + ，x2=
      D．（x- ）2=1，x1= ，x2=-
    二、填空题
    1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
    2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
    3．如果a、b为实数，满足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
    三、综合提高题
    1．解关于x的方程（x+m）2=n．





    2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
    （1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
    （2）鸡场的面积能达到210m2吗？




   

admin

3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？



答案:
一、1．B  2．D  3．B
二、1．±   2．9或-3  3．-8
三、1．当n≥0时，x+m=± ，x1= -m，x2=- -m．当n<0时，无解
2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，
依题意，得：x（40-2x）=180
整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+ ，x2=10- ；
同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．
    （2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，
b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．
3．因要制矩形方框，面积尽可能大，
所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．




22.2.2 配方法
第1课时
    教学内容
    间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
    教学目标
    理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
    通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
    重难点关键
    1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
    2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）请同学们解下列方程
    （1）3x2-1=5   （2）4（x-1）2-9=0   （3）4x2+16x+16=9
    老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=± 或mx+n=± （p≥0）．
    如：4x2+16x+16=（2x+4）2
    二、探索新知
    列出下面二个问题的方程并回答：
    （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
    （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
    问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．
    大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

    老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：
                 x=（ x）2+12
    整理得：x2-64x+768=0
    问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500
    整理，得：x2-36x+70=0
    （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
    （2）不能．
    既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
    x2-64x+768=0  移项→ x=2-64x=-768
两边加（ ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16  
解一次方程→x1=48，x2=16
    可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．
    学生活动：
    例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．
    老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=± ，x-18= 或x-18=- ，x1≈34，x2≈2．
    可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．
    例2．解下列关于x的方程
    （1）x2+2x-35=0    （2）2x2-4x-1=0
    分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
    解：（1）x2-2x=35  x2-2x+12=35+1  （x-1）2=36  x-1=±6
        x-1=6，x-1=-6
        x1=7，x2=-5
    可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．
    （2）x2-2x- =0  x2-2x=
        x2-2x+12= +1   （x-1）2=
        x-1=± 即x-1= ，x-1=-
        x1=1+ ，x2=1-
    可以验证：x1=1+ ，x2=1- 都是方程的根．
    三、巩固练习
    教材P38  讨论改为课堂练习，并说明理由．
    教材P39  练习1  2．（1）、（2）．
    四、应用拓展
例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

    分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
    解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
    根据题意，得： （8-x）（6-x）= × ×8×6
    整理，得：x2-14x+24=0
    （x-7）2=25即x1=12，x2=2
    x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
    所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
    五、归纳小结
    本节课应掌握：
   

admin

左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
    六、布置作业
    1．教材P45  复习巩固2．
    2．选用作业设计．
            
    一、选择题
    1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（  ）．
      A．（x-2）2+3     B．（x-2）2-3    C．（x+2）2+3     D．（x+2）2-3
    2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（  ）．
      A．x2-8x+（-4）2=31     B．x2-8x+（-4）2=1
      C．x2+8x+42=1           D．x2-4x+4=-11
    3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（  ）．
      A．1       B．-1       C．1或9      D．-1或9
    二、填空题     1．方程x2+4x-5=0的解是________．
    2．代数式 的值为0，则x的值为________．
    3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
    三、综合提高题
    1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．


    2．如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求（xy）z的值．


    3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？


答案:
一、1．B  2．B  3．C
二、1．x1=1，x2=-5  2．2  3．z2+2z-8=0，2，-4
三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，
∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）
2．（x-2）2+（y+3）2+ =0，
∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=
3．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+ ×4）=5000，
x2-5500x+7506250=0，解得x=2750


22.2.2 配方法
第2课时
    教学内容
    给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．
    教学目标
    了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
    通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
    重难点关键
    1．重点：讲清配方法的解题步骤．
    2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
    教具、学具准备
    小黑板
    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）解下列方程：
    （1）x2-8x+7=0   （2）x2+4x+1=0
    老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
    解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0   （x-4）2=9
            x-4=±3即x1=7，x2=1
    （2）x2+4x=-1  x2+4x+22=-1+22
      （x+2）2=3即x+2=±
      x1= -2，x2=- -2
    二、探索新知
    像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
    可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
    例1．解下列方程
    （1）x2+6x+5=0   （2）2x2+6x-2=0   （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
    分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
    解：（1）移项，得：x2+6x=-5
        配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
        由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
    （2）移项，得：2x2+6x=-2
        二次项系数化为1，得：x2+3x=-1
        配方x2+3x+（ ）2=-1+（ ）2（x+ ）2=
        由此可得x+ =± ，即x1= - ，x2=- -
    （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0
        移项，得x2+4x=1
        配方，得（x+2）2=5
        x+2=± ，即x1= -2，x2=- -2
    三、巩固练习
    教材P39  练习  2．（3）、（4）、（5）、（6）．
    四、应用拓展
    例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
    分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4= （6x+7）+ ，x+1= （6x+7）- ，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
    解：设6x+7=y
        则3x+4= y+ ，x+1= y-
    依题意，得：y2（ y+ ）（ y- ）=6
    去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
    y2（y2-1）=72， y4-y2=72
    （y2- ）2=
    y2- =±
    y2=9或y2=-8（舍）
    ∴y=±3
    当y=3时，6x+7=3  6x=-4  x=-
    当y=-3时，6x+7=-3  6x=-10  x=-
    所以，原方程的根为x1=- ，x2=-
    五、归纳小结
    本节课应掌握：
    配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
    六、布置作业
    1.教材P45  复习巩固3．
    2.作业设计
    一、选择题
    1．配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为（  ）．
      A．（x- ）2=     B．（x- ）2=0
      C．（x- ）2=     D．（x- ）2=
   

admin

2．下列方程中，一定有实数解的是（  ）．
      A．x2+1=0           B．（2x+1）2=0
      C．（2x+1）2+3=0     D．（ x-a）2=a
    3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（  ）．
      A．1     B．2     C．-1      D．-2
    二、填空题
    1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
    2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
    3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
    三、综合提高题
    1．用配方法解方程．
    （1）9y2-18y-4=0                        （2）x2+3=2 x








    2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值．






    3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
    ①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
    ②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．











答案:
一、1．D  2．B  3．B
二、1．1，-5  2．正  3．x-y=
三、1．（1）y2-2y- =0，y2-2y= ，（y-1）2= ，
y-1=± ，y1= +1，y2=1-  
（2）x2-2 x=-3  （x- ）2=0，x1=x2=
2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，
∴原式=
3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，
x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250
    ∵-2（x-15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，y=1250元．
答：略


22.2.3 公式法

    教学内容
    1．一元二次方程求根公式的推导过程；
    2．公式法的概念；
    3．利用公式法解一元二次方程．
    教学目标
    理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
    复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
    重难点关键
    1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
    2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）用配方法解下列方程
    （1）6x2-7x+1=0   （2）4x2-3x=52
    （老师点评）  （1）移项，得：6x2-7x=-1
    二次项系数化为1，得：x2- x=-
    配方，得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2
              （x- ）2=
x- =±   x1= + = =1  
x2=- + = =
    （2）略
    总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
    （1）移项；
    （2）化二次项系数为1；
    （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
    （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
    （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
    二、探索新知
    如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
    问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1= ，x2=
    分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
    解：移项，得：ax2+bx=-c
    二次项系数化为1，得x2+ x=-
    配方，得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2
    即（x+ ）2=
    ∵b2-4ac≥0且4a2>0
    ∴ ≥0
    直接开平方，得：x+ =±
    即x=
    ∴x1= ，x2=
    由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
    （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．
    （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
    （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
    （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
    例1．用公式法解下列方程．
    （1）2x2-4x-1=0        （2）5x+2=3x2
    （3）（x-2）（3x-5）=0   （4）4x2-3x+1=0
    分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
    解：（1）a=2，b=-4，c=-1
    b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
    x=
    ∴x1= ，x2=
    （2）将方程化为一般形式
     3x2-5x-2=0
     a=3，b=-5，c=-2
     b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
    x=
    x1=2，x2=-
    （3）将方程化为一般形式
    3x2-11x+9=0
    a=3，b=-11，c=9
    b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
    ∴x=
    ∴x1= ，x2=
    （3）a=4，b=-3，c=1
    b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
    因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
    三、巩固练习
    教材P42  练习1．（1）、（3）、（5）
    四、应用拓展
    例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题．
   

admin

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
    （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
    你能解决这个问题吗？
    分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
    （2）要使它为一元一次方程，必须满足:
① 或② 或③
    解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
                               m2=1  m=±1
      当m=1时，m+1=1+1=2≠0
      当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
      ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
      a=2，b=-1，c=-1
      b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
      x=
      x1=，x2=-
      因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- ．
    （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
    因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
    所以m=0满足题意．
    ②当m2+1=0，m不存在．
    ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
    所以m=-1也满足题意．
    当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
    解得：x=-1
    当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
    解得x=-
    因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=- ．
    五、归纳小结
    本节课应掌握：
    （1）求根公式的概念及其推导过程；
    （2）公式法的概念；
    （3）应用公式法解一元二次方程；
    （4）初步了解一元二次方程根的情况．
    六、布置作业
    1．教材P45  复习巩固4．
    2．选用作业设计:
     
    一、选择题
    1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（  ）．
A．x=      B．x=     
C．x=      D．x=
    2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（  ）．
A．x1= ，x2=      B．x1=6，x2=
C．x1=2 ，x2=      D．x1=x2=-
    3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（  ）．
      A．4     B．-2     C．4或-2     D．-4或2
    二、填空题
    1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
    2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
    3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
    三、综合提高题
    1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
    2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=- ，x1?x2= ；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
    3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费．
    （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份        用电量（千瓦时）        交电费总金额（元）
3               80               25
4               45               10
    根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？

答案:
一、1．D  2．D  3．C
二、1．x= ，b2-4ac≥0   2．4  3．-3
三、1．x= =a±│b│
2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
    ∴x1= ，x2=
    ∴x1+x2= =- ，
    x1?x2= ? =
    （2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
    原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
        =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
        =0
3．（1）超过部分电费=（90-A）? =- A2+ A
（2）依题意，得：（80-A）? =15，A1=30（舍去），A2=50





22.3 实际问题与一元二次方程(1)
   
    教学内容
    由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
    教学目标
    掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
    通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
    重难点关键
    1．重点：用“倍数关系”建立数学模型
    2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型
    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）问题1：列方程解应用题
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：
星期        一        二        三        四        五
甲        12元        12.5元        12.9元        12.45元        12.75元
乙        13.5元        13.3元        13.9元        13.4元        13.75元
    某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
    老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．
    解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．
    则     解得
   

admin

答：（略）
    二、探索新知
    上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．
    （学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
    老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
    解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=3.31
    去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31
    整理，得：x2+3x-0.31=0
    解得：x=10%
    答：（略）
    以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
    例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
    分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．
    解：设平均增长率为x
    则200+200（1+x）+200（1+x）2=950
    整理，得：x2+3x-1.75=0
    解得：x=50%
    答：所求的增长率为50%．
    三、巩固练习
    （1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
    （2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．
    四、应用拓展
    例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
    分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x?80%；第二次存，本金就变为1000+2000x?80%，其它依此类推．
    解：设这种存款方式的年利率为x
    则：1000+2000x?80%+（1000+2000x?8%）x?80%=1320
    整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
    解得：x1=-2（不符，舍去），x2= =0.125=12.5%
    答：所求的年利率是12．5%．
    五、归纳小结
    本节课应掌握：
    利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
    六、布置作业
    1．教材P53  复习巩固1  综合运用1．
    2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（  ）．
    A．100（1+x）2=250    B．100（1+x）+100（1+x）2=250
    C．100（1-x）2=250    D．100（1+x）2
2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（  ）．
    A．（1+25%）（1+70%）a元   B．70%（1+25%）a元
    C．（1+25%）（1-70%）a元   D．（1+25%+70%）a元
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（  ）．
    A．       B．p      C．       D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
三、综合提高题
1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．
















3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．