绿色圃中小学教育网

标题: 小升初专题讲座 [打印本页]

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:09
标题: 小升初专题讲座
第一讲  行程问题
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；
速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；
时间行走或移动所花时间.
这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度×时间
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
总量=每个人的数量×人数.
工作量=工作效率×时间.
　　因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.
　　当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.
　　这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
1.1  追及与相遇
　　有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，
　　甲走的距离-乙走的距离
　　= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
　　=（甲的速度-乙的速度）×时间.
　　通常，“追及问题”要考虑速度差.
　　例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
　　解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.
　　此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此
　　所用时间=9÷6＝1.5（小时）.
　　小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是

　　面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.
　　城门离学校的距离是
　　48×1.5＝72（千米）.
　　答：学校到城门的距离是72千米.
　　例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？
　　解一：可以作为“追及问题”处理.
　　假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是
　　50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）?
　　因此，小张走的距离是
　　75× 20＝ 1500（米）.
　　答：从家到公园的距离是1500米.
　　还有一种不少人采用的方法.
　　
　　家到公园的距离是

　　一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
　　例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？
　　解一：自行车1小时走了
　　30×1-已超前距离，
　　自行车40分钟走了

　　自行车多走20分钟，走了

　　因此，自行车的速度是

　　答：自行车速度是20千米/小时.
　　解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差
　　1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：

　　马上可看出前一速度差是15.自行车速度是
　　35- 15＝ 20（千米/小时）.
　　解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.
　　例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
　　解：画一张简单的示意图：

　　图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
　　8-4＝4（千米）.
　　而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
　　这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
　　但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
　　4＋12＝16（千米）.
　　少骑行24-16＝8（千米）.
　　摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
　　8＋8＋16＝32.
　　答：这时是8点32分.
　　下面讲“相遇问题”.
　　小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么
　　甲走的距离+乙走的距离
　　=甲的速度×时间+乙的速度×时间
　　=（甲的速度+乙的速度）×时间.
　　“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
　　例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？
　　解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是
　　36÷（3＋1）＝9（分钟）.
　　答：两人在9分钟后相遇.
　　例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.
　　解：画一张示意图

　　离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米
　　小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是
　　2÷（5-4）＝2（小时）.
　　因此，甲、乙两地的距离是
　　（5＋ 4）×2＝18（千米）.
　　本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.
　　请再看一个例子.
　　例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.
　　解：先画一张行程示意图如下

　　设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.
　　下面的考虑重点转向速度差.
　　在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点
　　（或E点）相遇所用时间是
　　28÷5＝ 5.6（小时）.
　　比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.
　　甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是
　　12÷0.4＝30（千米/小时）.
　　同样道理，乙的速度是
　　16÷0.4＝40（千米/小时）.
　　A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
　　答： A，B两地距离是 420千米.
　　很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.
　　例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

　　问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？
　　（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？
　　解：（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了

　　因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是
　　2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.
　　从出发到相遇的时间是
　　25＋ 15＝ 40 （分钟）.
　　（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.
　　小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走

　　小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.
　　答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:09
1.2  环形路上的行程问题
　　人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.
　　例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
　　（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？
　　（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
　　解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是
　　500÷1.25-180=220（米/分）.
　　（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是
　　500÷（220-180）＝12.5（分）.
　　220×12.5÷500＝5.5（圈）.
　　答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.
　　例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

　　解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是
　　80×3＝240（米）.
　　240-60=180（米）.
　　180×2＝360（米）.
　　答：这个圆的周长是360米.
　　在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.
　　例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？
　　解：画示意图如下：

　　如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是
　　40×3÷60＝2（小时）.
　　从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了
　　6×2-2＝10（千米）.
　　小王已走了 6＋2=8（千米）.
　　因此，他们的速度分别是
　　小张 10÷2＝5（千米/小时），
　　小王 8÷2=4（千米/小时）.
　　答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.
　　例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
　　解：画示意图如下.

　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了
　　3.5×3＝10.5（千米）.
　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是
　　10.5-2＝8.5（千米）.
　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了
　　3.5×7＝24.5（千米），
　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
　　就知道第四次相遇处，离乙村
　　8.5-7.5=1（千米）.
　　答：第四次相遇地点离乙村1千米.
　　下面仍回到环行路上的问题.
　　例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？
　　解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

　　12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.
　　出发后2小时10分小张已走了

　　此时两人相距
　　24-（8＋11）=5（千米）.
　　由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是
　　5÷（4＋6）＝0.5（小时）.
　　2小时10分再加上半小时是2小时40分.
　　答：他们相遇时是出发后2小时40分.
　　例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

　　爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
　　解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.
　　30÷（5-3）＝15（秒）.
　　因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要
　　90÷（5-3）＝45（秒）.
　　B与C到达同一位置，出发后的秒数是
　　15，，105，150，195，……
　　再看看A与B什么时候到达同一位置.
　　第一次是出发后
　　30÷（10-5）=6（秒），
　　以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要
　　90÷（10-5）＝18（秒），
　　A与B到达同一位置，出发后的秒数是
　　6，24，42，，78，96，…
　　对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
　　答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
　　请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？
　　例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求
　

　　解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.
　　设汽车行驶CD所需时间是1.
　　根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出
　　
　　分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.
　　从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.
　　PC上所需时间-PD上所需时间
　　=DA所需时间-CB所需时间
　　=18-12
　　=6.
　　而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得
　　PC上所需时间是（24+6）÷2＝15，
　　PD上所需时间是24-15＝9.
　　现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有
　　BN上所需时间-AN上所需时间
　　=P→D→A所需时间-CB所需时间
　　=（9＋18）-12
　　= 15.
　　BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间
　　=16.
　　立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.
　　
　　从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:10
1.3  稍复杂的问题
　　在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：
　　（1）在行程中能设置一个解题需要的点；
　　（2）灵活地运用比例.
　　例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
　　解：画一张示意图：

　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于

　　这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是
　　1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.
　　这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要
　　130÷2=65（分钟）.
　　从乙地到甲地需要的时间是
　　130＋65=195（分钟）＝3小时15分.
　　答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.
　　上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.
　　例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？
解：先画一张示意图

　　设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：
　　骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.
　　具体计算如下：
　　不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是
　　1＋1.5＝2.5（单位）.
　　每个单位是 2000÷2.5＝800（米）.
　　因此，从公园到家的距离是
　　800×1.5＝1200（米）.
　　答：从公园门口到他们家的距离是1200米.
　　这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.
　　例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？
　　解：画一张示意图：

　　设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.
　　有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.
　　慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.
　　现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是
　　14÷（2＋3）＝2.8（小时）.
　　慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了
　　7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.
　　答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
　　例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.
　　解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

　　第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.
　　为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此
　　顺水速度∶逆水速度=5∶3.
　　由于两者速度差是8千米.立即可得出

　　A至B距离是 12＋3=15（千米）.
　　答：A至B两地距离是15千米.
　　例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行。
1小时20分后，在第二段的

　　解一：画出如下示意图：

　　当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的

　　到达D处，这样，D把第一段分成两部分
　

时20分相当于
　
　　
　　因此就知道，汽车在第一段需要

　　第二段需要 30×3＝90（分钟）；
　　
　　甲、乙两市距离是

　　答：甲、乙两市相距185千米.
　　把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.
　　还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.
　　
　　第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.
　　
　　时间一样.
　　第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.
　　因此，三段路程所用时间的比是
　　5∶9∶2.
　　汽车走完全程所用时间是 80×2＝160（分种）.
　　
　　例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？
　　解：设原速度是1.
　　
　　％后，所用时间缩短到原时间的

　　这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.
　　用原速行驶需要

　　同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的
　
　　
　　如果一开始就加速25％，可少时间

　　现在只少了40分钟， 72-40＝32（分钟）.
　　说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间
　

　　真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长

　　答：甲、乙两地相距270千米.
　　十分有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.
　　全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有
　　x∶120＝72∶32.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:10
第二讲 和、差与倍数的应用题
　　做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算，而且要 多思考，善于发现题目中的数量关系，可以说做应用题是运用数学的开始.
　　加、减、乘是最基本的运算，和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.
2.1  和差问题
　　说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：
大数=（和+差）÷2
小数=（和-差）÷2
　　会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算.
　　先看几个简单的例子.
　　例1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？
　　解：95乘以2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此
　　数学得分=（95×2＋8）÷2＝99.
　　语文得分=(95×2-8）÷2＝ 91.
　　答：张明数学得99分，语文得91分.
　　注：也可以从 95×2-99＝91求出语文得分.
　　例2 有 A，B，C三个数，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求这三个数.
　　解：从B+C＝197与A+C＝149，就知道B与A的差是197-149，题目又告诉我们，B与A之和是252.因此
　　B=（252＋ 197-149）÷ 2＝ 150，
　　A＝252-150＝102，
　　C＝149-102＝47.
　　答：A，B，C三数分别是102，150，47.
　　注：还有一种更简单的方法
　　（A+B）＋（B＋C）＋（C＋A）＝2×（A＋B＋C）.
　　上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和.
　　A＋B＋C＝（252＋197＋149）÷2＝299.因此
　　C＝299-252＝47，
　　B＝299-149＝150，
　　A＝299-197＝102.
　　例3 甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？
　　解：画一张简单的示意图，

　　就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多
　　5＋7＋ 5＝ 17（千克）
　　因此，甲、乙两数之和是 75，差为17.
　　甲筐苹果数=（75＋17）÷2＝ 46（千克）.
　　乙筐苹果数=75-46＝29（千克）.
　　答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克.
　　例4 张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？
　　解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是 270元，差是 210元.
　　外衣和鞋价之和=（270＋ 210）÷2＝ 240（元）.
　　外衣价与鞋价之差是140，因此
　　鞋价=（240-140）÷2＝50（元）.
　　答：买这双鞋花50元.
　　再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.
　　例5 李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？
　　解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有
　　钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）.
　　晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.
　　因此
　　钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.
　　现在已把问题转化成标准的和差问题了.
　　钟停的时间=（160＋120）÷ 2＝ 140（分钟）.
　　路上用的时间=160-140＝20（ 分钟）.
　　答：李叔叔的钟停了2小时20分.
　　还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：
　　以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以
　　上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）÷2＝20（分钟）.
　　钟停时间=2小时 40分钟-20分钟
　　=2小时20分钟.
　　例6 小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张？
　　解：甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7＝ 0. 8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（张）.
　　现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意
　　1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.
　　1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.
　　从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是
　　[21.4＋（21.4-3.2）]÷（1.5＋ 0.7）＝ 18（张）.
　　因此，甲卡张数是
　　（18 ＋ 4）÷ 2＝ 11（张）.
　　乙卡张数是 18-11＝ 7（张）.
　　答：小明买甲卡11张、乙卡7张.
　　注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.
　　例7 有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形（A）的周长是240厘米，大长形（B）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？

　　解：大长方形（A）的周长是原长方形的
　　长×2+宽×4.
　　大长方形（B）的周长是原长方形的
　　长×4+宽×2.
　　因此，240+258是原长方形的
　　长×6+宽×6.
　　原长方形的长与宽之和是
　　（240＋258）÷6＝83（厘米）.
　　原长方形的长与宽之差是
　　（258-240）÷2＝9（厘米）.
　　因此，原长方形的长与宽是
　　长：（83＋ 9）÷2＝ 46（厘米）.
　　宽：（83-9）÷2＝37（厘米）.
　　答：原长方形的长是46厘米、宽是37厘米
2.2  倍数问题
　　当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.
　　例8 有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.
　　解：两堆棋子共有87＋69＝156（个）.
　　为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1＋3＝4（份），即每份有棋子
　　156 ÷（1＋3）＝39（个）.
　　第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是
　　87-39＝48（个）.
　　答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.
　　例9 有两层书架，共有书173本.从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书？
　　解：我们画出下列示意图：

　　我们把第一层（拿走38本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本，即
　　173-38-6＝129（本）
　　恰好是3份，每一份是
　　129÷3=43（本）.
　　因此，第二层的书共有
　　43×2 + 6＝92（本）.
　　答：书架的第二层有92本书.
　　说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.
　　例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？
　　解：设六年级学生人数是“1份”.
　　男生是4份-23人.
　　女生是3份+11人.
　　全校是7份-（23-11）人.
　　每份是（975+12）÷7＝141（人）.
　　男生人数=141×4-23＝541（人）.
　　女生人数=975-541＝434（人）.
　　答：有男生541人、女生434人.
　　例9与例10是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里？
　　
　　70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双？
　　解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6（份）.400＋70将是 3+1＋6＝10（份）.每份是
　　（400＋70）÷10＝47（双）.
　　原有旅游鞋 47×4=188（双）.
　　原有皮鞋 47×6-70＝212 （双）.
　　答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双.
　　设整数的份数，使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷.因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.
　　下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.
　　年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变.
　　例12 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？
　　解：父女相差36岁，这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的（5-1）倍.
　　36÷（5-1）＝9.
　　当时女儿是9岁，14-9＝5，也就是5年前.
　　答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍.
　　例13 有大、小两个水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.
　　解：画出下面示意图：

　　我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.
　　因此每份是
　　（300-70）÷2＝ 115（立方米）.
　　要注入的水量是
　　115-70=45 （立方米）?
　　答：每个水池要注入45立方米的水.
　　例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.
　　例14 今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？
　　解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时，我们设那时弟弟的岁数是1份，哥哥的岁数是2份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1份.
　　题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是2＋1＝3（份）.
　　今年，哥弟俩年龄之和是
　　3＋2=5（份）.
　　每份是 55÷5＝ 11（岁）.
　　哥哥今年的岁数是 11×3＝33（岁）.
　　答：哥哥今年33岁.
　　作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.
　　例15 父年38岁，母年36岁，儿子年龄为11岁.
　　问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？
　　解：现在父母年龄之和是
　　38＋ 36 ＝ 74.
　　现在儿子年龄的 4倍是 11×4＝44.相差
　　74-44＝ 30.
　　从4倍来考虑，以后每年长1×4＝4，而父母年龄之和每年长1＋1＝2.
　　为追上相差的30，要
　　30÷（4-2）＝15（年）?
　　答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍.
　　请读者用例15的解题思路，解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.
　　请读者想一想，例15的解法，与例12的解法，是否不一样？各有什么特点？
　　我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式：
　　（14 ×5-50）÷（5-1）＝ 5（年）.
　　不过要注意 14×5比 50多，因此是 5年前.
2.3  盈不足问题
　　在我国古代的算书中，《九章算术》是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题.
　　例16 有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物价是多少？
　　解：“多3元”与“少4元”两者相差
　　3＋4＝7（元）.
　　每个人要多出 8-7＝1（元）.
　　因此就知道，共有7÷1＝7（人），物价是
　　8×7-3＝53（元）.
　　答：共有 7个人一起买，物价是 53元.
　　上面的3＋4可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是
　　总数相差数÷每份相差数=份数
　　这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.
　　例17 把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒？
　　解一：3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的 10 ×3＝ 30（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有
　　10×3÷（16-10）＝ 5（人）.
　　再加上这 3位小朋友，共有小朋友 5＋3＝ 8（人）.这袋糖有
　　10×（5 ＋ 3）＝ 80（粒）.
　　解二：如果我们再增加 16×3粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友
　　16×3÷（16-10）=8（人）?
　　这袋糖有80粒.
　　答：这袋糖有80粒.
　　这里， 16×3是总差，（16-10）是每份差， 8是份数.
　　例18 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人.这个班共有多少名同学？
　　解：如果每条船坐6人，就要增加一条船，也就是现在有6个人无船坐；如果每条船坐9人，可以减少一条船，也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船的人数，两者相差 6＋ 9＝ 15（人）.
　　这是由于每条船多坐（9-6）人产生的，因此共有船
　　（6 ＋ 9）÷(9-6）＝ 5（条）?
　　这个班的同学有 6×5 ＋ 6＝ 36（人）.
　　答：这个班有36人.
　　例19 小明从家去学校，如果每分钟走 80米，能在上课前6分钟到校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？
　　解一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走 80米，就可以多走 80×6（米）；如果每分钟走 50米，就要少走 50×3（米）.请看如下示意图：

　　因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是
　　（80×6＋ 50×3） ÷（80- 50）＝ 21（分钟）.
　　家至学校距离是
　　800×（21-6）＝ 1200（米）?
　　或 50 ×（21+3）＝ 1200（米）.
　　答：小明家到学校的路程是1200米.
　　解二：以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点.
　　用每分钟 50米速度，就要多用 6＋3= 9（分种）.这9分钟所走的 50×9（米），恰好补上前面少走的.因此每分钟80米所需时间是
　　50×（6＋3）÷（80- 50）＝ 15（分钟）?
　　再看两个稍复杂的例子.
　　例20 一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？
　　解：使人感到困难的是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.
　　假设还有 10个桔子， 10＝ 2×5，就可以多有 5个人，把“少5人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给2×3=6（个）.
　　每人给5个与给6个，总数相差
　　10＋ 10＋ 8＝ 28 (个）.
　　所以原有人数 28÷（6-5)=28（人）.
　　桔子总数是 5 ×28 ＋ 10＝ 150（个）.
　　答：有桔子150个.
　　例21 有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆，梨分完时还剩5个苹果，如果按每3个苹果5个梨分堆，苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少？
解一：我们设想再有10个梨，与剩下5个苹果一起，按“1个苹果、2个梨”前一种分堆，都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看，苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3个苹果，2×3＝6（个）梨.与后一种分堆比较：
　　每堆苹果都是3个.而梨多1个（6-5＝1）.梨的总数相差
　　设想增加 10个+剩下5个=15个.
　　（10 ＋ 5）÷（6- 5）＝ 15.
　　就知有15个大堆，苹果总数是
　　15×3＝ 45（个）.
　　梨的总数是（45－5）×2＝80（个）.
　　答：有苹果45个、梨80个.
　　解二：用图解法.
　　前一种分堆，在图上用梨2份，苹果1份多5个来表示.

　　后一种分堆，只要添上3个苹果，就可与剩的5个梨又组成一堆.梨算作5份，苹果恰好是3份.

　　将上、下两图对照比较，就可看出， 5＋ 3＝ 8（个）是下图中“半份”，即 1份是 16.梨是 5份，共有 16×5＝ 80（个）.苹果有 16×2.5 ＋ 5＝ 45（个）.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:10
第三讲 数论的方法技巧之一
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：
1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得
　　a=bq+r（0≤r＜b），
且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：
　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
3.1  利用整数的各种表示法
　　对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：
　　1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；
　　2．带余形式：a=bq+r；
　　
　　4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。
　　例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？

　　解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成
　　1000a3+100a2+10a1+a0，
　　它的各位数字之和的10倍是
　　10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，
　　这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是
　　990a3+90a2-9a0=1998，
　　110a3+10a2-a0=222。
　　比较上式等号两边个位、十位和百位，可得
　　a0=8，a2=1，a3=2。
　　所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。

　　解：依题意，得


　
　　a+b+c＞14，

　　说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。
　　例3 从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
　　解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则
　　a+b+c=18m，a+b+d=18n，
　　其中m，n是自然数。于是
　　c-d=18（m-n）。
　　上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则
　　a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，
　　其中a1，b1，c1是整数。于是
　　a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。
　　因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因为1000=55×18+10，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。
　　例4 求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。
　　解：把数N写成质因数乘积的形式

　　由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指数ak为自然数或零。依题意，有
　　（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。
　　由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故
　　a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，
　　即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2个不同的质因数5和7，因为a4+1≥3＞2，故由
　　（a3+1）（a4+1）=10
　　知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。
　　例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？
　　解：因为210=1024，211=2048＞2000，每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=210，所以，N等于10个2与某个奇数的积。
　　说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。
3.2  枚举法
　　枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。
　　运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。
　　例6 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。
　　分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。
　　设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以
　　x2+y2+z2≤10，
　　从而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位数必在以下数中：
　　100，101，102，103，110，111，112，
　　120，121，122，130，200，201，202，
　　211，212，220，221，300，301，310。
　　不难验证只有100，101两个数符合要求。
　　例7 将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？
　　
　　对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。

N|100，所以N=10，20，25，50；
　　  
N|1000，所以N=100，125，200，250，500；
　　（4）当N为四位数时，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合条件的有1000，1250。
　　综上所述，魔术数的个数为14个。
　　说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。
　　 　　 （2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。
例8 有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23。问：这3张牌的数字分别是多少？
解：13+15+23=51，51=3×17。
　　因为17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种：
　　①1，6，10 　②1，7，9 　③1，8，8
　　④2，5，10 　⑤2，6，9 　⑥2，7，8
　　⑦3，4，10 　⑧3，5，9 　⑨3，6，8
　　⑩3，7，7 　(11)4，4，9 (12)4，5，8
　　(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6
　　只有第⑧种情况可以满足题目要求，即
　　3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。
　　这3张牌的数字分别是3，5和9。
例9 写出12个都是合数的连续自然数。
　　分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。
解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：
　　114，115，116，117，118，119，120，
　　121，122，123，124，125，126。
　　分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数……第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。
　　又m+2，m+3，…，m+13是12个连续整数，故只要m是2，3，…，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。
解法2：设m为2，3，4，…，13这12个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，…，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数……13的倍数，因此12个数都是合数。
　　说明:我们还可以写出
　　13！+2，13！+3，…，13！+13
　　（其中n！=1×2×3×…×n）这12个连续合数来。
　　同样，
　　（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m个连续的合数。
3.3  归纳法
　　当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。
例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：
　　（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；
　　（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；
　　（3）划去这些两位数中的合数；
　　（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
　　（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
　　问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？
解：第1次操作得数字串711131131737；
　　第2次操作得数字串11133173；
　　第3次操作得数字串111731；
　　第4次操作得数字串1173；
　　第5次操作得数字串1731；
　　第6次操作得数字串7311；
　　第7次操作得数字串3117；
　　第8次操作得数字串1173。
　　不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117。
例11 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：

　　设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：
　　（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；
　　（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。
　　取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。
　　说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：
　　传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1，2，3，…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？
　　例12 要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？
分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。
　　（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。
　　（2）称重2克，有3种方案：
　　①增加一个1克的砝码；
　　②用一个2克的砝码；
　　③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。
　　（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。
　　（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。
　　（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用
　　9-（3+1）=5，
　　即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。
　　而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为
　　14+13=27（克），
　　可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。
　　总之，砝码的重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。
　　这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1，3，
　　这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案。

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:11
第四讲 数论的方法技巧之二
4.1  反证法
反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：
1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；
2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

解：如果存在这样的三位数，那么就有
100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。故和的数字中必有偶数。

说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？
解：开始只有1枚1分硬币，没有1角的，所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1，这是奇数。每使用一次该机器，1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。
如果塞入1枚1分的硬币，那么Q暂时减少1，但我们取回了1枚1角的硬币（和1枚5分的硬币），所以总数Q没有变化；如果再塞入1枚5分的硬币（得到4枚1角硬币），那么Q增加4，而其奇偶性不变；如果塞入1枚1角硬币，那么Q增加2，其奇偶性也不变。所以每使用一次机器，Q的奇偶性不变，因为开始时Q为奇数，它将一直保持为奇数。
这样，我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少 10的情况，因为如果我们有P枚1分硬币和（P+10）枚1角硬币，那么1分和1角硬币的总枚数为（2P+10），这是一个偶数。矛盾。
例 4在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？
解：因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！
所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。
4.2  构造法
构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。
例5 9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？
解：9999能。因为9999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下：
9999=（9998-98）+（9998-96）+…+
=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+
=（9998+96）+（9998+98）。
99！不能。因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。
说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。
例6 从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？
解：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999。
另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。
（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，
（30，33，30×33），（31，32，31×32）。
上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31×32=992。如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，30是最少的个数。
4.3  配对法
配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。
例7 求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。
解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，…，4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。
例8 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以m≠n。
由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。
因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。

试说明分子m是质数89的倍数。
解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的办法，将和
　　
①②两式相加，得

从而
　　2m×88！=89×k（k是正整数）。
因为89为奇质数，所以89不能整除 88！，从而89|m。
解法二：作配对处理

将括号内的分数进行通分，其公分母为
1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，

从而
　　m×88！=89×k（k=n×q）。
因为89为奇质数，所以89不能整除88！，从而89|m。
4.4  估计法
估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。
在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。

求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。
解：因每一真分数满足

而所求的数整S是四个不同的真分数之和，因此2＜S＜4，推知S=3。于是可得如下5组不同的真分数：
　
　
　例11 已知在乘积1×2×3×…×n的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。
　　分析：若已知n的具体数值，求1×2×…×n的尾部零的个数，则比较容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。

　　因此，乘积1×2×3×…×400中含质因数5的个数为80+16+3=99（个）。又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，1×2×…×n的尾部有99个零，还需 7个零，注意到425中含有2个质因数5，所以
　　当n=430时，1×2×…×n的尾部有106个零；
　　当n=435时，1×2×…×n的尾部有107个零。
　　因此，n的最大值为434。

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:11
第五讲  整数问题之一
整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。
　　对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：
　　49=4×10+9，
　　235=2×100+3×10+5，
　　7064=7×1000+6×10+4，
　　…………………
　　
　　就是
　　
5.1  整除
　　整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.
　　1.整除的性质
　　性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.
　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.
　　性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.
　　性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定
　　能被m和n的最小公倍数整除.
　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36.
　　如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.
　　例如：7与50是互质的，18与91是互质的.
　　性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.
　　例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72
　　能被3与4的乘积12整除.
　　性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.
　　性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互
　　质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：
　　要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.
　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.
　　2.数的整除特征
　　（1）能被2整除的数的特征：
　　如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.
　　（2）能被5整除的数的特征：
　　如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.
　　（3）能被3（或9）整除的数的特征：
　　如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.
　　（4）能被4（或25）整除的数的特征：
　　如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.
　　（5）能被8（或125）整除的数的特征：
　　如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.
　　（6）能被11整除的数的特征：
　　如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.
　　
　　是什么数字？
　　解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.
　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.
　　再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.
　　如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；
　　如果b=2，只有a=5，此数是7542；
　　如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；
　　如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；
　　如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.
　　因此其中最小数是7146.
　　根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.
　　例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.
　　解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.
　　这笔帐是367.92元.
　　例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.
　　解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是
　　122364.
　　例4 四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.
　　解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.
　　要被5整除，个位数只能是0或5.
　　再考虑被11整除.
　　（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.
　　（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.
　　满足条件的四位数只有两个：7040，7645.
　　例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？
　　
　　，要使它被11整除，要满足
　　（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）
　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.
　　再介绍另一种解法.
　　先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.
　　要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.
　　思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？
　　（答：1023495）
　　例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？
　　与上例题一样，有两种解法.
　　解一：从整除特征考虑.
　　这个七位数的最后一位数字显然是0.
　　另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.
　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：
　　1993500，1993320，1993680，
　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.
　　解二：直接用除式来考虑.
　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.
　　现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：

　　因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.
　　例7 下面这个41位数

　　能被7整除，中间方格代表的数字是几？
　　解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以
　　555555＝5×111111和999999＝9×111111
　　都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
　　
　　右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.
　　把55□99拆成两个数的和：
　　55A00＋B99，
　　其中□=A+B.
　　因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
　　注意，记住111111能被7整除是很有用的.
　　例8 甲、乙两人进行下面的游戏.
　　两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中

　　每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.
　　如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？
　　解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.
　　上面已经列出乙不能获胜的N的取值.
　　如果N＝1，很明显乙必获胜.
　　如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.
　　考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.
　　综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.
　　记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.
5.2  分解质因数
　　一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.
　　质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….
　　例9 ○＋（□+△）=209.
　　在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.
　　解：209可以写成两个质数的乘积，即
　　209＝11×19.
　　不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.
　　这个算式是 11×（17＋2）＝209，
　　11×（2＋17）＝ 209.
　　解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.
　　一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.
　　任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如
　　360＝2×2×2×3×3×5.
　　还可以写成360＝23×32×5.
　　这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.
　　例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？
　　解：我们先把5040分解质因数
　　5040＝24×32×5×7.
　　再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：
　　24×32×5×7＝7×8×9×10.
　　所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.
　　利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.
　　我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.
　　因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.
　　1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.
　　这里有4×2＝8个，即 （3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.
　　这个方法，可以运用到一般情形，例如，
　　144＝24×32.
　　因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.
　　例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.
　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.
　　（1）27＝128，符合要求，
　　37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.
　　（2）23＝8，
　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.
　　33＝27；
　　只有27×5＝135符合要求.
　　53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.
　　利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如
　　720＝24×32×5，168＝23×3×7.
　　那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是
　　23×3＝ 24.
　　在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是
　　24×32×5×7＝5040.
　　例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？
　　解：180＝22×32×5，
　　30＝2×3×5.
　　对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是
　　90＝2×32×5.
　　就知道另一数是
　　22×3×5＝60.
　　还有一种解法：
　　另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找
　　30， 60， 90， 120，….
　　这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.
　　例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？
　　解：把420分解质因数
　　420＝2×2×3×5×7.
　　为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是
　　1，3，4，5，7，12，15，20.
　　分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是
　　
　　
　　两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.
　　例13实质上是把420分解成两个互质的整数.
　　利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.
　　例14 将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.
　　解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.
　　6＝2×3， 24＝23×3，
　　45＝32×5， 65＝5×13，
　　77＝7×11， 78＝2×3×13，
　　105＝3×5×7， 110＝2×5×11.
　　先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到
　　第一组：24，65，77，45.
　　第二组：6，78，110，105.
　　在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.
　　一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.
　　例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.
　　一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.
　　例如：144＝32×42， 100＝22×52，…
　　例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？
　　解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.
　　2800＝24×52×7.
　　在它含有的约数中是完全平方数，只有
　　1，22，24，52，22×52，24×52.
　　在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.
　　2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.
　　综合起来，甲数是100，乙数是112.
　　例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？
　　解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.
　　记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.
　　笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.
　　当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：
　　1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.
　　综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.
5.3  余数
　　在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：
　　65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.
　　上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是
　　被除数÷除数=商……余数.
　　上面两个算式可以写成
　　65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
　　也就是
被除数=除数×商+余数.
　　通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.
　　特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.
　　例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.
　　解：这个质数能整除
　　5397-15＝5382，
　　而 5382＝2×31997×13×23.
　　因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.
　　当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.
　　例18 求645763除以7的余数.
　　解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成
　　645763→15763→1763→363→13→6.
　　如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：
　　645763→15000→1000→6.
　　带余除法可以得出下面很有用的结论：
　　如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.
　　例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
　　解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即
　　1000-967＝33＝3×11，
　　2001-1000＝1001＝7×11×13，
　　2001-967＝1034＝2×11×47.
　　这个整数是这三个差的公约数11.
　　请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.
　　例如，求出差1000-967与2001-1000，
　　那么差
　　2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
　　＝1001＋33
　　＝1034.
　　从带余除式，还可以得出下面结论：
　　甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.
　　例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.
　　例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？
　　解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：

　　从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为
　　1998＝ 8×249＋ 6，
　　所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.
　　一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是
　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
　　这十二个数构成一个循环.
　　按照七天一轮计算天数是
　　日，一，二，三，四，五，六.
　　这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数
　　0， 1， 2， 3， 4， 5， 6
　　的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.
　　循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.
　　下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：
　　甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.
　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.
　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.
　　例 21 191997被7除余几？
　　解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.
　　先写出一列数
　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，
　　2×2×2×2＝16，….
　　然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：

　　事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）
　　从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.
　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.
　　就知道21997被7除的余数，与21997 被 7除的余数相同，这个余数是4.
　　再看一个稍复杂的例子.
　　例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：
　　0，1，3，8，21，55，….
　　问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？
　　解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：
　　3＝1×3-0，
　　8=3×3-1，
　　21=8×3-3，
　　55=21×3-8，
　　……
　　不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：
　　将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.
　　用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：

　　注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.
　　从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.
　　70 ＝12×5+10.
　　因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.
　　在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
　　“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：
　　一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.
　　这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.
　　例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
　　解：除以3余2的数有：
　　2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
　　它们除以12的余数是：
　　2，5，8，11，2，5，8，11，….
　　除以4余1的数有：
　　1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
　　它们除以12的余数是：
　　1， 5， 9， 1， 5， 9，….
　　一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.
　　上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.
　　如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是
　　5＋ 12×整数，
　　整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.
　　例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
　　解：先列出除以3余2的数：
　　2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
　　再列出除以5余3的数：
　　3， 8， 13， 18， 23， 28，….
　　这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是
　　8＋15×整数，
　　列出这一串数是
　　8， 23， 38，…，
　　再列出除以7余2的数
　　2， 9， 16， 23， 30，…，
　　就得出符合题目条件的最小数是23.
　　事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
　　最后再看一个例子.
　　例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.
　　解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.
　　3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.
　　为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是
　　159， 160， 161.
　　注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:12
第六讲 图形面积
简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

　　上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4＝ 16（格）；右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5＝ 15（格）.

　　上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2＝ 10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.

　　上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3＝ 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是
　　（4+7）×4÷2＝22（格）.
　　上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.
6.1  三角形的面积
　　用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：
　　三角形面积= 底×高÷2.
　　这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.
　　例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

　　解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.
　　三角形ABD面积=4×高÷2.
　　三角形 ADC面积=2×高÷2.
　　因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.
　　例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.

　　解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.
　　三角形 ABC面积= 8× 4÷2＝16.
　　我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.
　　
　　三角形 DFE面积= 16÷4＝4.
　　例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.

　　解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
　　而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
　　FE×BE÷2，
　　它恰好是长方形ABEF面积的一半.
　　同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.
　　因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是
　　20×12÷2＝120.
　　通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
　　例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？

　　解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.
　　对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此
　　面积=4×10÷2＝ 20.
　　对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此
　　面积=7×8÷2＝28.
　　四边形 ABCD面积= 20＋ 28＝ 48.
　　这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
　　例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.

　　解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
　　三角形 ABE面积=3×6×2＝ 9.
　　三角形 BCF面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.
　　三角形 DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.
　　我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
　　三角形 BEF面积=6×6-9-12-3＝12.
　　例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.

　　解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.
　　把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2＝7.
　　因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5.
　　因为 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是
　　3.5×4＝14.
　　长方形 ABCD面积=7×（8＋2）=70.
　　四边形 ABMD面积=70-7- 14＝ 49.
6.2  有关正方形的问题
　　先从等腰直角三角形讲起.
　　一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
　　两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.
　　一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是
　　直角边长的平方÷2.
　　当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是

　　斜边的平方÷4
　　例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

　　解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.
　　这一个图形的面积是
　　32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.
　　例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？

　　解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.
　　三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.
　　三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.
　　三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2＝4.
　　三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.
　　阴影部分的总面积是 4＋1＝5.
　　例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.

　　解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.
　　因为
　　A是45°，角D是90°，角E是
　　180°-45°-90°＝ 45°，
　　所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.
　　四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即
　　7×7÷2-3×3÷2＝20.
　　这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.
　　现在我们转向正方形的问题.
　　例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？

　　解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
　　长-宽 =15-11＝4
　　是“三”正方形的边长.
　　宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此
　　中间小正方形边长=11-4×2＝3.
　　中间小正方形面积=3×3＝ 9.
　　如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.
　　例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.

　　解：剩下的长方形土地，我们已知道
　　长-宽=1（米）.
　　还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？
　　如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
　　我们把长和宽拼在一起，如右图.

　　从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.

　　可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.
　　现在，我们就可以算出大正方形面积：
　　15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.
　　64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的
　　长+宽=8（米）.
　　因此
　　长=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.
　　宽=8-4.5＝3.5（米）.
　　那么划出的长方形面积是
　　4.5×1＝4. 5（平方米）.
　　例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.

　　解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此
　　四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2
　　三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此
　　三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.
　　四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有
　　阴影部分面积=三角形ECG面积
　　=小正方形面积的一半
　　= 6×6÷2＝18.
　　十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.
6.3  其他的面积
　　这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.
　　例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

　　解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.
　　周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是
　　4×4-3-5-1.5＝6.5.
　　例6与本题在解题思路上是完全类同的.
　　例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.

　　解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此
　　三角形AEF面积＝（三角形 AEB面积）-（三角形 AFB面积）
　　＝8×6÷2-4×8÷2
　　＝ 8.
　　　这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.
　　例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？
　
　　解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.
　　可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此
　　草地面积=（16-2）×（10-2）＝ 112.
　　例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.

　　解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.
　　阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于
　　梯形 ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.
　　上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.
　　例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求这个图形的面积.
　　解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.

　　三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.
　　三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12.
　　这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.
　　因为 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.
　　因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.
　　2×三角形DEC面积
　　= 2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积）.
　　三角形ABC面积
　　= （三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.
　　四边形BCEG面积
　　=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）
　　=（2×12＋18）÷5
　　＝8.4.
　　所求图形面积=12＋ 18- 8.4＝21.6.
　　例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.
　　解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.
　　（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）
　　=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和
　　=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）
　　=3.


　　例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？
解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此
　　（三角形 ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）
　　＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.
　　三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有
　　阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:12
第七讲 工程问题
　　在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是
　　工作量=工作效率×时间.
　　在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.
　　举一个简单例子.
　　一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
　　一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
　　
　　
　　再根据基本数量关系式，得到
　　所需时间=工作量÷工作效率
　　
　　=6（天）?
　　两人合作需要6天.
　　这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.
　　为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是
　　30÷（3+ 2）= 6（天）
　　
　　数计算，就方便些.
　　
　　∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也

　　需时间是

　　因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.
7.1  两个人的问题
　　标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
　　例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？
　
　
　　答：乙需要做4天可完成全部工作.
　　解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
　　（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.
　　解三：甲与乙的工作效率之比是
　　6∶ 9= 2∶ 3.
　　甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
　　例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
　　解：共做了6天后，
　　原来，甲做 24天，乙做 24天，
　　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
　　这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
　　如果乙独做，所需时间是

　　如果甲独做，所需时间是

　　答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
　　例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
　　解：先对比如下：
　　甲做63天，乙做28天；
　　甲做48天，乙做48天.
　　就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

　　甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

　　因此，乙还要做
　　28+28= 56 （天）.
　　答：乙还需要做 56天.
　　例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
　　解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

　　余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

　　2+8+ 1= 11（天）.
　　答：从开始到完工共用了11天.
　　解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
　　（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.
　　解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
　　在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.
　　4=3+1，
　　其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
　　例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

　　由于两队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息的天数是

　　答：乙队休息了5天半.
　　解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
　　两队休息期间未做的工作量是
　　（3+2）×16- 60= 20（份）.
　　因此乙休息天数是
　　（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.
　　解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
　　甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
　　如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是
　　16-6-4.5=5.5（天）.
　　例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
　　解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.
　　设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
　　8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要
　　（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
　　8+4=12（天）.
　　答：这两项工作都完成最少需要12天.
　　例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他

　　要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？
　　解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.
　　两人合作，共完成
　　3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.
　　因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是
　　（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.
　　很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
　　例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时

　　如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
　　解：乙6小时单独工作完成的工作量是

　　乙每小时完成的工作量是

　　两人合作6小时，甲完成的工作量是

　　甲单独做时每小时完成的工作量

　　甲单独做这件工作需要的时间是

　　答：甲单独完成这件工作需要33小时.
　　这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

　　有一点方便，但好处不大.不必多此一举.
7.2  多人的工程问题
　　我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.
　　　例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
　　解：设这件工作的工作量是1.
　　
　　
　　甲、乙、丙三人合作每天完成

　　减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

　　
　　答：甲一人独做需要90天完成.
　　例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？
　　例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
　　解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

　
　　说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
　　2+6+12=20（天）.
　　答：完成这项工作用了20天.
　　本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

　　例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
　　解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
　　
　　他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

　　答：甲独做需要26天.
　　事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.
　　例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
　　解一：设这项工作的工作量是1.
　　甲组每人每天能完成

　　乙组每人每天能完成

　　甲组2人和乙组7人每天能完成
　
　　
　　答：合作3天能完成这项工作.
　　解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.
　　现在已不需顾及人数，问题转化为：
　　甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
　

　　小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.
　　例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？
　　解一：仍设总工作量为1.

　　甲每天比乙多完成

　　因此这批零件的总数是

　　丙车间制作的零件数目是

　　答：丙车间制作了4200个零件.
　　解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
　　乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
　　已知
　　甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
　　综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
　　12∶8∶7.
　　当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
　　2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.
　　例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
　
　　
　　
　　答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
　　解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.
　　三人共同搬完，需要
　　60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.
　　甲需丙帮助搬运
　　（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.
　　乙需丙帮助搬运
　　（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.
7.3  水管问题
　　从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
　　例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
　　
　　甲每分钟注入水量是

　　乙每分钟注入水量是

　　因此水池容积是

　　答：水池容积是27立方米.
　　例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在
　　按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
　
　
　
　
　　答：开始时打开6根水管.
　　例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要

　　、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
　
　　
　　，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
　　
　　
　　以后（20小时），池中的水已有
　
　　
　　
　　此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？
　　看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.
　　因此，答案是28小时，而不是30小时.
　　例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
　　解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.
　　2小时半比1小时半多60分钟，多流入水
　　4 × 60= 240（立方米）.
　　时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是
　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），
　　8个水龙头1个半小时放出的水量是
　　8 × 8 × 90，
　　其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.
　　打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要
　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.
　　答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
　　水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
　　例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？
　　解：设满水池的水量为1.
　　A管每小时排出

　　A管4小时排出
　
　　 　

　　因此，B，C两管齐开，每小时排水量是

　　B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是

　　答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.
　　本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24.
　　17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.
　　例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一

　　草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？
　　解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.
　
　
　　原有草+4星期新长的草=12×4.
　　原有草+9星期新长的草=7×9.
　　由此可得出，每星期新长的草是
　　（7×9-12×4）÷（9-4）=3.
　　那么原有草是
　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
　　对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是

　　这些草能让
　　90×7.2÷18=36（头）
　　牛吃18个星期.
　　答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
　　例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？
　　“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.
　　例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？
　　解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.
　　从9点至9点9分进入观众是3×9，
　　从9点至9点5分进入观众是5×5.
　　因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是
　　（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.
　　9点前来的观众是
　　5×5-0.5×5=22.5.
　　这些观众来到需要
　　22.5÷0.5=45（分钟）.
　　答：第一个观众到达时间是8点15分.
　　从例20和例21中，我们也注意到，设置计算单位的重要性.选择适当的量作为计算单位，往往使问题变得简单且易于表达.本书中多次提到设单位问题，请同学们注意学习.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:13
第八讲 比和比例关系
比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.
　　这一讲分三个内容：
　　一、比和比的分配；
　　二、倍数的变化；
　　三、有比例关系的其他问题.
8.1  比和比的分配
　　最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.
　　例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.
　　解：设甲的周长是2.
　　　　  
　　甲与乙的面积之比是
　　
　　答：甲与乙的面积之比是864∶875.
　　作为答数，求出的比最好都写成整数.
　　例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.

　　求上底AB与下底CD的长度之比.
　　解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.
　　三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积
　　=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.
　　答：AB∶CD=3∶14.
　　两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.
　　例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.
　　解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，
　　中杯与小杯容量之比是4∶3，
　　大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.
　　∶
　　=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）
　　=44∶75.
　　答：两者容量之比是44∶75.
　　把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.
　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
　　3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
　　7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

　　花了多少钱？
　　解：根据比例与乘法的关系，
　　
　　连比后是
　　甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
　　=32∶48∶63.
　　
　　答：甲、乙、丙三人共花了429元.
　　例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙
　　
　　，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？
　　解：设甲的长度是6份.
　　
　　∶x=5∶4.
　　
　　乙与丙的长度之比是

　　而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.
　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
　　答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.
　　
　　于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.
　　例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？
解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是
　
　　答：这些糖果每千克平均价是27.5元.
　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

　　事实上，有稍简捷的解题思路.
　　解二：先求出这三种糖果所买数量之比.
　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
　　平均数是（15+11+10）÷3=12.
　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是

　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.
　　例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，
　　
　　解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此
　　
　　
　　
　　例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？
　　解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.
　　三人工作效率之比是

　　他们分别需要完成的工作量是
　　
　　所需时间是
　　700×3=2100分钟）=35小时 .
　　答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.
　　这是三个数量按比例分配的典型例题.
　　例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：
　　甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
　　那么丙有多少名男会员？
　　解：甲组的人数是100÷2=50（人）.
　　
　　乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.
　　
　　
　　答：丙组有12名男会员.
　　上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔

　　例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？
　　解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
　　上坡、平路、下坡的速度之比是
　
　　
　　走完全程所用时间
　　
　　答：小龙走完全程用了10小时25分.
　　上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.
　　解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

　　设小龙走完全程用x小时.可列出比例式
　
8.2  比的变化
　　已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.
　　例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？
　　解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.
　　5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
　　5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
　　甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来
　　甲得22.5÷5×20=90（分），
　　乙得 22.5÷5×16=72（分）.
　　答：原来甲得90分，乙得72分.
　　我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.
　　解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.
　　（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
　　即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
　　15x=12×22.5
　　x=18.
　　甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

　　解：其他球的数量没有改变.
　　增加8个红球后，红球与其他球数量之比是
　　5∶（14-5）=5∶9.
　　在没有球增加时，红球与其他球数量之比是
　　1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
　　因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.
　　现在总球数是

　　答：现在共有球224个.
　　本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：
　　（x+8）∶2x=5∶9.
　　例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？
　　解一：我们采用“假设”方法求解.
　　如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有
　　240∶x=8∶5，x=150（元）.
　　实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

　　答：张家收入720元，李家收入450元.
　　解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.
　　我们画出一个示意图：

　　张家开支的3倍是（8份-240）×3.
　　李家开支的8倍是（5份-270）×8.
　　从图上可以看出
　　5×8-8×3=16份，相当于
　　270×8-240×3=1440（元）.
　　因此每份是1440÷16=90（元）.
　　张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.
　　本题也可以列出比例式：
　　（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.
　　然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.
　　例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.
　　解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.
　　8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.
　　A数是17×8=136，B数是17×5=85.
　　答：A，B两数分别是136与85.
　　本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.
　　例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？
　　解一：充分利用已知数据的特殊性.
　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，
　　新的1份=原来1份+1
　　原来4份，新的5份，5-4=1，因此
　　新的1份有15-1×4=11（张）.
　　小明原有图画纸11×5-15=40（张），
　　小强原有图画纸11×2+8=30（张）.
　　答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.
　　解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）
　　4∶3=20∶15
　　5∶2=20∶8.
　　
　　但现在是20∶8，因此这个比的每一份是
　
　　
　　当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.
　　解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.
　　把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

　　从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.
　　因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.
　　例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.
　　例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？
　　
　　我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点
　
　　
　　等需要时间是

　　答：这两支蜡烛点了3小时20分.
　　把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.
　　例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？
　　解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.
　　因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.
　　红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.
　　白球有 7×7＋3＝52（只）.
　　原来红球比白球多 158-52＝106（只）.
　　答：箱子里原有红球数比白球数多106只.
8.3  比例的其他问题
　　  
　　，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：
　　（甲-7）∶乙= 2∶3.
　　因此，有些分数问题，就是比例问题.
　　
　　加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？

　
　　
　　
　　答：这些画片有261张.
　
　　解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是
　
　　
　　样重，就有

　　因此原有水的重量是

　　答：容器中原来有8.4千克水.
　　例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.
　　例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子

　　堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？
　　
　　子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.
　　现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差

　　从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是
　　50÷（3-1）＝25（个）.
　　再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.
　　答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.

　　人，问高、初中毕业生共有多少人？
　　解一：先画出如下示意图：

　　6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是
　　520÷（30-17）= 40（人）.
　　因此，高、初中毕业生共有
　　40×（17＋12）＝ 1160（人）.
　　答：高、初中毕业生共1160人.
　　
　　计算出每份是

　　例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.
　　例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.

　　下的钱共有多少元？
　　解：设钢笔的价格是1.
　　
　　这样就可以求出，钢笔价格是

　　张剩下的钱数是

　　李剩下的钱数

　　答：张、李两人剩下的钱共28元.
　　题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.
　　作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.
　　
　　用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？
　　这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.

　　们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使
　　（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，
　　或简写成 6A＋5B＝100.
　　就恰好符合均价是1.
　　类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的约数，符合要求.
　　A＝5，猪 5头，绵羊 25头，
　　B=4，山羊12头，绵羊8头.
　　猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.
　　现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.
　　
　　要注意，这样的问题常常有多种解答.
　　A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
　　答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.
　　求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.
　　通常求混合比可列下表：
　
　　下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.
　　例24 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？
　　解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.
　　1人买3件少 5％×3；
　　1人买2件多 5％×2；
　　1人买1件多 15％ ×1.
　　1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.
　　A组是2人买4件，每人平均买2件.
　　B组是5人买12件，每人平均买2.4件.
　　现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.
　　B组人数是
　　（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），
　　
　　A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人.
　　10＋ 4＝ 14（人）.
　　答：买3件的顾客有14位.
　　建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足 4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:13
第九讲 经济问题
　　商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得 40％的利润.因此
　　利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％.
　　卖价=成本×（1+利润的百分数）.
　　成本=卖价÷（1+利润的百分数）.
　　商品的定价按照期望的利润来确定.
　　定价=成本×（1+期望利润的百分数）.
　　定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价 25％，就是按定价的（1-25％）＝ 75％出售，通常就称为75折.因此
　　卖价=定价×折扣的百分数.
　　例1 某商品按定价的 80％（八折或 80折）出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？
　　解：设定价是“1”，卖价是定价的 80％，就是0.8.因为获得20％
　　
　　定价的期望利润的百分数是

　　答：期望利润的百分数是50％.
　　例2 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？
　　解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中
　　80％的卖价是 1.3×80％，
　　20％的卖价是 1.3÷2×20％.
　　因此全部卖价是
　　1.3×80％ ＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.
　　实际获得利润的百分数是
　　1.17－1＝ 0.17＝17％.
　　答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％.
　　例3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？
　　解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.
　　乙店的定价是 1×（1＋ 15％），甲店的定价就是 0.9×（1＋20％）.
　　因此乙店的进货价是
　　11.2÷（1.15- 0.9×1.2）=160（元）.
　　甲店的进货价是
　　160× 0.9= 144（元）.
　　答：甲店的进货价是144元.
　　设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.
　　例4 开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？
　　解：设去年的利润是“1”.
　　利润下降了40％，转变成去年成本的 10％，因此去年成本是 40％÷10％＝ 4.
　　在售价中，去年成本占

　　因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％.
　　答：今年书的成本在售价中占88％.
　　因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.
　　例5 一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？
　　解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.
　　现在出售 70％商品已获得利润
　　0.5×70％＝ 0.35.
　　剩下的 30％商品将要获得利润
　　0.5×82％-0.35＝0.06.
　　因此这剩下30％商品的售价是
　　1×30％＋ 0.06＝ 0.36.
　　原来定价是 1×30％×（1+50％）＝0.45.
　　因此所打的折扣百分数是
　　0.36÷0.45＝80％.
　　答：剩下商品打8折出售.
　　从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.
　　例6 某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？
　　解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润
　　（45-35）×12＝120（元）.
　　出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润
　　120÷8＝15（元）.
　　不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是
　　（45-15）÷（1-85％）＝200（元）.
　　答：每个商品的定价是200元.
　　例7 张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.
　　张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？
　　解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购 4×3＝12（件）.
　　由于60件每件减价 4元，就少获得利润
　　4×60＝ 240（元）.
　　这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润
　　240÷12＝20（元）.
　　这种商品每件成本是
　　100-4-20＝76 （元）.
　　答：这种商品每件成本76元

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:13
第十讲 溶液问题
　　一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.
　　从一些基本问题开始讨论.
　　例15 基本问题一
　　（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？
　　（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？
　　解：（1）浓度10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水80-8＝72（克）.
　　如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水
　　100-8＝92（克）.
　　还要加入水 92- 72＝ 20（克）.
　　（2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40- 8＝ 32（克）.
　　如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有
　　x∶32＝40％∶（1-40％），
　
　
　
　　例16 基本问题二
　　20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克？
　　解： 20％比15％多（20％-15％）， 5％比15％少（15％-5％），多的含盐量
　　（20％-15％）×20％所需数量
　　要恰好能弥补少的含盐量
　　（15％-5％）×5％所需数量.
　　也就是

　　画出示意图：

　　相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.
　　  
　　　
　　答：需要浓度 20％的 600克，浓度 5％的 300克.
　　这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.
　　例17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？
　　解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％.
　　（85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2.
　　按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.
　　设买红笔是x支，可列出比例式
　　5x∶9×30＝2∶3

　　答：红笔买了 36支.
　　配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.
　　例18 甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为 62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？
　　解：利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是

　　后一次混合，甲、乙数量之比是
　
　
　　这与上一讲例 14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变.
　　5与2相差3，5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2，3∶5中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即
　　
　　现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份，每份是3.原来这

　　答：第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.
　　例19 甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水 120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？
　　解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.
　　甲中含盐量：乙中含盐量
　　= 300×8％∶120×12.5％
　　= 8∶5.
　　现在要使
　　（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.
　　把“300克+ 倒入水”算作8份，“120克+ 倒入水”算作5份，每份是
　　（300-120）÷（8-5）= 60（克）.
　　倒入水量是 60×8-300＝ 180（克）.
　　答：每一容器中倒入 180克水.
　　例20 甲容器有浓度为2％的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9％的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：
　　（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？
　　（2）再往乙容器倒入水多少克？
　　解：（1）现在甲容器中盐水含盐量是
　　180×2％＋ 240×9％＝ 25.2（克）.
　　浓度是
　　25.2÷（180 ＋ 240）× 100％= 6％.
　　（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9％，要含有 25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克），
　　还要倒入水420-280＝140（克）.
　　答：（1）甲容器中盐水浓度是6％；
　　（2）乙容器再要倒入140克水.
　　例21 甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含
　　乙两种含金样品中含金的百分数.
　　解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.
　　用例17方法，画出如下示意图.

　　因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以
　　（68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％）
　　＝2∶1
　　＝ 6∶3.
　　
　　
　　注意：6+3＝2＋7＝9.
　　
　　那么每段是

　　因此乙的含金百分数是

　　甲的含金百分数是

　　答：甲含金 60％，乙含金 72％.
　　用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:14
第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算
11.1  四种常见几何体的平面展开图
　　1.正方体
　　沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

　　图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
　　2.长方体
　　沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

　　3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

　　4.（直）圆锥体
　　沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。

11.2  四种常见几何体表面积与体积公式
　　1.长方体
　　长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
　　长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
　　2.正方体
　　正方体的表面积=6×a2
　　正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
　　3.圆柱体
　　圆柱体的侧面积=2πRh
　　圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）
　　圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
　　4.圆锥体
　　圆锥体的侧面积=πRl
　　圆锥体的全面积=πRl+πR2
　　
　　母线长与高）。
11.3  例题选讲
例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：从图6—5和图6—6中可知：  与 ； 与 ； 与 互相处于相对面的位置上。只要在图6—7
　
　　（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
　　先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与 处在互为对面的位置上。
　　再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与 处在互为对面的位置上。
　　最后再看图6—7中的（c），同上，1与 ，2与4处在互为对面的位置上。
　　图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。

分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？

分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
　　正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）
　　一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
　　几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
　　答：（略）
例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

　　上面的表面积为12×9=9（平方厘米）
　　前面的表面积为12×8=8（平方厘米）
　　左面的表面积为12×7=7（平方厘米）
　　几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
　　答：（略）
例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）

分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。
　　因为圆锥形铅锤的体积为
　　　　
　　设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）
　　所以有下列方程：
　　60π=100πx，解此方程得：
　　x=0.6（厘米）
　　答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：
　　2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2
　　=2πx+4π
　　根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：
　　2πx+4π=75.36
　　解方程：
　　　　
　　圆钢的体积为π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）
　　答：（略）。
例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图6—17。在图6—17中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2лR×n÷360（这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R。另外从图6—17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。
　
　　
　　所以 2πR=12π，得R=6（厘米）
　　在直角三角形中，根据勾股定理有：
　　102=h2+R2，即h2=102-R2
　　 =100-36=64，h=8（厘米）
　　
　　答：（略）
例9 图6—18中的图形是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几？

分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3。
　　三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90°，G、F又分别为AD、  
而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为
　　
　　
　　
　　答：（略）
例10 图6—19是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图6—20是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？
分析与解：我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图6—20可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP的下底FJ为3厘米，高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为1.5厘米，这一来梯形FJQP的面积为

　
　　以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值
此时水面的高度为：
　　54÷6=9（厘米）
　　以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。
　　为方便起见，我们把C面适当放大成图6—21，在图6—21中，因为PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为1.5厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来三角形FPT与PQG的形状一样，面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与现在以三角形PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时，水面的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5厘米。
　　答：（略）

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:14
第十二讲 循环小数化分数
12.1  纯循环小数化分数
　　从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：
　
　
　　　　　 　　
　
　
　　　
　
　　　
　　从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。
　　
　　　　
12.2  混循环小数化分数
　　不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2 把混循环小数化分数。
　
　　
　　　　　
　
　　　
　　（2）先看小数部分0.353
　　　
　　　
　　
　　
　　由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
　　
　　
12.3  循环小数的四则运算
　　循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题：
　
解：先把循环小数化成分数后再计算。
　
例4 计算下面各题。
　
分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。
　　　　
　　（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。
　　　　
　　（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。
　　　　

---

作者: 彭庙    时间: 2009-1-5 14:14
第十三讲 估计与估算
　1992年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第3题是：
　　
的结果是x。那么，与x最接近的整数是____。
　　这道题并不要求求x，而求“与x最接近的整数”，这就是估计或估算。
　　估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：
　　（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；
　　（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。
　　例1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小数点后前3位数字。
　　解：A＞1234÷3122=0.3952…
　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…
　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小数点后前3位数是395。
　　说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下：
　　将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有
　　1234÷3121≈0.3953≈0.395。
　　
得它们的和大于3，至少要选多少个数？
　　解：要使所选的数尽量少，所选用的数就应尽量大，所以应从开头依次选。首先注意到：
　　
　　
　　从而
　　
　　
　　所以，至少应选11个数。
　　说明：（1）上述解答是采用取近似值的办法估值的，也可以利用放缩法估值解答。解法如下：
　　
　　
　　
　　所以，至少应选11个数。
　　（2）以上解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界声、”，而这里的验算只是一种估计或估算，并不要求精确。
　　（3）类似的问题是 至少取出多少个数，才能使取出的数的和大于2？
　　答案是7，请读者自己练习。
　　例3 右面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？

　　解：每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中的数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1。这样便可断定，处于百位的两个数字之和是18，而且后面两位数相加进1。
　　同样理由，处于十位的两个数字之和也是18，而且两个个位数字相加后进1。因此，处于个位的两个数字之和必是17。
　　所以，6个方框中数字之和为18＋18＋17=53。
　　例4 如果两个四位数的差等于8921，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，
　　解：最小的四位数是1000，与1000组成一个数对的另一个四位数是 8921＋1000=9921，也就是最小一个数对是 9921与1000。同时由最大的四位数是9999，可知共有
　　9999-（9921—1）=79（个）
　　不同的被减数。所以，这样的数对共有79个。
　　说明：解答的关键在于确定符合条件的的最小数对（9921，1000），同时因为有几个不同的被减数，就有几个不同的减数相对应地存在，所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。
　　例5 七位数175□62□的未位数字是几时，不管千位上是0～9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？
　　解：因为1750620÷11＝159147……3，
　　　　　　1759629÷11＝159966……3，
　　所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628，最大值是1759626。
　　又因为1001=7×11×13，由数的整除性质，可知1750628加上若干个1001，或1759626减去若干个1001后，其值也是11的倍数。这样1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍数。
　　由上述讨论可知七位数175□62□的末位数字是7时，不管其千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
　　说明：上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。此题也可由能被11整除的数的特征入手解决。留给读者思考。
　　例6 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？
　　解：根据题意可知，在所得到的许多不相等的乘积中，最小值是 1×1=1，最大值是13×13=169，并且1与169都不能被 6整除，这样，在得到的许多不相等的积中，能被6整除的最小值是1×6=6，最大值是13×12=26×6，而介于1×6与26×6之间的能被6整除的数并非每个都是2张卡片上的数的积，如25×6，23×6， 21×6，19×6，17×6这五个就不是。
　　所以，这些积中能被6整除的数共有
　　26-5=21（个）。
　　说明：解答这类问题要特别注意：不能简单地根据最小值是6的1倍，最大值是6的26倍，就错误地下结论是26个。
　　 。
如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1，  
　　解：关键是判断从哪个数开始整数部分是2。因为2-1.64=0.36，我们  11＋19×2=49。
　　例8 有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？
　　  总介于这两个数之间，所以后面各数的整数部分均为91，当然第19个数的整数部分也为91。
　　说明：注意到每个正数都介于两个相邻整数n和n＋1之间，或者写成n≤a＜n＋1，此时n就是a的整数部分。因此确定某个正数的整数部分，实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间。
　　例9 求下式中S的整数部分：
　　
　　解：根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大”对S的分母进行放缩。
　　
　　 不但非常麻烦，而且容易出错。为了求得一个数大概是多少，我们采用放缩法，以确定它的范围，也就是估值。放缩是解答估值问题的一种常用方法。在用这种方法时，一定要注意放缩要适当，要合情合理。
　　一个类似的问题是
　　
　　答案是19。
　　例10 学校组织若干人参加夏令营。先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。而后乘船，需要定员为70人的船至少3条。到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校参加夏令营的人有多少？
　　解：由“每辆有60个座位的汽车至少4辆”可知，参加夏令营的人数在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240人之间。
　　由“需要定员为70人的船至少3条”可知，参加夏令营人数在（70×2＋1=）141～（70×3=）210人之间。
　　这样，参加夏令营的人数在181～210人之间。又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知，参加夏令营的人数一定是一个平方数。而181～210之间只有196是平方数，所以参加夏令营的人数是196。
　　说明：解答此题的关键是估计人数的范围：
　　从乘车来看，1≤第四辆车人数≤60，
　　从乘船来看，1≤第三条船人数≤70，
　　所以，181≤夏令营的人数≤210。
　　例11 将自然数按如下顺序排列：
　　1 2 6 7 15 16 …
　　3 5 8 14 17 …
　　4 9 13 …
　　10 12 …
　　11 …
　　在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，数字13排在第3行第3列。
　　问：数字168排在第几行第几列？
　　分析：我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律。这里第2斜行的数字是3，2；第3斜行的数字是4，5，6；余此类推。仔细观察后我们发现：
　　奇数斜行中的数字由下向上递增，
　　偶数斜行中的数字由上向下递增，
　　
　　我们只要找出168位于第几斜行，再换算成原数阵中的第几行第几列，问题便解决了。
　　 18斜行最大的数字是171，所以168位于第18斜行。第18斜行中的数字是由上向下递增，因此，168位于第18斜行由上向下数第（168-153=）15位，换算成原数阵的行和列，便是第15行，第（18-15＋1=）4列。
　　解法2：为方便起见，可将数阵按顺时针方向旋转45°，则原数阵变为
　　1
　　3 2
　　4 5 6
　　10 9 8 7
　　11 12 13 14 15
　　… … … … … … … … … …
　　设168位于上述数阵的第n行，则
　　1＋2＋…＋（n—1）＜168≤1＋2＋…＋n，
　　
　　
　　可见，n应为18，即168位于上述数阵中的第18行。
　　又 168-153=15，18-15＋1=4，由数阵排列次序可知168位于上述数阵的第18行从左数第4个数，从右数第15个数。将上述数阵还原为题中数阵，168在第15行第4列的位置上。
　　例12 唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑，米老鼠每分钟跑125米，唐老鸭每分钟跑100米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的n×10％倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次？
　　解：唐老鸭跑完1万米需要100分钟。设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令，则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意有
　125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得 n（n＋21）＞400。
　　当　n=12时， n＋21=33，12×33=396＜400。
　　当　n=13时，n＋21=34，12×34=442＞400。
　　所以n至少等于13，即遥控器发出指令的次数至少是13次。

第十四讲 列方程解应用题
在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。
　　列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
14.1  列简易方程解应用题
　　

　　 10x+1，从而有
　　3（105+x）=10x+1，
　　　　 　7x＝299999，
　　 　　　 x＝42857。
　　答：这个六位数为142857。
　　说明：这一解法的关键有两点：
　　
　　
　　示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。
　　（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
　　例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？
　　分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。
　　解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得
　　2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
　　解得x＝500。推知队伍长为
　　（2.6-1.4）×500=600（米）。
　　答：队伍长为600米。
　　说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。
　　例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？
　　分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。
　　解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得
　　（x-1）×22=（x-3）×26。
　　解得x=14。所以火车的车身长为
　　（14-1）×22=286（米）。
　　答：这列火车的车身总长为286米。
　　例4 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？

　　分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。
　　解：设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方
　　3×90=270（米），
　　故有
　　72x＝65x+270。
　　

　　由于正方形边长为90米，共四条边，故由
　　
　　可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。
　　答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。
　　例5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？
　　分析：这是流水中的行程问题：
　　顺水速度=静水速度+水流速度，
　　逆水速度=静水速度-水流速度。
　　解答本题的关键是要先求出水流速度。
　　解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即
　　（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，
　　
　　再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有

　　
　  
　　解得x=20。
　　答：甲、乙两港相距20千米。
　　例6 某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？
　　 赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行x时， 客车能否在115分钟完成。
　　解：把150人分三批，每批50人，步行速度为4千米/时，汽车速度为
　
　　解得x＝1.5（时），即每人步行90分，乘车25分。三批人5时同时出发，第一批人乘25分钟车到达A点，下车步行；客车从A立即返回，在B点遇上步行的第二批人，乘25分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在C点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。
　　如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘25分钟车呢？必须计算。
　　   
次返回的时间是20分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分，所以当客车与第三批人相遇时，客车已用25×2＋20×2=90（分），还有115-90=25（分），正好可把第三批人按时送到。
　　因此可以按上述方法安排。
　　说明：列方程，解出需步行90分、乘车25分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车25分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。
14.2  引入参数列方程解应用题
　　对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
　　例7 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
　　分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。
　　解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得
　　
　　由①②，得
　　
　　将③代入①，得
　　
　　
　　  
　　说明：此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多，可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。
　　例8 整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？
　　分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程。若能消去a，b，c，便可解决问题。
　　解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有
　　
　　②-①，得
　　36b=120C。 ④
　　③-②，得
　　96xc=1800c＋36b。 ⑤
　　将④代入⑤，得
　　96xc＝1800c+120c。
　　解得x=20。
　　答：有20头牛。
　　例9 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙 从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
　　解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得

　　①＋②，得

　　将y=210－x代入①式，得

　　解得x＝140。
　　答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
14.3  列不定方程解应用题
　　有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。
　　例10 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？
　　解：设该班有x个男生和y个女生，于是有
　　4x+3.25y=3.6（x+y），
　　化简后得8x=7y。从而全班共有学生

　　在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以

　　推知x＝21，y=24。
　　答：该班有21个男生和24个女生。
　　例11 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？
　　解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得61分可列方程
　　9x+5y+2（10-x-y）=61，
　　化简后得7x=41－3y。
　　显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5。
　　答：小明至多套中小鸡5次。
　　例12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）。问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？
　　分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低，在配套下安排生产。
　　我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣，做裤子效率高的多做裤子，才能使所做衣服套数最多。
　　一般情况，设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子，它们的比为 在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。这  
　　  的效率高，故这7天全安排这两组生产单一产品。
　　设甲组生产上衣x天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣y天，生产裤子（7-y）天，则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（条）。依题意，得
　　42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，
　　
　　令u＝42＋8x＋9y，则

　　显然x越大，u越大。故当x=7时，u取最大值125，此时y的值为3。
　　答：安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计125套。
　　说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。

---

作者: 路漫漫    时间: 2009-1-8 10:47
很好

---

作者: 游客    时间: 2010-10-4 11:40
:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D

---

作者: 游客    时间: 2010-10-4 11:40
:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D

---

作者: 游客    时间: 2010-10-4 11:41
:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D

---

作者: 游客    时间: 2010-10-4 11:41
:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-Dv

---

作者: 游客    时间: 2010-10-4 11:41
:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:|-):!:smoke:*:#:+:~:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-|:@:|-):!:smoke:*:#:+:~:D:绿色圃中小学教育网http://Www.Lspjy.cOm原文地址http://www.lspjy.com/showtopic-24304-3.aspx(:d:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D:-D

---

作者: 游客    时间: 2010-10-4 11:41
[img][img][img][/img][/img][/img]

---

作者: 游客    时间: 2010-10-4 11:42

1. [quote][/quote]

复制代码

[img][quote][/quote][/img][img]

1. [url][/url]

复制代码

[/img]

---

作者: lufeng晨风    时间: 2016-3-5 08:36
好思维训练材料

---

作者: 284457400    时间: 2016-3-21 11:03

好思维训练材料

---

作者: 284457400    时间: 2016-3-21 11:04
如何下载

---

作者: alice0    时间: 2016-3-22 20:05
只可以看啊，不可以下载啊

---

作者: t18sc58456    时间: 2016-5-15 15:18
怎样下载？

---

作者: 矿泉水    时间: 2016-5-29 12:40
[quote][/quote]

---

作者: 矿泉水    时间: 2016-5-29 12:46
不知道在哪里下载？

---

作者: nzj888    时间: 2016-6-7 08:34
FG

---

作者: nzj888    时间: 2016-6-7 08:34
FG

---

作者: heyf    时间: 2016-7-20 19:43

彭庙 发表于 2009-1-5 14:13
第八讲 比和比例关系
比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比” ...

ho

---

作者: 你知道我是谁吗    时间: 2016-10-2 21:01
内容里面带图表的，不能下载，就没有办法使用，，

---

作者: tgcs100    时间: 2017-5-18 11:23
内容充足丰富，感谢楼主分享~

---

作者: jinjin4000    时间: 2017-5-23 11:47
帖子太棒了

---

欢迎光临 绿色圃中小学教育网 (http://www.lspjy.com/)

Powered by Discuz! X3.2